CÁLCULO GRÁFICO DE LÍMITES EJERCICIO 1 : Sobre la gráfica de f(x), halla : a) lim f x
Y
8
x
b) lim f x
6 4
x
c) lim f x
2
8 6 4 2 2 4 6
2
4
6
8
X
x 2
d) lim f x x 2
e) lim f x x 0
Solución: a) lim f x 1 b) lim f x 1 c) lim f x x
x
x 2
d) lim f x x 2
e) lim f x 1 x 0
EJERCICIO 2 : A partir de la gráfica de f(x) , calcula: a) lim f x
Y
8
x
b) lim f x
6 4
x
c) lim f x
2
8 6 4 2 2 4 6
2
4
6
8
X
x 1
d) lim f x x 1
e) lim f x x 5
Solución: a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x 2 x 1
d) lim f x 3 x 1
e) lim f x 0 x 5
EJERCICIO 3 : Representa gráficamente los siguientes resultados: a) lim f x b) lim g x x
Solución: a)
x
b)
EJERCICIO 4 : Representa los siguientes límites: lim f x
lim f x
x 2
x 2
Solución:
2
EJERCICIO 5 : Representa en cada caso los siguientes resultados: a) lim f x 2 b) lim g x x
Solución: a)
x
b)
2
2
o bien
EJERCICIO 6 : Representa gráficamente: a) lim f x 1
b) lim g x 0
x
x 1
Solución: a)
b) Por ejemplo: 1
1
1
o bien
EJERCICIO 7 : Para la función f x
x 1 x 1 y , sabemos que : lim x 3 x 3 x 3
x 1 x 3 x 3 lim
Representa gráficamente estos dos límites. Solución:
3
CÁLCULO DE LÍMITES INMEDIATOS EJERCICIO 8 : Calcula los siguientes límites: 4 b) lim x 2 9 a) lim c) lim cos x 2 x 3 x 2 x 3 x 3 x 0
d) lim
x 3
x 2 x 2
e) lim 6 3 x x 1
x 1
Solución: a) lim x 3
d)
4
x 2 x 3 2
x 3
4 4 2 9 6 3 18 9
1 1 7 x 2 x 2 x 1 4 2 1 lim
b) lim x 2 9 9 9 0 0 x 3
e)
lim
x 1
6 3x
EJERCICIO 9 : Calcula el límite de la función f x
63
x 4
3
x
2
9
c) lim cos x cos 0 1 x 0
3
en x 1 y en x 3.
Solución:
x 4 x 1 1 1 x 1 3 2 3 2 6
x 4 x 27 3 51 x 3 2 2 3 2
lim
lim
EJERCICIO 10 : Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: 2 x 2 2 x 2 2 x 2 a) lim 3 b) c) lim lim x 3 x 2 x 2 x x x 3 2 x 2 x x 1 x 3 2 x 2 x Solución: a) lim
2x 2
4 1 12 3
x 2 x x 2x 2 0 b) lim 3 x x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 1 2 c) lim 3 lim lim x 1 x 2x 2 x x 1 x x 1 2 x 1 x x 1 x 3
3
2
Hallemos los límites laterales: 2 2 ; lim lim x 1 x x 1 x 1 x x 1
1 1
2
3
EJERCICIO 11 : Resuelve los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos: x 2 3 x x 2 3 x x 2 3 x a) lim 2 b) lim 2 c) lim 2 x 1 2 x 12 x 18 x 2 x 12 x 18 x 3 2 x 12 x 18 Solución: x 2 3 x 4 1 a) lim 2 x 1 2 x 12 x 18 32 8 1
x 2 3 x
1 b) lim x 2x 2 12 x 18 2 x 3 x 2
c) lim x 3
2 x 2 12 x 18
lim x 3
2x 3 x x 3
2
3 2 1 x x 3 2 x 3 lim
1
Hallamos los límites laterales: x x ; lim lim x 3 2 x 3 x 3 2 x 3
EJERCICIO 12 : Halla los límites siguientes y representa gráficamente gráficament e la información que obtengas: 2 x 4 4 x 3 2 x 4 4 x 3 2 x 4 4 x 3 a) lim 2 b) lim 2 c) lim 2 x 1 x 4 x 4 x x 4 x 4 x 2 x 4 x 4 Solución: 2 x 4 4 x 3 6 2 a) lim 2 x 1 x 4 x 4 9 3 4 3 2x 4 x b) lim 2 x x 4 x 4 2 x 4 4 x 3 2 x 3 x 2 2 x 3 lim lim c) lim 2 2 x 2 x 4 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 Hallamos los límites laterales: 2 x 3 2x 3 ; lim lim x 2 x 2 x 2 x 2
1
2
1
1
EJERCICIO 13 : Halla los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: x 2 x x 2 x x 2 x a) lim 2 b) lim 2 c) lim 2 x 2 3 x 6 x 3 x 3 x 6 x 3 x 1 3 x 6 x 3 Solución:
x 2 x 6 2 a) lim 2 x 2 3 x 6 x 3 27 9 x 2 x 1 b) lim x 3 x 2 6 x 3 3 x 2 x x x 1 x c) lim lim lim 2 x 1 3 x 2 6 x 3 x 1 x 1 3 x 1 3x 1 Hallamos los límites laterales: x x ; lim lim x 1 3 x 1 x 1 3 x 1
EJERCICIO 14 : Calcula los límites siguientes y representa gráficamente los resultados que x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 b) lim 2 c) lim 2 obtengas: a) lim x 0 x 2 4 x 4 x x 4 x 4 x 2 x 4 x 4 Solución:
a) lim
x 2 x 2
2
1
4 2 x 2 4 x 4 x 2 x 2 1 b) lim 2 x x 4 x 4 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 lim lim c) lim 2 x 2 x 4 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 Hallamos los límites laterales: x 1 x 1 lim ; lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 0
1
1
1
2
CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 15 : Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: x 2 x 1 2 a) lim x 3 c) lim b) lim x 1 x 1 x 2 1 x 2 x 2 2 x 2 2 x 4 3 x x 2 4 2 x e) lim d) lim f) lim 3 x 2 x 2 4 x 4 x x 4 1 x g)
lim x
2 x 4 3 x x 4 1
h)
2 x 1 x 1 x 2
i)
lim
2 x 1 x 1 x 2 lim
x 3 k) lim x x 1
j) lim 3 x 3 x Solución: a ) lim x 2 3 1 3 2 x 1
b) lim
1
x 2 x 2 2
x x 1 x lim x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 1 1 x lim 2 x 1 x 1 2
c ) lim
x
2
2
d) lim
x2 4
x 2 x 2
4x 4
x 2x 2 lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 22
x 2 2x e) lim 3 x
lim
Hallamos los límites laterales: x 2 lim x 2 x 2 x 2 lim x 2 x 2
f)
lim
x
2x
4
x
4
3x 1
2
g)
lim
x
2x
4
x
4
3x 1
2
h)
lim
2x 1
x 1 x 2
0
i)
lim
2x 1
x 1 x 2
0
j)
lim
x
3 x 3
k)
lim
x
3
x x 1
EJERCICIO 16: Halla el límite cuando x de las siguientes funciones y representa gráficamen te 3 x 2 2 x 3 x x 3 1 la información que obtengas: ob tengas: a) f x b) f x 2 2 5 Solución:
x x 3 a) lim 1 x 2 2
b) lim
3x 2 2 x 3
x
5
EJERCICIO 17 : Calcula el límite cuando x y cuando x de la siguiente función 1 2 x 2 4 x y representa la información que obtengas: f x 3 Solución: 1 2 x 2 4 x lim x 3
1 2 x 2 4 x lim x 3
EJERCICIO 18 : Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos: a) lim 4 x 2 b) lim 4 x 2 x
Solución: a)
x
2
lim 4 x
x
b)
2
lim 4 x
x
EJERCICIO 19 : Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas: x x 2 x x 4 a) lim b) lim x x x 3 x 3 4 4 Solución: a)
x x 2 x x 3 4 lim
b)
x x 4 x x 3 4 lim
CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 20 : Calcula: a)
e)
i)
lím e x x 2 1 x 3x 2
lím
2
lím x 3 log x x
3x
x log x 2
lím
f)
x log x
x4
lím
b)
x1
g)
x 2 x x
j)
c)
x
lím 3x 2 x 9 1 x
lím 2 x
2
d)
h)
x
ex
lím x x 1 lím
ln x 2 1
x
x
3
lím x x 2 1
Solución: a) lím e x x 2 1 x
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia. x 4 3 x x 4 3 x lím b) lím x log x 2 x log x 2 Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo. c)
d) e)
9 x 9 1 lím x 2 x
lím 3x 2 x e
lím
x
lím
x x 1 2
x log x
x
0
x 1
x
2
3x
lím
e
0
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. f) g)
lím
x 1
lím
x 1
x 2 x
x
x 2 x
lím 2 x 2
x
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia. h)
lím
ln x 2 1
x
lím
ln x 2 1
x
x
x
0
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. i)
lím x 3 log x
x
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. j)
lím
3
x x 2
x
1
lím
3
x
x x 2
1
0
0
EJERCICIO 21 : Halla los límites: a)
e)
x
lím 5x 2 2x 3x
lím
x
3x 2 5x 2
3x 1
3x 2 x3 i) lím x x 1 x 2 1 Solución:
b)
lím
x
x2
3x 1
x6
2x
c)
lím x
3 2 x4 2x 4
1
1
d)
x2 1
x3
3 2x 5 1 2 2 f) lím x 3x 2x g) lím 3x 1 2x h) lím x x x x 4 2
j)
2x 3
lím x 3 x 2 1
lím 2 x 2 x x 1
5 x 2 2 x 3 x 5x 2 2x 3 x 5 x 2 2 x 3 x lím x 2 5 x 2 x 3 x
a) lím x
5 x 2 2 x 9 x 2
4 x 2 2x lím lím x x 2 2 5 x 2x 3 x 5 x 2x 3 x 2 2 x 3 x 1 x 3 x 1 b) lím lím 0 x x 6 6 x 2x x 2x c)
3 2 x4
lím
x
2x
4
1
1
lím
3 2 x4
x
2x
4
1
1
2
2
2
x 2 1 x 3 ( x 2 1) ( x 2 1) x 3 ( x 2) x 4 1 x 4 2x 3 d) lím lím lím x x 2 x x 3 x 2x 2 2 x 2 1 x ( x 2) ( x 2 1) 2 x 3 1 lím 3 2 x x 2 x 2 x 2 3x 2 3 3 5 e) lím 5 x 5 5x 2 3x 1 x 2 3x 2x x 2 3x 2x 2 2 f) lím x 3x 2 x lím x 3x 2x lím 2 x x x x 3x 2x 3 x 2 3 x x x 2 2 x 3x 2x x 3 x 2x 2 3x 1 2 x 3x 2 1 2 x 3x 2 1 4 x 2 2 g) lím 3x 1 2 x lím lím 2 2 x x x 3x 1 2 x 3x 1 2 x x 2 1 lím x 2 3 x 1 2x lím
x 2 3x 4x 2
3
h)
lím
x
2x 5 x4
1
2
lím
3
lím
x
2x 5 1 x4
0
2
3x 2 ( x 2 1) x 3 (x 1) 3x 2 x3 3x 4 3x 2 x 4 x 3 lím lím i) lím 2 3 2 x x 1 x 2 1 x x ( x 1) ( x 1) x x x 1 2 x 4 x 3 3 x 2 lím 3 x x x 2 x 1 2x 3 2 2 3 2x 3 lím j) lím 3 2 2 x x 3 3x 1 3x 1
EJERCICIO 22 : Calcula: a)
2x 3
lím 3 x1 3x 3
3x 2 1
b) lím
8x 2 7x 2 2x x 1 d) lím 2 x 3 x 9 x 3
x 0
e) lím
2x 4 2 x1 1
c) lím
3x 2 x 2
x 1 x 3
x2 x 1
2x 2 x 10
x 2 x 3 3x 2 4
Solución: 2 2x 1 x 12 3 x 1 2x 1 3 a) lím 3 lím 3 lím 3 3 x 1 3x 3 8 x 2 7 x 2 x 1 3x 2 x 12 x 1 3x 2
2x
b) lím x 0
3
2x 4 2 x 1 1
lím
( 2x 4
x 0 (
2) ( 2x 4 2) ( x 1 1) (2x 4 4) lím x 1 1) ( x 1 1) ( 2x 4 2) x 0 ( x 1 1) (
( x 1 1) 2x 4 2)
2x ( x 1 1)
lím
x 0 x ( 2 x 4
c) lím
2)
2x 4 2
x 0
4 4
1
x 1 3x 2 lím 3x 2 5 x 1 x 12 x 1 x 1 x 1 x 1 (0)
3x 2 x 2
x 1 x 3 x 2
2( x 1 1)
lím
lím
x 1
Hallamos los límites laterales: lím
3x 2
x 1 x 1 x 1
;
lím
3x 2
x 1 x 1 x 1
No existe
2x x 2 2x 3 18 x 1 2x x 1 x 3 2x x 2 4x 3 lím lím d) lím lím (0) x 3 x 2 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
x 2 2x 3 Hallamos los límites laterales: lím ; x 3 x 3x 3 e) lím
2x 2 x 10
x 2 x 3 3x 2 4
x 2 2x 3 lím No existe x 3 x 3 x 3
2x 5 x 2 lím 2x 5 9 x 2 x 1 x 22 x 2 x 1 x 2 (0)
lím
Hallamos los límites laterales: lím
2x 5
x 2 x 1 x 2
;
lím
2x 5
x 2 x 1 x 2
No existe
EJERCICIO 23 : Calcula los límites: 3x
2x
x
2x 4 x 1 a) lím 2 x1 x x 6
2x 2 x 1 x 3 c) lím x 3 4 x 4
3x 2 x 2 b) lím 2 x 2 x 2x 4
3
1
x 2 3x 1 x d) lím 5x 1 x 0
x2 2x 3 x 1 e) lím x1 x 1
Solución:
2x 4 x 2 x 6 3x ( x 2 3x 2) (3x ) 2x 4 1 · 3x lím · lím 2 2 2x 4 x 1 x 1 x 1 ( x 2 x 6) ( x 1) x 1 e x x 6 x 1 e x x 6 x 1 e a) lím x 1 x 2 x 6 3x ( x 2) ( x 1) 3 x ( x 2 ) 3 1 lím 2 lím 2 x 1 ( x x 6) ( x 1) e e x 1 x x 6 e 6 e 2 3x
lím
3x 2 x 2 2x 4 x ( x 2 5 x 6) x 3x 2 x lím · lím lím 2 1 · 2 2 x 2 x 2 x 2x 4 x 2 e x 2 x 2x 4 x 2 e x 2 ( x 2x 4) ( x 2) e x
3x 2
b) lím x 2 x 2 2 x 4 x ( x 3) ( x 2) lím 2 x 2 ( x 2x 4) ( x 2)
e
e
lím x2
2x
2x 2 x 1 x 3 c) lím e 4x 4 x 3 lím
e
x 3
x ( x 3) ( x 2 2 x 4)
2
e4 e2
2x 2 x 1 2x 1 · x 3 4x 4 x 3
lím
1
e
2x 2 x 1 4x 4 2x · x 3 4x 4 x 3
lím
e
lím x 3
2 x 2 5x 3 4x 4
·
2x x 3
2x 1 x32x lím 2x 1 2x 42 21 4x 4x 3 e 4x 4 e 16 e 8 x
3
2 x 2 3x 1 3 x 2 3x 15x 1 3 3xx 8 x 8x 3 lím 1 · lím · lím lím · x 2 3x 1 x 5x 1 x e x 0 5x 1 x e x 0 x 5x 1 e x 0 5x 1 x e x 0 d) lím 5x 1 x 0
3
lím
e x 0
3 x 8
5x 1
e 24 1
x 2 2x 3 1 x 2 2x 3 x 1 1 x 2 3x 2 1 lím 1 · lím · 2 x 2x 3 x 1 lím · x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 e) lím e e e x 1 x 1 lím
e
x 1
x2· x1 x 2 1 x 1· x1 e lím x 1 e 2 x
1
EJERCICIO 24 : Calcula estos límites: x
2 3x a) lím x 2 x 1 e)
1
1 2x b) lím x 2x 5
2
5x 2 c) lím x 4 5 x
2x
x 1
2x 3
3x 2 f) lím 2 x 2 3 x
lím 2 x x
2x 1 i) lím x 3 x 2
2x 2 1
x2
2x 2 j) lím x 3 2x
x 2 1 g) lím 2 x x 2
2
3
2x
4x 2 d) lím x 3x 5
x2 1
4x 2 7 h) lím 2 x 3x 9 x
x
x1
Solución: x
x
2 3 x 2 2 3 x 2 3 lím a) lím x 2 x 1 x 2 x 1 2 1 2 x b) lím x 2 x 5
2 x 2 1
e 2x
5x 2 3 c) lím x 4 5 x d)
e)
4x 2
lím
x
2
e 1
x 3x 5
1 lím 2 x x
1 2 x 1 · 2 x 2 1 lím x 2 x 5
2 x 3
1 2 x 2 x 5 lím · 2 x 2 1 2 x 5 x
e
8 x 2 4 lím x 2 x 5
e
e 0
5x 2 2 x 5x 2 45x 2x 12 x 12 4 1 · lím · lím x 4 5x 3 e 4 5x 3 e x 1215x e 15 e 5
lím
x
4x 2 x 1 4 lím x 3x 5 3 2
1 lím 2 x x
x 1
2 x 3
2 0
3x 2 x 1 3x 2 23x 2 x 1 2x 2 · lím 1 · lím 3x 2 2 2 2 x 2 3x 2 x 2 f) lím e e 23x 2 e x 46x e 0 1 2 3x 2 x
x 2 1 g) lím 2 x x 2
lím
x 2 1 x 2 1 x 2 2 6x · 2x 1 · 2x lím lím lím 2 2 x x 2 2 x x 2 x x 2 e 0 1 e e e
2x
x
h)
4 x 2 7 2 lím 4 x 7 lím 3x 2 9 x 3x 2 9 x x x
i)
2x 1 lím x 3x 2
j)
2x 2 x 3 2x
x
2
2x 1 lím x 3x 2
x 1
lím
g)
2
x6 x 2 x2 x 2 lím
x
Solución:
2
4 3
2 3
3 4
0
0
2x 2 2x 23 2x 5x 5 5 1 · x 1 lím · x 1 lím x 3 2 x x e e 3 2x e x 32 x e 2 lím
EJERCICIO 25 : Halla los límites: a) lím x 2 3x x 2 1 x 3x 2 d) lím x 4 3x
x
x
x 3
b) lím
x3 x3
x 1
5
e)
h)
lím
x
2 x x x x lím
5x 2 3x 9 x3
3x
x2
2
c)
f)
3x 2 3x 3 i) lím x 1 x2 1 x
x3
lím
x 1 x 2
x
2x 1
3x x 1 x 2 x 2 4 x 2 lím
1
j)
x 3 x1 x1 2x 2 lím
x 2 3 x x 2 1 x 2 3 x x 2 1 a) lím x 2 3 x x 2 1 lím x x 2 2 x 3 x x 1 2 2 2 2 x 3 x x 1 x 3 x x 1 3 x 1 lím lím lím x x x 2 2 2 2 2 2 x 3 x x 1 x 3 x x 1 x 3 x x 1 3 x 3 lím x x x 2 x 3 x 3 1 1 b) lím 3 lím lím x 3 x 5 x 2 3 x 9 x 3 ( x 3 ) 2 ( x 1) x 3 ( x 3 ) ( x 1) (0) Hallamos los límites laterales: 1
lím
;
x 3 ( x 3) ( x 1)
3
x lím x 1 x 2 2x 1 x1 x
c) lím
1
lím
x 3 ( x 3) ( x 1)
Como son distintos No existe el límite
lím
x x 1 x 1 ( x 1) 2
x x 1
2
x 1
(0 )
x 1
Hallamos los límites laterales: x x 1 x x 1 lím ; lím x 1 x 1 x 1 x 1 Como son distintos No existe el límite
3x 2 1 · x 1 3x 2 43x 6x 6 e 2 1 x 1 lím lím · x 1 lím x 3x 2 43x e 2 1 e e x 43x e x 3x 4 d) lím x 4 3x
5
e)
lím
x
x
3
x
3x
2
2
5
lím
x
x 3 3x x
2
2
lím
x
x
3
5
x
0
x 2 2 6 lím 2 3x 3x x 1 x 2 x 1 3x x 2 3x 2 x 2 x 4 (0) lím lím f) lím x 2 x 2 4 x 2 x 2 x 2 x2 4 x2 4 x 2 2 x 2 2 lím ; lím 2 2 x 2 x 2 x 4 x 4 No existe el límite Hallamos los límites laterales: ( x 2) ( x 3) x2 x 6 x3 5 g) lím lím lím x 2 x 2 x 2 x 2 ( x 2) ( x 1) x 2 x 1 3 h)
x lím
x
2
x x lím x
x x x 2
lím
x
2
x 2 x x
lím x
x
2
x x lím x
x
2
x .x x2
x
2
x x
x x x 1 lím lím x x x x 2 x 2 2 x x x
3x 2 3x 3 lím i) lím 2 x x 1 x 1 x
3x 3
3x 2 x 1 x
2
1
lím
x
3x 3
3x 2 3x 3 3x 2 lím 3 2 2 x x 1 x 1
x 3 1 x 32 x 2 1 lím lím 1 · lím lím · x 1 x 1 x 3 x 1 x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 x 1 1 e e e j) lím x 1 2 x 2 1
x x
lím lím
x 1 1 1 lím lím ( 2 x 2) ( x 1) x 1 2 x 2 e e 4
CONTINUIDAD EJERCICIO 26 : La siguiente gráfica corresponde a la función f x : Y
8 6 4
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.
2
8 6 4 2 2 4 6
2
4
6
8
X
Solución: En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que lim f x lim f x . x 1
x 1
En x 2 sí es continua.
EJERCICIO 27 : A partir de la gráfica de f (x ) señala si es continua o no en en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad. Y
8 6 4 2
8 6 4 2 2 4 6
2
4
6
8
X
Solución: En x = x = 0, sí es continua. En x = x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).
EJERCICIO 28 : Dada la gráfica de f x : Y
8
a) ¿Es continua en x 1? b) ¿Y en x 2?
6 4 2
8 6 4 2 2 4 6
2
4
6
8
Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
X
Solución: a) Sí es continua en x 1. b) No, en x 2 es discontinua porque no está está definida defini da en ese ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, punto, es una discontinuidad evitable.
EJERCICIO 29 : Averigua si la siguiente función es continua en x 2: Solución: lim f x lim 2 x 4 x 2
x 2
x 2
x 2
lim f x lim x 2 4 Es continua en x 2 porque lim f x f 2. x 2
f 2 4
2 x f x x 2
si x 2 si x 2
EJERCICIO 30 : Comprueba si la siguiente función es continua en x 0.
2 x 2 1 si x 0 f x x 2 si x 0 2
Solución:
lim f x lim 2 x 2 1 1
x 2 lim f x lim f x f 0 . 1 Es continua en x 0 porque lim x 0 x 0 x 0 2 f 0 1 x 0
x 0
EJERCICIO 31 : Halla el valor de k para que f x sea continua en x 1 :
2 x 1 si x 1 f x si x 1 k
Solución:
lim f x lim 2x 1 3 x 1 lim f x x 1 . En x 1: x 1 f x k k=3 xlim 1 f (1) 2.1 1 3 Solución: f continua en x = 1 si k = 3
EJERCICIO 32 : Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente: 2 2 si x 1 x 1 si x 1 a) f x 2 x si x 0 b) f x 2 x c) f x 2 si x 0 2 x x 1 si x 1 x 1 si x 1 x 2 si x 0 1 x 2 3 si x 2 si x 2 f x f x d) f x e) f) 2 1 2 si x 2 1 x si x 0 2 x 1 si x 2 x 2 g) f x 3 x 1 2 1 x 2 j) f x x 1
si x 1
2 x 3 si x 2 i) f x 2 si x 2 x
2 h) f x 2 x si x 0 si x 0 1
si x 1 si x 0 si x 0
Solución: a) Continuidad: f continua en R – {0}
lim f x lim 2 x 2 2 x 0 x 0 lim f x . En x 0: x 0 lim f x lim 2x 0 f discontinua inevitable de salto finito(2) en x=0 x 0 x 0 2 f (0) 2 0 2
2 x 2 2 x
Representación: f x
si x 0 si x 0 Y
Si x 0, es un trozo de parábola. (Vx = 0) Si x 0, es un trozo de recta. X Y
- -
-2 -2
-1 1
0 2
+
0 0
1 2
4 2
+ +
4 2
2 4
2
4
X
b) Continuidad f continua en R – {1}
lim f x lim 2x 2 2 x 1 lim f x x 1 En x 1: x 1 lim f x lim x 1 2 x 1 x 1 2 f (1) 2.1 2
Solución: f continua en todo R.
. f continua en x = 1
Representación
Y
Si x 1, es un trozo de parábola. (Vx = 0) Si x 1, es un trozo de recta. - +
X Y
-2 8
-1 2
0 0
1 2
+
1 2
2 3
8 6 4 2
+ +
4 2 2
2
4
X
c) Continuidad f continua en R – {-1}
lim f x lim x 1 0 x 1 x 1 lim f x 2 En x -1: x 1 lim f x lim x 1 0 x 1 x 1 f (1) 1 1 0
Solución: f continua en todo R.
. f continua en x = -1
Representación:
Y
Si x 1, es un trozo de recta. Si x 1, es un trozo de parábola. (Vx = 0) - -
X Y
-2 -1
-1 0
+
-1 0
0 -1
1 0
2 3
+ +
4 2
6 4 2
2
2 4 6
4
X
d) Continuidad
f continua en R – {0}
lim f x lim 1 1 x 0 x 0 lim f x 2 En x 0: x 0 lim f x lim 1 x 1 x 0 x 0 f (0) 1 1
Solución: f continua en todo R
. f continua en x = 0
Representación:
Si x 0, es un trozo de recta horizontal. Si x 0, es un trozo de parábola. (Vx = 0) X Y
- 1
-1 1
0 1
0 1
+
1 0
2 -3
+ -
Y
4 2
6 4 2 2 4 6
2
4
X
e) Continuidad: f continua en R – {2}
2 lim f x lim x 2 2 lim f x x 2 x 2 x 2 En x 2: f x lim 2x 1 5 xlim x 2 2 2 f (2) 2 2 2
. f discontinua inevitable de salto finito(3) en x=2
Representación:
Si Si
x 2, x 2,
Y
es un trozo de parábola. (Vx = 0)
8
es un trozo de recta.
6 4 2
6 4 2 2
2
4
6
X
f) Continuidad: f continua en R – {2}
lim f x lim x 2 3 1 x 2 x 2 lim f x . En x 2: x 2 lim f x lim 1 1 f continua en x = 2 x 2 x 2 2 f (2) 2 3 1
Solución: f continua en todo R.
Representación: de parábola. (Vx = 0) Si x 2, es un trozo de Si x > x > 2, es un trozo de recta horizontal. horizontal. - +
X Y
-2 1
-1 -2
0 -3
1 -2
2 1
+
2 1
3 1
+ 1
g) Continuidad f continua en R – {1}
lim f x lim x 2 1 x 1 lim f x x 1 3x 1 En x 1: x 1 lim f x lim 1 x 1 x 1 2 f (1) 12 1
Solución: f continua en todo R.
. f continua en x = 1
Representación: Si x 1, es un trozo de de parábola. (Vx = 0) x > 1, es un trozo de recta. recta. Si x > - +
X Y
-2 4
-1 1
0 0
1 1
+
1 1
2 + 5/2 +
h) Continuidad f continua en R – {0}
lim f x lim 2 x 2 2 x 0 . lim f x x 0 En x 0: x 0 f discontinua inevitable de salto finito(1) en x=0 lim f x lim 1 1 x 0 x 0 f (0) 2 0 2
Representación: Si x 0, es un trozo de parábola.(Vx = 0) x > 0, es un trozo de recta horizontal. horizontal. Si x > - -
X Y
-2 -2
-1 1
+
0 2
2 1
3 1
+ 1
i) Continuidad f continua en R – {-2}
lim f x lim 2x 3 1 x 2 x 2 . lim f x 2 En x -2: x 2 f discontinua inevitable de salto finito(5) en lim f x lim x 4 x 2 x 2 f (2) 2.( 2) 3 1
x=-2 Representación Si x –2 es un trozo de recta. x > –2 es un trozo de parábola. parábola. (Vx = 0) Si x > - -
X Y
-3 -3
-2 -1
+
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
+ +
j) Continuidad Continuidad f continua en R – {0}
lim f x lim 1 x 2 1 x 0 x 0 lim f x . En x 0: x 0 lim f x lim x 1 1 f continua en x = 0 x 0 x 0 2 f (0) 1 0 1
Solución: f continua en todo R Representación: Si x 0, es un trozo de parábola.(Vx = 0) x > 0, es un trozo de recta. recta. Si x >
X Y
- -
-2 -3
-1 0
0 1
+
2 3
3 4
+ +
ASÍNTOTAS EJERCICIO 33 : Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su 1 comportamiento por la izquierda y por la derecha: f x x 3 Solución: x 3 0 x 3 Calculamos los límites laterales: 1 1 lim lim x 3 x 3 x 3 x 3
3
EJERCICIO 34 : Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y 1 a la derecha de x 3: lim 2 x 3 x 9 Solución:
lim
x 3
1 2
x 9
lim x 3
1
x 3x 3
Calculamos los límites laterales: lim
x 3
1 2
x 9
lim
x 3
1 2
x 9
3
EJERCICIO 35 : Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda 2 x 1 y por la derecha de x 0: lim 2 x 0 x 2 x 2x 1 x 0 x 2 2 x x 0 x x 2 Calculamos los límites laterales:
Solución:
lim
x 0
2 x 1
lim
2x 1 2
x 2x
lim
lim
x 0
2 x 1 2
x 2 x
EJERCICIO 36 : Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda x 1 y por la derecha de x 2: lim x 2 x 2 2 Solución: x 1 x 1 x 1 lim lim lim x 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 2
2
EJERCICIO 37 : Dada la función f x la información que obtengas. ob tengas. Solución:
x 1
x 1 x 2 5 x 6
x 1
x 2 x 3 x 2 5 x 6 Calculamos los límites laterales: lim
x 2
x 1
x 2x 3
lim
x 2
Representa
x 1 2
, calcula el límite de f ( x ) en x 2.
x 5 x 6
2
EJERCICIO 38 : Halla las asíntotas verticales de las siguientes funciones y sitúa las curvas respecto a ellas: 2 x 1 1 a) f x 2 b) f x 2 x 1 x 2 x 1 Solución: a) x 2 1 0 x 1 ; x 1. Posición de la curva respecto a ellas:
Las asíntotas verticales son x 1 y x 1.
lim
x 1
lim
x 1
2 x 1 x 1 x 1
2x 1 x 2 1
lim
x 1
lim
x 1
2x 1
x 2 1 2x 1
x 2 1
1
1
b) x 2 2 x 1 0 x 1 Solo tiene una asíntota vertical: x 1 Posición de la curva respecto a la asíntota: 1 1 2
x 2 x 1
1
lim
x 12
x 1
x 12 lim x 1
1
x 12
1
EJERCICIO 39 : Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones y representa los resultados obtenidos: 1 x 4 2 x 3 x x 3 x 2 3 2 x a) f x b) f x 3 x c) f x d) f x 3 2 1 x x 2 Solución:
x 3 x 2 2 x x 3 2 a) x 3 x 2 lim 2 x x 3 2 3 3 b) lim 3 x lim 3 x lim
x
lim
c)
1 x 4 2
x
lim
x
x
1 x 4
x
x 2
2 x 3 x x 1 x d) 2 x 3 x lim x 1 x lim
EJERCICIO 40 : Halla las ramas infinitas, cuando x , de las siguientes funciones y representa la información que obtengas: ob tengas: a) f x x 2 4 b) f x x x 2 Solución: a)
lim x 2
x
4
b ) lim x x 2 x
EJERCICIO 41 : Halla las ramas infinitas, cuando x , de las siguientes funciones y representa los resultados resultados que obtengas: a) f x x 13 b) f x x 2 x Solución: a)
3
lim x 1
x
b) lim x 2 x x
EJERCICIO 42 : Calcular las asíntotas horizontales de estas funciones y representa los resultados que obtengas o btengas:: x 1 2 x 2 1 a) f x 2 b) f x 2 2 x 2 x 1 Solución:
2 f (100) 2 x x 2 1 A.V.y 2 a) 2 f (100) 2 2x 1 2 lim x x 2 1 lim
2x
2
1
2
x 1
0 f (100) 0 x 2 x 2 2 b) A.V.y 0 x 1 f (100) 0 0 lim x 2 x 2 2 lim
EJERCICIO 43 : Las siguientes funciones tienen una asíntota oblicua. Hállala y sitúa las curvas respecto a ellas: 2 x 3 x 2 2 x a) f x b) f x 2 x 1 x 1 Solución: y Solución: y = mx + n
x 2 2x 2 m lim f (x ) lim x 1 lim x 2 x 1 2 x x x x x x x a) y x 1 2 2 2 n lim f (x ) mx lim x 2 x 1.x lim x 2x x x lim x 1 1 x x 1 x x 1 x x 1 1 x Asíntota oblicua : y x 1
f (100) A sin t (100) f (100) A sin t (100)
1 y=x+1
1 3 2x m lim f (x ) lim x 2 1 lim 2x 3 2 x x x x x x 3 x b) y 2x 3 3 3 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x n lim f (x ) mx lim 2.x lim lim 0 x 2 2 2 x x 1 x x 1 x x 1
Asíntota oblicua: y 2 x
f (100) A sin t(100) f (100) A sin t(100)
2 y =2x =2x 1
EJERCICIO 44 : Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa las curvas respecto a ellas: x 2 3 x 2 x 2 1 a) f x 2 b) f x x 1 x 2 Solución: a) Asíntotas verticales: Puntos que anulan el denominador: x 2 – 1 = 0 x = 1 2
1 ; x 1 x 2 1 x = 1 2x 2 1 lim x 1 x 2 1 lim
2x
lim
x
Asíntota horizontal: horizontal:
lim
x
2
1 ; x 1 x 2 1 x=1 2x 2 1 lim x 1 x 2 1 lim
2 x 2 1 x 2 1 2 x 2 1 2
x 1
2 2
2x
f (100) 2 y=2 f (100) 2
Representación:
b)
2
Asíntota vertical: Puntos que anulan el denominador x = 0 x 0
lim 2 x 3x x x 3 x 3 x0 lim lim lim x 0 x 2 x 0 x 2 x 0 x lim x0 lim
Asíntota horizontal: horizontal:
x
lim
x
Representación:
x
2
3x
x x2
2
3x
x
2
1 1
x3 x x 3 x
f (100) 1 y=1 f (100) 1
