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III UNIDAD:
DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE PROBABILIDAD
Población es el conjunto de todas las observaciones posibles que puede tomar una variable aleatoria X. Según esta definición, la distribución de la población es la distribución de la variable aleatoria X y la población será discreta o continua según sea X En muchos problemas es imposible o innecesario tener todos los datos de la población. Los datos de sólo una parte (muestra) de la población pueden dar la información información necesaria para generalizar acerca de los parámetros de la población que por lo general son desconocidas.
DISTRIBUCION MUESTRAL MUESTRAL DE LA MEDIA Sea X una población con distribución de probabilidad f ( X ) con media y varianza
2
Sea x1, , x2 , x3 , ..., xn una muestra aleatoria de tamaño n de X.
La media muestral es X
1
n
n
X . i
i 1
Media , Varianza y Desviación estándar Media:
X
Varianza:
2
X
2
X
n
(Población infinita)
Desviación Estándar:
x
2
n
(Población infinita)
N n n N 1
2
(Población finita)
x
n
N n N 1
(Población finita)
Para n suficientemente grande, por el teorema central del límite, la variable aleatoria X se 2
distribuye aproximadamente por una normal con media y varianza / n .
Notación:
2 X N , n
2 N n X N , n N 1 Por lo tanto la variable aleatoria Z tiene aproximadamente una distribución normal estándar:
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Z
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X
/
X
Z
n
n Población infinita
N n N 1
Población finita
EJEMPLOS: 1.
2.
3.
Se sabe que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cuerda se distribuye 2 normalmente con media de 3000 libras y una varianza de 100000 lbs . Si se selecciona una muestra aleatoria de 80 cuerdas; determine la probabilidad que en esa muestra: a) La resistencia media encontrada sea de por lo menos 2900 libras. b) La resistencia media sea a lo más 3050 libras. Un lote de 1000 cajas de cereal tiene un peso medio de doce onzas y una desviación estándar de 0,6 onzas. Se extrae una muestra al azar de 100 cajas sin reposición de esta población. ¿Cuál es la probabilidad que el peso medio sea: a) Menor que 11,90 onzas? b) Mayor que 11,95 onzas. c) Entre 11,90 y 11,95 onzas? Una refinería tiene monitores de apoyo para llevar un control continuo de los flujos de la refinería e impedir que los desperfectos de la maquinas interrumpan el proceso de refinado. Un monitor en particular tiene una vida promedio de 4300 horas con una desviación estándar de 730 horas. Además del monitor principal, la refinería ha instalado dos unidades de reserva, que son duplicados de la principal En caso de un funcionamiento defectuoso de uno de los monitores, el otro tomará automáticamente su lugar. La vida operativa de cada monitor es independiente de la de los otros. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un conjunto dado de monitores dure al menos 13 000 horas? b) 12 630 horas, como máximo?
DISTRIBION MUESTRAL PARA LA PROPORCION Se tiene una población Binomial (cualquier colección de objetos, donde cada uno puede ser clasificado como un éxito o un fracaso) con parámetro p de la cual se extrae una muestra aleatoria de n observaciones, evidentemente cada observación se clasifica como éxito o fracaso. Entonces, la proporción de éxitos,
p
X n X
, es una variable aleatoria que se denota por:
n
Los valores que toma la variable aleatoria,
X n
decir, el rango de esta variable aleatoria es: R
son números comprendidos entre 0 y 1. Es
p
1 2 3 0, , , ,...,1 n n n
Media , Varianza y Desviación estándar
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Media:
p
Varianza:
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p 2
p
pq
2
p
n
Desviación estándar:
p
pq N n
pq
n N 1
p
n
Población finita
pq N n
n N 1
Población infinita
Notación:
p N p;
pq
pq N n
n N 1
p N p;
n
Por lo tanto la variable aleatoria Z tiene aproximadamente una distribución normal
Z
p
p
Z
N (0,1)
p p
pq
pq N n
n
n N 1
EJEMPLOS: 1.
Se ha determinado que el 70% de los estudiantes de una universidad particular fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 100 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la proporción de la muestra de estudiantes que fuma cigarrillos sea menor que 0,6.
2.
Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricados por una firma es de 2% .Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 100 tenga: a) Menos del 1% de los componentes defectuosos. b) Más de 1% pero menos del 3% de partes defectuosas.
3.
En una población de 5 archivos, la proporción de las que tienen una parte incorrectamente llenada es p=1/5. Se va a elegir una muestra aleatoria de 3 archivos. Hallar la probabilidad que la proporción de la muestra sea
p 1/ 3 .
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS, MUESTRAS INDEPENDIENTES. En muchos casos se está interesado en la comparación de estadísticas de dos poblaciones y esta comparación puede hacerse sobre la base de dos muestras aleatorias independientes. Supongamos que tenemos dos poblaciones X e Y, la primera con media X y varianza 2
X
, y la segunda con media
Y
y varianza
2
Y .
Sea x la media de la muestra
aleatoria de tamaño n, extraída de la primera población e y la media de la muestra aleatoria de tamaño m, tomada de la segunda población. La distribución de la diferencia de dos media s muestrales x y , se llama distribución muestral de la
diferencia de dos medias.
Media , Varianza y Desviación estándar
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Media:
x y
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X Y 2
Varianza:
2
x y
X
n
2
Y
m 2
Desviación estándar: Notación:
x y
X
n
2
Y
m
2 2 X Y x y N X Y ; n m
Por lo tanto la variable aleatoria Z tiene aproximadamente una distribución normal N(0,1)
Z
x y X Y 2
X
n
2
Y
m
EJEMPLOS 1.
Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tienen un vida media de 6 años con una desviación estándar de 0,5 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 5 años con una desviación estándar de 0,4. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 50 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de a lo más 1,2 años más que la de una muestra aleatoria de 30 tubos de la compañía B.
2.
Se prueba el rendimiento en Km/L de dos tipos de gasolina, encontrándose que el primer tipo de gasolina se distribuye normalmente con una media igual a 5 Km/L una desviación estándar de 0,9Km/Ln y el segundo tipo con una media igual a 4Km/L y una desviación estándar de 0,7 Km/L; se prueba la primera gasolina en 45 autos y la segunda en 50 autos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de 0,3 Km/L que la segunda gasolina? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos
promedio se
encuentre entre 0,75 y 0,95 Km/L a favor de la gasolina 1?
3. Una muestra de tamaño 25 se toma de una población normal con media de 80 y desviación estándar de 5. Una segunda muestra de tamaño 36 se toma de una población normal con media 75 y desviación estándar 3. Hallar la probabilidad que la media de la muestra de las 36 observaciones es por lo menos 3,4 pero menos que 5,9..
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