EJERCICIOS PARA PREPARAR EXAMEN FINAL Variable Variable aleatoria y función de probabilidad probabilidad discreta discre ta 1.-El número de computadores vendidos al día en una tienda viene definido por la siguiente distribución de probabilidad:
Calcular e intepretar:
2.-Una compañía aérea le ha pedido que e studie los los retrasos r etrasos de los los vuelos que se registraron registraron en un aeropuerto la semana antes de las Navidades. La variable aleatoria X es el número de vuelos retrasados por hora.
3. Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: X: el número de accidentes automovil automovilísticos ísticos que ocurren al año e n Virgin Virginia ia.. Y: el tiempo para jugar 18 hoyos de golf. M: la cantidad de leche que una vaca específica produce anualmente. N: el número de huevos huevos que una gall gallina ina pone mensualmente. P: el número de permisos para construcció construcc iónn que los los funcionario funcionarioss de una ciudad emiten em iten cada mes. Q: el peso del grano producido por acre. 4. Un embarque foráneo de 5 automóviles automóviles extranjeros extranjeros contiene 2 que tienen ligeras ligeras manchas de pintura. pintura. Suponga que q ue una agenc agencia ia recibe rec ibe 3 de estos est os automóviles al azar y liste los los eleme e lementos ntos del espacio espac io muestral mues tral S usando las letras M y N para “manchado” “manchado” y “sin mancha”, respe ctivamente; luego asigne a cada punto
muestral un valor x de la variable aleatoria X que representa el número de automóviles con manchas de pintura que compró la agencia. 5. Determine Determ ine el valor valor c de modo que cada una de las las siguientes siguientes funciones funciones sirva como distribució distribuciónn de
probabilidad de la variable aleatoria discreta X:
Valor esperado y Varianza de una variable aleatoria discreta 1-Un concesionario de automóviles calcula la proporción de automóviles nuevos vendidos que se han devuelto varias veces para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía. La tabla adjunta muestra los resultados.
2. Una empresa produce paquetes de clips. El número de clips (ganchos) por paquete varía, como indica la tabla adjunta.
3. Un inversor está considerando tres estrategias para invertir 1.000 $. Se estima que los rendimientos probables son los siguientes: Estrategia 1: unos beneficios de 10.000 $ con una probabilidad de 0,15 y una pérdida de 1.000 $ con una probabilidad de 0,85. Estrategia 2: unos beneficios de 1.000 $ con una probabilidad de 0,50, unos beneficios de 500 $ con una probabilidad de 0,30 y una pérdida de 500 $ con una probabilidad de 0,20. Estrategia 3: unos beneficios seguros de 400 $. ¿Qué estrategia tiene el mayor beneficio esperado? ¿Aconsejaría necesariamente al inversor que adoptara esta estrategia?
Distribución Binomial 1.-Un director de producción sabe que el 5 por ciento de los componentes producidos en un determinado proceso de producción tiene algún defecto. Se examinan seis de estos componentes, cuyas caracterí sticas puede suponerse que son independientes entre sí.
2.-Un político cree que el 25 por ciento de todos los macroeconomistas que ocupan altos cargos apoyará firmemente una propuesta que desea presentar. Suponga que esta creencia es correcta y que se seleccionan cinco macroeconomistas aleatoriamente.
3. La tasa de desempleo es 4.1% (Barron’s, 4 de septiembre de 2000). Suponga que selecc iona
aleatoriamente 100 personas empleables. a. ¿Cuál es el número esperado de personas que están desempleadas? b. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar del número de personas que están desempleadas? Distribución Hipergeométrica. 1.-Una empresa recibe un envío de 16 artículos. Se selecc iona una muestra aleatoria de 4 y se rechaza el envío si cualquiera de estos artículos resulta Defectuoso.
2. En un pedido de 10 artículos hay dos defectuosos y ocho no defectuosos. Para la inspección del pedido se tomará una muestra y se inspeccionará. Si se encuentra un artículo defectuoso todo el pedido de 10 artículos será devuelto. a. Si toma una muestra de tre s artículos, ¿cuál es la probabilidad de que devuelva el pedido? b. Si toma una muestra de cuatro artículos, ¿cuál es la probabilidad de que devuelva el pedido? c. Si toma una muestra de cinco artículos, ¿cuál es la probabilidad de que devuelva el pedido? d. Si la administración desea que la probabilidad de rechazar un pedido en el que haya dos artículos defectuosos y ocho no defectuosos sea 0.90, ¿de qué tamaño recomienda que sea la muestra? Distribución Poisson 1.-Los clientes llegan a una caja registradora ocupada a una tasa media de tres por minuto. Halle la probabilidad de que en un minuto dado lleguen dos clientes o menos. 2. Las llegadas de los clientes a un banco son aleatorias e independientes; la probabilidad de una llegada en un lapso cualquiera de un minuto es la misma que la probabilidad de una llegada en otro lapso
cualquiera de un minuto. Conteste las preguntas siguientes suponiendo que la tasa media de llegadas en un lapso de un minuto es tres clientes. a. ¿Cuál es la probabilidad de exactamente tres llegadas en un minuto? b. ¿Cuál es la probabilidad de por lo menos tres llegadas en un minuto? Distribuciones Continuas 1. Las rentas de todas las familias de un barrio puede n representarse por medio de una variable aleatoria continua. Se sabe que la renta mediana de todas las familias de este barrio es de 60.000 $ y que el 40 por ciento de todas las familias del barrio tiene una renta de más de 72.000 $. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la renta de una familia elegida aleatoriamente esté comprendida entre 60.000 $ y 72.000 $? b. Dado que no se dispone de más información, ¿qué puede decirse sobre la probabilidad de que una familia elegida aleatoriamente tenga una renta de menos de 65.000 $? Distribución Uniforme 1. Un autobús llega cada 10 minutos a una parada. Se supone que el tiempo de espera para un individuo en particular es una variable aleatoria c on distribución continua uniforme. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo espere más de 7 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo espere entre 2 y 7 minutos? 2. Un analista dispone de dos predicciones, F1 y F2, de los beneficios por acción que obtendrá una empresa el próximo año. Pretende hacer una predicción intermedia que se a una media ponderada de las dos predicciones. Para hacer esa predicción, dará la ponderación X a la primera predicción y la ponderación (1-X) a la segunda, por lo que la predicción intermedia compromiso es XF1+(1X)F2. El analista quiere elegir un valor entre 0 y 1 para la ponderación X, pero no sabe cuál es mejor. Suponga que lo que decide finalmente como mejor elección posible de la ponderación X puede concebirse como una variable aleatoria distribuida uniformemente entre 0 y 1, que tiene la función de densidad de probabilidad
a. b. c. d. e.
Trace la función de densidad de probabilidad. Halle y trace la función de distribución acumulada. Halle la probabilidad de que la mejor elección de la ponderación X sea inferior a 0,25. Halle la probabilidad de que la mejor elección de la ponderación X sea superior a 0,75. Halle la probabilidad de que la mejor elección de la ponderación X esté entre 0,2 y 0,8.
Distribución Normal 1. La demanda de consumo de un producto prevista para el próximo mes puede representarse por medio de una variable aleatoria normal que tiene una media de 1.200 unidades y una desviación típica de 100 unidades.
2. Una cartera de inversión contiene acciones de un gran número de em presas. El año pasado, las tasas de rendimiento de estas acciones siguieron una distribución normal que tenía una media de 12,2 por ciento y una desviación típica de 7,2 por ciento.
3. El tiempo necesario para hacer un examen final en un determinado curso de una universidad tiene una distribución normal cuya media es 80 minutos con desviación estándar de 10 minutos. Conteste las preguntas siguientes a. ¿Cuál es la probabilidad de terminar el examen en una hora o menos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante termine el examen en más de 60 minutos pero en menos de 75 minutos? c. Suponga que en la clase hay 60 estudiantes y que el tiempo para resolver el examen es de 90 minutos. ¿Cuántos estudiantes piensa usted que no podrán terminar el examen en este tiempo? 4. Una empresa puede comprar una materia prima a dos proveedores y le preocupa la cantidad de impurezas que contiene. El examen de los datos de cada proveedor indica que los niveles porcentuales de impurezas de los envíos de la materia prima recibidos siguen distribuciones normales que tienen las medias y las desviaciones típicas indicadas en la tabla adjunta. La empresa tiene especial interés en que el nivel de impurezas de un envío no supere el 5 por ciento y quiere comprar al proveedor que tenga más probabilidades de cumplir esa condición. ¿Qué proveedor debe elegir?
5. Un numeroso grupo de estudiantes realiza un examen de economía. Las calificaciones siguen una distribución normal que tiene una media de 70 y la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente obtenga una calificación de menos de 85 es de 0,9332. Se eligen aleatoriamente cuatro estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos tenga una calificación de más de 80 puntos en este examen? BIBLIOGRAFÍA Estadística para Administración y Economía. Ed 10a. Anderson, Sweeney, Williams. Cengage Editores. Estadística para Administración y Economía.. Ed 6a. Newbold, Carlson, Thorne. Perason. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Ed 9a. Walpole, Myers, Myers. Pearson.
