EJERCICIOS 1. EJERCICIO Una franquicia de comidas rápidas está considerando operar una operación de ventanilla para automóviles de servicio de alimentos. Suponga que las llegadas de los clientes siguen una distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa media de llegadas de 24 automóviles por hora y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad eponencial. !os clientes que llegan colocan sus pedidos en una estación de intercomunicación en la parte trasera del estacionamiento y a continuación conducen hasta la ventanilla de servicio para pagar y recibir sus compras. "l tiempo de espera del cliente se eval#a en 2$ dólares la hora, para refle%ar el hecho de que el negocio de las comidas rápidas el tiempo de espera es costoso& el costo de cada empleado es de ',$( dólares la hora& al tomar en consideración espacio y equipo, se le asigna un costo adicional de 2( dólares la hora a cada uno de los canales. )*uál es el dise+o del negocio de comida rápida con un costo más ba%o .-24 ./0( .*s ',$( .*12$
2.""3**5 6asa media de llegada 4$ clientes7hora P 8(,9,2: llegadas durante un minuto.
0. ""3**5 '( pedidos 7 hora P 8medio min o menos:& P 8un minuto o menos:& P 82 minutos o menos:
4. ""3**5 "l escritorio de referencia de una biblioteca universitaria recibe soluciones de ayuda. Suponga que debe usarse una distribucion de probabilidad poisson, con una tasa media de 9( solicitudes por hora para describir el patron de llegada y que los tiempos de servicio siguen una distribucion de probabilidad eponencial, con una tasa media de servicio de 92 solicitudes por hora. a: )cual es la probablilidad que no haya solicitudes de ayuda en el sistema b: )cual es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio c: )cual es e tiempo de esp;ra promedio en minutos antes que comience el servicio d: )cual es el tiempo promedio en el escritorio de referencias en minutos e: )*ual ees la probabilidad que una nueva llegada tenga que esperar por el servicio
$. ""3**5
de 2,$ cleintes cada hora. Una asesor de dise+o esta disponible para responder las preguntas del cliente y hacer recomendaciones de productos. "l asesor promedia 9( minutos con cada cliente. a: )*alcule las caracteristicas operativas de la linea de espera de clientes, suponiendo llegadas de poisson y tiempos de servicios eponenciales b: !as metas de servicio dictan que el promedio de espera no deben ser mayor que $ minutos por cleinte. )Se esta cumpliendo esta meta Si, no )que accion recomendaria c: Si el asesor puede reducir el tiempo promedio que pasa con cada cliente a ocho minuto, )cual es la tasa de servicio media, )se cumpliria la meta del servicio
TEORIA DE LINEAS DE ESPERA (EJERCICIOS RESUELTOS) 1 TEORÍA DE LINEAS DE ESPERA Ejemplo 1:
"l n#mero de tarros de cerve?a pedidos en el =ic>@s Pub sigue una distribución de Poisson con promedio de 0( cerve?as por hora. 9. *alcule la probabilidad de que se pidan eactamente '( cerve?as entre las 9( p.m. y las 92 =e la noche. 2. =etermine el promedio y la desviación estándar del n#mero de cerve?as pedidas entre las A p.m. y la 9 a.m. 0. *alcule la probabilidad de que el tiempo entre dos pedidos consecutivos sea entre 9 y 0 minutos.
Solución: 9. "l n#mero de cerve?as pedido entre las 9( p.m. y las 92 de la noche sigue una distribución de Poisson con parámetro 280(: '(. !a probabilidad de que se pidan '( cerve?as entre las 9( p.m. y la medianoche esB
2. - 0( cerve?as por hora& t 4 horas. "ntonces, el n#mero promedio de cerve?as pedidas entre las A p.m. y la 9 am es 480(: 92( cerve?as. !a desviación estándar del n#mero de cerve?as pedido entre las A p.m. y la 9 a.m. es 892(:972 9(.A$.
0. Sen C el tiempo en minutos entre pedidos sucesivos de cerve?a. "l tiempo promedio de pedidos por minuto es eponencial con parámetro, o ra?ón, 0(7'( .$ cerve?as por minuto.
"ntonces la función de densidad de probabilidad del tiempo ente pedidos de cerve?a esB
Ejemplo 2: < un ca%ero bancario o automático sólo llega un promedio de 9( vehDculos por hora. Suponga que los tiempos promedio de servicio para cada cliente es 4 minutos, y que los tiempos entre llegadas y los de servicio son eponenciales *onteste las siguientes preguntasB 9. )*uál es la probabilidad de que el ca%ero automático se encuentre vacDo 2. )*uál es el n#mero promedio de automóviles que esperan en la cola su turno Se considera que un vehDculo que está ocupando el ca%ero automático, no está en la cola esperando. 0. )*uál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, incluyendo el tiempo en el servicio 4. "n promedio, )cuántos clientes por hora serán atendidos por el ca%ero automático
Solución: Suponemos que nos ocupa un sistema de colas E7E797=F7G7G. para el cual - 9( automóviles por hora y H 9$ automóviles por hora. "ntonces I 270 9. Seg#n la ecuaciónB (J 9KI 9K 270 970. "ntonces el ca%ero automático se encontrará sin clientes un promedio de la tercera parte del tiempo. 2. Lueremos conocer !qB
0. Muscamos saber N.
Seg#n la ecuación B N !7-
Ejemplo 3: "n una peluquerDa hay un peluquero y un total de 9( asientos. !os tiempos de llegada tienen distribución eponenciales, y llega un promedio de 2( clientes posibles por hora. !os que llegan cuando la peluquerDa está llena no entran. "l peluquero larda un promedio de 92 minutos en atender a cada cliente. !os tiempos de corte de pelo tienen distribución eponencial. 9. "n promedio, )cuántos corles de pelo por hora hará el peluquero 2. "n promedio, )cuánto tiempo pasará un cliente en la peluquerDa cuando entra
Solución 9. Una fracción 9(J de las llegadas encuentra que está llena la peluquerDa. Por lo tanto, entrará a ella un promedio de 89K9(J:- por hora. 6odos los clientes que desean que se les corle el cabello, y por lo tanto, el peluquero hará un promedio de 89K9(J:- cortes por hora. "n nuestro problema, c 9(, -2( clientes por hora y H $ clientes 7h. "ntonces I 2(7$ 4
2. Para calcular NB
"ntonces da como resultadoB
Ejemplo : Un banco tiene dos ca%eros. !legan al banco un promedio de R( clientes por hora y esperan en una sola cola para que los atiendan. "l tiempo promedio que se necesita para atender a un cliente es 9.2 minutos. Suponga que los tiempos entre llegadas y los d e servicio son eponenciales. *alculeB 9. #mero esperado de clientes en el banco. 2. 6iempo esperado que pasa un cliente en el banco. 0. !a fracción del tiempo que determinado ca%ero esta desocupado.
Solución 9. 6enemos un sistema E7E727=F7G7G. con - R( clientes7h y H $( clientes7h.
y, por lo tanto, eiste el estado estable. Si - T 9((, no eistirDa estado estable. =e la 6abla P8 T 2: .9. 6abla para un sistema P 8 % T s: E7E7s7=F7G7G B
"ntonces de la "cuaciónB
! 2.R4V R(7$( 4.44 clientes. 2. *omo N -7!B N4.447R( .($$ horas 0.0 minutos 0. Para calcular la fracción del tiempo que determinado ca%ero está desocupado, nótese que esta desocupado durante lodo el tiempo que % 5, y la mitad del tiempo, por simetrDa, que %9. !a probabilidad que una ventanilla est; ociosa está dada por B
y seg#n esta ecuación da como resultadoB
Ejemplo !: Suponga que los nacimientos en un paDs están separados en el tiempo, de acuerdo con una distribución eponencial, presentándose un nacimiento cada minutos en promedio.
Solución: *omo el tiempo promedio entre arribos 8entre na cimientos: es de minutos, la tasa de nacimiento en el paDs se calcula comoB
"l n#mero de nacimientos en el paDs por a+o está dado p orB - t 2($.0'$ $(R( nacimientos7a+o !a probabilidad de ning#n nacimiento en cualquier dDa esB
Suponga que nos interesa la probabilidad de emitir 4$ actas de nacimiento al final de un periodo de 0 horas, si se pudieron emitir 0$ actas en las primeras 2 horas. 5bservamos que debido a que los nacimientos ocurren seg#n un proceso de Poisson, la probabilidad requeridas reduce a tener 4$K0$9( nacimientos en una hora 80K2 9:. =ado -'(7R.$ nacimientos7hora, obtenemosB
"l tiempo entre llegadas de clientes a un taller de reparación de automóviles de Wservicio rápidoW sigue una distribución Neibull con parámetros y 5 horas, a 4 horas, 80 2:. "l tiempo promedio de reparación se estima en 9.$ horas con una desviación estándar de (.R horas y solamente se cuenta con un mecánico para este servicio. "l due+o desea comen?ar una campa+a publicitaria donde se estable?ca que los automóviles estarán listos, en promedio, antes de 2 horas. )=ebe iniciar su campa+a publicitaria o tiene que replantear su propuesta en cuanto al tiempo de entrega de los automóviles "l modelo se clasifica como 8F7F7l:8X*XS7oo7oo: y se calculan los coeficientes cuadrados de variación para el tiempo entre llegadas y el tiempo de reparación. "n el caso de las llegadas y utili?ando las fórmulas de la tabla 2.99 para una distribución Neibull, se obtiene el tiempo esperado y su varian?a. Para tal cálculo es necesario utili?ar los valores de la función gamma correspondientes a 689.$: y X82.(: de (.RR'20 y 9 respectivamenteB
!as fórmulas para el modelo 8F7F7l:8d7G7G:
