Guía Unidad I: “SUCESIONES Y LIMITES”. EJERCICIOS RESUELTOS DE SUCESIONES
Una sucesión puede darse por comprensión o extensión: 1.
Sea la forma de anotación por comprensión de una sucesión: n +1 n f ( n ) = n ∈ N , f ( n ) ∈Q , + n n +1
Solución: esta misma función sería por extensión como
5 n =1 → a = 2 13 = → = n a 2 6 25 n=3 →a = 12 1
{ f ( n )} = , ,
5 13 25
2
6
12
,...
pues
2
3
Determine: a. a 4
b.
a6
También También se puede definir una sucesión como fórmula incluso con 2 a la vez. 2.
Sea
a 2 n −1
=1
a 2n
= 2 n2 .
a 1 = 1 n = 1⇒ a 2 = 2
a3 = 1 n =2⇒ a4 = 8
a5 =1 n = 3⇒ a6 = 18
a7 =1 n =4⇒ a8 = 32
Determinar los valores de la sucesión.
Determine para a. n ! b. n".
#as sucesiones pueden comportarse de variadas formas, como se indican a continuación:
3.
Sea la a1 = a 2 = 1 sucesión.
sucesión definida por las si$uientes fórmulas: ∀n ≥ 2 . Determinar los % primeros términos de la a n +1 = a n + a n −1
Solución:
= 2 ⇒ a3 = a2 + a1 = 2 n = 3 ⇒ a4 = a3 + a 2 = 3 n = 4 ⇒ a5 = a 4 + a 3 = 5 n = 5 ⇒ a 6 = a5 + a 4 = 8 n = 6 ⇒ a 7 = a 6 + a5 = 13 n = 7 ⇒ a8 = a 7 + a 6 = 21 n
&ota: esta sucesión es conocida como la sucesión de 'ibonacci, o herencia de los conejos.
4.
(scriba los ) primeros términos de la sucesión cu*o término $eneral es +p:
5.
2n
+1
n = 1 , 2 , 3 , 4 2n + 1 3 5 7 9
ompruebe -ue los ) primeros términos términos de la sucesión dado su término $eneral son: 2n − 1 1 3 5 , 7 = a. +p: , , 2 4 9 16 2 ( n + 1) b.
c.
d.
.
n
2 n −1 2 = n + 1 ( −1)
n( n
+p:
− 1 , 1 ,− 1 , 1 2 6 12 20
+p:
x 2 2
n
+ 1)
x n +1 (n
1 , 2 , 4 , 8 2 5 10 17
+p:
+ 1)!
=
=
Determine la conver$encia o diver$encia de la serie infinita
Solución:
,
1 2
x 3 x 4 x 5 , , 6 24 120
−
3 22
+
5 23
−
7 24
+ ...
-
&ote -ue los numeradores ,/,!,%,0 constitu*en una serie aritmética cu*o primer término es * cu*a diferencia com1n es 2, por ello el término término nésimo es 2n.
an
2n − 1
= ( − 1) n +1 ⋅
-
el térmi érmino no $ene $enerral es
-
los si$nos son alternados , por ello se aplica la prueba de series alternantes, -ue se
a cumple para nlim →∞ n
ρ
-
!.
ρ
=−
= nlim →∞
1 2
=0
a n +1
*
2n
<
an
2( n + 1) − 1 n +1 a n +1 2 − = nlim →∞ 2n − 1 an 2n 2n + 1 − = nlim → ∞ 2( 2 n − 1) 2 = − 1 = nlim → ∞ 4 2
<1
de modo -ue la serie es absolutamente conver$ente.
Determine la conver$encia o diver$encia de la serie infinita:
Solución:
= ( − 1) n +1 ⋅
término $eneral es
an
aplicando límite
lim a n
n→∞
=
2 3
− 3 + 4 − 5 + ... 5
7
9
n +1 2n + 1
1 2
así -ue la serie es diver$ente.
Determine la conver$encia o diver$encia de la serie infinita dada * el límite de la 1 1 1 + − + ... sucesión para 1 − 3 5 7 Solución: 1 a n = ( −1) n +1 ⋅ tér término mino $en $ener eral al -ue -ue cor corre resp spo onde nde es es 2n − 1 ".
aplicando límite para toda n, así -ue la serie alternante es conver$ente,
lim a n
n →∞
=0
*
a n +1
<
an
aplicando la prueba de la conver$encia absoluta
ρ
= nlim →∞
ρ
=1
1 − 2 ( n 1 ) 1 + − a n +1 = nlim →∞ 1 an 2 n 1 − ( 2n − 1) 12 − = − 1 = nlim 1 →∞ (2n + 1) 2
de modo -ue falla la prueba de la razón para la conver$encia absoluta,
1 por lo tanto es diver$ente como serie positiva por-ue
#.
( 2n − 1)
1
Determine la conver$encia o diver$encia de la serie infinita
9
1
>1 n
2
+
2! 9
Solución:
an
el término $eneral es
=
n!
9n lim a n = ∞
pero
n→∞
por lo tanto la serie es diver$ente. 1$.
Determine la conver$encia o diver$encia de la serie infinita 2
3
4
3 3 3 + 2 + 3 + 4 + .... 4 4 4 4 3
Solución: n
el término $eneral -ue corresponde es
aplicando límite poniendo a prueba la conver$encia absoluta absoluta
an
3 = n 4
lim a n
n →∞
=0
2
+
3! 9
3
+
4! 94
+ ...
n +1 3 (n + 1) a n +1 4 ρ = lim = lim n n →∞ a n →∞ 3 n n 4 3 n + 1 3 = nlim = →∞ 4 n 4 ρ = 0 < 1
así -ue la serie es conver$ente. 11.
Determine la conver$encia o la diver$encia de la serie infinita 5 2 53 54 + + + .... 5+ 2! 3! 4!
Solución: término $eneral -ue corresponde es
an
n
n!
lim an
aplicando límite
adem3s
=
5
n→∞
5n + 1 (n + 1)! = 5n n !
ρ
=
ρ
= 0 <1
lim
n →∞
lim
n→∞
5 n
+1
=0
=
0
así -ue la serie es conver$ente. 12.
4Depreciación5 Una empresa instala una m3-uina con un costo de %66 US. (l valor de la m3-uina se deprecia anualmente en !6US * su valor de desec7o es de 266US. 8u3l es la vida 1til de la m3-uina9 Solución:
-
-
estamos interesados en 7allar el n1mero de aos después de los cu3les el valor de la m3-uina se 7a reducido a un valor de desec7o de 266US. dado -ue el valor de la m3-uina se deprecia !6US cada ao, su valor de término del primer ao, el se$undo, el tercero, etc., ser3 %66!6,
%6624!65,
%66/4!65,0
o bien !!6,
)66,
2!6,0.
esta sucesión de valores forma una ;< con primer término a!6 * su diferencia com1n d)66!!6!6
en consecuencia, el nésimo término es T n
esta cantidad
T n
= a + ( n − 1)d = 1550 + (n − 1)( −150) = 1700 − 150n
da el valor de la m3-uina en dólares al término del nésimo ao.
pero interesa el valor de n cuando se 7a*a reducido al valor de desec7o, puesto -ue esto da la vida 1til de la m3-uina. T n
así -ue 7acemos
= 200 * despe=amos n
1700 − 150n
= 200 n = 10
es decir, la vida 1til de la m3-uina es de 6 aos.
13.
#os pa$os mensuales -ue un traba=ador efect1a al banco por un préstamo forman una ;<. Si sus pa$os sexto * décimo son de >/).!66 * >//./66, respectivamente, 8De cu3nto ser3 su décimo -uinto pa$o al banco9 Solución: sea a el primer término * d la diferencia com1n de los pa$os mensuales de la ;<, entonces los pa$os sucesivos son a, a
+ d ,
a
+ 2d ,...
dado -ue los pa$os sexto * décimo son de /).!66 * //./66 T 6
entonces
= 34500
T 10
= 33300
= a + 5d = 34500 T 10 = a + 9 d = 33300 T 6
restando
4 d = 33300
d =
sustitu*endo este valor de d en a
− 34500 = −12000
−3000
T 6
, obtenemos
− 15000 = 34500
o
entonces T 15
= a + 14d = 36000 + 14( −3000) = 30800
a = 36000
14.
Se invierte una suma de 2666US con interés simple a una tasa de interés anual del 2?. (ncuentre una expresión para el valor de la inversión t aos después de -ue se realizó. alcule el valor después de " aos.
Solución:
R 100
se$1n la definición de interés simple
I = P
por tanto la cantidad de interés anual es
I = 2000
después de t aos el interés total a$re$ado es
tI = 240 t
el valor de la inversión es
P + tI = 2000 + 240t
después de " aos este valor es
2000 + 6( 240 ) = 3440 dólares .
15.
;2666, +2
12 = 240 100
onsidere un préstamo del banco por !666 US a un interés mensual del ?. ada mes se pa$a 266 US al capital m3s el interés mensual del balance pendiente. 8u3nto deber3 pa$arse en total en el tiempo -ue est3 pa$ando el préstamo9 p réstamo9 Solución: la sucesión de pa$os -ue corresponde es
2!6, 2)@, 2)", 0262
se forma una ;< con
a2!6, d2,
el nA total de pa$os es
n
=
5000 200
= 25
por tanto el 1ltimo término es T 25
= a + 24d = 250 + 24( −2) = 202
el pa$o total est3 dado por la suma de 2! términos S n
= n ( a + T 25 ) =
2 25
( 250 + 202 ) 2 = 5650
la cantidad total pa$ada al banco es de !"!6 US, lo cu3l si$nifica -ue el interés pa$ado ser3 por la cantidad de "!6 US. 1.
Una persona persona est3 de acuerdo acuerdo en pa$ar una deuda libre de interés de >!@66 en cierto cierto n1mero de pa$os, cada uno de ellos empezando por el se$undo, debiendo exceder al
anterior por >26. Si el primer pa$o es de >66,m calcule cu3ntos pa$os deber3 efectuar con ob=eto de fini-uitar la deuda. Solución: dado -ue el primer pa$o es de >66 * cada pa$o subsecuente se incrementa en >26, los pa$os son 66, 26, )6, "6,0. estos nA forman una ;< con
a66,
d26 d26
interesa determinar el n1mero n de pa$os necesarios para pa$ar >!@66, entonces la suma S n = 5800 de los n términos de esta sucesión debe ser i$ual a !@66, o sea, usando la fórmula de suma de una ;<
S n
= n [ 2 a + ( n − 1)d ]
2 n 5800 = [ 200 20 0 + ( n − 1) 20 ] 2 n 5800 = ( 20 n + 180 ) 2 2 10 n + 90 n − 5800 = 0 resolviendo esta ecuación de se$undo $rado n = 20
o
n = −29
puesto puesto -ue -ue un valor valor ne$ati ne$ativo vo no tiene tiene sentido, sentido, tenem tenemos os -ue efectuarse 26 pa$os con el fin de saldar la deuda.
n26, n26, es decir, decir, debe deber3 r3
EJERCICIOS %RO%UESTOS DE SUCESIONES.
(scriba los seis primeros términos de la sucesión cu*o término $eneral es: 4+n a. a n = n 1.
n
b.
an
1 = 1 + n
c.
an
= ( −1) n ( n 2 + 1)
d.
1 , si n es par an = 2 n + 2 , si n es impar
2.
Balle una expresión o fórmula para el término enésimo de la sucesión: a. a n = 4 ,8,12,16,... ,4,7,10,... b. a n = 1 c.
3.
an
=
1 2
,−
1 1 1 , ,− ,... 3 4 5
(scriba los cinco primeros términos de las sucesiones recurrentes dadas: a. a1
= 16
y
a n +1
=
an
b. a1
2
=1
y
a n +1
= ( an ) 2 + 3
4.
De la si$uiente sucesión : {13,20,27,34,....} . alcular la suma de los 2! primeros términos.
5.
(n el caso de cada una de las series si$uientes, di$a cu3l es el primer término * determine si la serie es diver$ente o conver$ente. ∞ 1 ( −1) n +1 2 a. conver$ente n +1 n =1
∑ ∞
b.
∑n n =1
n 2
+1
∞
c.
∑ n +n 2
diver$ente
n =1
∞
d.
∑ 1 + 1ln n n =1
∞
e.
( −1) ∑ = n 0
f.
1
n +1
( 2n
conver$ente ∞ ( n + 1)( n
∑
+ 1)!
+ 2)
absolutamente
n!
n =1
∞
$.
∑ n =1
( −1) n +1
n2 2n
absolutamente conver$ente
∞
7.
∑ n =0
(n
3! n!3 n
∞
i.
+ 3)!
∑ (−1) n =1
n +1
2n n3
+1
diver$ente
∞
=.
10 n n =1 n!
∑ ∞
C.
∑ 9n! n =1
∞
l.
n
diver$ente n2
∑ 10( 2n − 1) n =1
.
Una compaía manufacturera instala una m3-uina a un costo de >!66.
)26. Suponiendo -ue la depreciación anual es constante, calcule la depreciación anual. 4+p: >265
!.
Si una m3-uina tiene un costo de >2666 * ésta se deprecia anualmente )"6. Eu3l es la duración de la m3-uina si su valor de desec7o fue f ue de >)669.
".
#os pa$os mensuales de una persona al banco ocasionados por un préstamo forman una ;<. Si el octavo * décimo -uinto pa$os son de >!/ * >@6, respectivamente, 8u3l ser3 su vi$ésimo pa$o9 4+p: >265
#.
(l salario mensual de un traba=ador se incrementó anualmente formando una ;<. Fanó >))6 al mes durante el séptimo ao * >"6 al mes durante el vi$ésimo -uinto ao. a. calcule calcule su salario salario inicia iniciall * su increm incremento ento anual. b. 8u3l 8u3l sería sería su salario salario de =ubilació =ubilación n al completar completar /@ aos aos de servicio9 servicio9
1$.
Debe saldarse saldarse una deuda de >@66 en un ao efectuando efectuando un pa$o de >!6 al término de cada mes, m3s intereses a una tasa del ? mensual sobre el balance restante. Determine el pa$o total por concepto de intereses.
11.
Una persona deposita !6US al inicio de cada mes en una cuenta de a7orros en la cual el interés permitido es de 6,!? al mes sobre el balance mensual. Determine el balance de la cuenta al término del se$undo ao, calculando a interés simple.
EJERCICIOS RESUELTOS DEL METODO %OR %&SOS 1.
Sea y = x 2 . Ballar: a. deri deriva vada da por por pas pasos os b. anal analic ice e -ue -ue suce sucede de par para a x/ x/ c. ecuaci ecuación ón de la tan$en tan$ente te en ;4/, ;4/,55 d. ecuaci ecuación ón de la la recta recta tan$e tan$ente nte en en ;4), ;4),"5 "5
Solución: a. aplicando procedimiento procedimiento de la derivada por pasos
f ( x + ∆ x ) − f ( x ) = x 2 a
+ 2 x∆ x + ( ∆ x ) 2 − x 2
∆ y = 2 x∆ x + ( ∆ x ) 2 = x + ∆ x 2 ∆ x ∆ x lim ( 2 x + ∆ x ) = 2 x ∆ x → 0
b. la ecuación de la recta, es la derivada representada por d
lue$o f ( x ) = x
dx
f (3) = 6
d f ( x ) = 2 x dx
representa la pendiente de la recta tan$ente tan$ente en x/ para para
2
c. la ecuación ecuación de la la recta tan$ent tan$ente e en ;4/,5 ;4/,5 se obtiene obtiene consider considerando ando la pendien pendiente te m" * la la ecuación de la recta dados estos dos elementos:
− y1 = m( x − x1 ) y − 9 = 6( x − 3) y = 6 x − 9 y
d. para obtener obtener la la ecuación ecuación de la recta recta tan$ente tan$ente en ;4), ;4),"5 "5 se eval1a eval1a la deriva derivada4m5 da4m5 en en x) d dx lue$o y
f ( −4) = 8
− 16 = −8( x + 4 ) y = −8 x − 16
2.
Ballar
dy dx
para f ( x ) = x , x > 0 * determinar la cotan$ente en P (5,
5) .
Solución: y
+ ∆ y = f ( x + ∆ x ) = x + ∆ x ∆ y = f ( x + ∆ x ) − y = x + ∆ x − ∆ y f ( x + ∆ x ) − f ( x ) = ∆ x ∆ x ∆ y x + ∆ x − x x + ∆ x + = ⋅ ∆ x ∆ x x + ∆ x +
lim
∆ x → 0
1 x + ∆ x
+
d dx
x
evaluando la derivada
y
3.
x
=
=
x
x x
=
1 x + ∆ x
+
x
1 2 x
1 2 x
en P (5,
5 ) con x!
= 0,22 x + 4,5
= (5, y ) para la función y alcular la ecuación de la tan$ente en P = Solución: y + ∆ y = f ( x + ∆ x ) = 5( x + ∆ x ) 2 + 12( x + ∆ x ) − 17
= 5 x 2 + 12 x − 17
∆ y = 10 x∆ x + 5( ∆ x ) 2 + 12∆ x ∆ y = 10 x + 5∆ x + 12 ∆ x lim (10 x + 5∆ x + 12 ) = 10 x + 12 ∆ x → 0 dy dx
= 10 x + 12
evaluando la derivada para x!
d (10 x dx
en x! x! evaluamos la función función
y
= 5 ⋅ 5 2 + 12 ⋅ 5 − 17 = 168
la ecuación de la recta tan$ente en x! es
y
= 62 x − 42
+ 12 ) = 62 = m
Sea y = 12 x 3 Solución: 4.
+ 2 . alcular la ecuación de la curva tan$ente en la abcisaG x6 e x 2. y
+ ∆ y = 12( x + ∆ x ) 3 + 2 ∆ y = 12( x 3 + 3 x 2 ∆ x + 3 x ( ∆ x ) 2 + ( ∆ x ) 3 ) + 2 − (12 x 3 + 2) ∆ y = 36 x 2 ∆ x + 36 x ( ∆ x ) 2 + 12( ∆ x ) 2 ∆ y = 36 x 2 + 36 x∆ x + 12 ∆ x 2 ∆ x lim (36 x 2
∆ x → 0
+ 36 x∆ x + 12 ∆ x 2 ) = 36 x 2 = dy dx
evaluando la curva en x6 ⇒ *2 ,o sea en ;46,25, ;46,25, se obtiene obtiene la pendiente m6 m6 por lo tanto la ecuación pedida es y
− 2 = 0( x − 0) y = 2
⇒
eval evalua uand ndo o la curva curva en x2 * 12( −2) 3 + 2 = −94 , o sea sea en ;42 ;42, ,)5 )5 se obti obtien ene e la pendiente m)), por lo tanto la ecuación pedida es y
+ 94 = 144( x + 2) y = 144 x + 194
EJERCICIOS %RO%UESTOS DE LIMITES Y CONTINUID&D
H&TI&UID
2.
3.
− 6 x 3 + x 2 + 3 . 8(s continua en x9 f ( x ) = x − 1 2 x − 4 f ( x ) = x + 2 2 x 4
+p.: si +p.: si
2 x +1, −1 ≤ x ≤1 g x( ) = 1 2 2 x − 3, 1 x〈 〈 4 =3+ 2x
4.
f ( x )
5.
x 2 − 4 si x ≠ 2 Sea f x ( ) = x − 2 4 si x = 2
Determine en -ue punto es discontinua.
+p.:) .
Determine si la función es continua en los intervalos indicados: − 1,4 a. f ( x ) = x 2 + 1
[
b.
c.
!.
f ( x ) =
x2
−9
]
[ − 3, 3]
5 − x x ≤ 2 f x ( ) = x2 − 3 x〉2
Demuestre -ue las si$uientes funciones son discontinuas en el n1mero xa dado. #ue$o, determine si la discontinuidad es evitable o no. Si es evitable, defina f4a5 de Janera -ue la función resulte continua en xa. a. b.
− 3 x − 4 x − 4 2 x − x − 12 f ( x ) = 2 x + 2 x − 3 f ( x ) =
x 2
a=4
a = −3
".
#.
c.
x 2 − x4 + 3 si x ≠ −3 f x( ) = x − 3 5 si x = 3 ; a = 3
d.
1 si x ≠ −5 f x( ) = x + 5 0 si x = −5
; a = −5
e.
x − 3 si x ≠ −3 f x( ) = 2 si x = 3 ; a = 3
f.
9 − x 2 si x ≤ 2 f x( ) = 3 x + 2 si x > 2 ; a = 2
Determine los intervalos de x donde las funciones dadas son continuas: a.
f ( x ) = x 2 ( x
+ 3) 2
b.
f ( x ) =
c.
f ( x ) =
3 − 7x
d.
f ( x ) =
− x 2 + 7 x − 12
e.
f ( x ) = ( x
f.
f ( x ) = 2 x 4
$.
f ( x ) =
x − 2 x 2
+ 2 x − 8
− 1) 3
x2
− x2 +1
x + 1 5 − 4 x
Determine los valores de m * n en:
si 1 < x < 3 x + 1 para -ue f4x5 sea continua en todo +. f x( ) = 2 x + mx + n, si x ≤ 1 o x ≥ 3 1$.
Determine el valor de las constantes a * b para -ue la si$uiente función sea continua en todo +.
3 x 3 − 4ax; si x < −1 f ( x) = ax + b, si − 1 ≤ x ≤ 2 2 x 2 − 5b, 2 < x
11.
4 x 2 − 9 3 2 x + 3 , si x ≠ − 2 Dada la función f ( x) = 3 − 2 si x = − 2 a. Determine
b. demuestre
lim f ( x )
x → − 3
2
x → − 3
2
c. 8es 8es cont contin inua ua la la func funció ión n en x
12.
3 2
lim f ( x ) ≠ f −
=−
3 2
?
2 x − a si x < −3 Sea f ( x) = ax + 2b si − 3 ≤ x ≤ 3 b − 5 x si x > 3
Determine los valores de a * b tales -ue la función sea continua en todo +.
#IJIT(S:
1.
1 = 1 x →1 x 2
x 2 /. lim x →3
. lim
(
2 2. xlim → 2 4 x
/. lim( x →
− 5x = 6
− 4 x + 10) = 7
2
x 1
+ 4 x − 21 6 x − 3
). xlim →0
− a2 2 2 x + 2ax + a
, a
!. lim a →0
− a2 x 2 + 2 ax + a 2
,
". xlim →a
− a 2 6, x 2 + 2ax + a 2
x 2
x 2
n ). lim n →0 n2
+ 3n − 5 + 3n − 6
x 2 lim !. x →3
+ 4 x − 21 6 x − 3
25 x 3 lim %. x →0 75 x 7
x 2 lim ". x →2 2 x
+ 6 x + 5 % − 2 x − 3
@. lim
2
2
x %. xlim → −1 2 x
5 6
+ 6 x + 5 − 2 x − 3
−3 2 x −2 x
y
y 2 lim . y → 2
+2
!
− 5 y + 6 y − 2
x 2 2. xlim → −3
=4
3 x 2 + 2 . xlim →2 2 x + 2
x 3 + 8 2. xlim 2 → −2 x + 2
0
2 y + 5 y + 6 lim 6. y → 2
x 2 − 4 x → 2 x − 2
+ 2 −2
x 2 − 1 26. xlim 6 → −1 x − 1
2 x − 9 @. lim ) x →1 x − 3
. lim x →3
x 2
+ 4 x + 3 2 x + 3
x 3 − 64 lim 22. x →4 )@ x
−4
x 2 + 3 x − 10 lim 2/. x →2 3 x 2 − 5 x − 2 h 3 + 4h 2 lim 2). h→−2 2 h
+ 4h 6 −h−6
x
≠6 ≠6
a
≠6
x 3 lim 2!. x →a 2 a
x 2". xlim →4
3
− a 3 3 a 2 − x 2
− 3 x 2 − 3 x − 4 21 4 x 2 − 4 x
2 x 4 2%. lim x →1
− 6 x 3 + x 2 + 3 @ x − 1
(
1+ h 2@. lim h →1
) − 1 / 2
h
3 x lim 2. x →1
− 3 6
2 x
1
−
1
1 /6. xlim x 2 →2 4 x − 2
x 4 − 16 lim /. x →2 x 3 − 8 /2.
8 3
x 2 − 9 x − 3 lim − 2 x →1 − x 3 x − 9
//. lim
+ x 2 − x − 1 = 4 3 x 2 + x − 2
x 3
x →1
/). lim
− x 2 + x − 1 2 = 3 x 2 + x − 2
x 3
x →1
/!. lim
x 3
− 5 x 2 + 7 x − 3 =4 x − 3
x 3
− x 2 − 5 x − 3 16 = x − 3
x → 3
/". lim
x → 3
/%. lim
x → −1
x 2
− 2 x − 3 4 =− 3 3 x + 1
15 4
2.
2 x 4 − 3 x 2 + 1 lim . x → ∞ 6 x 4 − x 3 − 3 x
1 3
1 x 2 − 2 x + 3 lim 2. x → ∞ 2 2 2 x + 5 x − 3 /.
).
!.
".
lim
− 4 x 2 6 3 x 7 + x 3 − 10
lim
− 5n 2 5n + 2n − 6
2 x 5
x →∞
n →∞
lim
3n 2
x
x → ∞
3 5
− 5 x + 1 1 = 2 3 3 x + 7
2
3 lim x
x →∞
+ 6 x 2 + 10 x + 2 1 2 2 x 3 + x 2 + 5
%.
lim
1 t + 1 2 , para t = , h → 0 6 h t + 1
@.
lim
n( n + 2) n 3 n + 1 − 2 + n 1
lim
− 2 1 4 x − 4
.
t → ∞
n →∞
n →4
x
x
6. xlim →0 . lim x →1
2 + x x − 1 x
−1
4+h h
2. lim h →0
3
x /. lim x →1 2 x
). lim x →1
−
2
2
−2
− 1 −1
4 x
2 − x
1 4
3 2
− 4 6
2%.
lim
x →∞
− x 2 + 1 2 x 7 + x 3 + 300 x 7
1 2
(
3 !. xlim →∞ 2 x
". xlim →∞ %. xlim →∞
− 11 x 2 + 12 x ) 2
− 16 x 6 5 x 4 + x 3 − 5 x x 3
3 x 2 + x x
− 1 x − 1 x
− x + a x − a
1
2a
7 + 5 x 4 =− 3 5 2 x − 2 x
5 lim 7 x
x → ∞
lim x 2 + x − x 1
/6.
3
3 x − a
x → a
2.
4 8 x 3 − 2 x 2 + 1 lim @. x →∞ 3 2 3 6 x + x − 3 x . lim x →1
lim
2@.
x → ∞
2
− 81 lim x @ x →81
/.
x
1
/2. xlim →∞
2
−9 x 2
+ 2 x + 3 +
x 2
− 2x + 3
2 26. xlim →∞
− x 2 x10 + 5 x + 8 6 x 3
x 4 lim 2. x →∞
6
+ 1066 x 2 − 1492 2 x 4 − 2001
x 3 + 1 lim 22. x →∞ 4 6 x + 2 2/. xlim →∞
2!. xlim →0
−1 3 1 + x − 1
/). xlim →∞
( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 )
x → ∞
− x 2 + 5 2 3 x 3 − 100 x + 1
1 + x
2
(
/!. lim
6 x 3
5 x 3 + 2 x lim 2). x →∞ 2 x + x + 7
1
//. xlim →∞
∞ 3 2
/". lim
2 x 2
3 x 2 x 4 x 2
x → ∞
/%. lim
x → ∞
/@. xlim →∞
−
+ x =
2 x 2
3
+ 2 x + 1 3 x
4 x 2
+ 2 x + 1 3x
4 x 2 9 x 2
− 6x
=2
3
=2
+ x = 2 − 3 x 3
3
3 2
2
/. nlim →∞
)6. lim
n +1 −
2 x 2
x → ∞
6 x lim )!. x →∞
n 6
− 3 x − 4 = 2 x 4 + 1
2n 2 lim ). n →∞ 2 5n
+ n −1
3 7
− a − x + a x − a
1 2a
1 n3 + n lim ). n →∞ 2 2n 3 + 1
2n + 3 n +1
3 x
)@. xlim →a
4
2n + 1
2n − 3 = 16 lim x → ∞ 3n + 7 81
)%.
4n − 2 " )/. nlim →∞ )). nlim →∞
4
4
5
2
2 x
2 5 − 2 x 2 lim − )". x → ∞ 5 3 x + 5 x 2
2
+ 4n + 5 2 7n − 4
3n )2. nlim →∞
− x 8 − 3 6
!6. nlim →∞
2
3
2n
n +1
3
2
3.
(l costo en millones millones de dólares dólares para el $obierno $obierno de apre7ender apre7ender un x? de cierta dro$a ile$al, a su entrada por las fronteras, viene dado por: 528 x C = , 0 ≤ x < 100 100 − x a. calcul calcular ar el el costo costo de apre apre7en 7ender der el el 2!? 2!? b. Ball Ballar ar el el lími límite te de de cua cuand ndo o x → 100
4.
Una partícula cae del reposo ba=o la acción de la $ravedad. 8u3l es la velocidad 1 instant3nea después de 1 se$undos9. 2
5.
Una pelota se arro=a verticalmente 7acia arriba con una velocidad de )6cmKse$. #a dist distan anci cia a reco recorr rrid ida a en cm desp despué ués s de t se$u se$undo ndos s est3 est3 dada dada por por s = 40 t − 16 t 2 . Determine la velocidad instant3neaG a. después de un se$undo +p.:@cmKse$ b. después de dos se$undos +p.:2)cmKse$
.
(n el e=ercicio anterior, calcule la velocidad instant3nea después de t se$undos. a. 8-ué 8-ué ocur ocurre re cuan cuando do
t = 5
4
9
b. 8cu3l 8cu3l es la la veloci velocidad dad inst instant ant3ne 3nea a cuando cuando
t = 5
2
9
!.
− 1 4 x − 1
3
a.
lim
b.
lim
c.
lim
d.
e.
f.
x →1
x
4 3
− 23 x + 1 ( x − 1) 2
3
x 2
x →1
x − 27
x → 27 3
−3
x
x
2%
−5
2
2 lim x − 16 @
x → 4
−4
x
1
lim x + h − x h →0
2 x
h
$.
lim
7.
lim
h →0
x → 4
x + h h
−
1 x
2 x + 1 − 3 x − 2
−
2
i.
lim 2 − x − 3 x → 7 2
=.
lim
l.
9
lim 1 − x − 4 1 x →5
1
C.
1
x
x →1
lim
x →0
− 49
−1 3 x − 1 x
1+ x +
−1 2 x x 2 2 3
−1 56
1 6
5 x ! 1 x
+1 =0 x → −1 x 2 + 1 lim
x 3
EJERCICIOS %RO%UESTOS DE O%TIMI'&CION I.( Determinar
los puntos extremos de las funciones si$uientes, en forma $r3fica * analítica * verifi-ue los resultados
1. 2. 3. 4. 5. . !.
y
2 , 14 3 3
min
= 3 x 2 − 4 x + 6
min( 4, −16)
= x 2 − 8 x y = x 2 − 4 x + 8 y = x 2 − 6 x + 5 y = 3 x 2 + 6 x + 18 y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 8 y = 3 x 3 − 9 x + 1 y
min ( 2,4 )
min(3,−8)max(1,−4) inf( 2,6)
min(1,−5)max( −1,7) inf( 0,1) ".
y
=
1 3
x 3
min ( 2,
+ 2 3
1 2
x 2
− 6x + 8
) max ( −3,
11 2
) inf( −
1 2
,11)
y
1$.
y = − x 3 + 3 x 2 + 9 x + 5 inf(1,16)min( −1,0)max(3,32)
11.
y
12.
13. 14.
3
+5
= ( x − 2) 3 y = x 3 + 3x
inf( 2,0)
y
y
1.
y
1".
= ( x − 4) 2
inf( 0,0)
2$.
21.
max46,"5 min42,65 inf
2
= x 3 − 3 x 2 + 3 y = 3 x 4 + 4 x 3 y = x 4 − 2 x 3 max (0,0)mi (
1#.
max( −1,11) inf(1,−5)min( 3,−21)
= x 3 − 3 x 2 − 9 x + 6
y = ( x − 1) inf(1,5)
15.
1!.
min ( 2, −27 ) max ( −2,37 ) inf( 0,5)
= 2 x 3 − 24 x + 5
#.
y
3 2
max46,/5, min42,5, inf4,5
,
− 27 16
) inf(1, −1)
= 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 3
+ x + 4 x + 1 2 y = x 2 +
y
=
x
64 3, 9
2
x x − 1
22.
y
=
23.
y
= 3 x 4 − 6 x 2
24.
y
= 1 ( x − 1) 3 + 2
x + 2
max(3,−22) min(−1,10)
max(−3,−5), min(1,3) min(1,3)
no tiene valores extremos
3
%RO)LEM&S CON ENUNCI&DO DE O%TIMI'&CION. 1.
2
Ballar dos enteros cu*a suma es 2 * cu*o producto sea m3ximo. 4+p:"*"5.
2.
#a suma de dos n1meros enteros positivos es 2. Ballarlos si: a. la suma de sus cuadrados es mínima. b. (l producto de uno por cuadrado del otro es m3ximo. c. (l producto de uno por el cubo del otro es m3ximo.
4+p:"*"5 4+p:)*@5 4+p:/*5
3.
Determine dos n1meros cu*a suma sea 6 * tales -ue su producto sea m3ximo. 4+p.: ! * !5
4.
Determine dos n1meros positivos cu*a suma sea %!, tales -ue el producto de uno por el cuadrado del otro sea m3ximo. 4+p.: !6 * 2!5
5.
Determine dos n1meros cu*a suma sea " de tal forma -ue su producto sea tan $rande como sea posible. 4+p.:@ * @5
.
(studiar el movimiento de una partícula -ue se mueve en una recta 7orizontal, tal -ueG a. s = t 3 − 6t 2 + 3 b. s = t 3 − 5t 2 + 7t − 3
= ( t − 1) 2 ( t − 4) 4 d. v = ( t − 1)
c.
v
e. s
= t 3 − 6t 2 + 9t + 2
!.
(n una p3$ina se 7an de imprimir !)L cuadradas. Si los m3r$enes 7an de tener L arriba 1 * aba=o, 1 ' a los lados. Ballar las dimensiones m3s económicas para la p3$ina. 2 4+p:2L * @L5
".
Se trata de encerrar un prado rectan$ular usando cerca de alambre en / lados * un seto como cuarto lado, con @66 m de alambre. 8u3l es el 3rea m3xima -ue se puede cercar9. Rp : 80 .000 m 2
(
#.
)
< un campo rectan$ular se le va a poner una cerca * se le va a dividir en dos campos m3s pe-ueos por una valla paralela a uno de sus lados. Ballar las dimensiones del campo m3ximo -ue se pueda rodear con /66m de cerca. +p:%! * !6m5
1$.
on una 7o=a cuadrada se desea 7acer una ca=a del ma*or vol1men posible, sin tapa. Rp : 2 a 3 Ballar el volumen de la ca=a. 27
11.
Ballar las dimensiones de la m3xima ca=a abierta -ue se puede fabricar con una l3mina cuadrada de 7o=alata, de 2) cm de lado, cortando cuadrados i$uales en sus es-uinas * doblando los lados. 4+p:" * )cm5
12.
Ballar las dimensiones de un cilindro de volumen M, de modo -ue se cumple una mínima cantidad de material en su construcción. r = = 3 V G h = 2 r 2π
Un recipiente cilíndrico de base circular 7a de tener 64cm 64cm 3 . Ballar las dimensiones de modo -ue la cantidad re-uerida sea mínima 43rea5G Rp : r = h = 4 a. si el recipiente no tiene tapa. 3
13.
b. si el recipiente est3 tapado
r = 2 3
π
2 π
G h
= 2 r
14.
Un matrimonio dispone de alambre suficiente para construir una valla de 66 pies. (llos desean usarlo para cercar / lados de un =ardín rectan$ular, cu*o cuarto lado bordea un edificio. 8u3les deberían ser las medidas del =ardín para -ue la valla abar-ue el 3rea m3xima posible9 4+p:2!6 pies5
15.
Si se cortan) cuadrados con$ruentes en las es-uinas de un cartón cuadrado * tiene 2L de lado, * se doblan sus cuatro lados, se obtiene una ca=a sin tapa. 8u3l debería ser el tamao de los cuadrados -ue se cortan para obtener una ca=a de volumen m3ximo9 4+p:2@ pu lg 3 5
1.
De todos todos los recipi recipient entes es met3li met3licos cos cilínd cilíndri ricos cos -ue encier encierran ran un volume volumen n de 66 pul$adas cubicas. 8u3l de ellos re-uiere la menor cantidad de material9. 50 Rp : h = 2 3 ; h = 2 r π
1!.
(ntre todos los recipientes cilíndricos sin tapa * de 66 pul$. 1bicas. 8u3l re-uiere menos material9. 4+p:r75
1".
(ntre todas las ca=as rectan$ulares cerradas con base cuadrada * de 666 pul$. c1bicas de volumen. 8(n cu3l se usa menos material9
( Rp : 1000 pu lg ) 3
1#.
8ómo deberían ele$irse dos n1meros no ne$ativos, cu*a suma sea , para minimizar la suma del cuadrado de uno * el cubo del otro9 4+p:6,)! * 6,!)5
2$.
Un $ran=ero -uiere construir un corral rectan$ular * dividirlo por una valla paralela a uno de los lados. Dispone de 2)6 m de alambre. 8u3les son las dimensiones del corral de 3rea m3xima -ue puede encerrar9 4+p:2.)66 m 2 5
21.
Una p3$ina impresa impresa 7a de contener !6 cm 2 impreso, con ) cm mar$inales arriba * aba=o, * 2 cm mar$inales a los lados. (ncuentre las dimensiones de la 7o=a a imprimir de forma -ue su 3rea sea mínima. 4+p:"2 cm 2 5
22.
Una ventana est3 7ec7a de un rect3n$ulo * de un tri3n$ulo e-uil3tero en la parte superior. 8u3les deben ser las dimensiones de la ventana para maximizar el 3rea, si el perímetro ; es fi=o9.
Rp : P ; P (5 − 22 6− 3
3
)
23.
Un canal de rie$o, 7ec7o de concreto, debe tener una sección en forma de trapecio isósceles, con / de sus lados de ) m. 8u3l debería ser la forma del canal, si se desea -ue ten$a el 3rea m3xima9. onsidere el 3rea como una función de x * resuelva. 4+p: @m5
24.
Ballar el volumen del cono circular recto m3s $rande -ue se puede inscribir en una esfera de radio +. 8 3 4 6 4+p.: V = π R cos γ − cos γ G 3 V max = 1,24 R 3 5
(
)
25.
Determin Determine e las dimensiones dimensiones del rect3n$ulo rect3n$ulo de 3rea m3xima -ue se puede inscribir inscribir en una semicircunferencia de radio +. R 2 4+p: G R 2 5 2
2.
(l costo promedio de fabricar cierto artículo es C = 5 +
48
+ 3x 2 ,
x n1mero de artículos producidos. (ncuentre el valor mínimo de
en donde x es el
C
.
4+p:) para el valor 25. (l costo de la producción anual de un artículo es C = 5000
+
80.0000 .000
x
+
2!.
, en x 20 donde x es el tamao promedio del lote por serie de producción. (ncuentre el valor de x -ue 7ace mínimo a .
2".
(l costo costo de producir producir x artícu artículos los de ciert cierto o produc producto to es C ( x ) = 4000 + 3 x + 10 −3 x 2 4dólares5. Determine el valor de x -ue 7ace del costo promedio por artículo un mínimo. 4+p: 2.6665
2#.
#a función función de costo para para una empresa empresa,, est3 est3 dada por C ( x ) = 300 x
alcule la producción x en la cualG a. el costo mar$inal es mínimo b. el costo promedio es mínimo
− 10 x +
4+p:65 4+p:!5
2
x3 3
.
3$.
Una empresa produce mensualmente x toneladas de un metal precioso con un costo x3 total dado por C ( x ) = 10 + 7 x − 5 x 2 + dólares. (ncuentre el nivel de producción x 3 donde el costo mar$inal alcanza su mínimo.
31.
#a función de demanda para cierto bien est3 dado por
p = 15e
− x 3
para 0 ≤ x
≤8,
donde p es el precio por unidad unidad * x es el n1mero de unidades unidades pedidas. pedidas. Determine Determine el precio p * la cantidad x para los cuales el in$reso es m3ximo. 4+p: x/G
p = 15
e
5
p = 10 e
− x
2
para 0 ≤ x
≤ 6.
32.
+epita el e=ercicio / para la le* de demanda
33.
Una empresa vende todas las unidades -ue produce a US) cada una. (l costo total de la empresa por producir x unidades est3 dado en dólares por C = 50 + 1,3 x + 0,001x 2 . a. (scriba (scriba la expres expresión ión para para la utilida utilidad d total ; como como una función función de x. b. Determine Determine el el volumen volumen de producció producción n de x de modo -ue -ue la utilidad utilidad ; sea m3xima m3xima c. 8u3l 8u3l es es el valo valorr de la la utilid utilidad ad m3xim m3xima9 a9
34.
;ara cada una de las si$uientes si$uientes funciones de costo promedio promedio obten$a el valor mínimo del costo promedio mínimo * demuestre -ue dic7o costo promedio mínimo, , el costo mar$inal * el costo promedio son i$uales a. y = 25 − 8 x + x 2 b. y = 2 + x ln x c. y = 20 + 2 x 2 + 4 x 4 18 d. y = 2 x + 5 + x 3 e. y = 10 − 4 x + 3 x 4
35.
#a empresa empresa denominada denominada f3brica f3brica de m3-uinas7e m3-uinas7erram rramienta ientas s de precisión precisión tiene una 3 2 función de costo total representada por la ecuación y = 2 x − 3 x − 12 x , en donde y representa el costo total, * x la cantidad producida. producida. a. 8Nué ecuación ecuación repres representa enta la función función de costo costo mar$i mar$inal9 nal9 b. 8u3l 8u3l es la ecuació ecuación n de la funció función n de costo costo promedio98 promedio98(n (n -ué punto punto este este costo costo promedio alcanza su valor mínimo9
32
