Problema 1 Identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas a) Los clientes y los servidores b) La población de clientes y su tamaño c) El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas. d) El proceso y la disciplina de colas y el proceso de servicios. e) Realice el diagrama de transición de estado (DTE).
Debido a quejas recientes, la división de mantenimiento de California Gas está analizando su sistema para proporcionar un nivel aceptable de servicio a sus clientes. Las quejas llegan a un centro de servicio de acuerdo a una distribución exponencial, con una tasa promedio de 20 llamadas al día. El tiempo que tarda una técnico reparador en llegar al lugar donde se llamó, resolver el problema y regresar también sigue una distribución exponencial, con un promedio de 3 horas y 30 minutos. S OL UC IO N
a) Clientes: personas que llegan para quejarse Servidores: los reparadores b) Población de clientes: infinita por día. c) Proceso de llegada: sigue distribuc distribución ión de Poisson. λ= 20 quejas por d) Proceso: múltiples servidores. Disciplina Disciplin a de colas: FIFO e) Distribución exponencial exponencial::
=
í. í. , = 6,85
Problema 2 Identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas a) Los clientes y los servidores b) La población de clientes y su tamaño c) El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas.
d) e)
El proceso y la disciplina de colas y el proceso de servicios. Realice el diagrama de transición de estado (DTE).
El gerente del banco Nación desea determinar el número mínimo de cajeros que necesita para atender a los clientes que llegan a la hora del almuerzo. El tiempo promedio entre la llegada de dos clientes es de 2 minutos, pero el tiempo real entre llegadas sigue una distribución exponencial. Cada cajero puede atender un promedio de 12 clientes por hora, pero el tiempo de atención a cada cliente varía de acuerdo a una distribución exponencial. S OL UC IO N
a) Clientes: personas que llegan al banco en busca de un servicio Servidores: los cajeros b) Población de clientes: infinita c) Proceso de llegada: sigue distribución de Poisson. λ= 30 clientes por hora. d) Proceso: múltiples servidores. Disciplina de colas: FIFO e) Distribución exponencial:
= 12 ℎ,
Problema 3
California Gas tiene un representante en un centro de servicio para atender las preguntas de los clientes. El número de llamadas telefónicas que llegan al centro sigue una distribución de Poisson con una tasa promedio de aproximadamente diez por hora. El tiempo necesario para responder a cada llamada sigue una distribución exponencial con un promedio de 4 minutos. Utilice la relación entre las distribuciones de Poisson y Exponencial para responder a las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el tiempo promedio entre llamadas que llegan? b) ¿Cuál es el número promedio de llamadas que un representante puede atender durante una hora? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cinco llamadas en una hora? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una segunda llamada entre dentro de los tres minutos posteriores a la llamada anterior?
S OL UC IO N
a) Tiempo promedio entre llamadas:
=
× = 6
b) Número promedio de llamadas que un representante puede atender en una hora: c) Probabilidad de que haya 5 llamadas en una hora: k
60⁄4 = 15
P ( k )
e
k !
−10 × 10 = =,%
5!
d) Probabilidad de que la segunda llamada entre dentro de los tres minutos:
= 1 − − = 1 − −10. 3⁄60 =% Problema 4
Una empresa maneja carteras de acciones comunes. Sus computadoras revisan los precios de las acciones y, cuando se dan ciertas condiciones, emiten señales de compra o de venta. Estas señales siguen un proceso de Poisson con un promedio de una cada 15 minutos. Antes de actuar según las recomendaciones de las computadoras, un analista financiero avalúa el escenario y toma una decisión final sobre el número de acciones que debe comercializar, si hay que hacerlo. El tiempo para realizar esta evaluación sigue una distribución exponencial con un promedio de 12 minutos. Utilice la relación entre las distribuciones de Poisson y Exponencial para responder las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 señales compra/venta sean generadas en una hora? b) Si las computadoras acaban de emitir una señal compra/venta. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente sea emitida dentro de los 10 minutos siguientes? c) ¿Cuál es el número promedio de señales de compra/venta que un analista puede manejar en un periodo de 3 horas? d) Si llega una señal de compra/venta, ¿Cuál es la probabilidad de que el analista termine la evaluación en 15 minutos? ¿Cuál es la probabilidad de que le lleve más de 20 minutos? S OL UC IO N
a) Probabilidad de que 4 señales se generen en una hora: λ= 4 por hora t= 12 minutos K= 4
−4 × 4 = =%
4!
b) Probabilidad que la siguiente sea emitida en los 10 minutos posteriores:
= 1 − − = 1 − −4. 1⁄6 =% c) Promedio de señales que atiende un analista en 3 horas:
= 60 12 ×3= ñ d) Probabilidad que termine en 15 minutos:
= = 5
= 1 − − = 1 − −5. 1⁄4 =,% Probabilidad que termine en 20 minutos:
= 1 − − = 1 − −5. 1⁄3 =,% Problema 5
Para el problema del ejercicio numero 2, suponga que solamente existe un cajero. Cada hora puede atender un promedio de 12 clientes que llegan con una tasa de uno cada 7,5 minutos aproximadamente. En este sistema, los clientes tienen que esperar un promedio de 10 minutos antes de llegar al cajero. Utilice las relaciones de la sección 13.2.2 y la información dada para encontrar los valores de W, W q, L y Lq.
S OL UC IO N
( ) = × ( ) = ( ) = + 1µ ( ) = × a)
= 8 ℎ = 7,
b)
= + =
c)
= 8 × =
d)
= 8 × = 1,3 ≅ 1
µ = 12
=
Problema 6 – Simulación Monte Carlos
En la imagen inferior se muestra un análisis histórico de 200 días sobre el número de consultas diarias realizadas a un sistema de información empresarial (EIS) residente en un servidor central. Consultas EIS
Frec. Abs. (dias)
0
10
1
20
2
40
3
60
4
40
5
30
a) Usar Simulación Monte Carlo para estimar el número esperado (o medio) de consultas por día. S OL UC IO N
Consultas EIS
Frec. Abs. (dias)
Frec. Relativa
Frec. Relativa Ac.
Intervalos de números aleatorios asociados a cada suceso
0
10
0,05
0,05
[0,00 – 0,05)
1
20
0,10
0.15
[0,05 – 0,15)
2
40
0,20
0,35
[0,15 – 0,35)
3
60
0,30
0,65
[0,35 – 0,65)
4
40
0,20
0,85
[0,65 – 0,85)
5 TOTAL
30 200
0,15
1,00
[0,85 – 1,00)
1,00
Resultado: 2,9466 consultas esperadas por día
