1. Desarrolla los siguientes ítems luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a vectores y operaciones con vectores en R2 y R3. Presentar la solución con editor de ecuaciones. a) Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector:
Fig 1. Representación gráfica de un vector.
Escriba aquí la ecuación. Solución
c
a
b
•
•
h
9 12
Modulo
||⃗ ==++ ||⃗⃗| | =+ ⃗|| = ⃗ = √ | | = ∅ = ∅ = Dirección
∅− = =, ,=°´.´´ •
Sentido -+
++
--
+-
Sentido ++
b) Dados los siguientes vectores en forma polar •
•
||=2 ; =120° ||=3 ; =60°
Realice analíticamente, las operaciones siguientes: ●
●
5̅ 2
Solución:
||=2 ; =120° Componente en X:
=2cos120° = =1 2.-0,5
Componente en Y:
=2sen120° = =1,73 ⃗ =1;1,73 (2)(0,86)
Segundo vector:
||=3 ; =60° Componente en X:
=3cos60° = =1,5 (3)(0,5)
Componente en Y:
==3sen60° =2,59 ̅ =1,5;2,59 (3)(0,86)
⃗ =1;1,73 ̅ =1,5;2,59
= ((1,5-(-1)); (2,59-1,73)) = (2,5;0,86)
Segunda operación:
5̅ 2 ⃗2⃗ =2.1;1,73 2 =2;3,46 5⃗5⃗ =5. 1, 5 ;2, 5 9 =7,5;12,95 ●
Multiplicando cada vector:
●
5̅ 2 5̅ 2 5̅ 2
5̅ 2 7,5;12,952;3,46) =(7,5+212,953,46) =(
= (9,5;9,49)
c) Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores: = 2i + 9 j y = -6i – 4 j
̅
= 2i + 9 j cos =
( 2 )( −6 ) +( 9 )( −4 ) 22 +9 2 + −6 2 − 4 2
= −2,92
= 86´34,61´´
●
d) Encuentre la distancia entre los puntos: (3,-4, 7) ; (3,-4,9) A ( 3,-4, 7) B
( 3,-4,9)
AB
= (3 − 3) 2 + (−4, − (−4))2 + (9 − 7)2
AB
= (0) + (0) + (2)2
AB
= 4
AB
=2
e) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar. Producto Cruz ● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k
i j k 9 −8 i − −7 −8 j + −7 9 k uxv = −7 9 −8 = 9 3 −8 3 −8 9 −8 9 3 uxv = {−72 − (−24)} − {56 − ( −72)} + {−21 − 81} uxv = −48i − 128 j − 102k
Producto Escalar Calcular Módulos
u
= (−7)2 + (9)2 + (−8)2 = 13,92
v
= (9)2 + (3)2 + (−8)2 = 12, 40
Calcular ángulo
((−7)(9)) + ((9)(3)) + ((− 8)(−8))
cos =
( −7) 2 + (9)2 + (−8)2 (9)2
−63 + 27 + 64 49 + 81 + 64 81 + 9 + 64
cos = cos =
+ (3)2 + (− 8)2
28 (13,92)(12,40)
cos = 0,16 = cos
−1
(0,16)
= 8047´35,17´´
Resultado v .u
= (13,92)(12, 40)(0,16) = 27, 61
3.Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las componentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque.
Solución: A. Calculo de componentes de cada desplazamiento 5,33 1 movimiento:
= 4,13 cos(225) 1mov x = −2,92 1mov y = 4,13sen(225) 1mov y = −2, 92 1mov x
2 movimiento:
= 5, 26 cos(0) 2mov x = 5, 26 2mov x = 5, 26 sen(0) 2mov x = 0 2mov x
3 movimiento:
= 5, 94 cos(26) 3mov x = 5, 34 3mov y = 5,94sen(26) 3mov y = 2, 60 3mov x
B. Calculo de componentes del desplazamiento resultante res = 1mov + 2 mov + 3mov res = ( −2,92; −2,92) + (5, 26;0) + (5,33;2,60) res = (( −2,92 + 5,26 + 5,33);(−2,92 + 0 + 2,60)) res = (7, 67; −0,32)
C. Calculo de magnitud y sentido del desplazamiento resultante res
= (7,67)2 + (−0,32)2
res
= 7,68
Dirección: tan = =
Lop Lad
=
−0,3 7, 7
= −0, 039
tan−1 ( −0,039) = −213'52.23´´
Sentido: ++ cuadrante I.
D. Calculo del desplazamiento para retornar al punto inicial. Pinicial
= (−2,92; −2,92)
Pfin = (4,94;2,41) movnecesario = ( x; y) Pfin − Pinicial = movnecesario movnecesario = (7,7; −0,3) − (−2,92; −2,92) movnecesario = ((7,7 + 2,92);( −0,3 + 2,92)) movnecesario = (10,62;2,62)
Descripción del ejercicio 4 a) Exprese la matriz A como una matriz triangular superior haciendo uso únicamente de operaciones elementales:
A=
2 1 5 2 0 5 2 0 0 2 0 0
1 3
−2 1 5 2 −2 1 5 2 −9 2 1 5 2 0
(215 213 745)
4
−1 F 2 − 1 XF1 → F 2 2 2 7 4 −5 5 F 3 − XF1 → F 3 3 X 2 2 7 4 −9 9 3 X F 3 − XF 2 → F 3 5 5 −3 4 3 −3 5 X
Compruebe sus respuestas en Geogebra.
b. Calcule el determinante de las siguientes matrices a través de ley de sarrus
A=
B=
C=
MATRIZ A No se puede resolver la matriz por el método de sarrus, para sacar el determinante solo matrices de 3x3 Con otro método el determinante seria -480
MATRIZ B
1 0 3 1 0 3 1 0 0 1 4 = 0 1 4 0 1 2 1 0 2 1 0 2 1 1 1 0 + 0 4 2 + 3 0 1 − 2 1 3 − 1 4 1 − 0 0 0 = −10 GEOGEBRA
MATRIZ C
7 9 −5 7 9 −5 7 9 9 3 1 = 9 3 1 9 3 −8 −8 10 −8 −8 10 −8 −8 = 7 3 10 + 9 1 −8 + −5 9 −8 − −8 3 −5 − −8 1 7 − 10 9 9 = −376
Y realice las siguientes operaciones si es posible: B*C a) 1 0 3 7 9 −5 −17 −15 25 0 1 4 X 9 3 1 = −23 −29 41 2 1 0 −8 −8 10 23 21 −9
b)
DET(C)*DET(A)*B 1 0 3
1 4 2 1 0 −1128 0 −376 = 0 −376 −1504 −752 −376 0
DET (C ) = −376 X 0
Si se calculan con todos los determinantes, incluyendo el que no se pude calcular con sarrus
c)
3*A
-6
3
x
=
-30
21
0
0
-15
12
-1
0
-30
0
0
0
0
0
18
c) Compruebe todas sus respuestas en Geogebra
Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 3 Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 4, resuelve el siguiente problema: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de
bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C , contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C , obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos. Solución: asdasa AasdaBasdasC man 40
120 150 50 26600 r oq 160 120 60 x 80 = 25600 cam 80 120 80 100 21600
En kilogramos man=26,6, roq=25,6, cam=21,6
Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 6 Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C : 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg. ●
Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona ( A, B, C ), por Gauss Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula ASDAPA AM AS N
A 2 1 6 B 2 2 4 C 1 2 3 INVERSA
.
2 2 1 1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 2 1
1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 0 1 2 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0
0 1 0
61
−2 1 3
0
1
0
1
0
−1
1
1
−1
0 x 2 f 2 − ( −2) xf 3 → 1
3
2
2
1 2 −1 −2 3 1 1 3 −1
0
2
−1 0 3 1 1 3 −1 0 3 −1 0 3 1 1 3 6
2
4
3
0
0
3
1 2
0
1 x 2 f 1 / 2 → f 1 0 1 1 3 0 0 2 4 0 1 0 x − 2 f 2 − 2 xf 1 → f 2 3 0 0 1 1 3 0 0 2 1 0 x − 1 f 3 − 1xf 1 → f 3 −2 −1 3 0 0 1 1 3 0 0 2 3 −3 1 0 x f 3− xf 2 → f 3 −2 −1 2 2 −1 0 0 1 2 1 3 0 0 2 1 f 3 / 3 x → f 3 1 0 x −2 −1 3 3 −3 1 1 2
0 4 3 0
f 2
3
0
0
−1 2 3 2 0
−1 2 3 2 0
−1 2
−1 3 −1 ( −1) = 3 1 3
2 x ( −3) f 1 − (3) xf 3 → 3 1
f 1
3
−1 2 1 −1 ) xf 2 → f 1 x f 1− ( 3 2 2 1 3 −4 3 2 3 1 3 3 −4 2 3 2 0 3 1 −1 2 3
2 A = 2 1 A
( −1)
=
1
6
2
4 = 6
2 1
A
3
XC
( T )
=
1
A
X
C11 C12 C 13
C21
C 31
C 22
C 32
C23
C 33
2 1 6 (1+1) C11 = ( −1) x 2 2 4 = 1x (2 x3 − 4 x 2) = −2 1 2 3 2 1 6 = −1x (2 x3 − 4 x1) = −1x 2 = − (1+ 2 ) C12 = ( −1) x 2 2 2 4 1 2 3 2 1 6 (1+ 3 ) C13 = ( −1) x 2 2 4 = 1 x (2 x 2 − 2 x 1) = 2 1 2 3 2 1 6 ( 2 +1) 2 4 = −1x (1x3 − 6 x 2) = −1x ( −9) = 9 C21 = ( −1) x 2 1 2 3 2 1 6 ( 2+ 2) C22 = ( −1) x 2 2 4 = 1x ( 2 x3 − 6 x1) = 0 1 2 3 2 1 6 = −1x (2 x 2 − 1x1) = −1x3 = − ( 2+ 3) C23 = ( −1) x 2 3 2 4 1 2 3 2 1 6 ( 3+1) C31 = ( −1) x 2 2 4 = 1 x (1x 4 − 6 x 2) = −8 1 2 3 2 1 6 ( 3+2 ) 2 4 = −1x (2 x 4 − 6 x 2) = −1x ( −4) = 4 C32 = ( −1) x 2 1 2 3 2 1 6 ( 3+ 3) 2 4 = 1x (2 x 2 − 1x 2) = 2 C33 = ( −1) x 2 1 2 3 −4 3 −1 3 2 3 − − 2 9 8 1 1 2 −1 ( −1) ( T ) A xC x −2 = = = 0 4 0 3 A 6 2 −3 2 3 −1 1 1 2 3 3
