PROBLEMAS DE LINEAS DE ESPERA O DE TEORIA DE COLAS 1. Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Determine a. La probabilidad de que Sam este de ocioso b. La proporción de tiempo en que Sam está ocupado. c. El número total de perros que están siendo vacunados y que esperan a ser vacunados d. El número promedio de perros que esperan a ser vacunados 2. Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de estas es de 20 segundos. Actualmente parecen ser relevantes en esta situación. Determine a. La probabilidad de que el operador este ocupado b. El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador c. solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial El número de llamadas que esperan ser contestadas 3. Al principio de la temporada de futbol, la oficina de boletos se ocupa mucho el día anterior al primer juego. Los clientes llegan a una tasa de cuatro llegadas cada 10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transacción es de dos minutos. Determine a. El número promedio de gente en línea b. El tiempo promedio que una persona pasaría en la oficina de boletos c. La proporción de tiempo que el servidor está ocupado 4. Electronics Corporation retiene una brigada de servicio para reparar descomposturas de máquinas que ocurren con promedio de tres por día (aproximadamente de naturaleza de Poisson). La brigada puede servir a un promedio de ocho máquinas por día, con una distribución de tiempo de reparación que se asemeja la distribución de exponencial. a. La tasa de utilización de este sistema b. El tiempo promedio de descompostura para cada máquina que está descompuesta c. Las máquinas que están esperando a ser reparadas el cualquier momento dado
d. La probabilidad de que haya una máquina en el sistema, dos, tres o más máquinas en el sistema. 5. Una empleada administra un gran complejo de cines llamados Cinemark 1, 2, 3 y 4. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una película diferente, el programa se estableció de tal forma que las horas de las funciones se encuentren escalonadas para evitar las multitudes que ocurrirían si los cuatro cines comenzarán a la misma hora. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede mantener una tasa de promedio de servicio de 280 clientes por hora. Se supone que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. La llegada en un día son distribución de Poisson y promedian 210 por hora. a. Encuentre el número promedio de cinéfilos esperando en la línea para adquirir un boleto b. Qué porcentaje del tiempo está ocupado el cajero. c. Cuál es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema. d. Cuál es el tiempo promedio que pasa esperando en la línea para llegar a la taquilla. e. Cuál es la probabilidad de que haya más de dos personas en la cola. 6. Kamal’s Deparment Store mantiene satisfactoriamente un departamento de ventas por catálogo en el cual el empleado toma las órdenes por teléfono: Si el empleado está ocupado en la línea, las llamadas telefónicas entran automáticamente al departamento de catálogos y son contestadas por una grabadora y solicita esperar. Tan pronto el operador este libre y se comunica con el cliente que ha esperado mas. Las llamadas llegan a una tasa de 12 por hora. El empleado es capaz de tomar una orden en un promedio de cuatro minutos. Las llamadas tienen que seguir una distribución de Poisson y los tiempos de servicio tienden a ser exponenciales. Al empleado se le pagan a 5 pesos la hora, pero debido a la buena voluntad, perdida y las ventas, la empresa pierde aproximadamente 25 dólares por hora de tiempo que el cliente pasa esperando para que el empleado le tome la orden. a. Cuál es el tiempo promedio que los clientes de catálogo deben de esperar, antes de que sus llamadas sean transferidas al empleado que recibe las ordenes b. Cuál es el número promedio de llamadores que esperan para colocar la orden. c. La empresa está considerando añadir un segundo empleado para tomar las llamadas. La tienda pude pagar a esa persona 5 dólares la hora.¿ Debe de contratar otro empleado? 7. Willow Brook National Bank opera una ventanilla de cajero para automovilistas que permite a los clientes efectuar transacciones bancarias completas sin tener que salir de su auto. En las mañanas, las llegadas a la ventanilla del cajero automotriz ocurren de manera aleatoria, con una tasa media de llegadas de 24 clientes por hora, es decir 0,4 clientes por minuto.
a. ¿Cuál es el número medio o esperado de clientes que llegarán en un periodo de 5 minutos? b. Suponga que se puede utilizar una distribución de probabilidad Poisson para describir el proceso de llegadas. Utilice la tasa media de llegadas del inciso (a) y calcule las probabilidades de que exactamente 0, 1, 2 y 3 clientes lleguen durante un periodo de 5 minutos. c. Se espera que haya atrasos, si llegan más de 3 clientes durante cualquier periodo de 5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran estos atrasos. 8. En el sistema de líneas de espera de Willow Brook National Bank, suponga que los tiempos de servicio para el cajero destinado a automovilistas siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de 36 clientes por hora, es decir 0,6 clientes por minuto. Utilice una distribución de probabilidad exponencial para responder las preguntas que siguen: a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de 1 minuto o menos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de 2 minuto o menos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea más de 2 minutos? 9. Utilice la operación del cajero automotriz de un solo canal de los problemas (1) y (2) para determinar las siguientes características de operación del sistema. a. La probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema b. El número promedio de clientes esperando c. El número promedio de clientes en el sistema d. El tiempo promedio que ocupa un cliente esperando e. El tiempo promedio que ocupa un cliente en el sistema f. La probabilidad de que clientes que llegan, tengan que esperar servicio g. Encuentre las probabilidades de 0, 1, 2 y 3 clientes en el sistema h. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 clientes simultáneamente en el sistema de cajero automotriz? 10. La mesa de consultas de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Suponga que se puede utilizar una distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa media de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegadas y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de 12 solicitudes por hora
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna solicitud de ayuda en el sistema? b. ¿Cuál es el número promedio de solicitudes que están esperando servicio? c. ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos, antes de que se inicie el servicio? d. ¿Cuál es el tiempo promedio en la mesa de consultas en minutos (tiempo de espera más tiempo de servicio)? e. ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar servicio? 11. Los camiones que utilizan un andén de carga de un solo canal llegan según una distribución de probabilidad de Poisson. El tiempo requerido para cargar y descargar sigue una distribución de probabilidad exponencial. La tasa media de llegadas es de 12 camiones diarios y la tasa media de servicio es de 18 camiones diarios. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya camiones en el sistema? b. ¿Cuál es el número promedio de camiones esperando servicio? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un camión a que se inicie el servicio de carga y descarga? d. ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar? 12. Un vivero de pedidos por correo se especializa en hayas europeas. Los nuevos pedidos, que procesa un solo oficinista de embarques, tienen una tasa media de llegadas y servicio de 6 y 8 diarios, respectivamente. Suponga que las llegadas siguen un distribución de probabilidad Poisson y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. a. ¿Cuál es el número promedio de pedidos en el sistema? b. ¿Cuál es el tiempo promedio que tarda una orden esperando, antes de que el oficinista esté disponible para iniciar el servicio? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que un pedido ocupa en el sistema? 13. El Banco Nacional de Occidente piensa abrir una ventanilla de servicio en automóvil para servicio a los clientes. La gerencia estima que los clientes llegarán a una tasa de 15 por hora. El cajero que estará en la ventanilla puede atender clientes a una tasa de uno cada tres minutos. Suponiendo que las llegadas son de Poisson y que el servicio es exponencial, encuentre: a. La utilización del cajero. b. El número promedio en cola. c. Número promedio en el sistema. d. Tiempo promedio de espera en cola. e. Tiempo promedio de espera en el sistema (incluyendo el servicio).
Por la disponibilidad limitada de espacio y el deseo de proporcionar un nivel de servicio aceptable, el gerente del banco quisiera asegurar, con un 95% de certeza que los clientes no tengan que esperar y sean atendidos inmediatamente. Para ello tiene dos opciones: conseguir que el empleado de la ventanilla trabaje más rápido, o poner más empleados conservando la misma tasa de servicio. Evaluar las dos posibilidades 14. En el departamento de servicio del concesionario de automóviles GlennMark, los mecánicos que necesitan recambios para la reparación o el servicio de un automóvil presentan sus formularios de solicitud en el mostrador del departamento de recambios. El empleado del departamento llena una solicitud y va a buscar el repuesto que le ha pedido el mecánico. Los mecánicos llegan en forma aleatoria (Poisson) a una tasa de 40 por hora mientras que el empleado puede completar 20 solicitudes por hora (exponencial). Si el coste de un empleado del departamento de recambios es de 6 $/hora y el de un mecánico es de 12 $/hora, determinar el número óptimo de empleados para el mostrador. (Por la alta tasa de llegadas, se puede suponer una población infinita) 15. Una empresa de ingeniería contrata a un especialista técnico para que auxilie a cinco ingenieros de diseño que trabajan en un proyecto. El tiempo de ayuda del especialista varía considerablemente; algunas de las respuestas las tiene en la cabeza; otras requieren cálculos; y otras más requieren mucho tiempo de investigación. En promedio, el especialista tarda una hora con cada solicitud. Los ingenieros requieren el apoyo del especialista una vez al día, en promedio. Puesto que cada ayuda tarda aproximadamente una hora, cada ingeniero puede trabajar siete horas, en promedio, sin ayuda. a. ¿Cuántos ingenieros, en promedio, esperan ayuda del especialista técnico? b. ¿Cuál es el tiempo promedio que tiene que esperar un ingeniero al especialista? c. ¿Cuál es la probabilidad de que un ingeniero tenga que esperar en cola al especialista? 16. L. Winston Martín es un alergólogo de Tucson con un excelente sistema para atender a sus clientes habituales que sólo van por inyecciones antialérgicas. Los pacientes llegan por una inyección y llenan una papeleta, la cual se coloca en una rendija que comunica con otra sala, donde están una o dos enfermeras. Se preparan las inyecciones específicas para un paciente y se le llama por el sistema de megafonía para que pase a la sala para la inyección. A ciertas horas del día, baja la carga de trabajo y solo se requiere una enfermera para aplicar las inyecciones. Centrémonos en el más sencillo de los dos casos, es decir, cuando sólo hay una enfermera. Suponga también que los pacientes llegan de forma aleatoria y que la tasa de servicio de una enfermera está distribuida exponencialmente. Durante el periodo más lento, los pacientes llegan aproximadamente cada tres minutos. La enfermera necesita dos minutos para preparar el suelo del paciente y aplicar la inyección.
1. ¿Cuál es promedio de personas que estarían en el consultorio del Dr. Martín? 2. ¿Cuánto tiempo tardaría una persona en llegar, recibir la inyección y salir? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que estén tres o más pacientes en el consultorio? 4. ¿Cuál es la utilización de la enfermera? 17. Una empresa de reproducción gráfica tiene cuatro unidades de equipo automáticas, pero que en ocasiones están fuera de servicio porque requieren suministros, mantenimiento o reparación. Cada unidad requiere mantenimiento aproximadamente 2 veces por hora o, para ser más precisos, cada unidad de equipo funciona durante un promedio de 30 minutos antes de requerir servicio. Los tiempos de servicio varían, desde un mantenimiento sencillo (como oprimir un botón de reinicio o colocar el papel) hasta una complicada operación de desmontaje del equipo. Sin embargo, el tiempo promedio de servicio es de cinco minutos. El tiempo de inactividad del equipo ocasiona una pérdida de 20 dólares por hora. El único empleado de mantenimiento recibe 6 $/hora. Utilice el análisis de colas con población finita para calcular: 1. El número promedio de unidades en cola. 2. El número promedio de unidades en operación. 3. El número promedio de unidades en el sistema de mantenimiento. 4. La empresa piensa contratar a otro empleado de mantenimiento a 6 $/hora. ¿Debe hacerlo? 18. Durante la feria, el puesto de coches de choque tiene el problema de que los coches se averían y requieren reparaciones con demasiada frecuencia. Se puede contratar personal para las reparaciones a 15 $/hora, pero sólo trabajan en equipo, es decir, si se contrata a una persona, trabaja sola; si son dos, tres o cuatro personas, sólo pueden trabajar juntas en la misma reparación. Una única persona puede reparar vehículos en un tiempo promedio de 30 minutos; dos personas tardan 20; tres tardan 15 minutos y cuatro, 12 minutos. Si un vehículo está inactivo, las pérdidas ascienden a 20 $/hora. El promedio de averías en vehículos es de dos por hora (suponer población infinita y todas las distribuciones exponenciales). ¿A cuántas personas hay que contratar para las reparaciones? 19. Una tienda de bebidas ha determinado que es económicamente factible añadir una ventanilla para dar servicio a los automóviles, con espacio para dos vehículos: uno en la ventanilla y otro esperando. El dueño quiere saber si le conviene alquilar más espacio de espera. Se espera que los automóviles lleguen (según una distribución de Poisson) a una tasa de ocho por hora. En la ventanilla se puede atender a una tasa de 10 automóviles por hora (exponencial). Cada transacción deja un beneficio de 1 $, y el dueño piensa abrir 12 horas al día, 6 días por semana y 52 semanas al año. Los espacios adicionales cuestan 2000 $/año cada uno. ¿Cuántos vale la pena alquilar?.
20. Se trata de elegir entre dos tipos de equipo de manejo de materiales, A y B, para transportar cierto tipo de bienes entre distintos centros de producción dentro de un taller. La necesidad de una unidad de este equipo para mover una carga es en esencia aleatoria (es decir, sigue un proceso de entradas Poisson) con una tasa media de 4 por hora. El tiempo total requerido para mover una carga sigue una distribución exponencial, con media 12 minutos con el equipo A y 9 minutos con el B. El coste total uniforme equivalente por hora (coste de recuperación de capital más el coste de operación) sería 50 $ para A y 150 $ para B. Se estima que el coste de los bienes inútiles (en espera de ser transportados o en tránsito) causados por el aumento de inventario de materiales en proceso es 20 $/hora y carga. Además, la programación de trabajo en los centros de producción proporciona sólo una hora entre la terminación del proceso de una carga en un centro y la llegada de esa carga al siguiente centro. Así, debe asociarse un coste de 100 $/carga y hora de retraso (incluyendo el tránsito) después de la primera hora, por pérdida de producción debida al personal y equipo desocupados, costes extras para acelerar la producción y supervisarla, etc. Suponiendo que sólo se comprará un equipo de manejo de materiales, ¿cuál de los dos deberá seleccionarse?
