Ejercicios Resuelto de Colas (Autoguardado)

Teoría de colas: MM1 Ejemplo: 1.- Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. Realice un análisis acerca de la situación actual del Banco. Datos:

Resolviendo:

Según los datos obtenidos el sistema está ocupado el 70% del tiempo, vacío el 30% del tiempo; en promedio hay 2.33 clientes en el sistema y 1.63 en la cola; el tiempo promedio de un cliente en el sistema de 0.33 horas = 20 minutos y un tiempo promedio de un cliente en la cola de 0.233 horas = 14 minutos.

El escritor de referencia de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Supongamos que puede usarse una distribución de probabilidad de Poisson con una tasa de media de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegada y que los tiempos tasa media de 12 solicitudes por hora.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema? b. ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio? c. ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el servicio? d. ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencia en minutos 9(tiempo de espera más tiempo de servicio)?

Datos:

Resolviendo: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema?

b) ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio?

c) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el servicio?

d) ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencia en minutos 9(tiempo de espera más tiempo de servicio)?

e)

Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite y lubricante de automóviles. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de 2,5 automóviles por hora y la tasa media de servicio es de 5 automóviles por hora. Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidad de poisson y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial

a) ¿Cuál es la cantidad de promedio de automóviles en el sistema?

b) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil que comience el servicio de aceite y lubricación? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio? Datos:

Resolviendo:

a) ¿Cuál es la cantidad de promedio de automóviles en el sistema?

b) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil que comience el servicio de aceite y lubricación?

c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio?

Movies Tonight es un establecimiento típico de renta de videos y de DVD para clientes que ven películas en su casa. Durante las noches entre semana, los clientes llegan a Movies Tonight a una tasa promedio de 1,25 clientes por minutos. El dependiente del mostrador puede atender un promedio de 2 clientes por minuto. Supongamos llegadas de Poisson y tiempos de servicios exponenciales.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema? b) ¿Cuál es el tiempo promedio de clientes que esperan por el servicio? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience el servicio? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio? e) ¿Las características operativas indican que es sistema de mostrador con un solo dependiente proporciona el servicio aceptable?

DATOS:

RESOLVIENDO

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema?

b) ¿Cuál es el tiempo promedio de clientes que esperan por el servicio?

c) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience el servicio?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio?

e) ¿Las características operativas indican que es sistema de mostrador con un solo dependiente proporciona el servicio aceptable? Es aceptable que un cliente espere 0,833 minutos o 50 segundos. Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) Número Promedio de clientes en la cola. c) Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.

Datos: λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos= Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)

Resolviendo: a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema (Ws). Lo podemos calcular a partir de Wq y µ.

Es decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3 minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio. b) Para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la fórmula siguiente: Lq= λ Wq.

Es decir los cálculos nos muestran que en la cola puede haber más de dos clientes en la cola.

c) Para calcular cual es el número de clientes en la cola (Ls). Lo podemos hacer con la fórmula: Ls= λ Ws.

Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.

Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes: a) ¿Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso? b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando). c) ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, (incluyendo el tiempo de servicio)? d) ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

DATOS: λ= 10 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 1/6 clientes/minutos. µ= 1 clientes/4minutos (media de servicio de los clientes)=1/4 cliente/minuto.

Resolviendo: a) Por tanto

66.67% factor de utilización del sistema.

Es decir que el sistema permanece ocioso el 33.33%

b)¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? 1.333 Puede haber 2 autos en la cola.

c) ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco (incluyendo el tiempo de servicio)? Nos preguntan por el tiempo promedio que el cliente pasa en el sistema. Ws.

minutos pasa el cliente en el sistema d)

¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora? Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio de μ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en el inciso a (1/4*60=15), el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3) (15)= 10 clientes. Esto es ρ*µ= 2/3 * 15 = 10 clientes.