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Ejercicios Resueltos

curso basico de probabilidad y

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UNIDAD

1

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

OBJETIVO EDUCACIONAL Al término de esta esta unidad el alumno: alumno: 

Conocerá, comprenderá y aplicará la distribución muestral adecuada, de acuerdo a la situación que se le presente.

Introducción

El campo de la inferencia estadística trata básicamente básicamente con las generalizaciones y predicci

es decir, deseamos conocer las características de una población o parámetros por medio d características de una muestra o estadísticos.

Master your semester with Scribd  Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title Población. Una población consiste en la totalidad de las observacione  & The New York Times  Useful  Not useful las cuales se está interesado.

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SPC Nivel Intermedio _____________________________________________________________________

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Sheet Music

Muestra Aleatoria. Sean X 1 , X 2 ,



, X n variables aleatorias independien

cada una con la misma distribución de probabilidad f(x). se define enton a X 1 , X 2 ,



, X n como la muestra aleatoria de tamaño

n

de la pobla

f(x) y s e exp resa su f unción de p robabil id ad conjunta como

f ( x 1 , x 2 ,

, x n )



f ( x 1 ) f ( x 2 )



f ( x n )

Parámetro. Una característica numérica de una población.

Estadístico.

Cualquier función de las variables aleatorias que constitu

una muestra aleatoria se llama estadístico y representa una caracterís numérica de una muestra.

You're Reading a Preview La distribución de probabilidad de un estadís

Distribución Muestral.

Unlock full access with a free trial.

recibe el nombre de distribución muestral.

Download With Free Trial Error

Estándar.

Es

la

desviación

estándar

de

un

estadístico

distribución muestral.


1.1 Teorema del Límite central

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________________________________________________________________________ Distribuciones Mues



Sheet Music 

tiene una distribución normal con media

x

y varianza

2 x

n 2

2



2

n 2

2

n

Si se muestre una población que tiene una distribución desconocida, la distribución muestr la media seguirá siendo aproximadamente normal muestra es grande ( n

y varianza

2

/ n , si el tamañ

30 ). Este punto es uno de los teoremas más útiles en estadística

conoce como teorema del límite central . Teorema del Límite central. Si es una muestra aleatoria de tamaño n tomada

población (finita o infinita) con media

y varianza

2

, y si x es la media mue

entonces la forma límite de la distribución de

x z You're Reading / a n Preview conforme n

Unlock full access a free trial.ándar n( z ; 0 , 1 ) . , es la distribución nowith r ma l est

Download With Free Trial

Master 1.2 your semester with Scribd Distribución Muestral de la Media. & The New York Times

Conocida Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title

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aproximación normal para x por lo general será satisfactoria sin importar la forma Special offer forLa students: Only $4.99/month.

población. Si n < 30 , la aproximación es buena sólo si la población no es muy diferente de

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Solución

Sean: X = duración de los focos, en horas

800 ,

X ~ Normal (

40 )

X > 0

x 1 , x 2 ,



x n n variables aleatorias independientes

n

x i x

i 1

n

x ~ Normal ( x z

x

800 ,

x

40 / 16

10 )

0 x / n

z ~ n( 0 , 1 )

z

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.


Entonces:

800 Master your Psemester with775Scribd ( x 775 ) F z 10 & The New York Times Special offer for students: Only $4.99/month.

F ( z

2Read . 50 )upFree .0062 Foron 30this Days Sign to0vote title

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Por lo tanto, esperamos que sólo 6 de cada mil muestras, de tamaño 16, tengan una m

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EJERCICIOS 1 1.

Si se extraen todas las muestras posibles de tamaño 16 de una población normal con media igual a 50 y desviación estándar igual a 5, ¿cuál es la probabilidad de que una media muestral X caiga en el intervalo 1 .9 x ? que va de x 1 .9 x a x Suponga que las medias muestrales se pueden medir con cualquier grado de precisión.

2. Si el error estándar de la media para la distribución de muestras aleatorias de tamaño 36 de una población grande o infinita es 2, ¿qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra para reducir el error estándar a 1.2?

determine el número de medias mues que caen a) entre 172.5 y 175.8 cm inclusive; b) por debajo de 172.0 cm 5.

Si cierta máquina fabrica resis eléctricos que tienen una resistencia m de 40 ohms y una desviación estándar ohms, ¿cuál es la probabilidad de que muestra aleatoria de 36 de estos resis tenga una resistencia combinada de m 1458 ohms?

6. La vida media de una máquina para h pasta es de 7 años con una desvi estándar de 1 año. Suponga que las de estas máquinas s 3. Una máquina de refrescos se ajusta para aproximadamente una distribución no que la cantidad de bebida que sirve Reading a encuentre Preview promedie 240 ml con una You're desviación a) la probabilidad de que la vida med estándar de 15 ml. La máquinaUnlock se verifica full access with a free trial. una muestra aleatoria de 9 de periódicamente tomando una muestra de caiga entre 6.4 y 7.2 años 40 bebidas y se calcula el Download contenidoWith Freemáquinas Trial promedio. Si la media de las 40 bebidas es b) el valor de x a la derecha del cual c 2 un valor dentro del intervalo de x x el 15% de las medias calculada , se piensa que la máquina opera muestras aleatorias de tamaño 9. satisfactoriamente; de otra forma se ajusta. 7. El tiempo que el cajero de un banco  Un funcionario de la compañía encuentra Read Free 30this Days servicio en elForautomóvil Sign up to vote on title atiende  que la media de 40 bebidas es x 236 ml cliente es unavariable aleatoria con Useful Not useful  Cancel anytime. y concluye que la máquina no necesita 3 . 2 minutos y una desvi media, Special offer for students: Only $4.99/month. ajuste. ¿Esta fue una decisión razonable? 1 6 minutos. Si se ob estándar,

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Sheet Music 1.2

Distribución Muestral de la Media.

Desconocida. Distribución t – Studen

Teorema 2.5. Sea Z una variable aleatoria normal estándar y V una variable aleator

cuadrada con v grados de libertad. Si Z y V son independientes, entonces la distrib de la variable aleatoria T, donde Z

T

V / v

está dada por

h( t )

( v

1 ) / 2

( v / 2 )

1

v

t 2 v

( v 1 ) / 2

,

t

Esta se conoce como la distribución t con v grados de libertad.

Corolario

Sean X 1 , X 2 ,

normales con media



X n

variables aleatorias independientes que son t

You'reestándar Reading a Preview y desviación . Sean Unlock full access with a free n trial. n ( xi x i 2

x i

y s n n 1 i Trial 1 Download With Free

Entonces la variable aleatoria T

x s / n

x ) 2 1

,

tiene una distribución t con v = n – 1 grad

libertad. Master your semester with Scribd  Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title  Para las aplicaciones de la distribución t Student (Tabla 3 del Apéndice), utilizarem & The New York Times  Useful  Not useful Special offer forprocedimiento students: Only $4.99/month. siguiente:

Cancel anytime.

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_______________________________________________________________________ Distribuciones Muest

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Sheet Music

T

x s / n

T ~ T Student( v n

1 gl )

T Entonces: a) P ( X a ) F ( a ) F t

b) P ( X b )

c) P ( a

d) P ( a

1 F ( b )

a s / n

1 F t

b s / n

X b ) F ( b ) F ( a ) F t

X b ) F ( a )

b s / n

1 F ( b ) F t

F t

a s / n

a s / n 1 F t

b s / n

You're que Reading a Preview Ejemplo 2 Un fabricante de focos afirma su producto durará en promedio de 500 hor Unlock full access a free trial. trabajo. Para verificar este promedio, esta with persona prueba 25 focos cada mes. Si el

de t calculado cae entre

t 0 .05 y t 0 .05 , él se encuentra satisfecho con esta afirma Download With Free Trial

¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra que tiene una media de x 518

una desviación estándar s 40 horas? Asuma que la distribución de los tiempos de es normal? Master your semester with Scribd Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title Sean: X = tiempos de vida de los focos producidos por un fabricante, en horas & The New York Times  Useful  Not useful Special offer for students: $4.99/month. X Only ~ Normal ( 500 ,

Cancel anytime.

?)

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T

Entonces: De la Tabla 3 obtenemos el valor de t 0 .05 para 24 grados de libertad. Por lo tan

fabricante estará de acuerdo con esta afirmación si una muestra de 25 focos da un de t entre -1.711 y 1.711. T

x

518 500

s / n

40 / 25

2 . 25

De aquí que el fabricante está en condiciones de concluir que sus focos duran más de horas. EJERCICIOS 2

1. Para la encuentre:

distribución

T-Student

a) t0.025 cuando v = 14 b) t 0.10 cuando v = 10 c) t0. 995 cuando v = 7

electrónicos duran un promedio d horas. Para mantener este promed prueban 16 baterías cada mes. Si el de t que se calcula cae entre

t0.02 5 , la empresa queda satisfecha

su afirmación. ¿Qué conclus You're Reading a Preview 2. Para la distribución T-Student extraería la empresa de una mu encuentre: que tiene una media x 27 . 5 hr Unlock full access with a free trial. desviación estándar de s a) P (T 2. 3365 cuando v = 7 Suponga que la distribución b) P (T 1.318 ) cuando v = 24 Download With Free Trial duraciones de las baterías c) P ( 1. 356 T 2.179 cuando v = 12 aproximadamente normal. d) P (T 2.567 ) cuando v = 17 6. Una población normal con var 3. Para la distribución T-Student desconocida tiene una media de  encuentre: tiene posibilidad de obtener Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title  muestra aleatoria de tamaño 9 de Not useful a) P ( t 0.005 T t 0.01 )  Useful  Cancel anytime. población con una desviación está Special offer for students: Only $4.99/month. b) P (T t 0.025 ) de 4.1? si no, ¿que conclusión sacar 4. Dada una muestra aleatoria de tamaño

Master your semester with Scribd & The New York Times

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1.3 Distribución Muestral de la Proporción Suponga que una población es infinita y tiene una distribución binomial con P y Q = 1 P

las probabilidades respectivas de que cualquier elemento exhibe o no cierta propie

Consideremos todas las muestras posibles de tamaño n extraídas de esta población, y para

muestra determinemos el estadístico que es la proporción p de éxitos. Entonces obten ˆ

una distribución muestral de proporciones cuya media

p ˆ

y desviación estándar

p ˆ

dadas por

p ˆ

P

y

p ˆ

PQ

P ( 1 P )

n

n

Para valores grandes de n (tales que nP 5 y nQ 5 ), la distribución muestral se apro a una distribución normal.

Ejemplo 3 Encuentre la probabilidad de que en 120 lanzamientos de una moneda balancea

You're Reading a Preview entre 40% y 60%, inclusive, sean águilas, b) 5/8 o más sean águilas. Unlock full access with a free trial.

Solución


Sean: X = número de águilas en una muestra de 120 lanzamientos X ~ Binomial(n = 120, P= 0.50) = 0, 1, 2., . . . , 120 Master your Xsemester with Scribd Pero & The New York Times

nP 5 y nQ 5



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P (0. 4

p

0.6 ) F z 2. 28

ˆ

F z

2. 28

0. 9887 0.0113 0. 977

Por lo tanto, esperamos que 97.74% de las muestras, de tamaño 120, tengan una proporci águilas entre el 40% y 60%. EJERCICIOS 3

1. Se ha encontrado que el 2% de las herramientas producidas por cierta máquina

defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que un cargamento de 400 de esas herramie sean defectuosas a) 3% o más, b) 2% o menos?

2. Los resultados de una elección demostraron que cierto candidato recibió el 46% de los v

Determine la probabilidad de que una encuesta de a) 200, b) 1000 personas de la pobl

votante seleccionadas al azar de la población ha mostrado mayoría de votos a favo candidato.

3. Un fabricante despacha 1000 lotes, cada uno de 100 bombillas eléctricas. Si normalme

You're Preview 5% de las bombillas es defectuoso, ¿enReading cuántosalotes esperaría usted encontrar a) men Unlock full access with a free trial. 90 bombillas buenas, b) 98 o más bombillas buenas?

With Free Trial 1.4 Distribución Muestral de laDownload Varianza. Distribución Ji-Cuadrada 2

Teorema 2.4. Si s

es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada d

población normal que with tiene la Scribd varianza , entonces la estadística Master your semester Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title 2 2 n ( xiUseful x )  Not useful ( n 1 ) s & The New York Times 2  2


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x 1 , x 2 ,



x n n variables aleatorias independientes

n

x s 2

2

2

n 2 i

x i

i 1

/ n

i 1

n

1

1 )s 2

( n

2 2

2

~ Ji

cuadrada ( v

n

1 gl ) )

0

Entonces: a) P ( s a ) P ( s

b) P ( s b ) P ( s

2

2

2

a ) F 2

b )

2

( n

1 ) a 2 2

1 F

2

( n

1 ) b 2 2

2

c) P ( a

s b ) P ( a

2

s

2

2

b ) F

2

( n 1 ) b

F

2

2

( n 1 ) a

2

2

You're Reading a Preview Ejemplo 4

Se sabe que la duración de los cinescopios para televisión fabricados por Unlock full access with a free trial.

compañía se distribuye en forma normal con una media de 3000 horas y una desvi Download With Free Trial estándar de 60 horas. Si se seleccionan 10 de estos cinescopios al azar, hallar la probabilid 2

que la varianza muestral: a) no exceda de 2360 horas , b) se encuentre entre 2360 2

horas .

Master your semester with Scribd Sean: X = duración de los cinescopios, en horas & The New York Times 3000 , XOnly ~ Normal ( Special offer for students: $4.99/month.

60 )


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Entonces: 2

a) P ( s

2360 )

F

9( 2360 )

2

2

F (

5 . 90 ) 0 . 25 60 2 Por lo tanto, esperamos que 25 de cada cien muestras, de tamaño 10, tengan una var 2

muestral inferior a 2360 horas .

s 2

b) P ( 2360

6768 )

F

F

2

9( 6768 ) 60 2

2

16 . 92

2

F

F (

9( 2360 ) 60 2

2

5 . 90 )

0 . 95

0 . 25 = 0.70

Por lo tanto, esperamos que 70 de cada cien muestras, de tamaño 10, tengan una var 2

2

muestral mayor de 2360 horas pero menor de 6768 horas . EJERCICIOS 4

1. Para una distribución Ji-cuadrada encuentre a)

2 0 02 5 .

cuando v = 15

You're 2 Reading a Preview b) 0 01 cuando v = 7

c)

.

2 0 05 .

cuando v = 24

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2. Para una distribución Ji-cuadrada encuentre los siguiente: a)

2 0 00 5 .

cuando v = 5

Download With Free Trial b) 20 05 cuando v = 19

3. Para una distribución Ji-cuadrada encuentre a) P (

2

2

2

2

)

c)

.

2

2 0 01 .

cuando v = 12

tal que

0. 99 cuando v = 4

Master your semester with Scribd ) 0.025 cuando v =19 b) P ( & The New York Times 2 2 ( 37 .65 c) P Only Special offer for students: $4.99/month. )

0.045 si v = 25


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3. Encuentre la Probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de

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1 Distribuciones Muestrales

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