EJERCICIOS DE TEORIA DE COLAS EJERCICI EJERCICIO O T18.4-2. T18.4-2.
Jim McDonal McDonald, d, gerente gerente del restaura restaurante nte de hamburg hamburguesa uesass McBurger, sabe que proporcionar un servicio rápido es la clave del éxito. Es posible que los clientes que esperan mucho vayan a otro lugar la prxima ve!. Estima que cada minuto que un cliente tiene que esperar antes de terminar su servicio le cuesta un promedio de "# " # centavos centav os en negocio $uturo perdido. %or lo tanto, desea de sea estar es tar seguro segu ro de que siempre tiene su$icientes ca&as abiertas para que la espera sea m'nima. (n empleado de tiempo parcial opera cada ca&a, obtiene la orden del cliente y cobra. El costo total de cada empleado es )* por hora. Durante la hora del almuer!o, los clientes llegan seg+n un proceso de %oisson con tasa media de por hora. -e estima que el tiempo necesario para servir a un cliente tiene distribucin exponencial con media de minutos. Determine cuantas ca&as debe abrir Jim durante este tiempo para minimi!ar su costo total esperado por hora.
SOLUCION: ƛ =
clientes/hora
minutos
µ 3 "# clientes/hora
00000001 2 cliente
µ
# minutos 000000001 "# clientes
c 3 45 de ca&as U =
ƛ
µ∗c
< 1
c>
ƛ
c>
µ
66 30
c > 2.2
c 13 ",
6, 7,8., n
ρ = . 30
Costo de u c!"ete #ue es$e%& &tes de te%'"&% su se%("c"o )C S* 3
100
min
)/min. 3 29 )/hora
Costo de u e'$!e&do e c&+& )C C* 3 * )/hora
Costo tot&! = C S,LS CC,c
MEDIDAS DE DESEMPE ÑO U P0
$
3
Nº DE CAJAS (c) 4
5
73.33 % 0.08147
55 % 0.10456
44 % 0.109437
3 #."
1.490936 0.02258 0.055923 3.69094
Lq Wq WS LS Nº DE CAJAS
CS"LS
CC"c
18*3.690 94 18*2.477 20 18*2.265 94
3 4 5
0.277199 0.06594 0.0041999 0.0009915 0.037533 0.03433 2.47720 2.26594 COS#O #O#AL Costo ($%&o')
9*3
93.4369
9*4
80.5896
9*5
85.7869
RTA: /e'os de !& so!uc"0 #ue $&%& '""'"&% e! costo tot&! $o% o%& se
de3e%& &3%"% 4 c&+&s.
EJERCICIO T18.4-5. :a compa;'a
ins tiene " copiadoras para uso de los empleados. -in embargo, debido a que&as recientes de la cantidad de tiempo que pierden esperando que se desocupe una copiadora, la gerencia planea agregar una o más. Durante las ### horas de traba&o al a;o, los empleados llegan al área de copiado seg+n un proceso de %oisson con tasa media de "# por hora. -e cree que el tiempo que cada empleado necesita una copiadora tiene distribucin exponencial con media de 7 minutos. El costo promedio de la productividad perdida debida al tiempo que pasa un empleado en el área de copiado se estima en )7 por hora. :a renta de cada copiadora es de )"### por a;o. Determine cuántas copiadoras debe tener la compa;'a para minimi!ar su costo total esperado por hora.
SOLUCION: ƛ =
"# empleados/hora
7 minutos 00000001 2 empleado
µ 3 2 empleados/hora
# minutos 00000001 2 empleados
c 3 45 de copiadoras ρ = .7 U =
c>
ƛ
µ∗c
< 1
30 12
c>
c > 2.5
ƛ
µ
µ
c 13 ", 6, 7,8., n
Costo de u c!"ete #ue $&s& e 6%e& de co$"&do )C S* 3 7 )/hora
Costo de !& %et& de c&d& co$"&do%& )CC* 3
3000
$ ∗1 a ñ o año $ =1.5 hora 2000 horas
Costo tot&! = CS,LS CC,c
MEDIDAS DE DESEMPE ÑO U P0 Lq Wq WS LS
Nº DE COPIADO AS 3 4 5 * + ,
3
83.33 % 0.0449 4 3.5112 4 0.1170 4 0.2003 7 6.0112 4
CS"LS 25*6.011 24 25*3.311 04 25*2.630 37 25*2.533 89 25*2.508 58 25*2.502 05
Nº DE COPIADOAS (c) 4 5 * +
62.5 %
50 %
0.1121 2 0.8110 4 0.0270 3 0.1103 7 3.3110 4
0.08010 0.13037 0.00435 0.08768 2.63037
CC"c 1.5* 3 1.5* 4 1.5* 5 1.5* 6 1.5* 7 1.5* 8
41.67 % 0.0816 2 0.0338 9 0.0012 9 0.0844 6 2.5338 9
35.71 % 0.0819 8 0.0085 8 0.0002 9 0.0836 2 2.5085 8
,
31.25 % 0.0820 6 0.0020 5 0.0000 68 0.0834 0 2.5020 5
COS#O #O#AL ($%&o') 154.7810 Costo
88.7760 73.2593 72.3473 73.2145 74.5513
RTA: /e'os de !& so!uc"0 #ue $&%& '""'"&% e! costo tot&! $o%
o%& !& co'$&7& de3e tee% co$"&do%&s.
9ORULAS DE EDIDAS DE DESEE;O UTILI
ρ=
ƛ
µ
P0=
U =
ƛ
µ∗C
<1
1 c
ρ ∗c c −1 n ρ c! +( ) − n ! c ρ n= 0
∑
c +1
Lq=
ρ ∗ P ( c −1 ) ! 0 2
(c − ρ)
Lq W q = ƛ
W S = W q +
1
µ
LS = ƛ∗W S
EJERCICIO 18.4-15, :a compa;'a -eabuc> and ?oper tiene un almacén en el sur de @ali$ornia para el inventario de bienes antes de que las muebler'as del área los necesiten. (na cuadrilla de cuatro personas carga y descarga cada uno de los camiones que llegan. El gerente está despidiendo personal para disminuir costos y debe decidir el tama;o $uturo de la cuadrilla. :os camiones tienen llegadas %oisson, con tasa media de 2 por hora. El tiempo que requiere la cuadrilla para cargar y/o descargar un camin tiene distribucin exponencial Aindependiente del tama;o de la cuadrilla. El tiempo esperado con 6 hombres es 27 minutos. -i cambia el tama;o de la cuadrilla se estima que la tasa media de servicio Aahora C 3 6 clientes/h ser'a proporcional al tama;o.
El costo por cada miembro adicional de la cuadrilla es )#/h. El costo atribuible a la espera de un camin Aes decir, un camin parado en el muelle se estima en )"#/h. a denti$ique los clientes y servidores de este sistema. @uántos servidores se tiene por ahoraF @lientesG :os camiones que llegan al muelle para ser cargados y/o descargados, poblacin in$inita. -ervidoresG @ada una de las cuadrillas que cargan y/o descargan los camiones, actualmente se tiene una cuadrilla es decir un servidor.
b Encontrar las medidas de desempe;o para este sistema de cola con una cuadrilla de cuatro.
c ?epita b con una cuadrilla de tres.
d ?epita b con una cuadrilla de dos.
e Debe considerarse una cuadrilla de uno. Explique
$ Dado los resultados, Hué cuadrilla debe elegir el gerenteF
RTA &*
CAN#IDAD DE MIEM-OS DE LA CUADILLA 4 3 2 1 Camión 1= Camión 1= Camión 1= Camión #s ./ /1. hora hora 1= hora hora minutos minutos minutos minutos µ=15 camión µ=20 camión µ=30 camión µ=60camión #s ./ s/'2co $ $ $ 60 40 20 Costo o' c. 80 $ hora hora hora hora c.' (Cc)
Costo o' c. 30 c!n q/ /s/' nt/s ./
$ hora
30
$ hora
30
$ hora
30
$ hora
t/'!n' s/'2co (Cs)
•
s
@onversin de la tasa de servicio aCamión para una cuadrilla de 6
hora
personasG
2 cliente
27 minutos
C C36 •
# minutos 3 2 hora
clints hora
@onversin de la tasa de servicio aclints para una cuadrilla de "
hora
personasG
2 cliente
# minutos
C
# minutos 3 2 hora C 3 "clints
hora
Ut6cn (7) 89 :cto' ./ t6cn ./ s/'2co Po9 P'o;;.. ./ q/ no /<stn c/nt/s /n / sst/! Lq9 Nº 'o!/.o ./ c/nt/s /n co Wq9 #/!o 'o!/.o q/ os c/nt/s sn /n co Ws9 #/!o 'o!/.o q/ os c/nt/s sn
!"#& Camión ' ()&!) ! +! C+',-- hora 4 3 2 1 25.00% 33.33% 50.00% 100.00% 0.25
0.33
0.50
1.00
0.75
0.67
0.50
0.00
0.08333
0.16667
0.50000
0.08333
0.16667
0.50000
0.33333
0.50000
1.00000
/n / sst/! 0.33333
Ls9 Nº 'o!/.o ./ c/nt/s /n / sst/! •
0.50000
@onversin de la tasa de servicio a
1.00000
para una cuadrilla de
personasG
2 cliente
"# minutos
C
# minutos 3 2 hora C 3 Camión
hora
RTA: 3*> c*> d* •
@onversin de la tasa de servicio aCamión para una cuadrilla de 2
hora
personasG
2 cliente
# minutos
C
# minutos 3 2 hora C 3 2 clints
hora
RTA e* 4o se debe considerar una cuadrilla de 2 personas pues es casi imposible traba&ar al 2##I de utili!acin, ya que se debe proveer algunas demoras. •
allando el costo total m'nimo por hora
Nº de personas por cuadrilla
Ls x Cs ( $ )
hora
C x Cc ( $ )
Costo Total ( $ )
hora
hora
4
30 x 0.33333
20 x 4
90.00
3
30 x 0.50000
20 x 3
75.00
2
30 x 1.00000
20 x 2
70.00
RTA ?* El gerente debe optar por una cuadrilla de dos personas para logar minimi!ar costos hasta )K# por hora.