Ejercicio 3, lista 1 de espacios m´ etricos etricos
14 de septiembre de 2013
Contraeje Contraejemplo mplo 1. Consideremos X = d(x,y) . 1+d(x,y)
R,
con d la m´ etrica etr ica usual. usu al. Tambi´en, en, sea f (x, y) =
Si definimos
d(x, y) e(x, y ) = f f (1(x,, xy)) + d(2, y) +
3 2
x, y ∈ (1 , ∞) x, y ∈ ( −∞, 1] x ∈ ( −∞, 1] ∧ y ∈ (1 , ∞)
es una m´ etrica etrica sobre R. Adem´ as, si se define d (x, y ) = m´ın{d(x, y ), e(x, y )}, d no es una m´etri et rica ca para R. En efecto, pues si x = 0, y = 1, z = 2 se cumple: ∗
∗
∗ d (x, z ) = d (0, 2) = m´ın {d(0, 2), e(0, 2)} = m´ın 2, f (1, 0) + d(2, 2) + ∗
∗
3 2
= m´ın 2,
1 2 +
0+
= m´ın{2, 2} = 2
∗ d (x, y ) + d (y, z ) = d (0, 1) + d (1, 2) = m´ın {d(0, 1), e(0, 1)} + m´ın {d(1, 2), e(1, 2)} ∗
∗
∗
∗
= m´ın 1, 12 + m´ın 1, f (1, 1) + d(2, 2) +
= 21 + 1 =
3 2
=
1 2 +
m´ın 1, 0 + 0 +
3 2
=
1 2 +
m´ın 1, 32
3 2
As´ı, como com o 23 < 2, se tiene que d (x, y ) + d (y, z ) < d (x, z ). Por lo tanto d no cumple la desigualdad del triangulo para 0, 1, 2 ∈ R, lo cual implica que d no es m´ etrica etr ica para R. ∗
∗
∗
∗
∗
3 2
Equipo 1. Ejercicio 1. 1. Sea n ∈ N y para a = (a1 ,...,an ), b = (b1 ,...,bn ) ∈ Rn definase: etrica uniforme), uniform e), entonces d es una m´etrica etri ca d(a, b) = max{|ai − b i | : 1 ≤ i ≤ n} (m´etrica n sobre R . Proof. Sean a, a, b, c ∈
Rn , n ∈ N,
d(a, b) = max {|ai − bi | : 1 ≤ i ≤ n }.
m1 ) Como |ai − bi | ≥ 0, ∀ ai , bi ∈ R 1 ≤ i ≤ n ⇒ max{|ai − bi | : 1 ≤ i ≤ n } ≥ 0 ∴ d (a, b) ≥ 0. m2 ) |ai − bi | = | (−1)(bi − ai )| = | (−1)||(bi − ai )| = | (bi − ai )| ⇒ max{|ai − bi | : 1 ≤ i ≤ n } = max {|bi − ai | : 1 ≤ i ≤ n } ∴ d (a, b) = d (b, a). m3 ) |ai − bi | ≤ |ai − ci | + |ci − bi | se cumple ∀ ai , bi , ci ∈ R ⇒ max {|ai − bi | : 1 ≤ i ≤ n } ≤ max {|ai − ci | : 1 ≤ i ≤ n } + max{|ci − bi | : 1 ≤ i ≤ n } ∴ d (a, b) ≤ d (a, c) + d (c, b). ∴
etrica etri ca sobre sob re Rn . d es una m´
1
Ejercicios de espacios m´ etricos Equipo 2 Corona Moreno Ruth ´ Garc´ıa Ram´ırez Angel Ra´ ul Guill´ en Zamora Jessica Osorio Per´ ez Jorge Enrique
Sea p un n´ umero primo. Entonces cada racional x = 0 se puede describir de manera u ´ nica como: pk · r x = s
donde k, r ∈ Z, s ∈ N y 1. m.c.d. ( p, r) = m.c.d. ( p, s) = m.c.d. (s, r) = 1. Definimos para cada x ∈ Q:
|0| p = 0 =0 |x| p = p −k para x d : Q × Q −→ R definida como: d(x, y ) = | x − y | p
Demuestre que ( Q, d) es un espacio m´etrico. m1 )Sean a, b ∈ Q, por la cerradura de Q tenemos que a − b ∈ Q, entonces existen k, r ∈ Z, s ∈ N tal que: Demostraci´ on.
a − b =
pk · r s
as´ı: d(a, b) = | a − b| p = p −k
1
Como p ∈ N, −k ∈ Z entonces d(a, b) ≥ 0. S´ı d(a, b) = |a − b| p = 0 = |0| p entonces por la unicidad de las representaciones p-´adicas: a − b = 0 ∴
a = b
m2 )Como b − a = (−1)(a − b ) y m.c.d.(r, s) = 1 ⇒ m.c.d(−r, s) = 1
entonces: d(a, b) = | a − b| p = p −k d(b, a) = | b − a| p = p −k
Es decir: d(a, b) = d (b, a) m3 )Sean a, b, c ∈ Q, entonces existen: k1 , k2 , k3 , r1 , r2 , r3 ∈ Z, s1 , s2 , s3 ∈ N tales que:
a − b = a − c =
pk1 · r1 s1 pk2 · r2 s2
pk3 · r3 c − b = s3
Donde: m.c.d( p, ri ) = m.c.d.( p, si ) = m.c.d.(ri , si ) = 1 para cada i ∈ {1, 2, 3} Note que: pk1 · r1 s1
= a − b = a − c + c − b =
pk2 · r2 s3 + pk3 · r3 s2 s2 s3
Lo cual es equivalente con: pk2 · r2 s3 s1 + pk3 · r3 s2 s1 = p k1 · r1 s2 s3
Por las propiedades puestas sobre los si , ri sus productos entre ellos no tienen factores de la forma pn y de lo anterior tenemos que: pµ = m´ın{ pk2 , pk3 }| pk1
As´ı, pµ | pk ⇒ p k ≥ p µ ⇒ p −µ ≥ p −k y adem´as m´ax{ p−k , p−k } = p −µ por lo tanto: 1
1
1
2
3
ax{ p−k2 , p−k3 } = m´ax{d(a, c), d(c, b)} ≤ d (a, c)+d(c, b) d(a, b) = p −k1 ≤ p −µ = m´ Concluimos que ( Q, d) es un espacio m´etrico.
2
8.- Sea
la colección de funciones reales de [0,1] a [0,1] para
, sea
. Entonces
es una métrica sobre .
. Para
es equivalente a
Demostración: Sea Veamos que se cumple ) es decir
, de esta manera
) Por las propiedades de la norma Así ) Si
se cumple que
, de esta manera Es un espacio métrico.
EQUIPO 3 Antonio Pérez González. Jair Raúl Sánchez Morales. Uziel Mauricio.
.
Espacios metricos, equipo 5. Ejercicio 10.- Sea P (N ) el conjunto potencia de N y sea X = P (N ). Si A, B ∈ X , se define:
0 d(A, B ) = 1
m
si
A = B
si
A = B
Donde m se define como m = m´ın {AB }, verificar que d es una metrica en X . Demostracion:
Veamos que d efectivamente es una metrica bien definida que cumple con las propiedades para ser tal, con d : X × X → R. Notemos primero que d es una funcion bien definida, pues si A, B ∈ X ∧ x, y ∈ R tal que: d(A, B ) = x y d(A, B ) = y con x = y tenemos que si A = B entonces d(A, B ) = 0 lo cual implica que x = 0 = y . En caso de que 1 1 A = B tenemos que = m´ın {AB } = lo que lleva a que x = y , asi pues x
y
se ve que d esta bien definida.
Veamos ahora que d es una metrica en X , viendo que cumple las siguientes propiedades: 1. Tenemos que si A = B entonces d(A, B ) = 0 y que si A = B entonces 1 1 d(A, B ) = , con m = m´ın {AB }, m ∈ N ⇒ 0 < ≤ 1, de lo cual m
m
se ve que 0 ≤ d(A, B ) (Propiedad de no negatividad), ademas de la definicion de d es claro que d(A, B ) = 0 ⇔ A = B . 2. Dado que AB = B A es claro entonces que m´ın {AB } = m´ın {B A}, por lo tanto d(A, B ) = d (B, A), cumpliendo asi la propiedad reflexiva. 3. Observemos que la desigualdad del triangulo se cumple tambien, sean A,B,C ∈ X y sea m = m´ın {AB } ⇒ m ∈ A ∨ m ∈ B ∧ m ∈ ( A ∩ B ) y si r ∈ A tal que r < m = m´ın {AB } ⇒ r ∈ ( A ∩ B ) asi tenemos lo siguiente: c
a )
Si r ∈ C ⇒ r ∈ (AC ) ⇒ r n = m´ın {AC } ⇒ n 1 1 m ⇒ n < m ⇒ < ⇒ d (A, B ) < d(A, C ) + d(C, B ). c
m
n
1
r <
b)
Si r ∈ C ⇒ r ∈ (AC ) pues r ∈ (A ∩ C ) pero r ∈ B y asi r ∈ ( B ∩ C ) ⇒ r ∈ ( B C ) , asi si m ∈ C ⇒ m ≥ m´ın {B C } = 1 1 p ⇒ m ≥ p ⇒ ≤ ⇒ d (A, B ) ≤ d (A, C ) + d(C, B ). c
c
m
c )
p
Si m ∈ (C ) ⇒ m ∈ (AC ) ⇒ m ≥ m´ın {AC } = q ⇒ m ≥ 1 1 q ⇒ ≤ ⇒ d (A, B ) ≤ d (A, C ) + d(C, B ). c
m
q
De lo anterior se nota que d : X × X → R es una metrica y que ( X, d) es un espacio metrico.
2
∞
(ai ) i ∈ N
X
ai
i=1
∞
d : X × X → R
ai = (ai ) i ∈ N
bi = (bi ) i ∈ N d (a, b) =
|ai − bi|
i=1
∞
|ai − bi |
i=1
∞
∞
ai
i=1
i=1
∞
|ai |
i=1
di = |ai | + |bi |
i∈N
|ai − bi | ≤ di
∞
0 ≤ |ai − bi | ≤ di
∞
bi
i∈N
i∈N
∞
|ai − bi |
i=1
di
i=1
∞
•
|ai − bi | ≥ 0
i∈N
|ai − bi | ≥ 0
d (a, b) ≥ 0
i=1
• d (a, b) = 0 ⇒ |ai − bi| = 0 ∞
i=1
⇔ |ai − bi | = 0 ⇔ ai − bi = 0
i∈N
R
i∈N
⇔ ai = b i ∞
• d (a, b) =
i=1
|bi − ai | = d (a, b)
i=1
∞
• d (a, b) =
∞
|ai − bi | =
∞
|ai − bi | =
i=1
|ai − ci + ci − bi |
i=1
∞
i=1
∞
|ai − bi | ≤
(|ai − ci | + |ci − bi |)
i=1
∞
=
∞
|ai − ci | +
i=1
i=1
= d (a, c) + d (c, b) d (a, b) ≤ d (a, c) + d (c, b)
|ci − bi |
|bi |
i=1
Ejercicios de espacios m´ etricos Equipo 2 Corona Moreno Ruth ´ Garc´ıa Ram´ırez Angel Ra´ ul Guill´ en Zamora Jessica Osorio Per´ ez Jorge Enrique
Suponga que (X, d) es un espacio m´etrico. X ⊂ Y , e es una m´etrica arbitraria sobre Y \ X y a ∈ X, b ∈ Y \ X son puntos dados. Definimos: d : Y × Y −→
R
∀x, y ∈ Y :
d(x, y) d (x, y ) = ed((x,a, yx)) + e(b, y) + 1
x, y ∈ X x, y ∈ Y \ X x ∈ X ∧ y ∈ Y \ X
Demostrar que (Y, d ) es un espacio m´etrico y que d |X ×X = d . Demostraci´ on. Abordaremos
la demostraci´on por casos.
Sean x, y,z ∈ Y 1. Suponga que x,y,z ∈ X entonces: a )
d (x, y )= d(x, y ) ≥ 0
b)
d (x, y )= d(x, y ) = d (y, x) =d (y, x)
c )
d (x, y )=d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y ) =d (x, z )+d (z, y ), pues d ya
es m´etrica. 2. Suponga que x,y,z ∈ Y \ X entonces: a )
d (x, y )= e(x, y ) ≥ 0
b)
d (x, y )= e(x, y ) = e (y, x) =d (y, x)
1
c )
d (x, y )=e(x, y ) ≤ e(x, z ) + e (z, y ) =d (x, z )+d (z, y ), pues e ya
es m´etrica. 3. Suponga sin perder generalidad que x ∈ X y y ∈ Y \ X entonces: a )
d (x, y )= d (a, x) + e(b, y )+1.Como d y e son m´ etricas, entonces: d(a, x), e(b, y ) ≥ 0 entonces: d(a, x) + e (b, y ) + 1 ≥ 0 en otras palabras: d (x, y )≥ 0.
b)
d (x, y )= d(a, x) + e(b, y ) + 1 = d (x, a) + e(y, b) + 1 =d (y, x)
c )
Para la desigualdad considere los casos: z ∈ X .
Si esto ocurre, tenemos lo siguiente: i) d (x, y )=d(a, x) + e(b, y ) + 1 ii) d (x, z )=d(x, z ) iii) d(a, x) ≤ d(a, z ) + d(z, x) iv) d (z, y )=d(a, z ) + e (b, y ) + 1
Aplicando i) y iii) tenemos: d (x, y )=d(a, x) + e(b, y ) + 1 ≤ d(a, z ) + d(z, x) + e(b, y ) + 1 Y as´ı, por ii) y iv) se tiene: d (x, y )≤ d (x, z )+d (z, y ) z ∈ Y \ X Si esto ocurre, tenemos lo siguiente: i ) d (x, y )=d(a, x) + e(b, y ) + 1 ii ) d (x, z )=d(a, x) + e(b, z ) + 1 iii ) e(b, y ) ≤ e(b, z ) + e(y, z ) iv ) d (z, y )=e(y, z )
Aplicando i ) a iii ) tenemos: d (x, y )=d(a, x) + e(b, y ) + 1 ≤ d(a, z ) + e(b, z ) + e(y, z ) + 1 Y as´ı, por ii ) a iv ) se tiene: d (x, y )≤ d (x, z )+d (z, y ) Por lo tanto (Y, d) es un espacio m´etrico. La igualdad entre las funciones d y d |X ×X es inmediata de la definici´on de d.
2
Espacios metricos, equipo 5. Ejercicio 10 Teorema: Sea n ∈
sean (X i , di ), i ∈ {1, 2,...,n} espacios metricos.
N y
n
Si X =
X i , entonces si a = (a1, a2 ,...,an ), b = (b1 , b2 ,...,bn ) se tiene que
i=1
las siguientes son metricas sobre X : n
µ1 (a, b) =
di (ai , bi )
i=1
n
µ2 (a, b) =
[di (ai , bi )]2
i=1
µ (a, b) = max {di (ai , bi ) : 1 ≤ i ≤ n } ∞
Mas aun, se tiene que: µ (a, b) ≤ µ 2 (a, b) ≤ µ 1 (a, b) ∞
Demostracion :
Veamos que efectivamente µ (a, b) ≤ µ 2 (a, b) pues si µ (a, b) = max {di (a, b) : 1 ≤ i ≤ n } = d r (ar , br ) para algun r ∈ {1, 2,...,n} es claro que: ∞
∞
n 2
2
2
dr (ar , br ) = d r (ar , br ) ⇔ [ dr (ar , br )] = [dr (ar , br )] ⇒ [ dr (ar , br )] ≤
[di (ai , bi )]2
i=1
n
⇒
[dr (ar , br )]2 ≤
n
[di (ai , bi )]2 ⇔| d r (ar , br ) |≤
i=1
[di (ai , bi )]2
i=1
pero dr (ar , br ) es metrica en X r asi pues
dr (ar , br ) ≥ 0 ⇒| d r (ar , br ) | = d r (ar , br )
Por lo tanto hemos demsotrado que: µ (a, b) ≤ µ 2 (a, b) ∞
Para ver que: µ2 (a, b) ≤ µ 1 (a, b) notemos que:
n
[di (ai , bi )]2 ≤
i=1
n
i=1
2
n
di (ai , bi ) ⇔
i=1
1
2
n
[di (ai , bi ))]2
≤
i=1
di (ai , bi )
n
2
n
2
[di (ai , bi )] ≤
i=1
di (ai , bi )
i=1
n
=
i=1
0 ≤
2
[di (ai , bi )] +
2(di (ai , bi ))(d j (a j , b j )) ⇔
i
2(di (ai , bi ))(d j (a j , b j ))
i
donde:
2(di (ai , bi ))(d j (a j , b j )) = 2(d1 (a1 , b1 ))(d2(a2 , b2 ))+2(d1 (a1 , b1 ))(d3 (a3 , b3 ))+
i
· · ·+2(d1(a1 , b1 ))(dn (an , bn ))+2(d2(a2, b2 ))(d3 (a3 , b3 ))+· · ·+2(dn 1(an 1 , bn 1 ))(dn (an, bn)) −
−
−
Dado que cada d i (ai , bi ) es metrica en X i se tiene que la desigualdad se verifica, por lo tanto se tiene que: µ 2 (a, b) ≤ µ 1 (a, b) con lo que queda desmotrado que: µ (a, b) ≤ µ 2 (a, b) ≤ µ 1 (a, b) ∞
2
Ejercicios de espacios m´etricos Equipo 2 Corona Moreno Ruth ´ Garc´ıa Ram´ırez Angel Ra´ ul Guillen Zamora Jessica Osorio P´ erez Jorge Enrique
Sean
X
= R2 y
1.
A
2.
X\A
3.
Fr(A)
A
= { ( n1 , n1 +
1 m
) : n, m ∈ N}, obtener:
´ SOLUCION.
Recordemos que para cualquier Y ⊂ X se tiene que Y = Y ∪Y . Adem´as, Fr(Y) = Y ∩X \ Y 1. Afirmamos que Demostraci´ on.
A
Sea
Basta probar que a )
=A∪ A0 =
1
1 , 1 : n ∈ N ∪ {(0, m ) : m ∈ N} ∪ {(0, 0)}. n n
1
, 1 : n ∈ N n n
1 0, m : m ∈ N
{(0, 0)}.
. Sea r > 0.
A0 = A
Veamos primero que
A0 ⊂ A
.
1 i) Sea m ∈ N. Demostraremos que B((0, m ), r) ∩ A = ∅, para ello consideremos la 1 1 1 sucesi´ on ( n , n + m ) n∈N ⊂ A.
Como sabemos l´ımn→∞ n1 = 0 y l´ım n→∞ n1 +
1 m
=
1 m
Lo anterior implica que, para r2 > 0, ∃n0 ∈ N t.q. ∀n > n0 : | n1 − 0 | < 1 1 ∃n1 ∈ N t.q. ∀ n > n1 : |( n1 + m | < 2r )− m Si definimos n ∗ = m´ax{n0 , n1 } se cumple que ∀ n > n∗ : ||( n1 , n1 + ||( n1 , n1 )|| ≤ | n1 | + | n1 | < 2r + 2r = r
⇒ ∀ n > n∗ : ( n1 , n1 +
1 m
1 m
∴
B((0,
1 ), r) ∩ A = ∅ m
∀ m ∈ N : (0,
1 ) ∈ m
A
y
1 ) − (0, m )|| =
1 ) ∈ B((0, m ), r), adem´as, por su forma, ( n1 , n1 +
∴
r
2
1 m
) ∈
A
ii) Consideremos la sucesi´ on ( n1 , n1 + n1 )
∈N ⊂ A.
n
Como sabemos que l´ım n→∞ n1 = 0 y l´ım n→∞
1
+ n
1 n
= 0, y dados que r3 , 23r > 0.
r
1 Entonces 1 1 ∃n0 ∈ 2rN t.q. ∀n > n0 : | n − 0| < | n + n − 0| < 3
y ∃n1 ∈ N t.q. ∀n > n1 :
3
Si definimos n∗ = m´ ax{n0 , n1} se cumple que ∀n > n∗ : ||( n1 , n1 + ||( n1 , n1 + n1 )|| ≤ | n1 | + | n2 | < 3r + 23r = r
⇒ ∀ n > n∗ : ( n1 , n1 + n1 ) ∈ B((0, 0), r), adem´as, ( n1 , n1 + n1 ) ∈ ∴
(0, 0) ∈
⇒ ∀ m > m∗ : ||( n1 , n1 + ⇒ ∀ m > m∗ : ( n1 , n1 +
1 m
1 m
)}m∈N ⊂
A
1 ) − ( n1 , n1 )|| = || (0, m )|| = | 1m | < r
) ∈ B(( n1 , n1 ), r), adem´as, ( n1 , n1 +
1 1 ∀ n ∈ N ( , ) ∈ n n ∴
Ahora s´ olo resta probar que A ⊂
1 m
) ∈
A
1 1 B(( , ), r) ∩ A = ∅ n n
∴
Sea (u, v) ∈
1 m
y r > 0, entonces ∃m∗ ∈ N t.q. ∀m > m∗ :
n
∴
b)
A
A
iii) Sea n ∈ N, y consideremos la sucesi´on { ( n1 , n1 + 1
) − (0, 0)|| =
B((0, 0), r) ∩ A = ∅ ∴
1 Como l´ım m→∞ n1 + m = 1 1 1 1 | m | = | ( n + m ) − n | < r.
1 n
A0 .
A
A0 ⊂ A
Para ello consideremos el conjunto
B
= X \ A0
B
i) Si u = k1 , con k ∈ N , sea s0 = m´ın{|v − ( k1 + pues (u, v) ∈ B. Adem´ as, si a ∈ N, se cumple que
1 a
−
As´ı, basta considerar s = m´ın{s0 , k1 −
1 a+1
1 k +1
>
1 m
)| : m ∈ N}. Notemos que 0 < r0
1 a+1
−
1 a+2
.
} para que B ((u, v), s) ∩ A = ∅ .
ii) Si u = 0 yu = k1 , para todo k ∈ N, consideremos s = ´ınf {|u − n1 | : n ∈ N} y s > 0. Luego es falso que exista l ∈ N tal que u − s < 1l < u + s por c´omo hemos definido s. As´ı, se cumple que B((u, v), s) ∩ A = ∅ iii) Si u = 0, sea s 0 = ´ınf {|v −
1 m
| : m ∈ N}.
Adem´ as, en R, se cumple que la distancia de un punto de la forma (0 , k) a la −h . recta con ecuaci´on y = x + h, donde h, k ∈ R : h < k, es exactamente k√ 2
De lo anterior se sigue que si definimos s =
s0
2
se cumple que B ((u, v), s) ∩ A = ∅
Por i), ii) y iii) podemos concluir que (u, v) ∈ / A , m´a s a´ un, (X \ A0 ) ⊂ ( X \ A ).
⊂ A0
A
∴
∴
2. Afirmamos que
X−A
=
A
A0
= X.
r > 0 y (x, y) ∈ X . Bastar´ a probar que (X \ A) = B((x, y), r)\{(x, y)} ∩ (X − A) = ∅ . Demostraci´ on. Sean
X,
es decir,
Como se tiene que x < x + 2r y y < y + r2 , por la propiedad de los irracionales en los reales, ∃x0 , y0 ∈ R \ Q tales que x < x0 < x + 2r y y < y0 < y + 2r , luego |x0 − x| < 2r y |y0 − y| < 2r , lo cual implica que || (x0 , y0 ) − (x, y)|| < r. Tambi´en, sabemos que X \ A.
A
⊂ Q × Q, as´ı, se tiene que (x0 , y0 ) ∈ /
A,
se sigue que (x0 , y0) ∈
As´ı, tenemos que (x0 , y0 ) ∈ B((x, y), r)\{(x, y)} ∩ (X \ A), es decir, B ((x, y), r)\{(x, y)} ∩ (X \ A) = ∅ . ∴
( X \ A) =
∴
3. Por definici´ on
Fr(A)
X−A
X
=X
=A∩X−A=A∩X=A ∴
Fr(A)
=A
Espacios metricos, equipo 5. Tercer ejercicio
Sea
X
= 2N = { (X n )n∈N : X i = { 0, 1}} y denotemos, X = (X n )n∈N, Y = (Y n )n∈N y sea:
0 d(X, Y ) = 1
m
si
X = Y
si
X = Y
Donde m se define como: m = m´ın {k ∈ N : X k = Y k }. Veamos que d es una metrica en X, notando que d cumple que: 1 1. Tenemos que si X = Y entonces d(X, Y ) = 0 y que si X = Y entonces d(X, Y ) = , con m 1 m = m´ın {k ∈ N : X k = Y k }, como m ∈ N ⇒ 0 < ≤ 1, de lo cual se ve que 0 ≤ d(X, Y ) m
(Propiedad de no negatividad), ademas de la definicion de d es claro que d(X, Y ) = 0 ⇔ X = Y . 2. Dado que X, Y ∈ X es claro entonces que m´ın {k ∈ N : X k = Y k } = m´ın {k ∈ N : Y k = X k }, por lo tanto d(X, Y ) = d (Y, X ), cumpliendo asi la propiedad reflexiva. 3. Observemos que la desigualdad del triangulo se cumple tambien, sean X, Y , Z ∈ tenemos lo siguiente:
X entonces
a )
Si X = Y entonces 0 = d (X, Y ) ≤ d (X, Z ) + d(Z, Y ).
b)
Si X = Y sea entonces m = m´ın {k ∈ N : X k = Y k } y sea Z ∈ X si Z = X o Z = Y Y ) la desigualdad se cumple, asi pues (notese que no puede ser igual a ambas pues X = asumamos que no son iguales, y sea n = m´ın {k ∈ N : X k = Z k } tenemos que dado que X = Y supongamos, sin perder generalidad que X m = 1 y Y m = 0 entonces si:
Z n entonces Y n = Z n y por lo tanto d(X, Y ) = d (X, Z ). 1) n = m entonces X n = 1 1 1 2) Si n < m entonces < pero n < m entonces X n = Y n , asi pues = d(X, Y ) ≤ m n m 1 1 1 2 d(X, Z ) + d(Z, Y ) = + ⇔ ≤ ⇔ n ≤ m < 2 m.
n n m n 3) Finalmente si m < n entonces X m = Z m = Y m por lo tanto d(X, Y ) = d(Z, Y ) asi
pues, sea cual sea el caso la desigualdad triaungular se cumple y por lo tanto d es una metrica en X.
EQUIPO 6 TEOREMA. Si S es un conjunto no vacio y acotado entonces diam(S)=sup(S)-inf(S). SOLUCION. Como S y por hipótesis es acotado y no vacio, entonces existen inf(S) y =sup(S). Sean x,y S entonces
|xy| S es una cota superior del conjunto. { |xy|: x,y S }. Entonces ≥ sup { |xy|: x,y S }= diam(S). Por tanto diam(S) sup(S)inf(S). P.D. que
diam(S)≥sup(S)inf(S) sup(S)diam(S)
Tenemos que |x|=|xy+y||xy|+|y||x||y||xy||x||y||xy|sup{ |xy|: x,y S } |xy|diam(S) |x||y|+diam(S) S
x|y|+diam(S) |y|+diam(S) es una cota superior del conjunto { x : x S} S { x : x S}|y|+diam(S) S sup(S)|y|+diam(S) S supS)diam(S)|y|=y si y≥0; entonces sup(S)diam(S) es cota inferior de { y : y S} sup(S)diam(S) Por tanto diam(S)sup(S)inf(S)
Equipo: 7 / ejercicio 3 Ejercicio: Consideremos un espacio métrico (X, d) y un conjunto A ⊆ X .
¯¯˙˙ Entonces A = A¯˙ .
¯˙ ⊆ A¯ pues el interior de un conjunto siempre está En efecto, notemos que A ¯
¯˙ ⊆ A¯ = A¯, ya que la cerracontenido en ese conjunto, luego, se cumple que A ¯ = A. De esto tenemos que dura preserva contenciones y además sabemos que A ¯¯˙˙ ¯˙ pues el operador interior también preserva contenciones. ⊆A A
¯˙ ⊆ A¯¯˙ ya que la cerradura de un conjunto siemPor otra parte, sabemos que A
¯˙˙ ⊆ A¯¯˙˙ , pero A¯˙˙ = A¯˙ . Luego A¯˙ ⊆ pre contiene al conjunto, entonces A
¯˙
¯˙ . A
¯¯˙˙ = A¯˙ . Por lo tanto, A ¯¯˙
¯
˙ ¿Será cierto que A˙ = A? ¯ ¯˙ Si. Tenemos que A˙ ⊆ A˙ , pero A˙ es un conjunto abierto y sabemos que A˙ es el
¯¯˙ ¯ ¯˙ ¯ máximo conjunto abierto contenido en A˙ , por tanto A˙ ⊆ A˙ , luego A˙ ⊆ A˙ . ¯¯˙ ¯ ¯˙ ¯ ¯ Por otro lado, A˙ ⊆ A˙ , de lo cual se sigue que A˙ ⊆ A˙ = A˙ . ¯
¯˙ ¯ Por tanto, se cumple que A˙ = A˙ .
1
Análisis Matemático en Espacios Métricos Primer parcial Tarea 3
1. Demostrar que todo subconjunto cerrado de de conjuntos abiertos.
R es
intersección numerable
2. Proabr que si X es un espacio métrico, A es un conjunto abierto y B es un subconjunto de X , entonces: A ∩ B = ∅ si y sólo si A ∩ B = ∅.
3. Demostrar que si A y B son subconjuntos de un espacio métrico X , entonces F r(A ∪ B ) ⊆ F r(A) ∪ F r(B ). Probar que si A ∩ B = ∅ entonces la contención se convierte en igualdad. 4. Demostrar que si D es un subconjunto denso de X y A es abierto en X entonces A = D ∩ A es denso. ¿ Se cumplirá el resultado si A no es abierto? 5. Sean A y B subconjuntos de un espacio métrico X . Demostrar: (A ∩ B ) ⊆ A ∩ B y ( A ∪ B ) = A ∪ B .
6. Sea X el espacio de funciones continuas de [0, 1] en [0, 1] con la mĺetrica uniforme. En cada uno de los siguientes casos, determine si el conjunto dado es abierto o cerrado (o ninguno de los anteriores), obtener su interior y su cerradura. (a) A = { f ∈ X : f (0) = 0} (b) B = {f ∈ X : f (0) = 0 = f (1)} (c) { f ∈ X : (∀x ∈ [0, 1])f (x) < 1}. 7. Sean A y B subconjuntos no vacíos de un espacio métrico X . Demostrar que d (A, B ) = d (A, B ). 8. Demostrar que para todo conjunto A de un espacio métrico X : ·
A = A ∪ F r(A).
9. Sea A = { n1 + ((A ) ) = ∅.
1 m
: n, m ∈
N}
⊆
R
2
. Demostrar que (A ) = ∅ pero
10. Sean X un espacio métrico, x ∈ X y r > 0. Probar que cl(B (x, r)) ⊆ B (x, r) y dar un ejemplo que muestre que la contención puede ser propia. 11. Sea A un subconjunto de un espacio métrico X . Demostrar que F r(A) = ∅ si y sólo si A es cerrado y abierto. 1
12. Un conjunto A ⊆ X se denomina perfecto si A = A . Demostrar que A es perfecto si y sólo si A es cerrado y A no admite puntos aislados.
13. Sea X un espacio métrico y sea C la colección de todos los subconjuntos densos de X . Demostrar que C = { x ∈ X : x es un punto aislado }. 14. Sea n ∈ N y sea {(X 1 , d1 ), (X 2 , d2 ), , · · · , (X n , dn)} una familia de espacios
i=n
métricos. Si X =
X i tiene asociada alguna métrica producto y D i ⊆ X i
i=1
i=n
para cada i, demostrar que D = para cada 1 ≤ i ≤ n .
Di es denso si y sólo si Di es denso
i=1
15. Demostrar que si X es un espacio métrico y A ⊆ X , entonces A es nunca denso si y sólo si para cada U ⊆ X conjunto abierto existe V ⊆ X conjunto abierto tal que V ∩ A = ∅ .
2
Análisis Matemático en Espacios Métricos Segundo parcial Tarea 1
1. Sea F un subespacio métrico de X y B un abierto en F . Demostrar que B es abierto en X si y sólo si B ∩ (F ∩ F r (F )) = ∅. 2. Sea F un subespacio métrico de X y B un cerrado en F . Demostrar que B es cerrado en X si y sólo si B ⊆ F 3. Sea F un subespacio métrico de X y sea A ⊆ F . Denotemos por F
F
·
A
al interior y clausura de en respectivamente. Demostrar que = ∩ . = \ ( \ ) ∩ y y A ·
A
A
F
X
F A
F
A
F
F
A
F
4. Demostrar que una bola abierta en un espacio métrico conexo no necesariamente es conexa. 5. Sean A y B subconjuntos cerrados y no vacíos de un espacio métrico X . Demostrar que si A ∪ B y A ∩ B son conexos, entonces A y B son concexos. 6. Si A y B son conjuntos de un espacio métrico se dice que A y B están separados si A ∩ B = ∅ = A ∩ B . Demostrar que si A ∩ B = ∅ y ambos conjuntos son abiertos o son cerrados entonces A y B están separados. 7. e mostrar que si d(A, B ) > 0 entonces A y B setán separados. Proporcionar un ejemplo que muestre que el recíproco no es válido. 8. Demostrar que un espacio métrico es disconexo si y sólo si es la unión de dos conjuntos separados. 9. Si A y B son conjuntos conexos de un espacio métrico X y no están separados, demostrar que A ∪ B es conexo. 10. Demostrar que si A y B son conjuntos conexos de X y A ∩ B = ∅ , entonces A ∪ B es conexo. 11. Demostrar que el conjunto Q de los racionales es totallmente disconexo en R. 12. Demostrar que todo conjunto conexo, abierto y cerrado en un espacio métrico X es una componente de X . 13. Demostrar que el conjunto de puntos de R 2 con al menos una coordenada irracional es conexo. 14. (*) Sean A y B conjuntos conexos y A ⊆ B . Si C es una componente de B \ A, demostrar que B \ C es conexo.
1
Análisis Matemático en Espacios Métricos Segundo parcial Tarea 2
1. Supongamos que X es un espacio métrico y A, B son conjuntos ajenos en X . Si A es no vacío y B es compacto, demostrar que d (A, B ) = 0 si y sólo si A ∩ B = ∅. 2. Demostrar que si un conjunto es precompacto entonces su clausura también lo es. 3. Sea A un espacio métrico Demostrar que si toda cubierta abierta de X admite una subcubierta numerable, entonces X es separable. 4. Demostrar que la unión finita de conjuntos compactos (precompactos) es un conjunto compacto (precompacto). 5. Una familia no vacía F de conjuntos no vacíos cumple la Propiedad de la Intersección Finita (P.I.F.) si siempre que F es una subfamilia finita de F , se cumple que F = ∅. Demostrar que X es un espacio métrico compacto si y sólo si para toda familia F de subconjuntos cerrados en X ∅. que cumple la P.I.F. se cumple que F =
6. Sean X un espacio compacto y {A : n ∈ N} una familia numerable de conjuntos cerrados no vacíos tal que ∀ n ∈ N : A +1 ⊆ A . Demostrar que A es cerrado y no vacío. ∈N n
n
n
n
n
7. Sea X un espacio métrico tal que para cada x ∈ X y cada r > 0, la bola cerrada B (x, r) es un conjunto compacto. Demostrar que si K ⊆ X es cerrado y acotado entonces K es compacto. Dar un ejemplo que muestre que no se puede omitir la propiedad de compacidad en X . 8. Dar un ejemplo de un conjunto no acotado cuyo interior sea acotado. 9. Demostrar que si A ⊆ X entonces diam(A) = diam(A). Demostrar mediante un ejemplo que en general no es cierto que diam(A) = diam(int(A)), incluso cuando int (A) = ∅. 10. Dar un ejemplo de dos subconjuntos no compactos cuya unión e intersección sean conjuntos compactos.
1
Análisis Matemático en Espacios Métricos Tercer parcial Tarea 1
1. Demostrar que si X es un espacio métrico y {xn }n∈N es una sucesión convergente en X tal que x n → x . Demostrar que A = { xn : n ∈ N} ∪ {x} es un conjunto compacto. 2. Sea {xn }n∈N una sucesión convergente en R tal que xn → x y x < y . Demostrar que { n ∈ N : y < x n } es un conjunto finito. 3. Sean {xn }n∈N y {yn }n∈N sucesiones en X . Demostrar que si xn → x y d(xn , yn ) → 0 entonces y n → x . 4. Demostrar que toda sucesión cuyo rango es un conjunto relativamente compacto admite una subsucesión convergente. 5. Hallar un ejemplo de una sucesión real {xn }n∈N no convergente tal que {xn : n ≥ k } = { 0}. k∈N
6. Dar un ejemplo de un espacio métrico X y una sucesión {xn }n∈N en X que no admite subsucesiones convergentes pero tal que
´ınf {d(xn , xm) : n, m ∈
N} =
0.
7. Supóngase que {xn}n∈N es una sucesión en X y admite una subsucesión que converge a z ∈ X . Demostrar que si A = {xn : n ∈ N}, entonces dist(A, z ) = 0. Demostrar que el recíproco es falso. 8. Supéngase que X es un espacio métrico y D ⊆ X . Demostrar que D es denso en X si y sólo si para cada x ∈ X , existe una sucesión en D que converge a x . 9. Construir una métrica en
R de
1 tal forma que { n =0 }n∈N converge a x
10. Sean X un espacio métrico, S ⊆ X y z ∈ X . Demostrar que las siguientes proposiciones son equivalentes:
z ∈ int (S ), Si { xn }n ∈ N es sucesión X y x n → z entonces existe k ∈ N tal que {xn : n ≥ k } ⊆ S , Ningna sucesión en X \ S converge a z . 11. Sea {xn }n ∈ {xn : n ≥ k }.
N una
sucesión real acotada y para cada k ∈
Demostrar que existen l´ım sup xn = ´ınf {sup AK : k ∈ sup{´ınf AK : k ∈ N}
N}
N
sea Ak =
y l´ım´ınf xn =
Demostrar que x n → z si y sólo si l´ım´ınf xn = z = l´ım sup xn .
1
Análisis Matemático en Espacios Métricos Tercer parcial Tarea 2
1. Demostrar que toda subsucesión de una sucesión de Cauchy es de Cauchy. 2. Demostrar que todo espacio métrico discreto es completo. 3. Demostrar que una sucesión de Cauchy cuyo rango es finito es una sucesión eventualmente constante. 4. Sea S un conjunto denso en el espacio (E, d), tal que toda sucesión de Cauchy en S es convergente (no necesariamente en S ). Demostrar que (E, d) es completo. 5. Demostrar que si todo conjunto cerrado y acotado de ( X, d) es un subespacio completo, entonces ( X, d) es completo. 6. Demostrar que todo subconjunto de un conjunto magro es magro. 7. Probar que la unión numerable de conjuntos magros es un conjunto magro. 8. Supóngase que X es un espacio métrico, z ∈ X y {x } ∈N es una sucesión en X que admite una subsucesión que converge a z . Demostrar que dist(z, A) = 0, donde A = {x : n ∈ N}. Dar un ejemplo que muestre que el recíproco no se cumple. n
n
n
9. Sean { x } ∈N y { y } ∈N sucesiones de Cauchy en un espacio métrico X . Demostrar que { d(x , y )} ∈N es una sucesión convergente. n
n
n
n
n
n
n
10. Se X un espacio métrico y sea S ⊆ X . Demostrar que S es denso en X si y sólo si todo punto x ∈ R es punto de convergencia de una sucesión en S . 11. Demostrar que si X es el conjunto de sucesiones reales acotadas y d : X × X →
R
está definida por d ({x } ∈N , {y } ∈N ) = sup{|x − y | : n ∈ N}, entonces (X, d) es un espacio métrico. Más aún, probar que si A es el conjunto de sucesiones reales convergentes, entonces A es un conjunto cerrado en X . n
n
n
n
1
n
n
Tarea 1
December 14, 2013
1. Sean f : A ⊆ X → Y continua en el conjunto A y y ∈ Y . un puto cualquiera. Demostrar que B = { x ∈ A : f (x) = y } es un conjunto cerrado. 2. Sean A y B conjuntos cerrados, no vacos y ajenos en el espacio X . Demostrar que existen conjuntos abiertos y disjuntos U, V tales que A ⊆ U y B ⊆ B . (Sugerencia: Considerar las funciones f (x) = d(x, A), g (x) = d (x, B )) 3. Demostrar que si un espacio X es compacto y todos sus puntos son aislados, entonces X es finito y homeomorfo a un espacio discreto. 4. Sean f : A ⊆ X → Y una funcin continua y A un conjunto conexo. Supongamos que para cada x ∈ A existe una vecindad S de x tal que f es constante en S ∩ A. Demostrar que f es constante en A . 5. Sean f, g : X → R funciones continuas. Demostrar que h : X → R dada por h(x) = max{f (x), g(x)} es una funci´on continua. 6. Demostrar que si f : X → Y es continua, D ⊆ X es denso en X y f es constante en D , entonces f es constante. 7. Sea f : X → Y continua y sobreyectiva. Demostrar que si D es denso en X entonces f [D] es denso en Y . 8. Demostrar que si f : X → R es continua, no constante y X es conexo. Demostrar que f [X ] es no numerable.
Tarea 2
1. Sea f : R → R. Demostrar que f es continua si y sólo si para cada r ∈ R los conjuntos A = {x ∈ R : f (x) < r} y B = { x ∈ R : f (x) > r} son abiertos. r
2. Demostrar que si f : mente continua.
r
R
→
R
es una función periódica entonces es uniforme-
3. Si A es un conjunto compacto de un espacio métrico X , demostrar que existen a, b ∈ A tales que diam(A) = d (a, b) 4. Demostrar que si f : A ⊆ X → Y es una función uniformemente continua, A es precompacto y Y es completo, entonces f [A] es relativamente compacto. 5. Demostrar que f : X → Y es una función uniformemente continua si y sólo si para cualesquiera conjuntos no vacíos A y B en X , se cumple: d(A, B ) = 0 si y sólo si d (f [A], f [B ]) = 0. ′
1
