UNIDAD V Distribuciones Muestrales
UNIDAD 5 BASE CONCEPTUAL
Datos: Son medidas, valores o características susceptibles de ser observadas y contadas.
Variables : f na na variable es una característica
que puede tener diferentes valores en los distintos Uelementos Uo Uindividuos Ude Uun “Hoy la estadística está considerada como la conjunto. Por ejemplo, el color avorito para teoría de la información, no solo como función descriptiva, si o con el objeto básicoprendas de vestir, número de vasos de leche de hacer estimaciones acerca de los valoresconsumidos por semana. estadísticos Ude Ula Upoblación Uo Uen Ula comprobación Ude Uhipótesis Ude UaquellasLas variables estadísticas se dividen en dos: características que han sido investigadas” cualitativas y cuantitativas. Martínez (2008). Variables Variables Cualitativas: Cuando la variable De acuerdo con esto la estadística se divide corresponde a una característica, cualidad, en dos grandes grupos complementarios: gusto, preferencia, opiniones, etc.
Variables Variables Cuantitativas: Una variable es de estadística Udescriptiva, fque fcomprende La f estadística tres faspectosundamentales: faspectosundamentales: fprimero, fla tipo cuantitativa c uando la variable se mide en una escala numérica. recolección, fclasificación fy fpresentación fpresentación fde datos fen orma fde fcuadros fo fgráficas; Las variables cuantitativas son de dos tipos: segundo, fla faplicación fde fmedidas fcomo discretas o continuas. promedios, fdesviaciones, fetc.; ftercero, fla interpretación interpretación fy fanálisis fde fdatos fa fin fde Variables discretas : f na na variable es discreta obtener conclusiones. Se realiza un proceso cuando sólo puede tomar valores enteros o deductivo de lo general a lo particular. exactos, (pertenecen a los naturales). Por ejemplo, fnúmero fde fniñas fporamilia, fporamilia, estadística Uinferencial, fel fcual fmediante La f estadística números de pargos rojos pescados por día. investigación por muestreo, se logra obtener resultados como estimadores de los valores VariablesContinuas VariablesContinuas: na Uvariable Ues estadísticos, correspondientes correspondientes a las continua cuando puede tomar cualquier valor característicasde característicasde las unidades que de todos los valores, teóricamente posibles, conforman fla fpoblación. fPor flo ftanto, flo entre Udos Uvalores Udados U(pertenecen Ual importante es realizar inferencias acerca de conjunto de los reales). Por ejemplo, la una población objetivo, con base a resultados estatura de los niños del colegio, gramos de de una muestra. carnes fconsumidos fporamilia fporamilia fen funa semana. Población: La población es el conjunto de individuos o elementos que se va a describirMuestra a : Cuando se adelanta un festudio partir del análisis de una característica que estadístico fy la fpoblación fes fmuy fgrande fo puede User Ucuantitativa Uo Ucualitativa. fLa cuando tomar la información de la población población debe ser definida de tal forma que, es costosa en tiempo y dinero, entonces los para un nuevo individuo, se pueda decidir con estudios estadísticos se hacen sobre la base algún criterio si pertenece o no a ella. de una muestra. Elemento. Puede ser una persona, familia, empresa, empresa, zona, animal, u objeto, etc.
La Umuestra Ues Uun Usubconjunto Ude Ula interna y heterogéneas cuando se población; Usobre Uella Use Uobtiene Ula comparan los estrato entre sí. información Unecesaria Upara Udescribir Uel comportamiento de toda la población con - Muestreo por conglomerados: cuando la unidad fbásica de fmuestreo fse fencuentra respecto a una variable. Para que esta se representativa, fse frequiere fque ftodas fla en la población en grupos o conglomerados y la l a selección de la unidad unidades fde fla fpoblación ftengan fla fmisma conglomerados probabilidad probabilidad fde fser fseleccionadas, fes fdecirpermite fla fobservación fdel ftotal fde deben ser aleatoria, al azar o probabilística. elementos de cada conglomerado elegido.
- Muestreo sistemático: la selección de la Marco Muestral: Es la lista de elementos de
unidad se hace intervalos regulares, en un la población, en la cual se incluyen los individuos sobre los cuales se puede obtener orden sistemático. información. Puede ser un mapa o croquis El Error de Estimación : es la dierencia que con flas funidades fde fselección fplenamente puede haber entre la estimación puntual y el identificadas. parámetro. Cuando la estimación no representa fbien fal fparámetro, fa fpesar fde Antes de iniciar la EncuestaPiloto EncuestaPiloto: Antes investigación, fse frecomienda frealizar funaestar perfectamente diseñada, nos referimos a ferrores fmuestrales. f fLos ferrores fno pequeña fencuesta fpreliminar fpreliminar fcon fel fin fde probar fel fcuestionario, fconocer fmejor fla muestrales fse fdeben fal fmal fdiseño fdel población, fentrenar fal fentrevistador, fe fel ormulario, a errores cometidos en el proceso tiempo fque frequiere fla fentrevista fy fen de frecolección, fprocesamiento fy fanálisis fde os datos. especial tener un mayor conocimiento acerca de algunos parámetros. Parámetro: fson flas fmedidas fdescriptivas numéricas faplicadas fa flas fcaracterísticas fen Muestreo Aleatorio: realizado bajo ciertas condiciones y sometidos a ciertos requisitos, requisitos,las unidades de la población. También se les denominas fcomo fvalores festadísticos fde fla se constituye en un procedimiento práctico,denominas población económico y rápido para generalizar conclusiones fobtenidas fa ftravés fde funa EstimadorPuntual: son las medidas muestra, aplicable a toda la población de la EstimadorPuntual descriptivasnuméricas aplicadas a las que forma parte, dentro de ciertos límites dedescriptivasnuméricas características en las unidades de la muestra. confiabilidad, establecidos fde fantemano. Se Se fpodría fdecir fque fel festimador fes funa pueden aplicar lo siguientes métodos: norma o método para estimar una constante perteneciente a una población. La estimación - Muestreo aleatorio simple: en el cual se da igual oportunidad de selección a cada hace referencia a los valores numéricos de los elemento fo fa fla fmuestra fdentro fde flaparámetros poblacionales desconocidos, a los cuales se llega mediante una muestra. población. - Muestreo aleatorio estratificado:La Estimación por Intervalo : es una regla que garantiza la representatividad, reduciendonos indica como calcular dos puntos o valores el error de la muestra al forma grupos o a través de una muestra. La estimación por subpoblaciones subpoblacion es más o menos intervalos fes fla festimación fdel fparámetro homogéneas, en cuento a su composiciónmediante la especificación de un intervalo de valores, determinado por un límite inferior y Estadística inferencial
35
36
otro superior superior (límite de confianza) confianza) dentro dentro del de La l fselección fde flas funidades fque fvan fa cual estará comprendido el valor verdadero conformar conforma o r la muestra debe hacerse al azar, parámetro poblacional. mediante un generador de números aleatorios, usando cualquier método, para un Se dice que un estimador debe ser: estudiantes, flo fmás fpráctico fes futilizar fla calculadora o Excel. Insesgado es decir no tenga sesgo, cuando el valor del estimado es igual al parámetro. En Distribucióne dMedias dMuestrales: d la caso contario la estimación será sesgada. Distribucióne notación utilizada es: Consistente Ues Uaquel Uestimador Uque, Ual aumentar el tamaño de la muestra, converge Medidas Población Muestra _ _̅ en probabilidad al parámetro que estima. Media aritmética _ _ _ _ _ Varianza Eficiente es el estimador que tiene la menor _ _ Desviación típica varianza entre todos los estimadores posibles. _ Tamaño Tamaño Suficiente cuando incluye toda la información que la muestra puede proporcionar acerca del Teorema: si n variables aleatorias parámetro. independientes tienen varianza finitas, su suma, Ucuando Use Ule Uexpresa Uen Umedia Intervalo de Confianza: corresponde a unestándar, estándar, Utienden Ua Uestar Unormalmente intervalo de valores, dentro de los cuales sedistribuidas cuando n tiende al infinito. Se espera fque festé fel fparámetro fparámetro fcon fciertodebe observar que ningunas de las varianzas grado fde fconfianza fo friesgo fde ferror sea mayor comparada con el total. conocido; para ello es necesario determinar la estimación puntual. De facuerdo fcon fel fteorema fanterior, fla variante festadística fpara fdistribuciones fde Coeficiente de Confianza: es la probabilidad media muestrales será: que fun fintervalo fde fconfianza ftenga fel _ _ _ parámetro que se estima. _ ̅ _ √ Por lo cual consideramos que se aproxima a
DISTRIBUCIONES MUESTRALESuna distribución normal. Corresponde a una distribución distribuc ión de todas las la s muestras que pueden ser escogidas conforme a un esquema de muestreo especificado, que implique selección al azar y a una función de números números de variables aleatorias independientes. De funa fpoblación fa festudiar, fse fselecciona una fsola fmuestra fde ftodas flas fmuestras posibles fde figual ftamaño, fcon in felfde obtener conclusiones sobre sobre la población, no sobre la muestra.
_
_
_
_̅
http://ingcarlosmerla http://ingcarlosmerlano.wordpress.c no.wordpress.com Distribuciones om muestrales
EJEMPLOS
Solución
_ _ 1000 _ _ 3,50 _ _ 0,18 1.fLa faltura fmedia fde f400 falumnos fde fun plantel de secundaria es de 1,50 m y su _ 100 _ _̅ _ 3,53 _̅ _ 3,56 _ desviación típica es de 0,25 m. Determinar Determinar _ ? la probabilidad de que en una muestra de _ _ ',(')_)',(_ ̅ ',(')_)',(_ 36 alumnos, la media sea superior a 1,60m
Solución _ _ 400
_ _ 1,50
_ 36
_ _
_ _ 0,25
_̅ _ 1,60
_ _ ̅ _ _ _ 3,53 _ 3,50 _ 1,66 _ 0.18 √ √100
_ _ 1.66 → #_0.9515 #_0.9515
_ _ _ ? ___.__ ̅
_ _ _ 1.60 _ 1.50 _ ̅ _ _ _ 2.40 0.25 √ √36 _ 2.40 → #_0.9918 #_0.9918
_ _
_ _ ̅ _ _ _ 3,56 _ 3,50 _ 3,33 _ 0.18 √ √100
_ _ 3,33 → #_0.9996 #_0.9996
ver tabla anexa
0.9918 1,50
1,60
0
2,40
_ _ _ 1 _ 0.9918 _ 0,0082 _ 0,82% 0,82% ___.__ ̅
_̅
_̅
3,50 3,53
3,56
2800 fcojines. fSi0 fse ftoma 3,33 funa fmuestra 1,66
_ _ ',(')_)',(_ ',(')_)',(_
_ 0,9996 _ 0,9515 0,9515 _ 0,0481
_ _ ',(')_ ',(')_)',(_
_ 4,81%
̅
̅
Por lo tanto, la probabilidad de que en una muestra fde f36 falumnos, fde fese fplantel fde Por lo tanto, la probabilidad de que en una secundaria, la media sea superior a 1,60 m es muestra de 100 pollos, de ese lote, el peso de 0,82% esté entre 5,53 y 3,56 kg es de 4,81% 2.fSe ftiene fpara fla fventa fun flote fde f1000 pollos, con un peso promedio de 3,50 kg y3.fUn fabricante fde fcierto fchampú fpara fel fprofesional una desviación estándar de 0,18 kg. ¿Cuál cabello fdistribuye fel ftamaño fprofesional es fla fprobabilidad fde fque funa fmuestra de su producto en 100 salones de belleza fdeterminado fque fel aleatoria, f100 fpollo fde festa fpoblación, de fCaracas. fSe fha fdeterminado consumo promedio de su producto es de pesen entre 3,53 y 3,56 kg? Estadística inferencial
37
38
, _
probabilística probabilística fde f36 fsalones f¿Cuál fes fla probabilidad de que el consumo promedio en un mes sea inferior a 2700?
Por flo ftanto, fen fla fdistribución fde fmedias muestrales, la estandarización estandarizaciónde Z, incluyendo el factor de corrección corrección será:
Solución _ _ 100
_ _ 2800
_ 36
_ _ 280
_̅ _ 2700 _
_ _ _ ? _)_+__ ̅
_̅ _ _ 2700 _ 2800 _ _2,14 _ _ 280 √ √36
_
_ 2,14 → #_0.9838 #_0.9838
_
_̅ _ _ _ - 1 _ , √
4.fSi en el ejemplo (1) consideramos que en dicho plantel se puede aplicar el factor de corrección
fSe fbusca fel fvalor
positivo en la tabla
Solución _ _ 400
_ _ 1,50
_ 36
_ _ 0,25
_̅ _ 1,60
_ _ ___.__ _ ? ̅
2700 _2,14
2800
_̅
, _ _ _
36 _ 0,09 _./01231 45 5% 400
0
Como fZ fes fnegativo fne gativo fentonces fe ntonces fy fel fe l fvalor _ buscado es a la izquierda: _ _ _ 1 _ 0,9838 _ 0,0162 _)_+__
_̅ _ _ 1,60 _ 1,50 1 _ , _ - 1 _ 0,09 ,09 _ 0,25 √ √ 36
̅
_ _ _ 1,62% _)_+__ ̅
_ 2,51
_ 2,51 → #_0.9940 #_0.9940 Por flo ftanto, fla fprobabilidad fde fque fel consumo promedio de champú en un mes es de 1,62%
Factor de corrección : En aquellos casos de
0.9940
poblaciones finitas, es fdecir, cuando se se da _̅ información fsobre fel ftamaño fpoblacional fy 1,60 1,50 cuando el tamaño de la muestra es mayor del 2,51 0 5% de la población, se puede aplicar un factor de corrección f, conocido como fracción de muestreo. _ _ _ 1 _ 0.9940 _ 0,006 _ 0,6% 0,6% ___.__ ̅
http://ingcarlosmerla http://ingcarlosmerlano.wordpress.c no.wordpress.com Distribuciones om muestrales
Por lo tanto, la probabilidad de que en una Solución muestra fde f36 falumnos, fde fese fplantel _ fde _ 0,04 6 _ 1 _ 0,04 _ 0,96 secundaria, la media sea superior a 1,60 m es de 0,6% _ 200 / ̅ _ 0,03 _ _ 8 __,_' _ ? Distribución Muestral de una proporción: ̅ en el análisis de una característica cualitativa o atributo, se emplea la proporción de éxitos. _ Si / ̅ _ _ _ 0,03 _ 0,04 _ _0,71 P es de éxitos de la población, 0,04 _0,96 6 la _ 1proporción _ _ ; _6 ; _ 0,04 Q f( ) frepresenta fla fproporción fde 200 no éxitos de la población: _ 0,71 → #_0.7611 #_0.7611 Medidas Población Muestra _ 7_ _ /̅ _ / Proporción _ _ _ /9 _ _ _ _6 8 7 Varianza 0.7611
_8_ /9-
_7_ _6-
Desviación típica
0,03
_
Tamaño Tamaño
0,04
_0,71
/̅
0
_ 7_ _ _ #/_
; fDonde fA frepresenta ftodos _ _ 8 __,_' _ 0,7611 _ 76,11% 76,11% los elementos de la característica investigada. ̅ Por flo ftanto, fla fprobabilidad fde fque fen fun grupo fde f200 fpiezas, fel f3% fo fmás fsean defectuosas es de 76,11%
_
_ _
/ ̅ _ _ ; _6
/ _
6.fSe fdesea festudiar funa fmuestra fde f49 personas para saber la proporción de las mayores fde f40 faños; fsabiendo fque fla proporción en la población es de 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea menor de 0,5?
Solución _ _ 0,4
EJEMPLOS
_ 49
6 _ 0,6 / ̅ _ 0,5
5.fSe tiene que el 4% de las piezas producidas _ _ ? por cierta máquina son defectuosas, ¿cuál _ 8 ̅ )_,( es la probabilidad de que un grupo de 200 piezas, el 3% o más sean defectuosas?
Estadística inferencial
39
40
/ ̅ _ _
_
; _6
_
0,5 _ 0,4
_ 1,43 _ 0,4 0 ,4 _0,6 ; 49
_ 1,43 → #_0.9236 #_0.9236 0,46
0,52
0
1,21
/̅
_ _ 8 )_,( _ 1 _ 0,8869 0,8869 _ 11,31% ̅
0,4
0,5
0
1,43
_ _ 8 )_,( _ 0,9236 _ 92,36% 92,36%
/̅ Por lo tanto, la probabilidad de que más del 52% de los sindicatos del país estén en contra de comerciar con China es del 11,31%
̅
Por flo ftanto, fla fprobabilidad fde fque fen fla muestra la proporción de mayores de 40 años sea menor al 0,5 (50%), es de 92,36% 7.fCuarenta y seis por ciento de los sindicatos del país están en contra de comercializar comercializar con China Continent onti nental. al. ¿Cuál es la probabilidad de fque funa encuesta a 100 sindicatos fmuestre fque fmás fdel f52% tengan la misma posición?
Solución _ _ 0,46
6 _ 0,54
_ 100
/ ̅ _ 0,52
_ _ 8 __,(_ _ ? ̅
_
/ ̅ _ _ ; _6
_
0,52 _ 0,46
_ 1,21 0,46 _0,54 ; _ 0,46 100
_ 1,21 → #_0.8869 #_0.8869
http://ingcarlosmerla http://ingcarlosmerlano.wordpress.c no.wordpress.com Distribuciones om muestrales
PROBLEMAS 5
7.f La La
“Hierro UOxidado” siderúrgica f “Hierro está produciendoactualmente produciendo actualmentecables cables para suspensión fde fpuentes. fLa fcaracterística 1. En una población normal, con media 72,1 y suspensión desviación festándar fde f3,1 fencuentre fla más fimportante fde feste fproducto fes fsu resistencia, fel fpeso fque fpuede fsoportar probabilidad de que en una muestra de 90 resistencia, observaciones, observaciones, fla fmedia fsea fmenor fque antes de que se reviente. Por experiencia pasadas fse fsabe fque fel fpromedio fpromedio fde fla fl a 71,7 resistencia es de 6 toneladas con En el banco de ahorro “No Rinde Nada” , la desviación ¾ de toneladas. Para efectos de 2.f En cuenta media es de $659.320,con $659.320, con control fse fselecciona funa fmuestra fde f9 desviación de $18.000 ¿Cuál es la cables y se adopta la siguiente regla de de probabilidad de que en un grupo de 400 decisión: cuentas, elegidas al azar, tenga un Si la resistencia promedio está por encima depósito medio de $660.000? de 6,5 toneladas o por debajo de 5,5 se 3.f Si Si en el Cerrejón los salarios diarios de los suspende el proceso. Si está entre 5,5 y 6,5 mineros fde fcarbón festán fdistribuidos se deja tal como está: normalmente con funa fmedia f$864.500 y una desviación estándar de $15.000 ¿Cuál a.f¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso si la media de producción es de es fla fprobabilidad fde fque funa fmuestra 6 toneladas? representativa fde f25 fmineros, ftenga fun promedio diario inferior a $857.500? b.f¿Cuál es la probabilidad de detener el 4.f Las Las festaturas fde fcierto fgrupo fde fadultos proceso es de 6,18 toneladas? tienen funa fmedia fde f167,42 fy funa probabilidad de continuar el desviación festándar festándar fde f2,58 fcm. fSi flas c.f¿Cuál es la probabilidad proceso de continuar el proceso, si el estaturas están normalmente distribuidas promedio es en realidad 6,4? y se eligen aleatoriamente 25 personas del grupo, ¿cuál es la probabilidad de que su d.f¿Si es de 5,8? media sea 168 centímetros o más? 8.f Suponga Suponga que una máquina produce fque fse ftienen, fen funa furna tornillo fcuyos fdiámetros fse fdistribuyen 500 fichas enumeradas 1, 2, 3, …, 499, 500. normalmente fcon funa fmedia fμ f= f½ Después de mezclarlas completamente, se pulgadas y una desviación típica σ = 0,01 sacan 16 fichas aleatoriamente ¿Cuál es la pulgadas. ¿Cuál es la probabilidad de que probabilidad de que la suma sea mayor de el fdiámetro fmedio festé fcomprendido 3.000? entre 0,49 y 0,51 para una muestra de 4 tornillos? La festatura fde flos festudiantes fde fla 6.f La 5.f Supongamos Supongamos
Universidad fse fdistribuye fnormalmente 9.La compañía productora de maíz híbrido con media de 170 cm y desviación típica “La UGorgogiada”, Uairman que sus de 18 centímetros. Si se toma una muestra productos darán, por término medio, 120 de 81 estudiantes. ¿cuál es la probabilidad bultos por hectárea. Veinticinco hectáreas de que tenga una estatura superior a 175 producen, en promedio, 115 bultos. Si se cm? supone que la desviación típica σ es de 10 bultos bult os por hectáre hectárea, a, ¿Cuál ¿Cuál es la Estadística inferencial
41
42
probabilidadde probabilidadde obtener una media muestral de 115 o menos?
seleccionar 400 piezas, que el 5% o más sean defectuosas?
10.Se
fha fdeterminado fque fel f65% fde flos13.En fla acultad f1/6 fde flos falumnos fson estudiantes funiversitarios fde fRiohacha mujeres. Si se extrae una muestra prefieren los cuadernos marca OSEA. ¿Cuál aleatoria de 200 estudiantes de la facultad es la probabilidad de que en una muestra ¿Cuál es la probabilidad probabil idad de que el 20% o de 100 universitarios encontremos? más sean mujeres?
a.fComo máximo el 68% sean usuarios de14.Un fnuevo ftratamiento fcon frayos flaser este tipo de cuadernos? asegura su eficacia en el 90% de los casos. Si fse fselecciona funa fmuestra fde f40 b.fExactamente b.fExactamente 66% sean usuarios (utilizar enfermos, ¿qué fprobabilidad fhay fde que medio fpunto fde fporcentaje fpara flos se presente una diferencia mayor del 8% límites) en cuanto a su eficacia? 11.El
ALICAIDA15.Según fdatos fanteriores, fse fsabe fque fla abricante fdel fdesodorante fdesodorante f recibe fcada fsemana flotes fde f10.000 efectividad fde funa fvacuna fes fdel f90%. válvulas fpara flos ftarros frociadores. fPara ¿cuál es la probabilidad de que al vacunar aceptar o rechazar dichos lotes, selecciona a 64 personas la proporción sea mayor del al azar 400 válvulas de cada lote; si el 2% o 95%? más fresultan fdefectuosos, fse frechaza fel lote, en caso contrario se acepta el lote. 16.Se fha fdemostrado, fpor freclamos fque fse ¿Cuál fes fla fl a fprobabilidad fde frechazar fun han han hechos, echos, que el el 20% de las lote fque fcontenga fel f1% fde flas fválvulasencomiendas encomiendas fllegan faveriadas, fal futilizar defectuosas? una compañía de transporte intermunicipal. ¿Cuál es la probabilidad, al 12.Se fha fencontrado fque f4% fde flas fpiezasenviar f100 fencomiendas, fde fque fla producidas por cierta máquina son proporción sea menor del 25%? defectuosas f¿Cuál fes fla fprobabilidad, fal
http://ingcarlosmerla http://ingcarlosmerlano.wordpress.c no.wordpress.com Distribuciones om muestrales
Áreas bajo la curva normal estándar. Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan represe ntan la probabilidad de observa r un valor menor igual a z. oLa cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna, y el segundo decimal en la cabecera cabecera de la tabla.
.9998
z
0.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4
.5000 .5398 .5793 .6179 .6554 .6915 .7257 .7580 .7881 .8159 .8413 .8643 .8849 .9032 .9192 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713 .9772 .9821 .9861 .9893 .9918 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981 .9987 .9990 .9993 .9995 .9997
.5040 .5438 .5832 .6217 .6591 .6950 .7291 .7611 .7910 .8186 .8438 .8665 .8869 .9049 .9207 .9345 .9463 .9564 .9649 .9719 .9778 .9826 .9864 .9896 .9920 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982 .9987 .9991 .9993 .9995 .9997
.5080 .5478 .5871 .6255 .6628 .6985 .7324 .7642 .7939 .8212 .8461 .8686 .8888 .9066 .9222 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726 .9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9941 .9956 .9967 .9976 .9982 .9987 .9991 .9994 .9995 .9997
.5120 .5517 .5910 .6293 .6664 .7019 .7357 .7673 .7967 .8238 .8485 .8708 .8907 .9082 .9236 .9370 .9484 .9582 .9664 .9732 .9788 .9834 .9871 .9901 .9925 .9943 .9957 .9968 .9977 .9983 .9988 .9991 .9994 .9996 .9997
.5160 .5557 .5948 .6331 .6700 .7054 .7389 .7704 .7995 .8264 .8508 .8729 .8925 .9099 .9251 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738 .9793 .9838 .9875 .9904 .9927 .9945 .9959 .9969 .9977 .9984 .9988 .9992 .9994 .9996 .9997
.5199 .5596 .5987 .6368 .6736 .7088 .7422 .7734 .8023 .8289 .8531 .8749 .8944 .9115 .9265 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744 .9798 .9842 .4878 .9906 .9929 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984 .9989 .9992 .9994 .9996 .9997
.5239 .5636 .6026 .6406 .6772 .7123 .7454 .7764 .8051 .8315 .8554 .8770 .8962 .9131 .9279 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750 .9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985 .9989 .9992 .9994 .9996 .9997
.5279 .5675 .6064 .6443 .6808 .7157 .7486 .7794 .8078 .8340 .8577 .8790 .8980 .9147 .9292 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756 .9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9949 .9962 .9972 .9979 .9985 .9989 .9992 .9995 .9996 .9997
.5319 .5714 .6103 .6480 .6844 .7190 .7517 .7823 .8106 .8365 .8599 .8810 .8997 .9162 .9306 .9429 .9535 .9625 .9699 .9761 .9812 .9854 .9887 .9913 .9934 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986 .9990 .9993 .9995 .9996 .9997
.5359 .5753 .6141 .6517 .6879 .7224 .7549 .7852 .8133 .8389 .8621 .8830 .9015 .9177 .9319 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767 .9817 .9857 .9890 .9916 .9936 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986 .9990 .9993 .9995 .9997
