Ejercicios Resueltos de Limites de Funciones 2c2ba Bach Ciencias

I.E.S. HUERTA ALTA. DPTO. MATEMÁTICAS

EJERCICIOS RESUELTOS DE ANALISIS. 2º BACH CIENCIAS

LÍMITES DE UNA FUNCIÓN 1)

Halla los siguientes límites:  3x 2 x3 a) lím  − 2 x→ + ∞ x + 1 x + 

  1

2x − 3

b) lím

x→ − ∞

3x 2 + 1

Solución:  3x 2 x3 a) lím  − 2 x→ + ∞ x + 1 x + 

  3 x 2 ( x 2 + 1) − x 3 ( x + 1)  3x 4 + 3x 2 − x 4 − x 3 = lím =  = xlím   2 → +∞ 1 ( x + 1) ( x + 1) x3 + x + x2 + 1   x→ + ∞ = lím

x→ + ∞

2x − 3

b) lím

x→ − ∞

2)

3x + 1 2

2x 4 − x 3 + 3 x 2 = +∞ x3 + x2 + x + 1

− 2x − 3

= lím

x→ + ∞

3x + 1 2

=

−2 3

=

− 2 3 3

Calcula los límites: 3

a) lím  3 x 2 − 1 − 2 x  x → + ∞  

b) lím

2x 5 − 1

x→ − ∞

x4 + 2

Solución:  3 x 2 − 1 − 2 x   3 x 2 − 1 − 2 x  2 2    = lím 3 x − 1 − 4 x = a) lím  3 x − 1 − 2 x  = lím   x → + ∞ x → + ∞  x→ + ∞ 3x 2 − 1 + 2x 3x 2 − 1 + 2x 2

= lím

x→ + ∞

3

b) lím

x→ − ∞

3)

2x 5 − 1 x4 + 2

= lím

3

− x2 − 1 3 x 2 − 1 + 2x

− 2x 5 − 1

x→ + ∞

x4 + 2

= −∞

= 0

Calcula los siguientes límites: a) lím

x→ + ∞

3x + 2

b) lím  x 2 − 3 x + 2 x  x → − ∞  

5 x − 3x + 1 2

Solución: a) lím

x→ + ∞

3x + 2 5x − 3x + 1 2

=

3 5

=

3 5 5

 x 2 + 3 x − 2 x   x 2 + 3 x + 2 x     = 2 2     b) lím x − 3 x + 2 x = lím x + 3 x − 2 x = lím   x → + ∞   x → + ∞ x → − ∞  2 x + 3x + 2x

1


= lím

x→ + ∞

4)


x 2 + 3x − 4x 2

= lím

x→ + ∞

x 2 + 3 x + 2x

− 3x 2 + 3x x 2 + 3x + 2x

= −∞

Obtén el valor de los siguientes límites: a) lím

 x2 − 1 x3 b) lím  − 2 x→ + ∞  x+ 2 x +

3− 2 x4 + 1

x→ − ∞

2x 4 + 1

  1

Solución: a) lím

x→ − ∞

3 − 2 x4 + 1

3 − 2 x4 + 1

= lím

x→ + ∞

2x + 1 4

 x2 − 1 x3 b) lím  − 2 x→ + ∞  x+ 2 x +

2x + 1

− 2 2

= − 2

 ( x 2 − 1) ( x 2 + 1) − x 3 ( x + 2) x 4 − 1− x 4 − 2x 3 = lím 3 =  = xlím 2 → +∞ x→ + ∞ x + x + 2x 2 + 2 1 ( x + 2) ( x − 1) = lím

x→ + ∞

5)

=

4

− 2x 3 − 1 = −2 x + 2x 2 + x + 2 3

Halla los límites: a) lím  5 x 2 − 2 x − 3 x   x → + ∞ 

b) lím

x 2 + 3x − 1

x→ − ∞

x 6 − 2x

Solución:  5 x 2 − 2 x − 3 x   5 x 2 − 2 x + 3 x    = 2   a) lím 5 x − 2 x − 3 x = lím  x → + ∞  2  x → + ∞ 5 x − 2x + 3x

= lím

x→ + ∞

b) lím

x→ − ∞

6)

x 2 + 3x − 1 x 6 − 2x

5x 2 − 2x − 9x 2 5x 2 − 2x + 3x

x 2 − 3x − 1

= lím

x→ + ∞

x 6 + 2x

= lím

x→ + ∞

− 4x 2 − 2x 5x 2 − 2x + 3x

= −∞

= 0

Halla los límites:  x2 + 1  a) lím  2 x→ + ∞ x − 2   

2x

 4x 2 − 7   b) lím  x→ − ∞ 3x 2 + 9x   

x

Solución:  x2 + 1  a) lím  2 x→ + ∞ x − 2   

2x

= e

 x2 + 1  lím  − 1 · 2 x  x2 − 2   

x→ + ∞

= e

 x 2 + 1− x 2 + 2   · 2x lím    x2 − 2  

x→ + ∞

2

= e

lím

x→ + ∞

6x x2 − 2

= e0 = 1


EJERCICIOS RESUELTOS DE ANALISIS. 2º BACH CIENCIAS −x

x

 4x 2 − 7   4x 2 − 7     b) lím  = lím x→ − ∞ 3x 2 + 9x  x→ + ∞  3x 2 − 9x     

7)

 4 =    3

−∞

 3 =    4

+∞

= 0

Calcula los siguientes límites:  2x − 1  a) lím   x→ − ∞ 3x + 2  

x2

x+ 1

 2x − 2  b) lím   x→ + ∞ 3 + 2x  

Solución: x2

 2x − 1  a) lím   x→ − ∞ 3x + 2  

x2

 2x − 2  lím  − 1 · ( x + 1) 

x+ 1

 2x − 2  b) lím   x→ + ∞ 3 + 2x  

8)

 − 2x − 1  = lím   x→ + ∞ − 3x + 2  

= e x → + ∞  3+ 2 x

 2 =    3

+∞

= 0

 2 x − 2− 3 − 2 x  lím   · ( x + 1) 3+ 2 x 

= e x→ + ∞ 

− 5x− 5 3+ 2 x

lím

= e x→ + ∞

= e

−5 2

Calcula: 1  a) lím  2 +  x→ − ∞ x  

2x− 3

 3x 2 b) lím  x→ + ∞ 2 + 3x 2 

   

x+ 1 2

Solución: 1  a) lím  2 +  x→ − ∞ x 

2x− 3

 3x 2 b) lím  x→ + ∞ 2 + 3x 2 

9)

   

1  = lím  2 −  x→ + ∞ x 

x+ 1 2

= e

− 2x− 3

= 2− ∞ = 0

 3x2   x+ 1 lím  − 1 ·    2 + 3 x 2   2   

x→ + ∞

= e

 3 x 2 − 2− 3 x 2 lím   2+ 3 x 2 

x→ + ∞

  x+ 1  ·    2  

lím

− 2x− 2 2

= e x → + ∞ 4+ 6 x = e 0 = 1

Halla:  5x − 2  a) lím   x→ + ∞ 4 + 5x  

2x 3

 4x − 2  b) lím   x→ − ∞ 3x + 5  

x2− 1

Solución:  5x − 2  a) lím   x → + ∞ 4 + 5x    4x − 2  b) lím   x→ − ∞ 3 x + 5  

2x 3

 5x− 2  2x lím  − 1 ·  3

= e x → + ∞  4+ 5 x

x2 − 1

 − 4x − 2  = lím   x→ + ∞ − 3 x + 5  

 5 x − 2− 4 − 5 x  2 x lím   · 3 4+ 5 x 

= e x→ + ∞ 

x2− 1

 4 =    3

+∞

= +∞

10) Calcula estos límites:  2 − 3x  a) lím   x→ − ∞ − 2x + 1  

−x 2

 1+ 2x  b) lím   x → + ∞ 2x + 5  

2x2 − 1

3

lím

− 12 x

− 12

= e x → + ∞ 12+ 15 x = e 15 = e

−4 5



Solución:  2 − 3x  a) lím   x → − ∞ − 2x + 1    1+ 2x  b) lím   x→ + ∞ 2x + 5  

−x 2

x

 2 + 3x  2  3  = lím   =   x → + ∞ 2x + 1    2

2x2 − 1

= e

(

)

 1+ 2 x  lím  − 1 · 2 x 2 − 1  2x+ 5 

x→ + ∞

+∞

= e

= +∞

(

)

 1+ 2 x − 2 x − 5  lím   · 2 x 2 − 1 2x+ 5  

x→ + ∞

= e

lím

x→ + ∞

− 8x2 + 4 2x + 5

= e− ∞ = 0

11) Halla el valor del siguiente límite: 2 x 2 + x − 10 x→ 2 x 3 − 3x 2 + 4

lím

Solución:

( 2x + 5) ( x − 2) = lím 2x + 5 = 9 2x 2 + x − 10 = lím 2 x→ 2 x 3 − 3x 2 + 4 x→ 2 ( x → 2 ( x + 1) ( x − 2) ( 0) x + 1) ( x − 2)

lím

Hallamos los límites laterales: lím

x → 2−

2x + 5

( x + 1) ( x − 2)

= −∞ ;

lím

x → 2+

2x + 5

( x + 1) ( x − 2)

= +∞

12) Halla el límite: x + 1  2x lím  2 − x→ 3 x − 9 x − 3  

Solución:

(

)

− x 2 − 2 x − 3 − 18 x + 1 2 x − ( x + 1) ( x + 3 ) 2x − x 2 + 4 x + 3  2x = lím = lím  2 − = lím = lím = x → 3 ( x + 3) ( x − 3 ) x→ 3 x − 9 x→ 3 ( x + 3 ) ( x − 3) x − 3  x → 3 ( x + 3 ) ( x − 3) (0 ) 

Hallamos los límites laterales: lím−

x→ 3

− x 2 − 2x − 3 = +∞ ; ( x + 3) ( x − 3)

lím+

x→ 3

− x 2 − 2x − 3 = −∞ ( x + 3) ( x − 3)

13) Calcula el límite: 3x 2 + x − 2 x→ − 1 x 3 + x 2 − x − 1 lím

Solución:

( x + 1) ( 3 x − 2) = lím 3 x − 2 = − 5 3x 2 + x − 2 = lím 3 2 2 x→ − 1 x + x − x − 1 x→ − 1 ( x + 1) ( x − 1) x → − 1 ( x + 1) ( x − 1) (0) lím

4



Hallamos los límites laterales: lím

x → − 1−

3x − 2 = −∞ ; ( x + 1) ( x − 1)

lím

x → − 1+

3x − 2 = +∞ ( x + 1) ( x − 1)

14) Calcula el siguiente límite: 2x + 4 − 2

lím

x + 1− 1

x→ 0

Solución: 2x + 4 − 2

lím

x + 1− 1

x→ 0

= lím

x→ 0

= lím

x→ 0

( 2 x + 4 − 2) ( 2 x + 4 + 2) ( x + 1 + 1) ( x + 1 − 1) ( x + 1 + 1) ( 2 x + 4 + 2) 2 x ( x + 1 + 1) x ( 2 x + 4 + 2)

= lím

x→ 0

2( x + 1 + 1) 2x + 4 + 2

=

= lím

x→ 0

( 2 x + 4 − 4) ( x + 1 + 1) ( x + 1 − 1) ( 2 x + 4 + 2)

=

4 =1 4

15) Calcula el siguiente límite: 2x + 4 − 2

lím

x + 1− 1

x→ 0

Solución: 2x + 4 − 2

lím

x + 1− 1

x→ 0

= lím

x→ 0

= lím

x→ 0

( 2 x + 4 − 2) ( 2 x + 4 + 2) ( x + 1 + 1) ( x + 1 − 1) ( x + 1 + 1) ( 2 x + 4 + 2) 2 x ( x + 1 + 1) x ( 2 x + 4 + 2)

= lím

x→ 0

2( x + 1 + 1) 2x + 4 + 2

=

= lím

x→ 0

( 2 x + 4 − 4) ( x + 1 + 1) ( x + 1 − 1) ( 2 x + 4 + 2)

4 =1 4

16) Calcula: lím

x→ 1

3

2x 3 − 3x 2 + 1 3x 3 − 8x 2 + 7x − 2

Solución:

( 2x + 1) ( x − 1) = lím 3 2 x + 1 = 2x 3 − 3 x 2 + 1 = lím 3 3 x 3 − 8 x 2 + 7 x − 2 x → 1 ( 3 x − 2) ( x − 1) 2 x → 1 3 x − 2 2

lím

x→ 1

3

17) Calcula el siguiente límite:  x 2 − 2x + 3   lím   x→ 1 x+1  

1 x− 1

Solución: 5

3

3

=

I.E.S. HUERTA ALTA. DPTO. MATEMÁTICAS 1 x− 1

 x 2 − 2x + 3   lím  x→ 1 x + 1   lím

( x − 2 ) · ( x − 1)

lím

= e


 x2 − 2x+ 3  1 lím  − 1 ·  x− 1 x+ 1  

x→ 1 

x− 2

= e

 x 2 − 2 x + 3− x − 1   · 1 lím   x− 1 x+ 1  

x→ 1 

= e

x2 − 3x+ 2 1 · x+ 1 x− 1

lím

x→ 1

=

−1

= e x → 1 ( x + 1) · ( x − 1) = e x → 1 x + 1 = e 2

18) Halla el límite:  x 2 − 3x + lím x→ 0  5x + 1

1   

3 x

Solución:  x 2 − 3x + lím  x→ 0  5x + 1

1   

3 x

= e

 x2 − 3x+ 1  3 lím  − 1 ·    5x+ 1  x

x→ 0

lím

= e x→ 0

3( x − 8 ) 5x+ 1

= e

 x 2 − 3 x + 1− 5 x − 1  3  · lím    x 5x+ 1  

x→ 0

lím

= e x→ 0

x2− 8x 3 · 5x+ 1 x

3x( x− 8)

lím = e x → 0 x ( 5 x + 1) =

= e − 24

19) Calcula:  2x 2 − x + 1  lím  x→ 3  4x + 4 

2x x− 3

Solución:  2x 2 − x + lím  x→ 3  4x + 4

1   

2x x− 3

= e

 2x2 − x+ 1  2x lím  − 1 ·  4 x+ 4  x− 3  

x→ 3

( 2 x + 1) ( x − 3 ) ( 2 x )

lím = e x→ 3 ( 4x+ 4) ( x− 3)

= e

 2 x 2 − x + 1− 4 x − 4  2 x  · lím    x− 3 4x+ 4  

x→ 3

( 2 x + 1) ( 2 x )

lím = e x→ 3 ( 4 x+ 4)

42

= e

lím

x→ 3

2x2 − 5x− 3 2x · 4x+ 4 x− 3

=

21

= e 16 = e 8

20) Halla el siguiente límite:  3x − 2  lím  2  x→ 2  x − 2x + 4 

x x− 2

Solución:  3x − 2  lím  2  x→ 2  x − 2x + 4 

x x− 2

= e

= e

 3x− 2  x lím  − 1 · x→ 2  x2 − 2x + 4  x − 2

lím

x→ 2

= e

− x ( x − 3 ) ( x − 2) ( x 2 − 2 x + 4) ( x − 2)

= e

 3 x − 2− x 2 + 2 x − 4   · x lím    x− 2 x2 − 2x+ 4  

x→ 2

lím

x→ 2

− x( x − 3) ( x2 − 2 x + 4)

21) Calcula el límite:

6

2

1

= e4 = e2

= e

lím

x→ 2

( − x 2 + 5 x − 6) x ( x 2 − 2 x + 4 ) ( x − 2)

=


 2x + 4  lím  2  x→ 1  x − x + 6


3x x− 1

Solución:  2x + 4  lím  2  x→ 1  x − x + 6

3x x− 1

= e

= e

 lím 

x→ 1 

lím

x→ 1

2x+ 4 x2 − x+ 6

 3x − 1 ·  x− 1

− 3 x ( x − 2 ) ( x − 1) ( x 2 − x + 6 ) ( x − 1)

= e

 2 x + 4− x 2 + x − 6  3 x  · lím   x− 1 x2 − x+ 6  

x→ 1 

lím

= e x→ 1

− 3 x ( x − 2) x2 − x+ 6

7

3

1

= e6 = e2

= e

lím

x→ 1

( − x 2 + 3 x − 2) ( 3 x ) ( x 2 − x + 6 ) ( x − 1)

=

Ejercicios Resueltos de Limites de Funciones 2c2ba Bach Ciencias

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