PRUEBA DE HIPÓTESIS 1. Las tensiones de ruptura de los cables fabricados por una empresa tienen una media de 1800 lb y una desviación típica de 100 lb. Se desea comprobar si un nuevo proceso de fabricación aumenta dicha tensión media. Para ello se toma una muestra de 50 cables y se encuentra que su tensión media de ruptura es 1850 lb. ¿Se puede afirmar la mejoría del nuevo proceso con α
= 0.01?
Sol. Rechaza Ho, Z = 3.55 y Z crítico = 2.33.
2. La altura media de 50 estudiantes varones con aptitudes superiores a la normal en actividades deportivas universitarias es 68.2 in con desviación típica de 2.5 in, mientras que 50 poco adictos al deporte dan una media de 67.5 in con desviación desviación típica de 2.8 in. Contrastar Contrastar la hipótesis de que los estudiantes que practican deportes son más altos que los demás. Sol. Z = 1.32, Z crítico = 1.645, No rechazar Ho.
3. Un sondeo de 300 votantes del distrito A y 200 del B dan 56% y 48% respectivamente de votos a favor de un cierto candidato. Al nivel de significancia 0.05, determinar si hay diferencias en las preferencias al candidato. Sol. Z = 1.75, Z crítico = 1.96, no se rechaza Ho. 4. A tire manufacturer claims that the variance of the diameters in a certain tire model is 8.6. A random sample of ten tires has a variance of 4.3. At α = 0.01, is there enough evidence to reject the manufacturer’s claim? Assume the population is normally di stributed.
Sol. No se rechaza Ho,
, df = 9, valor inferior = 1.734, , 1.734, límite superior = 23.589. 23.589.
INTERVALOS DE CONFIANZA/ REGLA EMPÍRICA 1) Los puntajes de los estudiantes del último año que realizan la sección verbal del examen SAT en un año en particular con μ = 490 y σ = 100 . La distribución de las notas del SAT tiene una forma de campana. A. ¿Qué porcentaje tuvo una nota entre 390 y 590 en el test? Sol. 68%. B. Una Universidad únicamente admite estudiantes que se encuentran dentro del 16% más alto de las notas en el test. ¿Cuánto debería obtener un estudiante como mínimo para Sol. Nota > 590. asegurar su admisión a la Universidad? 2) Hallar los intervalos de confianza del 95% y 99% para estimar la altura media de 100 estudiantes, cuyo promedio de altura es 67.45 in y cuya desviación es 2.94 in. Sol. IC 95%: 66.88 – 68.02; IC 99%: 66.691 – 68.208.
3) Las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 200 bolas de rodamientos producidas por una máquina en una semana, dieron una media de 0.824 cm y una desviación típica de 0.042 cm. Hallar los límites de confianza del 99% para el diámetro medio de todas las bolas producidas. Sol. 0.824 ± 0,008cm. 4) Un sondeo de 100 votantes elegidos al azar en un distrito indica que el 55% de ellos estaban a favor de un cierto candidato. Hallar los límites de confianza del 95 y 99.73% para la proporción de todos los votantes favorables a ese candidato. Sol. 95%: 0.55 ± 0.10; 99.73%: 0.55 ± 0.15.
5) ¿De qué tamaño se debería tomar el sondeo del problema anterior para tener confianza al Sol. N 385 y N 901. 95% y 99.73% de que el candidato saldrá elegido? 6) Una muestra de 150 lámparas del tipo A ha dado una vida media de 1400 horas y una desviación típica de 120 hrs. Una muestra de de 100 lámparas del tipo B dan vida media de 1200 hrs y desviación típica de 80 hrs. Hallar los límites de confianza del 95% y 99% de las diferencias de las vidas medias de las poblaciones de ambos tipos. Sol. 95%: 200 ± 24.8; 99%: 200 ± 32.6.
7) La desviación típica de las vidas medias de una muestra de 200 bombillas es de 100 hrs. Hallar los límites de confianza del 95% y 99% para la desviación típica de este tipo de bombillas. Sol. 95%: 100 ± 9.8; 99%: 100 ± 12.9.
8) Los voltajes de 50 baterías del mismo tipo tienen una media de 18.2 V y una desviación típica de 0.5V. Hallar el error probable de la media y los límites de confianza al 50%. Sol. 0.048, 18 ± 0.048V.
TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL 1) Si X ~ N (40,10), calcular Pr (39 X 41) para n=10. ¿En qué intervalo se obtendrán el 95% de Sol. (0.24816; 33.802; 46.198). los resultados? 2) Si el contenido en gr. de un determinado medicamento X sigue una distribución N (7.5, 0.3), calcular la probabilidad de que para una muestra de tamaño n=5, se obtenga una media Sol. 0.0001. menor que 7. 3) Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300Kg. Si el peso de un individuo sigue una distribución N (71, 7), calcular la probabilidad de que el peso de 4 individuos supere los 300Kg. Sol. 0.1265. 4) Calcular la probabilidad de que la media normales y n = 5.
se encuentre entre X
3S para poblaciones Sol. 0.9974
.
5) Calcular un intervalo de confianza al nivel = 0.05 para la probabilidad de que un recién nacido sea niño si en una muestra de tamaño 123 se han obtenido 67 niños. Sol. (0.0456706, 0.632725).
6) Calcular qué tamaño muestral debemos tomar para obtener partir de una muestra de una población N ( ,3).
con una precisión de 0.001 a Sol. 34574400.
7) Se ha hecho un estudio sobre la proporción de enfermos de cáncer de pulmón detectados en hospital que fuman, obteniéndose que de 123 enfermos 41 de ellos eran fumadores. Obtener un intervalo de confianza para dicha proporción. Estudiar si dicha proporción puede considerarse igual a la proporción de fumadores en la población si ésta es de un 29%. Sol. (0.250023,0.416643).
8) Una muestra de tamaño 10 de una población de mujeres presenta una altura media de 170.2 cm. y una muestra de 12 varones de otra población presenta una altura media de 176,7 cm. Sabiendo que ambas poblaciones son normales con desviaciones 225 y 256 respectivamente, se trata de analizar si con una probabilidad del 95% se puede asegurar que los varones son Sol. [-194,56; 207,56]. más altos en media que las mujeres o viceversa.
9) En una determinada ciudad, la botella de aceite “Y” de un litro tiene un precio promedio de $5.00 y una desviación estándar de $0.40. Si se toman muestras aleatorias de 50 precios, se pide calcular e interpretar: a. la probabilidad que el precio promedio muestral se encuentre entre $4.85 y 5.10. Sol. 0.95567, el 95.567% de los precios promedios mue strales de las botellas de aceite “Y” de un litro, se encuentran entre $4.85 y 5.10, para muestras de 50 precios. b. la probabilidad que el precio medio muestral sea inferior a $4.80. Sol. 0.00022, el 0.022% de los precios promedios muestrales de las botellas de aceite “ Y ” de un litro, será inferior a S/. 4.80, para muestras de 50 precios.
c. dentro de que límites simétricos alrededor del precio promedio verdadero se Sol. $4.89 y $5.11. encontrará el 95 % de los precios promedios muestrales. 10) Supóngase que el número de barriles de petróleo crudo que produce un pozo diariamente es una variable aleatoria con una distribución no especificada. Si se observa la producción de 64 días, seleccionados en forma aleatoria, y si se sabe que la desviación estándar del número de barriles por día es = 16; determínese la probabilidad de que la media muestral se encuentre Sol. 0.9544. a no más de 4 barriles del verdadero valor de la producción por día. 11) Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174,5 centímetros y una desviación estándar de 6,9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determinar: a. ¿Cuántas medias muestrales caen entre 172,5 y 175,8 centímetros? Sol. 152 medias muestrales.
b. ¿Cuántas
medias
muestrales
Sol. 7 medias muestrales.
caen
por
debajo
de
172
centímetros?
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 1. El retorno mensual en el Mercado de Valores en los años 1904 – 1974 sigue una distribución aproximadamente normal con media 0,68% y desviación estándar 6,85%, ¿cuán frecuentemente el retorno mensual es: a. Mayor de 10%? Sol. 0.0868. b. Entre 10 y 20%? Sol. 0.0844. c. Mayor de 20%? Sol. 0.0024. Sol. 0.0231. d. Exactamente 10? 2. Se sabe que la nota estandarizada de dos estudiantes fue de 0.8 y -0.4 respectivamente en una determinada prueba. Si sus puntuaciones fueron 88 y 64, respectivamente, hallar la media y la Sol. varianza de las puntuaciones de esa prueba.
3. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción negativa ante una inyección de cierto tipo de suero es 0.001, hallar la probabilidad de que entre 2000 individuos: a. Exactamente 3 reaccionen negativamente. Sol.0.180. b. Más de dos de ellos reaccionen negativamente. Sol.0.323. 4. Un agente de seguros contrata 5 pólizas de seguros con personas de la misma edad y de buena salud. Según las tablas en uso, la probabilidad de que un hombre de esa edad esté vivo dentro de treinta años es 2/3. Hallar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan: a. Los cinco. Sol. 32/243. b. Al menos tres. Sol. 192/243. c. Sólo 2. Sol. 40/243. d. Al menos uno. Sol. 242/243. e. Todos hayan fallecido. Sol. 1/243. 5. La nota media en un examen es 72 y la varianza es 81. El 10% del curso recibirá nota A. ¿Cuál es la nota mínima para optar a él? Sol. 84. 6. Si un conjunto de medidas está normalmente distribuida, ¿qué porcentaje de ellas difiere de la media: Sol. 61.7%. c. Más de 0.5 desviaciones típicas. Sol. 54.7%. d. Menos de 0.75 desviaciones típicas.
7. Si es la media y s es la desviación típica de un conjunto de medidas normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de ellas: e. Cae en el rango Sol. 95.4%. Sol. 23%. f. Fuera del rango Sol.93.3%. g. Son mayores que
8. La duración de un componente eléctrico sigue una distribución exponencial con media igual a 10000 horas. Se pide: a. Calcular la probabilidad de que si el componente ha durado más de 20000 horas, dure más de 21000 horas. Comparar esta probabilidad con la probabilidad de que dure Sol. 0.905. entre 0 y 1000 horas. Comentar razonadamente el resultado. b. Si se instalan 4 de esos componentes en serie en un aparato, calcular la probabilidad Sol. 0.018. de que el aparato siga funcionando al cabo de 10000 horas. 9. Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho, Sol. 0.27607. a. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? Sol. 0.2381. b. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? c. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas? Sol. 0.542070. 10. Una fábrica produce en cada turno 100000 bolas para rodamientos de forma que la probabilidad de defectuosa es 0.04. En el control de las bolas se revisan todas depositando las defectuosas (que se detectan todas) en un recipiente que se vacía al final de cada turno. Cuántas bolas ha de contener el recipiente para que la probabilidad de que su capacidad no se vea rebasada sea 0.95? Sol. 4102 bolas. 11. Determine la función de distribución, esperanza matemática y varianza de la variable aleatoria continua X que se distribuye uniformemente en el intervalo [2, 4]. Para dicha variable, calcule las probabilidades : Sol. E(x) = 3, V(x) = 0.33. Sol. 0.5. a. P (X ≥ 3). Sol. 0.4. b. P (1.25 < x ≤ 2.05).
12. Se sabe que una máquina en promedio tiene 4 fusibles rotos al año. La variable aletoria sigue una distribución exponencial. a. Calcule la probabilidad de que un fusible dure más de tres años. Sol.0.4724. b. Calcule la probabilidad de que un fusible dure más de 4 años, si ya ha durado 1 año. Sol. 0.3679.
Sol. 0.7788. c. Calcule la probabilidad de que un fusible dure más de 1 año. d. Calcule la probabilidad de que un fusible dure más de 4 años, si ya ha durado más de 1 año. Sol. 0.4724.
13. El tiempo T en segundos que tarda en conectarse a un servidor durante un día laborable sigue una distribución de Weibull de parámetros α = 0.6 y β = 1/4, mientas que un fin de semana es una Weibull de parámetros α = 0.24 y β = 1, donde la densidad de la Weibull se escribe como :
Se quiere saber: a. Tiempo medio que tardaremos en conectarnos en ambos tipos de día. Sol.
b. Calcula, para ambos tipos de día, la probabilidad de tardar más de 10 segundos en Sol. Pr (TL > 10) = 0.133, Pr (TF > 10) ≈ 0. realizar la conexión. c. Si llevamos ya 5 segundos esperando a que se efectué la conexión, ¿cuál es la probabilidad de que la conexión se demore aun 10 segundos más? Sol. Pr (TL > 15|TL > 5) = 0.5845, Pr (TF > 15|TF > 5) = Pr (TF > 10).
14. Un profesor confecciona un ejercicio de 10 preguntas seleccionándolas al azar de una carpeta que contiene 6 preguntas del primer trimestre, 16 del segundo y 8 del tercero. a. Calcule la probabilidad de que el examen contenga exactamente 3 preguntas del Sol. 0.2304. trimestre 1º. b. ¿Cuál es el número más probable de preguntas del primer trimestre que contendrá el ejercicio? Sol. 2. 15. Disponemos de una caja que contiene: 5 triángulos (T), 3 círculos (C) y 2 rectángulos (R). Realizando extracciones de figuras con reemplazamiento : a. Calcule la probabilidad de que, al realizar 8 extracciones, se obtenga en 4 ocasiones un Sol. 0.13614. círculo. b. Calcule la probabilidad de que se necesiten 8 extracciones para obtener 4 círculos. Sol. 0.0681.
c. Calcule la probabilidad de que aparezca el primer círculo en la 8ª extracción. Sol. 0.04247.
Realizando extracciones de figuras sin reemplazamiento: d. Calcule la probabilidad de que, al realizar 6 extracciones, se obtenga en 2 ocasiones un Sol. 0.5. círculo.
VALOR ESPERADO, VARIANZA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR 1) Un investigador está interesado en estudiar la dinámica de las familias causado por la composición de géneros. La distribución de el número de niñas en las familias que consisten de cuatro niños es: 6.2S% de las familias no tienen niñas, 25% tienen una niña, 37.5% tienen dos niñas, 25% tienen tres niñas, y 6.25% tienen cuatro niñas. a. Construya la distribución de probabilidad. b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente una familia con mínimo 3 Sol. 0.3125. niñas? c. Calcular el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria Sol. E(x) = 2 , V(x) = 1, D(x) = 1. X.
2) Para la siguiente función
Determine:
a) EL valor esperado. b) c) P(1 < x < 2).
Sol. 2.0625. Sol.0.55 y 0.74. Sol.0.2777.
3) Si la función de densidad de probabilidad de la variable X es
Determine:
a) ¿Cuál es el valor de c? b) Calcule el valor de P(X 2)
Sol.2/9. Sol. 0.259259.
4) El tiempo T que una persona necesita para leer cierto libro, sigue la densidad de probabilidad
Encuentre:
a) El tiempo esperado de lectura del libro. b)
Sol. 1.0833. Sol.0.5002.
5) La función de densidad de X está dada por
Si E(x) = 3/5, encuentre el valor de a y b.
Sol. a = 3/5, b = 6/5.
6) Una bolsa contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras. Cada una de cuatro personas, A, B, C y D, en ese orden, saca una bola y no la repone. El primero que la saque blanca recibe $10. Determinar el valor esperado de A, B, C y D. Sol. $4, $3, $2 y $1. 7) Considera una variable aleatoria discreta X cuya distribución de probabilidad es la siguiente: x 1 2 3 P(X=x) k 0.45 K a. Calcula el valor de k. b. Halla la función de probabilidad. c. Halla la función de distribución F.
Sol. 0.275.
x P(X=x)
1 0.275
2 0.45
3 0.275
x P(X=x)
1 0.275
2 0.725
3 1
PROBABILIDAD /PROBABILIDAD TOTAL / TEOREMA DE BAYES 1) Use los datos de la tabla siguiente, misma que resume los resultados del lamentable hundimiento del Titanic.
Sobrevivió Falleció
Hombre adulto 332 1360
Mujer adulta 318 104
Niño
Niña
29 35
27 18
a) Si uno de los pasajeros del Titanic es elegido al azar, calcular la probabilidad de seleccionar a Sol. 0.2389. alguien que es una Mujer adulta o un hijo (varón o mujer). b) Si se hace una selección al azar, calcular la probabilidad de seleccionar un hombre o alguien Sol.0.9294. que sobrevivió al hundimiento. c) Calcule la probabilidad de seleccionar un pasajero que falleció. Sol.06824. 2) Suponga que tenemos una caja de fusibles, en ella hay 20 fusibles de los cuales 5 son defectuosos. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y estos son removidos de la caja antes de hacer la siguiente extracción, ¿cuál es la probabilidad de que: Sol. 0.0526. a. Ambos fusibles sean defectuosos? Sol. 0.5526. b. Ambos fusibles funcionen? c. Un fusible sea defectuoso y el otro no? Sol. 0.3947. 3) Una pequeña ciudad tiene un carro de bomberos y una ambulancia disponible para emergencias. La probabilidad de que el vehículo de bomberos esté disponible es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia esté disponible cuando se la necesite es 0.92. En el evento de un incendio en un edificio, calcule la probabilidad de que tanto el vehículo como la Sol. 0.9016. ambulancia estén disponibles. 4) Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 bolas negras, otra contiene 3 bolas blancas y 5 bolas negras. Si se saca una bola de cada bolsa, hallar la probabilidad de que: a. Ambas sean blancas. Sol. 1/4. Sol. 5/24. b. Ambas sean negras. Sol. 13/24. c. Una sea blanca y la otra negra.
5) A y B juegan 12 partidas de ajedrez, donde A gana 6, B gana 4 y en 2 hacen tablas. Acuerdan jugar un torneo de 3 partidas. Hallar la probabilidad de que: Sol. 1/8. a. A gane las 3 partidas. b. Hagan tablas en dos partidas. Sol. 15/216 ó 5/72. Sol. 5/36. c. A y B ganen alternadamente. d. B gane al menos una partida. Sol. 19/27.
6) Existen 500 estudiantes que estudian álgebra, física y estadística. Los siguientes números de estudiantes registrados en las siguientes materias: Algebra 329, Física 186, Estadística 295, Algebra y Física 83, Algebra y Estadística 217, Física y Estadística 63. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente estudiantes que están registrados en: Sol. 53/500. a. Las tres. Sol.112/500. b. Algebra pero no estadística. Sol. 103/500. c. Física pero no Algebra. d. Estadística pero no Física. Sol. 232/500. e. Algebra o Estadística pero no Física. Sol. 314/500. f. Algebra pero no Física ni Estadística. Sol. 82/500. 7) En una lotería con mil números. Cada número cuesta 25 centavos y el premio es de 100 pesos. Calcular cuánto se espera ganar o perder cada vez que se participa en esta lotería. Sol. – 0.15. 8) Al lanzar un dado trucado, los números pares tienen el doble de probabilidad de salir. Hallar la probabilidad de obtener un número primo. Sol. 5/9.
9) En cierto sector, los grupos de ingresos bajos, medios y altos constituyen el 20%, 55% y 25% de la población respectivamente. Se sabe además que el 80% del grupo de bajos recursos, el 30% de los grupos medios, y el 10% de los grupos altos, se oponen a un proyecto de ley. a. Si se selecciona al azar un individuo de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que se oponga al proyecto de ley? Sol. 0.35. b. Si la persona seleccionada se opuso al proyecto de ley, ¿cuál es la probabilidad de que sea del grupo de bajos ingresos? Sol. 0.4571.
COMBINATORIAS 1) A Un investigador medico necesita 6 personas para probar la efectividad de una medicina experimental. Si se presentaron 13 voluntarios, ¿de cuántas formas se pueden seleccionar 6 personas? Sol. 1716. 2) Cincuenta personas compran una rifa. Tres tickets ganadores se seleccionan al azar. Si el primer premio es de $1000, el Segundo es de $500, y el tercero es de $100, ¿de cuántas formas diferentes se pueden otorgar los premios? Sol.117600. 3) Baskin-Robbins ofrece 31 sabores diferentes de helado. Uno de ellos se presenta en la forma de un cono con tres diferentes sabores, cada uno distinto. ¿Cuántos distintos conos de tres Sol. 4495. sabores son posibles, asumiendo sabores diferentes? 4) Usted va a comprarse un nuevo vehículo. Las posibles marcas son: Ford, GM, Honda, el tamaño de los vehículos es: compacto, SUV, y los colores disponibles son: blanco, rojo, negro y verde. ¿De cuántas formas diferentes usted puede seleccionar un vehículo? Sol. 24. 5) El código de acceso del sistema de seguridad de un vehículo consiste de 4 dígitos. ¿Cuántos códigos son posibles si: Sol. 5040. a. Cada dígito se puede utilizar una vez? b. Cada dígito puede repetirse? Sol. 10000. c. Cada dígito puede repetirse, pero el primer dígito no puede ser ni 0 ni 1? Sol. 8000. 6) ¿Cuántas placas se pueden elaborar si la placa consiste de: a. Seis letras del alfabeto que pueden repetirse? Sol . 308915776. b . Seis letras del alfabeto que no pueden repetirse? Sol. 165765600. c. Seis letras del alfabeto que pueden repetirse pero la primera letra no puede ser ni A, B, C, ni D? Sol. 261,390,272. 7) ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 10 personas alrededor de una mesa circular? Sol . 362880. 8) El código de acceso de una puerta de garaje consiste de tres dígitos. Cada dígito puede repetirse. a. Encuentre el número posible de códigos de acceso. Sol. 1000. b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente el código de acceso correcto en el primer intento? Sol . 1/1000. c. ¿Cuál es la probabilidad de no seleccionar el código de acceso correcto en el primer intento? Sol . 999/1000. 9) Un código de acceso consiste de una letra seguida por cuatro dígitos. Cualquier letra puede ser usada, el primer dígito no puede ser 0 y el último dígito tiene que ser par. a. Encuentre el número posible de códigos de accesos. Sol . 117000. b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente el código de acceso correcto en el primer intento? Sol . 1/117000. c. ¿Cuál es la probabilidad de no seleccionar el código de acceso correcto en el primer intento? Sol . 116999/117000.
10) Cinco hombres y cuatro mujeres van a hacer una fila, de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse? Sol.2880. 11) ¿Cuántos números de cuatro dígitos se pueden formar con las cifras 0, 1, 2, ….., 9: a. Permitiendo repeticiones. Sol. 9000. Sol.4536. b. Sin repeticiones.
Sol. 504. c. Si el último dígito ha de ser cero no se permiten repeticiones. 12) Cinco fichas rojas, dos blancas y 3 azules se colocan en fila. Las de un color no son distinguibles entre sí. ¿Cuántas colocaciones distintas son posibles? Sol. 2520. 13) ¿De cuántas formas se puede formar una comisión de 5 miembros con 9 personas? Sol. 126. 14) Un Presidente y un Tesorero van a ser elegidos de un club de estudiantes que consiste de 50 personas. ¿Cuántas diferentes opciones de oficiales son posible si Sol.2450. a. No hay restricciones. b. “A” servirá sólo si es elegido Presidente. Sol.2401. c. “B” & “C” servirán únicamente juntos o no servirán en lo absoluto. Sol. 2258. d. “D” & “E” no servirán juntos. Sol.2448. 15) Un joven le pide a su madre que le consiga 5 juegos de video de su colección de 10 shooters y 5 juegos de deportes. ¿De cuántas formas distintas su madre puede darle 3 shooters y 2 Sol. 1200 formas. juegos de deportes? 16) ¿Cuántos arreglos diferentes de letras se pueden formar a partir de la palabra INFINITY ? Sol. 3360.
17) Cuatro libros diferentes de matemáticas, 6 de física y 2 de química han de ser colocados en una repisa. ¿Cuántas colocaciones distintas son posibles si: a. Los libros de cada materia han de estar juntos? Sol. 207360. Sol. 8709120. b. Sólo los libros de matemáticas tienen que estar juntos?
