02 Dist Muestrales P2

UNIFÉ

Administración de Negocios Internacionales

Estadística Aplicada a los Negocios

DISTRIBUCIONES MUESTRALES Uno de los objetivos de la estadística es conocer acerca del comportamiento de parámetros poblacionales tales como: la media (µ), la varianza ( σ 2 ) o la proporción (P). Para ello se extrae una muestra aleatoria de la población y se calcula el valor de un estadístico estadístico correspondient correspondiente, e, por ejemplo, la media muestral muestral ( x ), la varianza muestral muestral ( S 2 ) o la proporción muestral (P). El valor del estadístico es aleatorio porque depende de los elementos elegidos en la muestra seleccionada y, por lo tanto, el estadístico tiene una distribución de probabilidad la cual es llamada la Distribución Muestral del estadístico.

Distribución Muestral: Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico muestral (la media muestral x , la varianza S 2 , la proporción muestral p, etc.). El valor del estadístico es aleatorio porque depende de los elementos elegidos en la muestra seleccionada.

La distribución muestral es la distribución de probabilidad de la estadística muestral obtenida a partir de todas las muestras posibles de una población. Todas las muestras deben ser del mismo tamaño y la estadística muestral puede ser cualquier estadística descriptiva ( x , S 2 , p , etc.). Las distribuciones muestrales son muy importantes en el estudio de la estadística inferencial, porque las inferencias sobre poblaciones se harán usando estadísticos muestrales. Conocer esta distribución muestral y sus propiedades permitirá juzgar la confiabilidad de un estadístico muestral como un instrumento para hacer inferencias sobre un parámetro poblacional desconocido.

Error estándar de una estadística: Se denomina error estándar de un estadístico a la desviación estándar de la distribución muestral de dicho estadístico.

σx

σx

→ error

estándar de la media.

σp

→ error

estándar de la proporción.

→ error

estándar de la diferencia de medias.

→ error

estándar de la diferencia de proporciones.

1 − x2

σ p1 − p2

Gladys Enríquez Mantilla

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DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL Si X tiene una distribución normal con media µ y desviación estándar σ, entonces a medida que se amplía el tamaño de la muestra n, la la distribución de la media x de una muestra aleatoria tomada de prácticamente cualquier población se acerca a una distribución normal, con media µ y desviación estándar σ x . Es la distribución de probabilidad de todos los valores de la media muestral x .

: media de todas las medias muestrales. σ x : desviación estándar de todas las medias muestrales.

µx

Forma de la distribución normal El paso final en la identificación de las características de la distribución muestral de la media es determinar la forma de la distribución muestral. Se consideran dos casos: La población tiene distribución normal. Cuando la población tiene distribución normal,

la distribución muestral de la media está distribuida normalmente sea cuál sea el tamaño de la muestra. La población no tiene distribución normal. En este caso, el teorema del límite central

ayuda a determinar la forma de la distribución muestral de la media.

Teorema del Límite Central:

Independientemente de cómo sea la distribución de X, la distribución muestral de x tiende a la la normal cuando el tamaño de las muestras tiende al al infinito.


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Estadística Aplicada a los Negocios Cuando la población es infinita: (Muestreo con reemplazo) Si

x1 , x 2 , ..... , x n es una muestra elegida al azar de una variable aleatoria X con

distribución normal que tiene promedio µ y varianza σ 2 : 2

 σ 2  2    x ∼ N  µx , σ  = N µ ,  x  n    

⇒

X ∼ N ( µ , σ )

⇒ Para el cálculo de probabilidad de la media muestral x :

z

=

x

− µ σ

N ( 0 ,1 )

∼

n El valor de la varianza decrece si n aumenta. Para reducir el error (medido por la desviación estándar) a la mitad debemos aumentar el tamaño de la muestra 4 veces. Ejemplo 1:

En un Banco, la cuenta media de ahorros es de $ 159 320 con una desviación estándar de $18 000. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 400 cuentas, elegidas al azar, tenga un depósito medio de $ 160 000 ó más? Solución: µ =

P(x

≥

159 320

160 000 )

σ = 18 000 

=

PZ 

≥



n

160 000 − 159 320   18 000 / 400 

= =

400

P(Z

≥

0.76 )

=

0.2236

Ejemplo 2:

Los puntajes de un test de inteligencia siguen una distribución normal con media 100 y desviación estándar 15. Hallar la probabilidad que: a)

Una muestra de 20 niños elegidos al azar tenga una media menor que 95.

100

µ =

σ = 15 

P(x b)

<

95 )

=

PZ  

≤

95

−

100 

15 / 20 

=

n

P(Z

≤ − 1.49 ) =

=

20

0.06811

Una muestra de 25 niños elegidos en forma aleatoria tenga una media superior a 96 y como máximo 104. P ( 96

≤

x

≤ 104 ) = =


 96 − 100

P 

P(

 15 /

− 1.33 ≤

25 Z

≤

≤

Z

≤

1.33 )

104 − 100 15 / 25 =

   

0.8165 24

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Estadística Aplicada a los Negocios Cuando la población es finita: (Muestreo sin reemplazo) Si x1 , x 2 , ..... , x n es una muestra elegida al azar a partir de una población de tamaño N de una variable aleatoria X con distribución normal que tiene promedio µ y varianza σ 2 : X ∼ N ( µ , σ 2 )

⇒ x ∼ N µx , σ2 x



σ

2

= N  µ , n 

N−n N −1

   

⇒ Para el cálculo de probabilidad de la media muestral x :

z

x

=

− µ

N−n N −1

σ

n

N ( 0 ,1 )

∼

⇔

n ≥ 0.05 N

Ejemplo 1:

La estatura media de 400 alumnos de un colegio es de 1.50 m. y su desviación estándar 0.25 m. Hallar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 36 alumnos la estatura media sea superior a 1.60 m. Solución: µ =

1.50 n N

σ = 0.25 =

36 400

=

0.09

>

n = 36

N = 400

0.05 ⇒ Usar factor de corrección

    1.60 − 1.50   P ( x > 1.60 ) = P  Z ≥  = P ( Z ≥ 2.51) = 0.006037 0.25 364     399 36   Ejemplo 2:

Un fabricante de cierto champú distribuye su producto en 1000 salones de belleza. Ha determinado que el consumo medio de su producto es de 2800 cojines mensuales, con una desviación estándar de 280 cojines mensuales. Si se toma una muestra aleatoria de 36 salones, ¿cuál es la probabilidad de que el consumo medio en un mes sea inferior a 2700? Solución: µ =

n N

=

2800

36 1000

=

σ = 280

0.036

<

<

2700 )

PZ

=

 

= =


=

36

0.05 ⇒ No usar factor de corrección 

P(x

n

≤

2700 − 2800  280 / 36 

P ( Z ≤ − 2.14 ) 0.01618

25

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DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL Si P representa la proporción de elementos en una población con alguna característica. Tomamos una muestra aleatoria simple de tamaño n de esa población, entonces la distribución de la proporción muestral p es aproximadamente normal. La fórmula para calcular la proporción muestral es:

p

=

x n

q = 1 – P

=

Nº de elementos de la muestra que poseen la característica de int erés tamaño de la muestra proporción de elementos que no presentan la característica.

Cuando la población es infinita: (Muestreo con reemplazo) Si se seleccionan con reemplazamiento todas las muestras posibles de tamaño n: X ∼ N ( µ , σ 2 )

⇒ p ∼ N µ p , σ 2p



= NP , 

P × Q   n 

⇒ Para el cálculo de probabilidad de la proporción muestral p:

z

=

p − P P×Q n

∼

N ( 0 ,1 )

Ejemplo:

Se sabe que en la Unifé el 20% de los profesores están suscritos al diario “El Comercio”. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra aleatoria de 200 profesores con una proporción muestral inferior a 16% de los suscritos a dicho diario?    0.16 − 0.20   P ( p < 0.16 ) = P z ≤ = P ( z ≤ − 1.41) = 0.07927  0.2 × 0.8    200  

Cuando la población es finita: (Muestreo sin reemplazo) Si se seleccionan sin reemplazamiento todas las muestras posibles de tamaño n: X ∼ N ( µ , σ 2 )

⇒ p ∼ N   µ p , σ 2p   

 PQ = N  P , n 

×

N−n N −1

  

⇒ Para el cálculo de probabilidad de la proporción muestral p:

z

=


p − P ∼ N ( 0 ,1 ) P×Q N−n n N −1

⇔

n ≥ 0.05 N

26

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Estadística Aplicada a los Negocios Ejemplo 1:

De los 2500 alumnos de una universidad, el 40% son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al seleccionar una muestra aleatoria de 450 estudiantes; la proporción de mujeres sea superior a 45%? Solución:

N n N

=

2500

=

450 2500

=

n

=

450

0.18

>

0.05 ⇒ Usar factor de corrección

  P ( p > 0.45 ) = P  z ≥   

p

=

0.40

q = 0.60

  0.45 - 0.40  = P ( z ≥ 2.39 ) = 0.008424 0.40 × 0.60 2050  450 2499 

Ejemplo 2:

De los 3500 profesores de una universidad, el 60% no acreditan una maestría. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 150 de estos profesores; ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de profesores de la muestra con grado de maestría esté entre 0.50 y 0.55? Solución:

N

=

n N

3500 =

150 3500

n =

0.04

<

= 150

0.05

P ⇒

=

0.40

Q

=

0.60

no se usa factor de corrección

   0.50 − 0.40 0.55 − 0.40  P ( 0.50 ≤ p ≤ 0.55 ) = P  ≤z ≤  0.40 × 0.60 0.40 × 0.60    150 150   =


P ( 2.5

≤

z

≤

3.75 )

=

0.006121

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DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL Si de una población con distribución normal se extraen infinitas muestras aleatorias de tamaño n y a cada una de ellas se le calcula la varianza muestral S 2 , se demuestra que el estadístico: ( n − 1 )S2 σ

2

se comporta según una distribución χ 2

n−1

Valor esperado: 2

E(S ) =

Varianza: σ

2

2

V(S ) =

2 σ4 n −1

Ejemplo1:

Se sabe que la varianza de las edades de los trabajadores de una compañía es 100. Hallar la probabilidad de que la varianza de una muestra de 16 trabajadores sea superior a 50. Solución: n

=

2

σ = 100 ⇒ σ = 10

16

X

→ N ( µ ,10

2

)

 ( n − 1) S2 15 × 50  2  = P χ15 > ≥ 7.5 = 0.9423 2 2   10 σ  

P ( S2 > 50 ) = P 

(

)

Clic en Ver probabilidad

Clic en Aceptar. Clic en Área sombreada. Distribution Plot

Chi-Square; df=15 0,08 0,07 0,06 0,05

y t i s n 0,04 e D

0,9423

0,03 0,02 0,01 0,00

0

7,5 X

Clic en Aceptar.


⇒

2 P ( χ15 ≥ 7.5 ) = 0.9423

28

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Estadística Aplicada a los Negocios Ejemplo2:

Se sabe que la varianza de las notas en Estadística de todas las alumnas del IV ciclo de Negocios Internacionales tiene una varianza de 25. Si se seleccionan aleatoriamente 15 alumnas, ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral se encuentre entre 18 y 22? Solución:

n

= 15

2

σ =

25

X

→ N( µ ,5

2

)

 14 ×18 ( n − 1) S2 14 × 22  2  = P 10.08 < χ14 P (18 < S < 22 ) = P  < < < 12.32 = 0.1757 2  25  25 σ   2

(

)


Clic en Aceptar.

Clic en Área sombreada.

Gráfica de distribución Chicuadrado; df=14 0,09 0,176

0,08 0,07 0,06 d a d 0,05 i s n e 0,04 D

0,03 0,02 0,01 0,00

0

10,08

12,32 X

Clic en Aceptar.


⇒

P (10.08

2 ≤ χ14 ≤

12.32 ) = 0.1757

29

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DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES Este método se utiliza para comparar las proporciones o porcentajes de dos distribuciones muestrales distintas y formular una inferencia con respecto a la diferencia de éstas.

La fórmula para el cálculo de probabilidad de la diferencia de proporciones es: p1 − p 2

∼

N ( µ p1 − p2 , σ p1 − p2 )

Z

=

=



N  P1 − P2 , 

P1 × Q1 n1

+

P2 × Q 2 n2

   

( p1 − p 2 ) − ( P1 − P2 ) ∼ N ( 0 ,1 ) P1 × Q1 P2 × Q 2 + n1 n2

Ejemplo:

Una empresa desea hacer un estudio acerca del éxito de venta de su producto en las ciudades de Lima y Arequipa. Se sabe que el 40% de personas en Lima tienen intención de comprar el producto; mientras que en Arequipa, están interesadas en la compra del mismo producto el 37%. Si se seleccionan aleatoriamente 250 personas en Lima y 185 en Arequipa, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de personas que están interesadas en la compra del producto en Lima difiera en menos de 0.08 de la proporción de interesados en Arequipa? Solución:

n1 = 250 P ( p1 − p 2

P1 = 0.40

n 2 = 185

P2

=

0.37

) < 0.08

  − 0.08 − 0.03  P (− 0.08 ≤ p1 − p 2 ≤ 0.08 ) = P   0.40 × 0.60 + 0.37 × 0.63  250 185  =


P ( − 2.33

≤

Z

≤

1.06 )

=

≤

Z

≤

  0.08 − 0.03   0.40 × 0.60 0.37 × 0.63  +  250 185 

0.8455

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Clic en Aceptar.

Clic en Área sombreada.

Gráfica de distribución Normal; Media=0; Desv.Est.=1 0,4 0,846 0,3 d a d i s n 0,2 e D

0,1

0,0

-2,33

0

1,06

X

⇒

P ( − 2.33

≤

Z

≤ 1.06 )

= 0.8455

Clic en Aceptar.


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DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media µ1 y desviación estándar σ1 , y la segunda con media µ 2 y desviación estándar σ 2 . Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n 2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico x 1 − x 2 .

Este método se utiliza para comparar las medias de dos distribuciones muestrales distintas y formular una inferencia con respecto a la diferencia de éstas.

Fórmula para el cálculo de probabilidad de la diferencia de medias con varianzas conocidas: x1 − x 2

∼

N( µ x

Z

=

1 −x2

, σx

1 −x2

2 2  σ 2  σ1   ) = N µ1 − µ 2 , +   n n 1 2  

( x 1 − x 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) 2 σ1

n1

+

2 σ2

∼ N (0, 1)

n2

Fórmula para el cálculo de probabilidad de la diferencia de medias con varianzas desconocidas: x1 − x 2

∼

N( µ x

Z

=

1 −x2

, σx

=

S12

+

S 22

  

N  µ1 −

( x 1 − x 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) n1


1 −x2

)

µ2

,

S12 n1

+

S 22 n2

   

∼ N (0, 1)

n2

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DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS MUESTRALES Si S12 y S 22 son las varianzas muestrales de dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n 2 seleccionadas con reemplazo de dos poblaciones normales N ( µ1 , σ12 ) y

N ( µ 2 , σ 22 ) respectivamente, entonces la variable aleatoria: S12 2

σ1

S 22

=

S12 × S22 ×

2

σ2 2

σ1

∼ Fn1 −1 , n2 −1

2

σ2

Ejemplo:

Se sabe que las puntuaciones de los trabajadores del área de Producción se distribuyen normalmente con media 75 y desviación estándar 14.7, mientras que las puntuaciones de los trabajadores del área de Despacho presentan una distribución normal con media 92 y desviación estándar 17.8. Si se seleccionan aleatoriamente 20 trabajadores del área de Producción y 25 del área de Despacho, ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral de las puntuaciones de los trabajadores del área de Producción sea mayor? Solución: Área Producción: n1 = 20

X → N ( 75 ,14.7 2 )

⇒

σ1 = 14.7

Área Despacho : n 2 = 25

X → N ( 92 ,17.8 2 )

⇒

σ 2 =17.8

P(

S12 > S 22

2  S12   S12 × σ 22 σ 2     ) = P  2 > 1 = P  2 2 > 1 2  σ1   S 2   S 2 × σ1

=

P ( F19,24

≥ 1.47



=

P  F19 , 24 

>

2

2

2

2

17.8 2  14.7 2 

) = 0.1847


Clic en Área sombreada. Clic en Aceptar. Gráfica de distribución F; df1=19; df2=24 1,0

0,8 d a 0,6 d i s n e D

0,4

0,2 0,185 0,0

Clic en Aceptar.

1,47 X

⇒


0

=

P ( F19,24

≥ 1.47

)=

0.1847 33

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PRÁCTICA Nº 2 Distribuciones Muestrales 1.-

En una oposición en la que participan miles de candidatos se hizo un examen tipo test. Las calificaciones se distribuyeron normalmente con media 72 puntos y desviación típica 10. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un opositor elegido al azar obtenga más de 76 0.34458 puntos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 64 opositores obtenga un promedio superior a 76 puntos? 0.000687

2.-

Se toma una muestra de 25 observaciones de una población Normal que tiene una varianza 10. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 16?

0.0315

3.-

En un centro educativo se ha determinado que de los ochocientos cuarenta estudiantes que posee, 230 son hiperactivos. Si se toma una muestra aleatoria de 25 estudiantes, calcular la probabilidad de que en dicha muestra más de la mitad; a) sean hiperactivos. 0.0048 b) no sean hiperactivos. 0.9952

4.-

Si s12 y s22 representan las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamaños 25 y 31, tomadas de poblaciones normales con varianzas 10 y 15, 0.0496 respectivamente, encuentre P ( S12 / S 22 > 1.26 ) .

5.-

Si de una población normal con media 100 y desviación estándar 20, se selecciona aleatoriamente una muestra de tamaño 16, ¿cuál es la probabilidad de que esta 0.9545 muestra tenga un valor medio entre 90 y 110?

6.-

Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determinar la probabilidad de que: a) el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las 0.409 mujeres. b) el porcentaje a favor de la pena de muerte sea mayor en los hombres. 0.674 c) la proporción de mujeres a favor de la pena de muerte sea mayor. 0.326 d) la proporción de mujeres que están a favor supere en 0.05 a la proporción de varones. 0.752 e) la proporción de varones que no están a favor de la pena de muerte sea mayor 0.326 a la proporción de mujeres que no lo están.

7.-

El ingreso promedio diario de los trabajadores del Sector de Construcción es de 200 pesos. En el Sector Textil, el ingreso promedio es de 150 pesos. Supongamos que los ingresos de los trabajadores en los dos sectores están normalmente distribuidos con una desviación estándar de 80 pesos. ¿Cuál es la probabilidad de que en dos muestras aleatorias independientes, de tamaño 40, tomadas de cada sector, arrojen 0.01214 una diferencia entre de ingresos medios de 10 pesos o menos?

8-

De los 1150 profesores de una universidad, el 60% acreditan una maestría. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 150 de estos profesores; ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de profesores de la muestra con grado de maestría 0.9062 esté entre 0.50 y 0.65?


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Estadística Aplicada a los Negocios 9.-

Un mecánico local en promedio cobra $110 por hacer una reparación determinada. Los registros muestran una desviación estándar de $21.5 en cobros. Un cliente se quejó recientemente porque su factura de $115.5 era excesiva. Después de un regateo considerable, el mecánico aceptó reembolsar el dinero si la muestra de 36 trabajos similares revelaba tener una facturación promedio menor que la del cliente. ¿Piensa usted que el mecánico fue sabio al ofrecer esta negociación?

10.-

El tiempo que emplea en la respuesta a un estímulo un determinado animal es una variable aleatoria distribuida normalmente con una media de 10 segundos y varianza 9. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 16 animales se obtenga un tiempo medio de respuesta superior o igual a 11 segundos?

0.09176 11.-

Se ha estimado que el 35% de los trabajadores de una compañía padecen de stress. Si se extraen al azar a 35 trabajadores, a partir de los 580 que laboran en la compañía, ¿cuál es la probabilidad de que el porcentaje de trabajadores en la muestra, que no padecen stress, esté variando entre 56% y 59%?

12.-

La vida eficaz de un componente sigue una distribución Normal, con media 5000 horas y desviación típica de 40 horas. Nos proponen un nuevo componente y nos garantizan una vida media de 5050 horas y desviación típica de 30 horas. Decidimos hacer una prueba y tomamos 25 componentes de cada grupo. Decidimos cambiar de proveedor si la diferencia de duración es, en media, al menos de 25 horas. Si el nuevo proveedor está en lo cierto, ¿qué probabilidad tiene de que le compremos sus componentes?

13.-

Un fabricante concluye que su producto tendrá una vida útil de diez años. Se elige una muestra aleatoria de doce productos y se registra la vida útil. Teniendo en cuenta una desviación poblacional de 1.2 años, ¿se puede corroborar que la desviación estándar muestral es superior a 1.8? 0.00992

14.-

Si S12 y S 22 son las varianzas muestrales de muestras aleatorias independientes de tamaños n1=11 y n2 =25, tomadas de poblaciones normales que tienen las mismas  S12  varianzas, encontrar: P  2 ≤ 2.42  0.963 S  2  

15.-

En un experimento de laboratorio se mide el tiempo de una reacción química. Se ha repetido el experimento 98 veces y se obtiene que la media de los 98 experimentos es de 5 segundos con una desviación estándar de 0.05 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que la media poblacional difiera de la media muestral en menos de 0.01 segundos?

16.-

Un psicólogo supone que el cociente intelectual de todos sus pacientes se distribuye aproximadamente mediante una normal con promedio 95 y varianza 38. a) Si se extrae un paciente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el cociente intelectual de dicho paciente: 0.47896 esté variando entre 90 y 98.  0.9032 no sea menor de 87.  b)

Si se extraen cinco pacientes al azar, hallar la probabilidad de que el cociente intelectual de dichos pacientes: esté variando entre 90 y 98. 0.82699  no sea mayor de 87. 0.00187 


35

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En el proceso de producción de una empresa, el 1% de los productos sale defectuoso. Para corroborarlo se obtiene una muestra aleatoria simple de tamaño 25. Estimar la probabilidad de que: a) la proporción de defectuosos sea mayor que el 2%. b) la proporción de no defectuosos sea inferior al 98.5% c) la proporción de defectuosos esté variando entre 0.5% y 1,5%.

18.-

En promedio, el nivel de producción en una planta de manufactura local es de 47.3 unidades por día, con una desviación estándar de 12.7. El gerente de planta tomará una muestra de 100 días. Si la media muestral excede de 49, promete dar a todos los empleados una bonificación de navidad. ¿Qué tan probable es que los empleados disfruten de una feliz navidad?

19-

Los niños de un centro educativo inicial tienen estaturas que están distribuidas de manera aproximadamente normal con respecto a una media de 39 pulgadas y una desviación estándar de 2 pulgadas. Se toma una muestra de tamaño 25 y se calcula la media muestral x , hallar la probabilidad de que este valor medio: a) esté entre 38.5 y 40 pulgadas. b) sea superior a 42 pulgadas. c) sea no más de 37 pulgadas.

20-

Se afirma que el 40% de los estudiantes de postgrado de una universidad son casados. Si se seleccionan al azar 120 alumnos de postgrado, a partir de los ochocientos setenta matriculados en postgrado; ¿cuál es la probabilidad que la proporción de alumnos casados de esta muestra esté entre variando entre 32% y 47%?

21.-

Si S12 y S 22 son las varianzas muestrales de muestras aleatorias independientes de tamaños 10 y 20 tomadas de poblaciones normales que tienen las mismas varianzas, calcular la probabilidad de que el cociente de varianzas muestrales sea menor que 2.42.

22.-

Una universidad que tiene cinco mil alumnos ha determinado que las puntuaciones en un test de autoestima presentan una distribución aproximadamente normal con media 87 y desviación típica 45.7. Si se seleccionan al azar a 320 estudiantes, hallar la probabilidad de que la puntuación promedio de dicha muestra: a) no sea superior a 96. 0.99986 b) sea mayor que 86 y menor que 91. 0.6028 c) sea al menos 88.

23.-

Se sabe que el 10% de las personas de cierta comunidad son analfabetos. Si se selecciona una muestra aleatoria de 900 personas en dicha comunidad; ¿cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestral de personas analfabetas esté variando entre 11% y 13%? 0.15731

24.-

En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si x1 representa el promedio de los pesos de 20 niños y x 2 es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 0.1056 libras más grande que el de las 25 niñas.


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Si la altura de un grupo de población sigue una distribución normal N(176,12), calcular la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea inferior a 10 0.3232 para una muestra de tamaño 8.

26-

Una compañía fabrica sistemas de cómputo y siempre se ha enorgullecido de la calidad de sus unidades centrales de procesamiento. La experiencia ha probado que el tiempo ocioso mensual de esas unidades tiene un promedio de 32 minutos, con desviación estándar de 6 minutos. El centro de cómputo de una universidad mantiene una instalación basada en las unidades centrales de procesamiento. El director del centro piensa que un nivel satisfactorio de servicio a la comunidad universitaria se logra si el tiempo ocioso promedio del sistema es menor que 40 minutos al mes. En un mes cualquiera, ¿qué probabilidades hay de que el director esté satisfecho con el nivel de servicio? 0.90824

27.-

Se supone que el cociente intelectual de los alumnos del quinto grado de primaria de un colegio particular se distribuye aproximadamente mediante una normal con promedio 95 y varianza 38. Si se extraen cinco alumnos al azar, hallar la probabilidad de que el cociente intelectual de dichos alumnos: 0.82699 a) esté variando entre 90 y 98. 0.00187 b) no sea mayor de 87. c) sea al menos 96.

28.-

Un estudio realizado en una ciudad mostró que el 56% de todas las mujeres que adelantan estudios universitarios presentan problemas de estrés. En una muestra aleatoria de 120 mujeres que adelantan estudios universitarios, hallar la probabilidad de encontrar que: a) b) c)

29.-

más del 64.56% de mujeres con problemas de estrés. entre 56% y 64.06% de mujeres con problemas de estrés. la mayoría no presentan problemas de estrés.

Una muestra aleatoria de 50 casas de alquiler del distrito A produjeron una renta mensual promedio de $1795. Se calculó una renta mensual promedio de $1800 con base en una muestra aleatoria independiente para 45 casas de alquiler en el distrito B. Supongamos que no hay ninguna diferencia entre los dos distritos respecto a las rentas mensuales promedio de las casas. ¿Cuál es la probabilidad de observar una diferencia entre medias muestrales tan grande o más grande que la que se acaba de anotar si se supone que la desviación estándar para ambos distritos es 15?

0.05262

30.-

Una máquina fabrica piezas de precisión y en su producción habitual tiene un 3% de piezas defectuosas. Se empaquetan en cajas de 200, ¿cuál es la probabilidad de encontrar entre 5 y 7 piezas defectuosas en una caja?

31.-

La longitud, en centímetros, de las piezas fabricadas por una cierta máquina se distribuye según una N (10,0.25). Para muestras de tamaño 25, calcular: a) P ( 9.68 ≤ x ≤ 10.1 ) b)

32.-

P ( S 2 ≤ 0.19 )

Una agencia de empleos normalmente aplica pruebas de inteligencia y aptitudes a todos los que buscan trabajo a través de ella. La empresa ha reunido datos durante años, habiendo descubierto que la distribución de las puntuaciones no es normal, sino que está sesgada a la izquierda con una media de 86 y una desviación estándar de 16. Hallar la probabilidad de que, en una muestra de 75 candidatos, la puntuación promedio sea: 0.84493 a) por lo menos 84 y menor que 90? b) al menos 88. c) no más de 91.


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34.-

Se sabe que 3 de cada 6 productos fabricados por la máquina 1 son defectuosos y que 2 de cada 5 objetos fabricados por la máquina 2 son defectuosos; se toman muestras de 120 objetos de cada máquina: a)

¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 2 rebase a la máquina 1 en por lo menos 0.10?

b)

¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 1 rebase a la máquina 2 en por lo menos 0.15?

Una fábrica de gaseosas utiliza una envasadora automática para rellenar botellas de plástico. Cada botella debe contener 300 ml pero en realidad los contenidos varían según una distribución normal con media 298 ml y desviación estándar 3 ml. Hallar la probabilidad de que: a) una botella individual contenga menos de 295 ml. 0.15866 b) el contenido promedio de las botellas en un paquete de 6 sea menos de 295.

0.00714

35.-

Sólo el 22% de todas las firmas en la industria de bienes de consumo comercializa sus productos directamente con el consumidor final. Si una muestra de 250 firmas revela una proporción de más del 20% que se compromete en el mercadeo directo, usted planea hacer su siguiente compra a las firmas de esta industria. ¿Qué tan probable es que usted gaste su dinero bien ganado en otra parte?

36.-

En una población de mil doscientos adolescentes la cantidad promedio de dinero gastada en recreación por semana es de $6.5 y la varianza 36. Hallar la probabilidad de que una muestra aleatoria de 85 adolescentes arroje una media: a) comprendida entre $5.6 y $10.4. b) de al menos $5.8. c) No menor a $7.2.

37.-

Los puntajes en facilidad de lectura de los niños de un centro educativo de educación inicial están distribuidos con una media y una desviación típica de 75 y 10 respectivamente. Hallar la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 niños arroje un puntaje promedio: a) entre 70 y 78. b) no más de 76. c) al menos 74.

38.-

Encontrar la probabilidad de que una muestra aleatoria de 26 observaciones, de una población normal con varianza 6.38, tenga una varianza muestral: 0.0769 a) no menor que 9.1. b) entre 3.46 y 10.75. 0.951 c) al menos 5.98 0.552 d) superior a 4.75 pero menor que 8.62 0.703

39.-

Un equipo de empacado de un proceso de fabricación rellena cajas de cereal de 368 g. de tal forma que la cantidad de cereal por caja tiene una distribución normal con una media de 368 g. y una desviación estándar de 15 g. Si se selecciona una muestra de 16 cajas de las miles que se rellenan cada día y se calcula el peso promedio, ¿cuál es la probabilidad que esté entre 365 y 368 gramos inclusive?

40.-

En un centro laboral se ha determinado que de los ochocientos cincuenta trabajadores que posee, 236 son introvertidos. Si se toma una muestra aleatoria de 75 trabajadores, calcular la probabilidad de que en dicha muestra: a) la mayoría no sean introvertidos. b) al menos la quinta parte sean introvertidos. c) no más del 65% no sean introvertidos. d) más del 25% y como máximo el 30% sean introvertidos.

0.28814


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Se quiere someter a todos los empleados de una universidad a un test de 100 preguntas de elección múltiple. Inicialmente, en un estudio piloto, se somete a este test a una muestra aleatoria de 20 trabajadores. Supongamos que, para la población completa de todos los trabajadores de la universidad, la distribución del número de respuestas correctas sigue una normal con varianza 250. Hallar la probabilidad de que la varianza muestral sea: a) menor que 100. b) mayor que 500. c) esté comprendida entre 250 y 350.

42.-

Un fabricante de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año 0.0023 más que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B.

43.-

El precio medio de ventas de casa nuevas en una ciudad es de S/115 000 con una desviación típica de S/25 000. Se toma una muestra aleatoria de 100 casas nuevas de esta ciudad. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta sea menor de S/110 000? 0.0228

44.-

De los 1300 profesores de una universidad, el 65% no acreditan una maestría. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 52 de estos profesores; hallar la probabilidad de que la proporción de profesores de la muestra: a) b) c) d)

45.-

que no tienen grado de maestría esté entre 0.60 y 0.67. que acreditan maestría sea al menos el 38%. que no tienen maestría no sea mayor al 68%. que tienen maestría sea como máximo la cuarta parte.

El CI de los alumnos de un centro especial se distribuyen normalmente con media 80 y varianza 100. a) Si se extrae un sujeto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga como 0.6915 mínimo una puntuación de 75 en CI? b)

Si extraemos una muestra aleatoria simple de 25 alumnos: - ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea mayor de 75?

0.9938

- ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea como máximo 83?

0.9332 46.-

Un psicólogo clínico afirma que con su terapia para tratar “el miedo a volar en avión” se recupera el 80% de los pacientes. Si seleccionamos al azar 16 pacientes que han acudido a su consulta durante los últimos 3 meses por este tema, ¿cuál es la probabilidad de que al menos el 75% se haya recuperado y puedan tomar aviones?

47.-

Una empresa que tiene cinco mil trabajadores ha determinado que las puntuaciones en un test de liderazgo presentan una distribución aproximadamente normal con media 87 y desviación típica 45.7. Si se seleccionan al azar a 320 trabajadores, hallar la probabilidad de que la puntuación promedio de dicha muestra: a) sea superior a 96. 0.00014 b) sea por lo menos 84 y menor que 91. 0.83424

48.-

El consumo promedio diario de carne de pollo en una población determinada es de 500 gramos y en otra de 400 gramos. Supongamos que los valores del consumo de carne de pollo en las dos poblaciones están distribuidos normalmente con una desviación estándar de 100 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos muestras aleatorias e independientes de tamaño 25 extraídas de cada población arrojen una diferencia entre medias muestrales de 50 gramos o menos? 0.03836


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Se dispone de los datos del INEI sobre el aumento del empleo durante el año 2009, el cual se encuentra en un 45%. Si tomamos una muestra aleatoria de 200 ciudadanos, ¿cuál es la probabilidad de que la mayoría tenga empleo?

50.-

La variable X se distribuye normalmente con media 50 y desviación típica 12. a) b)

Si se extrae un sujeto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga al 0.6628 menos una puntuación de 45? Si se extrae una muestra aleatoria simple de 16 alumnos: - ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea menor de 58?

0.9962

- ¿Cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea como mínimo 45?

0.9525 51.-

Un partido político cree que el 60% del electorado está a favor de su programa. Como su líder encuentra que esta predicción es demasiado optimista decide hacer un sondeo con una muestra de 90 personas. ¿Cuál será la probabilidad de que como máximo 60 personas estén a favor de su partido? 0.91309

52.-

La compañía USALUZ produce focos. El presidente de la compañía dice que uno de sus focos dura 300 días. Entonces la competencia va a varios supermercados y compra 15 focos para probar. Los focos de la muestra duran en promedio 290 días con una desviación estándar de 50 días. Entonces, si quieren desmentir al presidente de dicha compañía, necesitan saber cuál es la probabilidad de que 15 focos seleccionados al azar tengan una vida promedio no mayor de 290 días.

53.-

Se ha determinado que 85.1% de los estudiantes de una universidad fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 200 estudiantes. Calcular la probabilidad de que no más de 80% de los alumnos de la muestra fume.

54.-

Las lámparas de un fabricante A tienen vida media de 1400 horas con desviación típica de 200 h, mientras que las de otro fabricante B tienen vida media de 1200 h con desviación típica de 100 h. Si se toma una muestra de 125 muestras de cada clase, hallar la probabilidad de que las de A tengan una vida media que sea: a) b)

Al menos de 160 horas más que las de B. 250 horas más que las de B.

55.-

El director de una empresa asegura que el 40% de los pedidos provienen de nuevos compradores. Para ver la proporción de nuevos compradores se observa una muestra aleatoria de 150 pedidos. Hallar la probabilidad de encontrar: a) más del 45% de nuevos compradores. b) Como máximo el 37.76% de nuevos compradores.

56.-

El número de horas que dedican a ver la televisión los estudiantes en la semana anterior a los exámenes finales sigue una distribución normal con una desviación típica de 4.5 horas. Se toma una muestra aleatoria de 30 estudiantes. a) La probabilidad de que la desviación típica muestral sea mayor que 3.5 horas, ¿es mayor que 0.95? b) La probabilidad de que la desviación típica muestral sea menor que seis horas, ¿es mayor que 0.95?

57.-

Un distribuidor de tornillos determina a través de pruebas que el 4% de los tornillos fabricados por una determinada compañía son defectuosos. El distribuidor vende paquetes de 150 tornillos con garantía de que el paquete contiene 92% de tornillos no defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete no satisfaga la garantía?

0.00621


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Supongamos que las calificaciones de una prueba están distribuidos normalmente con una media de 100. Ahora supongamos que seleccionamos 20 estudiantes y les aplicamos un examen. La desviación estándar de la muestra es de 15. Hallar la probabilidad de que el promedio en el grupo de muestra sea: a) cuando más 110. b) al menos 105. c) como mínimo 98 y como máximo 104.

59.-

Se llevan a cabo dos experimentos independientes en lo que se comparan dos tipos diferentes de pintura. Se pintan 18 especímenes con el tipo A y en cada uno se registra el tiempo de secado en horas. Lo mismo se hace con el tipo B. Se sabe que las desviaciones estándar de la población son ambas 1.0. Suponga que el tiempo medio de secado es igual para los dos tipos de pintura. Encuentre la probabilidad de que la diferencia de medias en el tiempo de secado sea mayor a uno a favor de la 0.0013 pintura A.

60.-

Un detallista compra jarras de cristal en grandes cantidades directamente de la fábrica. Tales jarras son envueltas una por una. Algunas veces, el detallista inspecciona las remesas para determinar la proporción de jarras rotas o defectuosas. Si un cargamento de 800 jarras contiene el 5% de jarras rotas o defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que el detallista obtenga una muestra aleatoria de 200 jarras que presenta el 7% o más de defectuosas?

61.-

Los pesos de los paquetes de cierto producto recibidos en un almacén tienen una media de 300 kg. y una desviación estándar de 50 kg. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja pese más de 340 kg? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de 25 cajas elegidas al azar que se cargan en un ascensor supere el límite de seguridad del mismo que es de 8200 kg.?

62.-

Un representante estatal recibió el 52% de los votos en la última elección. Un año después el representante quiere estudiar su popularidad. Si su popularidad no ha cambiado, ¿cuál es la probabilidad de que más de la mitad de un muestra de 3000 electores voten por él?

63.-

Se ha estimado que el 43% de los administradores consideran que es muy importante que se imparta un curso de ética en administración. De una población de 800 estudiantes se tomó una muestra de 80. Calcular la probabilidad que: 0.09176 a) la mayoría opinen de ese modo. 0.9994 b) al menos el 40% rechacen dicha idea. c) más del 38% y como máximo el 45% opinen igual. 0.47697 d) no más del 35% esté en desacuerdo. 0.00

64.-

La efectividad en días de un determinado medicamento se distribuye en forma aproximadamente normal. Se administra a 16 pacientes y se encuentra que la media es 14 y la desviación típica muestral 1.4 días. La efectividad media mínima requerida para su comercialización es de 13 días. Determinar la probabilidad de que la efectividad media no alcance lo exigido.

65.-

De los doscientos ochenta directores de oficina de corporaciones de una gran ciudad se han seleccionado al azar a dieciséis, con el fin de estimar el tiempo medio que emplean en desplazarse para ir a su trabajo. Supongamos que la distribución de dichos tiempos en la población sigue una normal con media 87 minutos y varianza 484. Hallar la probabilidad de que la media muestral sea: a) b) c) d)

no más de 97 minutos. al menos 80 minutos. superior a 85 y como máximo 95 minutos. superior a 90 minutos.


0.9693 0.9049 0.5775 0.2877 41

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El dueño de un portal de ventas de discos por Internet ha comprobado que el 20% de los clientes que acceden a su portal realizan una compra. Cierta mañana entraron en el portal 180 personas, que pueden ser consideradas como una muestra aleatoria de todos sus clientes. a) b) c) d)

67.-

¿Cuál será la media de la proporción muestral de clientes que realizaron alguna compra? ¿Cuál es la varianza de la proporción muestral? ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea mayor que 0.15?

Se sabe que los tiempos de duración de cierto tipo de componentes electrónicos siguen una distribución normal con una media de 1600 horas y una desviación típica de 400 horas. a) Para una m.a.s. de 16 componentes, hallar la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 1500 horas. b)

Para una m.a.s. de 121 componentes, hallar la probabilidad de que al menos la mitad de los componentes muestrales tengan un tiempo de duración mayor que 1500 horas.

68.-

Se sabe que la distribución del espesor de cierto material está normalmente distribuida con desviación estándar 0.01 cm. Una muestra aleatoria de 25 piezas de este material arroja como resultado una desviación muestral de 0.008. Halle la probabilidad de observar un valor muestral como éste u otro menor.

69.-

Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrándose una desviación estándar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos. a)

¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento 0.0642 promedio mayor de 0.45km/L que la segunda gasolina?

b)

¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina 1? 0.0117

70.-

El número de libros encuadernados diariamente por una máquina automática sigue una variable aleatoria cuya distribución no se conoce, con una desviación típica de 16 libros por día. Si se selecciona una muestra aleatoria de 49 días, determinar la probabilidad de que el número medio de libros encuadernados durante esos días se encuentre a lo sumo a 3 libros de la verdadera media poblacional. 0.8098

71.-

Según las últimas investigaciones, el 87% de todos los jóvenes entre 10 y 16 años usan Internet. Suponga que se usará una muestra de 300 jóvenes con edades entre los 10 y 16 años para obtener información respecto de su opinión acerca de la seguridad en Internet; hallar la probabilidad: a) b)

72.-

de encontrar entre el 83.194% y 90.805% de jóvenes que usan Internet. de que la diferencia entre proporción muestral y la proporción poblacional de jóvenes con edades entre los 10 y 16 años que usan Internet no sea mayor que 0.038.

El cociente intelectual de los empleados de una fábrica está distribuido aproximadamente en forma normal con media 112 y varianza 164. Se sabe por experiencia que solamente las personas con un CI de 105 por lo menos son suficientemente inteligentes para una tarea particular y que las personas con un CI superior a 125 pronto se cansan y se aburren con dicha tarea. Si se extraen cinco empleados al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean idóneos para la tarea?


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Se extrae una muestra aleatoria de 15 economistas y se les pregunta acerca de su predicción sobre la tasa de inflación para el próximo año. Supongamos que las predicciones para la población completa de economistas sigue una distribución normal con una desviación típica de 1.8. a) 0.01 es la probabilidad de que la desviación típica sea mayor que ¿qué número? b) 0.025 es la probabilidad de que la desviación típica sea menor que ¿qué número?

74.-

Una empresa adquiere componentes para sus teléfonos celulares en lotes de 200 de de una firma A. El componente tiene una tasa de defectos del 10%. Una política establecida recientemente por dicha empresa establece que si el siguiente envío tiene: Más del 12% de defectos, definitivamente buscará un nuevo proveedor.  Entre el 10% y el 12% de defectos, considerará un nuevo proveedor.  Entre el 5% y el 10% de defectos, definitivamente no conseguirá un nuevo  proveedor. Menos del 5% de defectos, incrementará sus pedidos.  ¿Cuál decisión es más probable que tome la empresa?

75.-

Un psicólogo que trabaja en una empresa que tiene mil doscientos cincuenta trabajadores les ha aplicado un test para medir su nivel de estrés y ha encontrado que los resultados obtenidos presentan una distribución aproximadamente normal con media 78 y desviación típica 19.7. Si se seleccionan al azar a 86 trabajadores, hallar la probabilidad de que el puntaje promedio en ansiedad para dicha muestra: a) b) c) d)

sea superior a 73 y menor que 84. sea como mínimo 80 y como máximo 87. sea al menos 75. sea no menos de 78.

0.99097 0.16109 0.92785 0.50000

76.-

Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza 6, tenga una varianza muestral. a) mayor a 9.1. b) entre 3.462 y 10.745. c) no más de 8.7

77.-

En un depósito de tubos fluorescentes 30% son defectuosos. Si se extrae una muestra al azar de 500, con reposición, calcular la probabilidad que: a) la proporción de defectuosos no sea mayor de 0.3 b) la proporción de defectuosos en la muestra sea igual a 0.28 c) la proporción de no defectuosos se encuentre entre 0.7 y 0.73 incluidos ambos valores.

78.-

Una empresa eléctrica fabrica baterías que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Hallar la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 baterías tenga una vida promedio de: a) menos de 775 horas. b) superior a 790 pero inferior a 810 horas. c) al menos 798 horas.

79.-

En la ciudad A el salario medio es de 1290 soles, con una desviación típica de 980, y en la ciudad B el salario medio es de 1360 soles con una desviación típica de 968. Si tomamos una muestra aleatoria de 36 personas en la ciudad A y de 49 personas en la ciudad B, hallar la probabilidad de que la muestra procedente de la comunidad A tenga un salario medio que sea al menos 400 soles superior al salario medio de la 0.0139 ciudad B.


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La población de estudiantes se distribuye en la variable X (estatura) según una normal con media 1.69 y una desviación típica de 0.09; en la variable Y (peso) se distribuye mediante una normal con media 68.2 y varianza 3.24. Suponiendo que ambas variables son independientes en la población y que se selecciona una muestra aleatoria de 16 estudiantes: a) b)

¿Cuál es la probabilidad de que la media en estatura esté comprendida entre 1.66 y 1.70? 0.57827 ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio sea al menos 67 Kg.?

0.99621 c)

¿Cuáles son las medidas en peso que delimitan al 50% central de los estudiantes?

81.-

El profesor de una asignatura plantea a sus alumnos la posibilidad de realizar un trabajo de carácter práctico que promediará con la nota del examen final. Si la mayoría de los alumnos no están de acuerdo con esta iniciativa, no seguirá adelante. Antes de someter su idea a votación con todos los grupos elige aleatoriamente 25 alumnos de cada uno de los 4 grupos a los que da clase. Tras recoger sus opiniones encuentra que 30 alumnos están en contra. ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, el 40% de los alumnos estén en contra?

82.-

La cantidad de soda en cada botella de una gaseosa se distribuye normalmente con una media de 32,2 gramos y un desvío estándar de 0,3 gramos. a) Hallar la probabilidad de que un cliente compre una botella que contenga más de 32 gramos. b) Hallar la probabilidad de que un paquete de cuatro botellas tendrá una media de más de 32 gramos de soda por botella.

83.-

Las calificaciones de un examen de colocación hecho a estudiantes del primer año de universidad durante los últimos cinco años tienen una distribución aproximadamente normal con una media 74 y una varianza de 8. ¿Consideraría usted que la varianza se ha incrementado, si una muestra aleatoria de 20 estudiantes que realizaron el examen este año obtienen una varianza de 20?

84.-

Examinados los incrementos salariales de los altos ejecutivos de un amplio grupo de empresas se observa que se distribuyen según una distribución normal de media 12.1 y desviación típica 3.5. Se toma una muestra aleatoria de 16 observaciones de la población de incrementos salariales. Determinar la probabilidad de que la media muestral sea igual o inferior al 10.

85.-

El tiempo que demoran los clientes en ser atendidos en un cajero automático de un banco sigue una distribución normal con media 3 minutos y desviación estándar 2.4 minutos. Se observa una muestra aleatoria de 35 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo que estén en el cajero supere los 2.5 minutos?

86.-

Los cinescopios para televisión del fabricante A tienen una duración media de 6.5 años y varianza de 0.81, mientras que los del fabricante B tienen una duración media de 6.0 años y una varianza de 0.64. Si se eligen aleatoriamente 36 cinescopios del fabricante A y 49 a partir del fabricante B; hallar la probabilidad de que: a) los cinescopios del fabricante A tengan una duración media que sea al menos de un año más que la duración media de los cinescopios del fabricante B. b) los cinescopios de fabricante B tengan una duración media menor.

87.-

Cuando un proceso de producción está funcionando correctamente, la resistencia en ohmios de los componentes que produce sigue una distribución normal con desviación típica 3.6. Se toma una muestra aleatoria de cuatro componentes, ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea superior a 30?


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En una empresa se realiza una serie de pruebas psicotécnicas para determinar el coeficiente de inteligencia de los trabajadores, quedando establecido que dicha medida se distribuye según una distribución normal de parámetros media 100 y desviación estándar 10. a) Calcular la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar tenga un coeficiente intelectual de al menos 115. 0.06681 b)

Hallar el porcentaje de trabajadores cuyo coeficiente intelectual está comprendido entre 98 y 108. 0.3674

c)

¿Qué valor del coeficiente intelectual promedio verifica que sólo el 15% de los trabajadores tienen un coeficiente superior? 110.3

d)

Se decide repetir las pruebas a aquellos trabajadores con un coeficiente promedio demasiado alto, que resultan ser un 10% del total, y a aquellos con coeficiente demasiado bajo, que representan un 5%. Calcular los valores del coeficiente de inteligencia a partir de los cuales se repetirán las pruebas.

83.5

y

112.8

89.-

Se ha estimado que el 62% de los trescientos trabajadores de una compañía no padecen de depresión. Si se extraen al azar a 20 trabajadores, hallar la probabilidad de que el porcentaje de trabajadores en la muestra: a) que padecen de depresión, esté variando entre 37% y 43%. 0.22422 b) que no padecen depresión sea al menos la mitad. 0.87286 0.38591 c) que padecen depresión sea no más del 35%. 0.32392 d) que no padecen depresión sea más del 55% y menos del 64%.

90.-

Dada una población con distribución aproximadamente normal con promedio 6 y desviación típica 2.5, y tomando una muestra aleatoria simple de tamaño 12; calcular la probabilidad de que la varianza muestral sea: 0.657 a) mayor que 4.9 0.176 b) no más de 3.8

91.-

Los puntajes de un test de inteligencia, aplicado a los trabajadores de una empresa siguen una distribución Normal con media 100 y varianza 225. Hallar la probabilidad que: a) b) c) d)

Un trabajador elegido al azar tenga un CI menor que 95. Una muestra de 20 trabajadores elegidos al azar tenga una media menor que 0.06811 95. Una muestra de 25 trabajadores elegidos al azar tenga una media superior a 0.81648 96 y como máximo 104. Un trabajador elegido al azar tenga un CI de al menos 98.

92.-

Previo a una elección la senadora A contrata los servicios de la compañía X para fijar la contienda establecida con los electores. Ella percibe con respecto a este punto que si tiene el 45% de los votos su estrategia de campaña habrá sido efectiva. Suponiendo que la compañía contratada selecciona una muestra aleatoria simple de 1600 electores registrados, hallar la probabilidad de que la muestra pueda producir una proporción superior al 45%, dado que la verdadera proporción es del 40%.

93.-

Una empresa está buscando personal para su departamento de marketing. El perfil solicitado es sujetos extrovertidos y creativos. Se han presentado 50 candidatos. La empresa ha establecido como criterio seleccionar aquellos sujetos que pertenezcan al quinto superior en creatividad y extroversión. Teniendo en cuenta que las puntuaciones en las pruebas de creatividad y extroversión son independientes: a) ¿Qué puntuaciones directas se deben superar en creatividad y extroversión para ser seleccionados? b) Si extraemos al azar 16 candidatos, ¿cuál es la probabilidad de que su media aritmética en extroversión sea mayor que 4.5?


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Estadística Aplicada a los Negocios 94-

A y B producen dos tipos de cables que soportan cargas máximas de 4000 lb y 4500 lb, con una desviación típica respectivas de 300 lb y 200 lb. Si se analizan 100 cables A y 50 cables B, ¿Cuál es la probabilidad de que la carga máxima que soporta B sea: a) Al menos 600 lb mayor que la de A. b) Al menos 450 lb mayor que la de A.

95.-

Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine: a) El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros. 152 b) El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

7

96.-

En la producción de cierto material para soldar se ha establecido que la desviación estándar de la tensión a la ruptura de este material es de 25 libras. Una muestra de tamaño 36 dio una desviación estándar de 25.8 libras. ¿Cuál es la probabilidad de observar un valor muestra) u otro mayor?

97.-

La media de una población seiscientos es de 200 y su desviación estándar es de 5. Se va a tomar una muestra aleatoria simple de tamaño 100 y se usará la media muestral para estimar la media poblacional. a) ¿Cuál es el valor esperado de la media muestral? b) ¿Cuál es la desviación estándar de la media muestral?

98.-

El dueño de una tienda de discos ha comprobado que el 20% de los clientes que entran en su tienda realizan una compra. Cierta mañana entraron en esa tienda 180 personas, que pueden ser consideradas como una muestra aleatoria de todos sus clientes. a) ¿Cuál será la media de la proporción muestral de clientes que realizaron 0.20 alguna compra? b) ¿Cuál es la varianza de la proporción muestral? 0.00089 c) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral? 0.029 d) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea mayor que 0.15?

0.95352 99.-

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos 0.0062 tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

100.- Un partido político cree que el 60% del electorado está a favor de su programa. Como su líder encuentra que esta predicción es demasiado optimista decide hacer un sondeo con una muestra de 90 personas. Hallar la probabilidad de que: a) como máximo 60 personas estén a favor de su partido. b) la mayoría no estén a favor de su programa. c) reciba el apoyo de la mayoría del electorado. d) al menos la quinta parte del electorado no estén a favor. 101.- Una compañía vende invitaciones, sorpresas y otros productos de papelería para ocasiones festivas. Se asume que las horas semanales promedio que trabajan los empleados en la tienda es 36.7 con una desviación estándar de 3.5. El propietario de esta compañía, desea por lo menos un 90% de confiabilidad en que su estimado de las horas promedio trabajadas por empleado cada semana esté dentro de 1 hora de la media poblacional real. Se selecciona una muestra de 36 semanas, ¿cuál es la probabilidad de que el propietario no esté desilusionado con el estimado?


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Estadística Aplicada a los Negocios 102.- Las rentabilidades mensuales de cierto tipo de acciones son independientes unas de otras, y siguen una distribución normal con desviación típica 1.76. En una muestra aleatoria de 14 meses, hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral sea: a) menor que 2.5. 0.984 b) mayor que 1. 0.989 0.403 c) más de 1.8 y como máximo 3.2 0.804 d) como mínimo 1.43 y como máximo 4.52. 103.- La desviación estándar en cuanto a la cantidad de tiempo que se gasta en entrenar a un trabajador para realizar un trabajo es de 40 minutos. Se toma una muestra aleatoria de 64 trabajadores; hallar la probabilidad de que la media muestral: a) exceda la media poblacional en más de 5 minutos. b) Sea al menos mayor que la media poblacional en 8 minutos. 104.- Suponer que de la gente que solicita ingresar a una compañía, 40% puede aprobar un examen de aritmética para obtener el trabajo. Si se tomara una muestra de 20 solicitantes, ¿cuál sería la probabilidad de que al menos la mitad de ellos aprobaran? 105.- Una compañía produce cereales para el desayuno. La media del peso que contienen las cajas de estos cereales es de doscientos gramos y su desviación típica de seis gramos. La distribución de los pesos de la población es normal. Se eligen cuatro cajas, que pueden considerarse como una muestra aleatoria del total de la producción. a) ¿Cuál es el error estándar de la media muestral del peso de las cuatro cajas?

3

b) c)

¿Cuál es la probabilidad de que la media del peso de esas cuatro cajas sea inferior que 197 gramos? 0.15866 ¿Cuál es la probabilidad, en media, el peso de estas cuatro cajas esté entre 190 y 195 gramos? 0.0470

106.- Se tiene para la venta un lote de pollos con un peso promedio de 3.50 kg. y una desviación estándar de 0.18 kg. Hallar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de tamaño 100, los pollos pesen en promedio: a) entre 3.53 y 3.56 kg. 0.04703 b) más de 3.52 kg. c) no más de 3.45 Kg. 107.- Un productor de cámaras de video afirma que el 28% de las cámaras de video vendidas en el mercado son de su marca. De las 150 ventas recientes, exactamente 40 fueron producidas por esta compañía, ¿qué piensas de lo que dice la compañía? 108.- En una empresa está establecido que si una máquina opera correctamente, como máximo un 5% de su producción es defectuosa. Si se elige aleatoriamente una muestra de 40 artículos producidos por una máquina y 15 de ellos son defectuosos, ¿existe razón para pensar que la máquina está averiada? 109.- De los doscientos ochenta directores de oficina de corporaciones de una gran ciudad se han seleccionado al azar a dieciséis, con el fin de estimar el tiempo medio que emplean en desplazarse para ir a su trabajo. Supongamos que la distribución de dichos tiempos en la población sigue una normal con media 87 minutos y desviación típica 22. Hallar la probabilidad de que la media muestral sea: 0.96926 a) no más de 97 minutos. b) al menos 80 minutos. 0.9049 c) superior a 85 y como máximo 95 minutos. 0.5775 d) superior a 90 minutos. 0.28774


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Estadística Aplicada a los Negocios 110.- Si de la población normal X con media 106 y varianza 240 y de una población normal Y (independiente) con media 95 y varianza 350 se extraen muestras de tamaños 40 y 35 respectivamente; calcular: a) P ( x − y ) > 18 0.04006 b)

P 8

<

(x

− y ) <

0.76115

20

111.- El tiempo de atención por cliente de un cajero de un Banco es normal con media 6 minutos y desviación estándar 2.5 minutos. a)

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de atención para una muestra de 15 clientes sea menor de 7 minutos?

b)

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de atención a un grupo de 15 clientes sea más de una hora y 15 minutos?

112.- La vida eficaz de un componente utilizado en la turbina de una aeronave es una variable aleatoria con media 5000 horas y desviación estándar de 40 horas. La distribución de la vida eficaz es muy próxima a una distribución normal. El fabricante de la turbina introduce una mejora en el proceso de fabricación de este componente, que aumenta el tiempo de vida útil promedio a 5050 horas y disminuye la desviación estándar a 30 horas. Supóngase que se toma del proceso “antiguo” una muestra aleatoria de 16 componentes, y una muestra aleatoria del proceso “mejorado” de 25 componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre las dos medias muestrales sea al menos 25 horas? Suponer que los procesos antiguo y mejorado pueden considerarse como poblaciones independientes. 113.- El precio medio del m2 en la venta de casas nuevas durante el último año en una determinada ciudad fue de 115000 pts. La desviación típica de la población fue de 25000 pts. Se toma una muestra aleatoria de 100 casas nuevas de esta ciudad. Hallar la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta: a) b) c)

0.0228 0.576 0.311

sea menor que 110000 pts. esté entre 113000 pts. y 117000 pts. esté entre 114000 pts. y 116000 pts.

114.- Se tienen dos muestras aleatorias de tamaños 18 y 27 extraídas de dos poblaciones normales con varianzas 16 y 25. Calcular: a)

b)

  

 S12 ≤ 2.78   S 22  0.0617

P  1.24

P S12

≤

S 22 0.149

>

c)

P S12

<

S 22

0.851 d)

P S 22 < S12 0.149

115.- Encontrar la probabilidad de que una muestra aleatoria de 26 observaciones, de una población normal con varianza 6.38, tenga una varianza muestral: a) no menor que 9.1. 0.0769 b) entre 3.46 y 10.75. 0.951 c) al menos 5.98. 0.552 d) superior a 4.75 pero menor que 8.62 0.703 116.- Los ingresos mensuales de un amplio sector de empresas comerciales se distribuyen según una distribución normal de media 100 millones y desviación típica de 5 millones. Calcular la probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de 16 empresas pertenecientes al sector, la varianza muestral sea superior a 8.715 millones.


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Estadística Aplicada a los Negocios 117-

Se sabe que el 82% de los trabajadores de una compañía no poseen computadora en casa. Si de los cuatrocientos veintiocho trabajadores, se extraen al azar a 26, hallar la probabilidad de que el porcentaje de trabajadores en la muestra, a) b) c) d)

que no tienen computadora esté variando entre 76% y 85% que posee computadora sea al menos 22% que no tiene computadora no sea mayor del 73% que tiene computadora, sea la mayoría.

0.4530 0.2912 0.1093 0.0000

118.- Las rentabilidades mensuales de cierto tipo de acciones son independientes unas de otras, y siguen una distribución normal con desviación típica 1.76. En una muestra aleatoria de 14 meses, hallar la probabilidad que la desviación típica muestral sea: 0.984 a) menor que 2.5. 0.989 b) mayor que 1. c) más de 1.8 y como máximo 3.2. 0.403 d) como mínimo 1.43 y como máximo 4.52. 0.804 119.- Las puntuaciones en la Escala de Inteligencia para Adultos de Wechsler (WAIS) siguen una distribución normal con media 100 y varianza 174. Si extraemos de esta población una muestra aleatoria simple de 24 individuos. Hallar la probabilidad que la media de esos individuos: a) Sea inferior a 95. 0.03144 b) Esté comprendida entre 92 y 102. 0.76886 0.00 c) no sea mayor que 97. d) sea mayor que 98 y menor que 104. 120.- En una empresa se sabe que de los ochocientos sesenta trabajadores que posee, 124 tienen problemas de estrés. Si se toma una muestra aleatoria de 82 trabajadores, calcular la probabilidad de que en dicha muestra: a) b) c) d)

0.99874 menos de la cuarta parte tenga problemas de estrés. al menos el 72% no presente dicho problema. 0.99994 la mayoría no tenga problemas de estrés. 1.00 como mínimo el 18% y como máximo el 22% tengan problemas de estrés. 0.12141

121.- Se sabe que la varianza de las notas en Estadística de todas las alumnas del IV ciclo de Negocios Internacionales tiene una desviación estándar de 4.8. Si se seleccionan aleatoriamente 12 alumnas, hallar la probabilidad de que la varianza muestral: 0.1941 a) se encuentre entre 21 y 26. 0.2698 b) sea al menos 28. c) sea no menor de 27. d) sea como mínimo 22 y como máximo 25. 122.- Se tienen dos muestras aleatorias de tamaños 20 y 24 extraídas de dos poblaciones normales con desviaciones estándar 4.6 y 5.7. Calcular: P S12 < S22 P S22 < S12 a) b)

0.8389


0.1611

49

02 Dist Muestrales P2

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