4. Teoría de Colas - Ejercicios

Teoría de Colas Problema 1 M/M/1 Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. Realice un análisis acerca de la situación actual del Banco. Solución: =10 clientes/hora =/=7/10=0.7

=7 clientes/hora s=1 (una estación de servicio)

Po=1-0.7=0.3

L

  



7 7   2.33 10  7 3

2 72   1.63  (    ) 10 (10  7) 1 1 1 W    0.33    10  7 3  7 Wq    0.233  (    ) 10 (10  7) Lq 

Según los datos obtenidos el sistema está ocupado el 70% del tiempo, vacío el 30% del tiempo; en promedio hay 2.33 clientes en el sistema y 1.63 en la cola; el tiempo promedio de un cliente en el sistema de 0.33 horas = 20 minutos y un tiempo promedio de un cliente en la cola de 0.233 horas = 14 minutos. Problema 2. M/M/s Suponga que se coloca un segundo cajero bancario en el problema antes descrito. ¿Qué tanto se mejorará el servicio? De sus conclusiones y recomendaciones para el Banco. Solución: s=2 número de servidores

=7 clientes/hora

=10 clientes/hora

 7   0.35 k 2(10 ) 1 1 Po    0.48148 0 1 2 1  0.7  0.3769 7 7 7        10    10    10   1    0! 1! 2!  1  0.35  

L

7(10 )( 7 / 10 ) 2 (0.48148 )  7 / 10  0.7977 clientes en el sistema (2  1)! (2(10 )  7) 2

Lq = 0.7977 – 7/10 =0.0977 clientes en cola W=L/=0.7977/7=0.11396 horas

Wq=Lq/ =0.0977/7=0.01396 horas

Con dos cajeros las estadísticas de los clientes mejoraran dramáticamente. Ahora se tiene un promedio de solamente 0.0977 clientes en la línea y el cliente esperara en promedio solamente 0.0139 horas para recibir el servicio (menos de un minuto). El costo de este buen servicio es que los prestadores de éste solamente están ocupados durante el 35% de su tiempo. A menos que se desee un servicio extraordinariamente bueno el banco no deseará incurrir en el gasto de un segundo cajero. Puede tomarse en consideración en las horas pico. Problema 3. M/M/s En un restaurante se vende comida para llevar y tratan de determinar cuántos servidores o colas deben trabajar el turno del almuerzo. Durante cada hora llegan en promedio 100 clientes al restaurante. Cada cola puede manejar en promedio 50 clientes por hora. Un servidor cuesta 5 $/hora y se carga un costo de 20 $ por cada cliente que espere en la cola durante 1 hora. Calcule el número de colas que minimice el costo. Solución: =100 clientes/hora

=50 clientes/hora

1 servidor ------- 5 $/hora s servidores ------ 5s

20 $ por cada cliente que espera en la cola por hora = 20*Wq Costo total = 5s + 20Wq $/hora s=?



100 1 50s

=100/2(50)=1

2 1 s

s>2

3, 4,.... 

pero 1

Aunque se realice el cálculo con s=2 los resultados serían colas infinitas. Se deja al estudiante que lo compruebe. Con s=3 =100/3(50)=2/3=0.667 2 1 (100 / 50 ) 0 (100 / 50 )1 (100 / 50 ) 2 A    1 2  2  5 0! 1! 2! A B n 0 (100 / 50 ) 3  1  B  4 3! 1  0 . 667   1 1 Po    0.111 54 9 (100 )(50 )(100 / 50 ) 3 26 L (1 / 9)  (100 / 50 )   2.89 2 3  1!(3(50 )  100 ) 9

Po 

Lq = 2.89 – 100/50 = 0.89 W =L/ = 2.89/100 = 0.0289 horas = 1.73 minutos Wq = Lq /  = 0.89/100=0.0089 horas CT=5(3) + 20(0.0089)=15.18 $/hora Con s=4 Al utilizar s=4 servidores el costo de servidores es 5*4 = 20 y por lo tanto mayor que el costo total con 3 tres servidores. Obviamente ya no es necesario calcular el costo de espera. En conclusión, se deben tener 3 Servidores.

Problema 4. M/M/1 Se están llevando a cabo planes para la expansión de una pequeña empresa. La capacidad actual es de 6 pedidos promedio por turno. Los registros de pedidos recientes muestran un promedio de 4 pedidos por turno. El patrón de llegada de pedidos se ajusta aproximadamente a una distribución de Poisson y el de tiempos de servicio a la distribución exponencial. Cuando se amplíe la planta, se espera la llegada de 6 pedidos por turno. Con la capacidad actual y los nuevos pedidos se tendría una utilización = 6/6 = 1, que parece muy conveniente hasta que se calcula el número promedio de pedidos en cola y servicio:

L

  



6 6   66 0

(muy grande)

Se dispone de dos alternativas que tienen un costo anual equivalente: a) Agregar equipo nuevo e incrementar el personal para aumentar la capacidad de la instalación actual a 12 pedidos por turno. b) Construir una nueva estación de servicio capaz de satisfacer 6 pedidos por turno, con los tiempos de servicio siempre distribuidos exponencialmente (y operar con las dos). Solución: =6

a) La alternativa de un solo servidor con:

=12

Probabilidad de estar ociosa = Po = 1 -6/12 = 0.5 Número promedio de pedidos que esperan servicio = Lq 

Tiempo de espera + tiempo de fabricación =

W

2 62   0 .5  (    ) 12 (12  6)

1 1 1    0.167 turnos    12  6 6

Te + Tf = 0.167 * 8 hrs/turno = 1.33 hrs. b) Para la segunda alternativa, con 2 canales (s=2) y c/u con = =6, tenemos:

Po 

1 0

1

2

6 6 6       6  6  6  1    0! 1! 2!  1  0.5 



1  0.333 111

( 6 / 6) 3 L (0.333 )  6 / 6  1.33 (2  1)!(2  6 / 6) 2 W =L/ = 1.33/6 = 0.22 turnos * 8 hrs/turno = 1.76 hrs. En conclusión, una instalación grande proporciona mejor servicio teórico que un número equivalente de instalaciones más pequeñas. Se debe comprobar si los costos anuales de capital más los de operación son realmente los mismos. El estudio también debe incluir otros factores como la conveniencia para los clientes de una sola localización frente a dos.