Trabajo:
Problema 1.
Usted como estudiante de la universidad hace trabajitos para completar sus ingresos. Las solicitudes de trabajo llegan cada 5 días en promedio, pero el tiempo entre solicitudes es exponencial. El tiempo para terminar un trabajo también es exponencial con media 4 días. a. b. c.
¿u! ¿u!ll es es la la pro proba babi bili lida dad d "ue "ue Uste Usted d se se "ue "uede de sin sin tra traba bajjos# os# $i Ust Usted ed obti obtien ene e alre alrede dedo dorr de %5& %5& por por tra trabaj bajo, o, ¿cu ¿cu!l !l es es su ing ingre reso so men mensu sual al pro prome medi dio# o# $i al 'inal 'inal del semest semestre, re, Usted Usted decide decide subcon subcontra tratar tar los trabaj trabajos os pend pendien ientes tes s %4& %4& cada cada uno, uno, ¿cu!nto, en promedio, deber! pagar#, ¿cu!nto ganar! por esto#
Problema 2.
(urante a)os un detective ha tenido gran éxito en resolver cada caso criminal. $*lo es cuesti*n de tiempo antes de "ue cual"uier caso se resuelva. El detective admite "ue el tiempo por caso es +totalmente aleatorio pero, en promedio, cada investigaci*n le tomar! cerca de semana - media. un"ue los crímenes no son mu- comunes estos estos ocurren en 'orma aleatoria a ra/*n de 0 crímenes por mes. El detective busca un asistente para dividir la carga de trabajo pesado. nalice la petici*n del detective, en particular desde el punto de vista de lo siguiente1 a. b. c.
El n2me n2mero ro prom promed edio io de cas casos os "ue "ue esp esper eran an una una inv inves esti tiga gaci ci*n *n El porc porcen enta taje je de tiem tiempo po "ue "ue el dete detect ctiv ive e per perma mane nece ce ocup ocupad ado o El tiem tiempo po prom promed edio io nece necesa sari rio o par para a res resol olve verr un caso caso
Problema 3.
Los autos llegan a un peaje de acuerdo con una distribuci*n de 3oisson, con una media de & autos por hora. El tiempo para pasar la caseta es exponencial con media de 6 segundos. Los conductores se "uejan del largo tiempo de espera, - las autoridades est!n dispuestas a reducir el tiempo de paso promed promedios ios a & segund segundos os instal instaland ando o dispos dispositi itivos vos autom! autom!tic ticos os de cobro cobro del peaje, peaje, siempr siempre e "ue satis'agan dos condiciones1 a. b.
El n2me n2mero ro pro prome medi dios os de de auto autos s en esper espera a en el sis siste tema ma act actua uall exce exceda da 5 unid unidad ades es,, El porcen porcentaj taje e del del tiemp tiempo o inac inacti tivo vo de de la la caset caseta a con con el nuevo nuevo disp disposi ositi tivo vo inst instala alado do no no exced exceda a 7&8. ¿$e puede justi'icar el nuevo dispositivo# d ispositivo# 9usti'i"ue la respuesta
Problema 4.
Un restaurante de comida r!pida tiene una ventanilla de servicio para el auto. Los autos llegan de acuerdo con una distribuci*n de 3oisson con una tasa de 0 cada 5 minutos. El espacio 'rente a la ventan ventanill illa a puede puede acomod acomodar ar a lo sumo sumo 7& autos, autos, inclu-en inclu-endo do el "ue est! est! siendo siendo atendi atendido. do. $i es otros vehículos pueden esperar fuera de este espacio necesario, . El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 7.5 minutos. (etermine lo siguiente1 a. b. c. d.
La prob probab abil ilid idad ad de "ue "ue las las inst instal alac acio ione nes s est estén én ocio ociosa sas s El n2me n2mero ro espe espera rado do de clie client ntes es "ue "ue esp esper eran an el serv servic icio io El tie tiemp mpo o de esp esper era a esti estima mado do par para a "ue "ue el cli clien ente te lle llegu gue e a la la vent ventan anililla la - hag haga a un ped pedid ido o La pro proba babi bililida dad d de "ue "ue la líne línea a de espe espera ra exc exced eda a los los 7& espa espaci cios os de de capac capacid idad ad
Problema 5.
:esolver el problema anterior eliminando el texto en cursiva - subra-ado.
Problema 6.
Los clientes llegan a un banco de una ventanilla de atenci*n en el auto de acuerdo con una distribuci*n de 3oisson, con una media de 7& por hora. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 5 minutos. ;a- tres espacios 'rente a la ventanilla, inclu-endo el del auto al "ue se le est! dando el servicio. Otros vehículos que llegan se forman afuera de ese espacio para tres autos.
a. b. c.
¿u!l es la probabilidad de "ue un auto "ue llega pueda entrar en uno de los tres espacios# ¿u!l es la probabilidad de "ue un auto "ue llega espere 'uera del espacio designado de tres autos# Un cliente "ue llega, ¿cu!nto tiempo supone "ue esperar! antes de iniciar el servicio#
Problema 7.
En el modelo <=>=>7?1<(@>A>A?, dé un argumento plausible de por"ué Ls no es igual a L" B 7, en general. ¿Cajo "ue condiciones se cumpliera la igualdad# Problema 8.
Un restaurante tiene cupo para m!ximo 5& personas. Los clientes llegan en un 'lujo de 3oisson con una tasa de 7& por hora - son atendidos
¿u!l es la probabilidad de "ue un cliente "ue llega no coma en el restaurante por"ue no ha- cupo# $upongamos "ue tres clientes
Problema 9.
Los pacientes llegan a una clínica de acuerdo con una distribuci*n de 3oisson con una tasa de 0& pacientes por hora. La sala de espera no tiene lugar m!s "ue para 74 pacientes. El tiempo de examen por paciente es exponencial, con media de 6 minutos. a. b. c.
¿u!l es la probabilidad de "ue un paciente "ue llegue no espere# ¿u!l es la probabilidad de "ue un paciente "ue llega encuentre al menos un asiento vacío en la sala# ¿u!l es el tiempo de espera supuesto hasta "ue un paciente sale de la clínica#
Problema 10.
Las probabilidades 3n de n clientes en el sistema para un <=>=>7?1 <(@>5>A? se dan a continuaci*n. n 3n
& &.
7 &.04
0 &.75D
&.&
4 &.&D7
La tasa de llegadas es de 5 clientes por hora - la de servicios es de 6 clientes por hora.
a. b. c. d.
alcule la probabilidad de "ue un cliente "ue llega pueda entrar al sistema alcule la probabilidad de "ue un cliente "ue llega no pueda entrar al sistema alcule el n2mero esperado en el sistema alcule el tiempo de espera promedio en la cola
5 &.&6
Problema 11.
En <=>=>0? 1<(@>A>A?, el tiempo medio de servicio es de 5 minutos - el tiempo medio entre llegadas es de 6 minutos. a. ¿u!l es la probabilidad de una demora# Rpta: 1-(P0+P1) b. ¿u!l es la probabilidad de "ue al menos uno de los servidores esté inactivo# Rpta: 0.5*P1
c.
¿u!l es la probabilidad de "ue ambos servidores estén desocupados# Rpta: P0
Problema 12.
Un centro de c*mputo est! e"uipado con tres computadoras digitales, todas del mismo tipo capacidad. El n2mero de usuarios en el centro en cual"uier momento es igual a 7&. 3ara cada usuario, el tiempo para escribir un programa e introducir los datos, es exponencial con tasa media de &.5 por hora. El tiempo de ejecuci*n por programa est! exponencialmente distribuido con tasa media de 0 por hora. $uponiendo "ue el centro est! en operaci*n sobre una base de tiempo completo, - sin tomar en cuenta el e'ecto del tiempo "ue la computadora est! parada encuentre lo siguiente1 (M/M/3)(!/10/"#$)
a.
3robabilidad de "ue un programa no se ejecute inmediatamente se recibe en el centro Rpta: 1-(P0+P1+P2)
b.
Fiempo promedio hasta "ue un programa sale del centro
c.
G2mero promedio de programas "ue esperan su proceso
Rpta: %& Rpta: '
d.
G2mero esperado de computadoras inactivas Rpta: 3*P0 + 2*P1 + 1*P2
e.
3orcentaje de tiempo "ue el centro est! sin trabajo
'.
3orcentaje promedio de tiempo ocioso por computadora
Rpta: P0 Rpta: P0
Problema 13.
Un aeropuerto da servicio a tres tipos de pasajeros1 los "ue llegan de las !reas rurales, los "ue llegan de las !reas suburbanas - los viajeros en tr!nsito "ue cambian de avi*n en el aeropuerto. La distribuci*n de llegadas para cada uno de los tres grupos se supone de 3oisson con tasa media de 7&, 5 - por hora, respectivamente. $uponiendo "ue todos los clientes re"uieren el mismo tipo de servicio en la terminal - "ue el tiempo de servicio es exponencial con tasa media de 7& por hora, ¿cu!ntos puestos de servicio deber!n tenerse en la terminal seg2n cada una de las siguientes condiciones# a.
El tiempo promedio de espera en el sistema por cliente no exceder! de 75 minutos Rpta: 1) 2 2) 1 3) 3
b.
El n2mero esperado de clientes en el sistema ser! a lo m!s 7& Rpta: 1) 5 2) 1 3) 2
c.
La probabilidad de todos los puestos o terminales de servicio no exceder! &.77 Rpta: 1) 3 P30.06 2) 2 P20.07
Problema 14.
En un banco los clientes llegan seg2n una distribuci*n de 3oisson con media de D por hora. El tiempo de servicio por cliente es exponencial con media de &.&5 horas. $uponiendo "ue el sistema puede acomodar a lo m!s & clientes a la ve/, ¿cu!ntos cajeros deber!n suministrarse seg2n cada una de las condiciones siguientes#
a. b.
La probabilidad de tener m!s de tres clientes esperando sea menor "ue &.0& Go exceda de tres el n2mero de clientes "ue espera en el sistema
Problema 15.
En un lote de estacionamiento existen 7& espacios solamente. Los autom*viles llegan seg2n una distribuci*n de 3oisson con una media de 7& por hora. El tiempo de servicio est! exponencialmente distribuido con media de 7& minutos. (etermine lo siguiente1 a. b. c.
G2mero esperado de espacios de estacionamiento vacíos. 3robabilidad de "ue un autom*vil "ue llegue no encontrar! un espacio para estacionarse Fasa e'ectiva de llegadas al sistema.
Problema 16.
(etermine el n2mero mínimo de servidores paralelos necesarios en cada una de las siguientes situaciones, llegadas de 3oisson> $alidas exponenciales, para garanti/ar "ue la operaci*n de la situaci*n de colas ser! estable - "ue el sistema no explotar!.
a. Los clientes llegan cada 5 minutos - los atienden a ra/*n de 7& clientes por hora1 b. El tiempo promedio entre llegadas es de dos minutos - el tiempo de servicio promedio es de D c. La tasa de llegadas es de & clientes por hora - la tasa de servicio por servidor es de 4& clientes por hora Problema 17.
El estacionamiento para vehículos de la U. est! limitado s*lo 5 espacios. Los autos llegan de acuerdo con una distribuci*n de 3oisson a ra/*n de dos cada 0& minutos en promedio. El tiempo de estacionamiento se distribu-e de manera exponencial con media de & minutos. Los visitantes "ue no encuentren un espacio vacío a su llegada esperan dentro del establecimiento temporal hasta "ue un vehículo estacionado salga. Ese espacio temporal tiene capacidad para s*lo dos autos. Fodos los dem!s "ue no puedan estacionarse o encontrar un espacio de espera temporal deben ir a otra parte. 3or 'avor complete la in'ormaci*n del recuadro - luego determine lo siguiente1 a. b. c. d.
La probabilidad de "ue el pr*ximo auto "ue llegue pueda ingresar al sistema La probabilidad de "ue el pr*ximo auto ingrese, pero no al estacionamiento temporal G2mero promedio de autos en el estacionamiento G2mero promedio de espacios de estacionamiento ocupados
Problema 18.
Una línea aérea internacional tiene 4 aviones jumbo 4 - se ha observado el comportamiento de éstos desde 76&, en especial de las 'allas de las turbinas. $e encontr* con base en esta in'ormaci*n "ue los da)os en las turbinas ocurren seg2n un proceso de 3oisson con media de 7 por a)o, - los tiempos de reparaci*n son exponenciales con promedio de 45 días. (urante el período de reparaci*n el avi*n permanece inactivo. a. b. c. d.
La probabilidad de "ue no se encuentre ning2n avi*n jumbo en reparaci*n El n2mero promedio de aviones en el sistema El tiempo promedio de espera en la cola
Problema 19.
los conductores nuevos se les pide pasar un examen escrito, antes de hacer las pruebas de manejo. Los ex!menes escritos suelen hacerse en el departamento de policía de la ciudad. La cantidad de ex!menes escritos es de 7&& por día de 6 horas. El tiempo necesario para contestar un examen es de
& minutos, m!s o menos. $in embargo, la llegada real de los aspirantes - el tiempo "ue tarda cada uno en contestar son totalmente aleatorios. (etermine lo siguiente1 a. La cantidad promedio de asientos "ue debe tener el departamento de policía en el sal*n de ex!menes b. La probabilidad de "ue los aspirantes rebasen la cantidad promedio de asientos "ue haen el sal*n de ex!menes c. La probabilidad de "ue en un día no se haga un examen alguno Problema 20.La compa)ía arrendadora de autom*viles $amm- opera su propia instalaci*n de lavado
- limpie/a de autom*viles para prepararlos para su renta. Los autom*viles llegan a las instalaciones de limpie/a en 'orma aleatoria a una tasa de 5 por día. La compa)ía arrendadora ha determinado "ue los autom*viles pueden limpiarse aun ritmo de 0n por día, en donde n es el n2mero de personas "ue trabajan en un autom*vil. 3or ejemplo, si se encuentran 4 personas trabajando la tasa de lavado es de 6 autom*viles por día. $e ha determinado "ue este procedimiento de lavado se ajusta a la distribuci*n exponencial negativa. La compa)ía les paga a sus trabajadores %& por día - ha determinado "ue el costo por un autom*vil "ue no esté disponible para rentarlo es de % 05 por día. (etermine el n2mero de empleados "ue deben contratarse en la instalaci*n de lavado, para "ue se produ/ca el menor costo Mo,elo
a&a ,e llea,a&
a&a ,e &ero
(M/M/):(!/"#$/"#$)
5 /!"
2*/,a
Ro
Escriba la ecuaci*n del costo total H IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Fasa de llegadas Fasa de servicios Longitud del sistema Fiempo en el sistema osto de los empleados osto de espera osto total
3 5 6 5 1 3*3090 5*25125
4 5 8 1.66 0.13 4*30120
5 5 10 1 0.2 5*30150
6 5 12 0.71 0.14 6*30180
1.66*2541.5
1*2525
0.71*2517.75
90+125215 120+41.5161.5 150+25175 180+17.75197.75
En concreto la decisi*n 'inal es1 ontratar %IIIIII 161.5 IIIIIIIII.
IIII 4 Frabajadores, con un
costo total de
Problema 21.Se está planeando instalar una variedad especial de cajeros automáticos en la Universidad. Cada cajero automático será especial porque permitirá sólo hacer retiros (necesidad común en la universidad). Puesto que el cajero sólo permitirá retiros, tendrá un tiempo deterministico de servicio de ! se"undos. Si las lle"adas son aleatorias # a ra$ón de %! por hora. &etermine lo si"uiente'
a.
=odelo1IIIIIIIIIIII J1 IIIIIIIIIIIIIII K1IIIIIIIIIIIII 1 IIIIIIIIIIII
b.
Fiempo promedio
c.
En promedio, ¿u!ntos estudiantes estar!n en espera de hacer IIIIIIIIIIIIIIIIIIII ¿u!ntos en el sistema# IIIIIIIIIIIIIIIIIIII
la
retiros#
Problema 22.
Escriba M o N seg2n el enunciado propuesto1 El n2mero de personas en la cola signi'ica el n2mero de ellas "ue est! en el sistema El tiempo de servicio inclu-e el tiempo de espera La distribuci*n exponencial es una distribuci*n de un par!metro "ue se de'ine por una desviaci*n est!ndar La probabilidad de desertar en un sistema siempre es cero El modelo b!sico es el =>=>$, abierto o cerrado $i aumenta el n2mero de servidores, por lo general disminu-e el tiempo de servicio La notaci*n @>=>0, signi'ica "ue la distribuci*n del servicio es general, "ue la distribuci*n de llegadas es exponencial - "ue ha- dos servidores paralelos Un sistema vacío es lo mismo "ue un sistema ocupado uando un sistema est! desocupado el pr*ximo cliente "ue llega no espera En los modelos abiertos, la intensidad del tr!'ico por estaci*n no tiene controles Problema 23.
la biblioteca de la U llegan los estudiantes al a/ar. uando salen de ella deben abrir cuales"uier bolso, porta'olios, etc., "ue traigan para "ue el dependiente veri'i"ue si no ha- robos de libros, revistas
o documentos. El tiempo "ue se re"uiere para hacer esta veri'icaci*n es de duraci*n aleatoria debido al di'erente n2mero de libros - bolsas "ue los estudiantes llevan. $e ha determinado "ue la tasa promedio de llegadas es 0& estudiantes por hora - "ue el tiempo promedio para reali/ar la revisi*n de bolsas es de un minuto. a. =odelo1IIIIIIIIIIIIII J1 IIIIIIIIIIIIIII K1IIIIIIIIIIIII 1 IIIIIIIIIIII b. ¿Oué tiempo
un taller llegan los pedidos de reparaciones en 'orma de distribuci*n 3oisson a un promedio de 4 clientes > hora. El operario "ue los inspecciona para diagnosticar las reparaciones a hacer e'ect2a dicha actividad en una 'orma normalP en promedio tal inspecci*n le toma D minutos. :eali/ando la evaluaci*n de tiempos - movimientos se encontr* "ue el tiempo de servicio normalmente distribuido tiene una H &.705. alcular las características de operaci*n del sistema. Problema 25.
Una m!"uina 'otocopiadora es utili/ada por secretarias de una o'icina para obtener las copias "ue su secci*n re"uiereP como la magnitud del trabajo di'iere de acuerdo al n2mero de copias "ue cada "uien traiga, se hi/o un an!lisis el cual dej* concluir "ue la m!"uina tiende a un proceso de 3oisson con un promedio de 6 trabajos por hora. Los re"uerimientos de utili/aci*n son también aleatorios de acuerdo a un proceso 3oissoniano con una tasa media de 5 trabajos por hora. alcular las características de utili/aci*n de la 'otocopiadora. Problema 26.
Una ompa)ía debe tomar una decisi*n con respecto a su política de contratar un mec!nico para reparar un mecanismo "ue se descompone con una tasa promedio de 4 por hora de acuerdo con una distribuci*n 3oissonP el tiempo improductivo de cual"uiera de los mecanismos est! costando %5&&& por hora a la Empresa. La ompa)ía puede contratar dos tipos distintos de mec!nicos1 uno lento, pero poco costoso a %05&& por hora - el otro r!pido, pero m!s costoso a %45&& por horaP el mec!nico lento puede reparar exponencialmente los mecanismos a una tasa promedio de D por hora, mientras "ue el mec!nico r!pido repara exponencialmente a ra/*n de 6 por hora. Cas!ndose en los datos anteriores cu!l mec!nico debe contratarse#
LEGFQ S H 4clientes>h u H Dclientes>h Q$FQesp H %5&&&>h s H %05&&>h F H <7? <05&&? B <0? <5&&&? F H %705&&>;
:3R(Q SH 4clientes>h uH 6clientes>h Q$FQesp H %5&&&>h s H %45&&>h F H <7? <45&&? B <7? <5&&&? F H %5&&>;
