Escuela de Ingenieros de Bilbao
Departamento Matemática Aplicada
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES REALES 1.- Estudiar la continuidad en el origen de la función: R xy | x 2 + y 2 | f ( x, y) = S | 0 | T
El domino de esta función es todo el plano
si ( x, y ) ≠ (0,0) si ( x, y ) = (0,0)
2
.
Para estudiar la continuidad en el origen, calculamos primero los límites direccionales – según rectas- en el origen: a.1)
lim f ( x, y ) = lim f ( x, mx) = lim
( x , y ) → ( 0, 0 )
x→0
y =mx
= lim
m | x |2
x → 0
= lim x→ 0
| x | 1 + m existir, debe ser 0. a.2)
2
x→ 0
m
1+ m
2
mx 2 x 2 + m 2 x 2
ρ → 0
ρ → 0
θ∈[ 0 ,2 π )
= lim+ ρ →0
θ∈[ 0 ,2 π )
ρ 2 sin θ cos θ ρ
2
= lim+
x→0
| x | 1 + m2
=
| x |= 0 . Por lo tanto, el límite doble, en caso de
lim f ( x, y ) = lim+ f ( ρ cosθ , ρ sin θ ) = lim+
( x , y ) →( 0, 0 )
= lim
mx 2
θ∈[ 0 ,2 π )
ρ 2 sin θ cos θ
ρ →0
θ ∈[ 0 ,2 π )
2
ρ
ρ 2 sin θ cos θ ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ
sin θ cos θ = 0 . = lim+ ρ si ρ → 0
θ∈[ 0 ,2 π )
Por lo tanto, el límite doble es 0. a.3) f (0, 0) = 0
Por lo tanto, la función es continua en el origen de coordenadas.
2.- Estudiar la continuidad en el origen de la función: R xy | x 2 + y 2 | f ( x, y) = S | 0 | T
23
si ( x, y ) ≠ (0,0) si ( x, y ) = (0,0)
=
Escuela de Ingenieros de Bilbao
Departamento Matemática Aplicada
El domino de esta función es todo el plano
2
.
Para estudiar la continuidad en el origen, calculamos primero los límites direccionales – según rectas- en el origen lim f ( x, y ) = li lim f ( x, mx) = li l im
( x , y ) →( 0, 0 )
x →0
x→ 0
mx 2 x 2 + m 2 x 2
m
= lim x→0
= ϕ (m) . Es decir, aunque
1+ m existen límites direccionales para cada recta que pasa por el origen, sin embargo, son diferentes porque dependen de la pendiente. Por lo tanto, no existe el límite doble y por lo tanto, la función NO es continua en el origen de coordenadas. Es una discontinuidad inevitable.. y =mx
3.- Sea f la la aplicación de ℜ2 en
2
definida por:
R 3 xy | x 2 − y 2 | f ( x, y) = S | 2 | T
si ( x, y) ≠ (0,0 ) si ( x, y) = (0,0 )
a) Dibujar el conjunto de puntos para los cuales la función no está definida. b) Estudiar la continuidad de dicha función en el origen. a) La función no está definida en todos aquéllos puntos en donde se cumpla que 2 2 2 2 x − y = 0 ⇒ x = y ⇒| x | =| y | , que son las dos rectas bisectrices. Dicho de otra manera: dom f = {( x, y ) ∈ 2 / x 2 − y 2 ≠ 0} = {( x, y) ∈ 2 / x ≠ ± y}
FALTA DIBUJO b.1) f (0, 0) = 2 3mx 2 3m b.2) lim f ( x, y ) = lim f ( x, mx) = lim 2 = lim = ϕ ( m) Por lo tanto, al 2 2 x→0 x→0 x − m x x→0 1 − m 2 ( x , y ) →( 0, 0 ) ≠ ±1 ≠±1 ≠±1 = y mx m≠±1
m
m
m
ser dependiente de la pendiente cada límite direccional, se deduce que no existe el límite doble en el origen y por lo tanto, la función NO es continua en ese punto. Es una discontinuidad inevitable.
4.- Se considera la aplicación de ℜ2 en
definida por:
24
Escuela de Ingenieros de Bilbao
Departamento Matemática Aplicada
R x 2 y 2 | x 2 y 2 + ( x − y) 2 | f ( x, y) = S | 0 | T
si ( x, y) ≠ ( 0,0) si ( x, y) = ( 0,0)
Estudiar su continuidad en ℜ2 . En primer lugar vamos a estudiar su dominio: dom f = {( x, y) ∈ 2 / x 2 y 2 + ( x − y) 2 ≠ 0 excluyendo ( x, y) = (0, 0)} ⎧ ⎧ x = 0 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ x y = 0 ⇒ ⎨ó 2 2 2 x y + ( x − y ) = 0 ⇒ ⎨ ⎪ y = 0 ⇒ x = y = 0 Es decir, sólo se cumple la ⎩ ⎪ ⎪⎩ x − y = 0 ⇒ x = y ecuación anterior en el origen de coordenadas.. En consecuencia, la función está definida en todos los puntos del plano. Continuidad en el origen: a) f (0, 0) = 0 b)
lim f ( x, y ) = li lim f ( x, mx) = li l im
( x , y ) →( 0, 0 )
x →0
x→0
m2 x4 m2 x 4 + ( x 2 − m 2 x2 )
= lim x→0
m2 x 2 m2 x2 + (1 − m2 )
⎧ m2 x 2 m2 x 2 ⎪Si m ≠ 1 ⇒ xlili→m0 m 2 x 2 + (1 − m 2 ) = lxi→m0 1 − m2 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ m2 x 2 m2 x 2 ⎪Si m = 1 ⇒ li lim = lim 2 2 = 1 ⎪⎩ x →0 m 2 x 2 + (1 − m 2 ) x→0 m x Es decir, hemos encontrado dos caminos que tienen límites direccionales diferentes. por lo tanto, no existe el límite doble lim f ( x, y ) y la función NO es continua. en el ( x , y ) →( 0 , 0 )
origen. En el resto de los puntos del plano, la función es continua por composición de funciones continuas.. En resumen, la función es continua en 5.- Estudiar la continuidad en (0,0) de la función:
R L(1 + x ) si 1 + x > 0 y y ≠ 0 | e y − 1 | f ( x, y) = S | 1 si y = 0 |T 6.- Estudiar la continuidad de la función: f ( x , y ) =
x 2 + y 2 x 3 + y 3
25
Escuela de Ingenieros de Bilbao
Departamento Matemática Aplicada
7.- Estudiar la continuidad de la función: f ( x , y ) = x ⋅ cos( y / x) + y ⋅ cos( x / y)
¿Cómo habría que definirla para hacerla continua en los puntos en que no está definida? 8.- Estudiar la continuidad en el origen de la función:
R x 2 − y 2 | xy ⋅ x 2 + y 2 | f ( x, y) = S | 0 | T
26
si ( x, y) ≠ (0,0) si ( x, y) = (0,0)
