Conjunto de ejercicios típicos resueltos de longitud Ejemplo 1.
1 – Convertir
a) a) 5.8 km a m. Vía de solución
Nota: Los demás incisos que se proponen se resuelven de forma análoga al anterior.
b) 150 m a km. Solución: 0.15 km.
c) 370 cm a dm. Solución: 37 dm.
d) 20.0 leguas a km. Solución: 84.8 km.
e) 15 brazas a m. Solución: 25.8 m.
Ejemplo 2.
– Descomponer Descomponer en todas las unidades de masa posible las siguientes cantidades en una sola
unidad:
a) 208.25 m = 2 hm 8m 2 dm 5 cm
Ejemplo 3.
a) Un canal de riego mide 25 cordeles. ¿Cuántos metros tienen de longitud? Solución: 508.8 m.
Vía de solución: Análoga al inciso a) del ejercicio 1.
Propuesta de ejercicios y problemas para el desarrollo de habilidades
Ejercicio 1.
Convierte:
a) 12 km a metros.
b) 7 000 mm a metros.
c) 80 hm a kilómetros.
d) 5 x 106 cm a kilómetros
e) 1.2 x 1015 cm a kilómetros.
f) 560.8 dam a hectómetro.
Ejercicio 2.
2- Convierte
a) 8 cm 3 mm a metros.
b) 15 m 78 cm a decámetros.
c) 9 km 3 dam a metros.
d) 17 dam 3 m 8 dm a centímetros.
Ejercicio 3.
3 – Selecciona en cada caso la respuesta correcta:
I. La cuarta parte en centímetros de 20 m es:
____ 40 cm
____ 400 cm cm
____ 4 m
____20 cm
II. 1 700 m equivale a:
____ 1 km 7 m
____ 1 km 70 m
____ 170 dam
____1 km 700 700 m
4 – El perímetro del triángulo que se muestra en la figura es:
a) ____ 141 cm
b) ____ 14.1 cm
c) ____ 1.41 cm
d) ____14.1 dm
5 – Cuánto cuestan 15.2 m de tela si el dm se vende a 1.25 pesos.
6 Un terreno para pastar, de forma cuadrada, tiene 305 dm de lado. Si se quiere cercar con cinco pelos de alambre. ¿Cuán metros de alambre se necesitarán?
a) ____ 122 m
b) ____ 6 100 m2
c) ____ 610 m
d) ____ 930.25 m2
¿Qué parte de una hectárea ocupa el terreno destinado a pastar?
7En qué unidad será más conveniente medir:
e) ____ La distancia entre dos ciudades.
f) ____ El largo del aula.
g) ____ EL largo del lápiz.
8 - Dos automóviles automóviles salen de dos provincias de Cuba que están en la misma dirección, en sentido contrario y a 370 km de distancia. Uno de los automóviles iba a una velocidad menor que el otro. Al cabo de tres horas uno había recorrido 12 117 000 cm y el otro 123 000 m . Le faltan por recorrer:
a) __128 km 830 m
b) __147 km
Propuesta de ejercicios y problemas para el desarrollo de habilidades 1- La capacidad de un tanque es de 2.5 m3 . ¿Qué cantidad de litros de agua podrá almacenar?
2- Un campesino tiene plantadas 1 500 matas de tomates y se propone aplicar 220 ml de líquido fertilizante a cada uno. El fertilizante se vende en tanques de 50 l . Calcula la cantidad de tanques que debe comprar. comprar.
3- Un panadero para fabricar 800 panes usa 30 l de agua. ¿Cuántos mililitros de agua se necesitan para fabricar un pan?
4- La mamá de Susana hizo una panetela para celebrar su 14 cumpleaños. La panetela tenía forma cilíndrica con diámetro de 0.20 m y altura 0.8 dm. Calcula el volumen de la panetela dando la respuesta en cm3.
Conjunto de ejercicios típicos resueltos de tiempo.
Ejemplo 1.
Convertir:
a)
b)
c)
Propuesta de ejercicios y problemas para el desarrollo de habilidades.
1- Un camión recorre aproximadamente 600 m en un minuto.
a) ¿Cuántos kilómetros recorre en una hora?
b) ¿Qué tiempo necesita para recorrer 288 km?
2- Calcula diferencia de tiempo dentro del mismo día:
a) Desde las 5:45 am hasta la s12:25 pm: ______
b) Desde las 9:15 am hasta las 15:45 horas: ______
c) Desde las 2:08 am hasta las 17:23 horas: ______
3- ¿Qué edad tiene una persona que ha vivido 36 millones de minutos (indica el tiempo exacto en años, meses, días y horas).
4- Dos constructores levantan un muro en 8 h pero 4 constructores al mismo ritmo lo levantan en:
__ 1/3 de un día.
__ 1 440 s
__ 960 min
__ 20 h
5- En un mapa, dos ciudades A y B se encuentran en meridianos cuya diferencia en grados es de 105 grados, y por cada 15 grados hay una hora de diferencia. Si en A son las 6:00 am.
a) ¿Qué hora es en B si ésta está al este de A?
b) Observe un mapa y use la información anterior para conocer la diferencia de horas entre la Habana y Hanoi.
6- ¿A cuánto segundos equivalen 15,20 minutos?
7- Expresa en minutos el tiempo que utilizaría el secundario de un de un reloj de manecillas en recorrer partes de una esfera.
8- En un reloj de manecillas si el minutero recorrió 14400, ¿cuántos segundos resultó este recorrido?
9- A la entrada de una ciudad existe un letrero lumínico con la frase "Siempre Venceremos". Si cada 5 segundos se ilumina la palabra siempre y cada 9 segundo se ilumina la palabra venceremos.
a) ¿A los cuántos segundos se ilumina completamente la frase?
b) ¿Cuántas veces se iluminará la frase completamente en una hora?
10- Si un auto LADA se desplaza en un MRU y utiliza una hora en recorrer 120km. Entonces para recorrer 3km utiliza.
A) ___ 3min. B) ___ 60 s. C) ___ 150 s D) ___130 min.
11- Un corredor de 400 metros planos realizó una carrera en 2,25 min.
12- En el año 2008 Wilmer nació el 24 de febrero a las 4.00 AM y Alexey el 26 de julio a las 4.00 PM.
a) ¿Cuál es la diferencia de edades entre ambos?
b) ¿Cuántos segundo vive Alexey el día de su nacimiento?
13- Una niña cumplió 10 años el 28 de enero del 2004, ¿Cuántas horas tiene que transcurrir para cumplir sus 15 años?
14- Una fábrica de lápices cada 57 segundos fabrica 3 lápices. ¿Cuántos lápices puede fabricar si trabaja de forma ininterrumpida durante 5 horas?
15- Un lanzador del equipo Cuba de béisbol frente Australia en el Segundo Clásico realizó varios lanzamientos de 96 millas por horas.
a) ¿Cuál es la velocidad equivalente en kilómetros por horas?
Propuesta de ejercicios y problemas para sistematizar el desarrollo de habilidades en la conversión de unidades de magnitudes.
Aplicaciones geométricas a la proporcionalidad con magnitudes en las unidades de longitud 1 -Dos triángulos ABC y A"B"C" tienen sus lados proporcionales. Si el primero tiene un perímetro de 30cm, y los lados del segundo triángulo miden 40mm, 0,5dm y 0,06m. Halla los lados del primer triángulo.
- Expresando los lados del segundo triángulo en una misma unidad de medida.
Como el perímetro del primer triángulo está expresado en cm. Es conveniente trabajar en el segundo triángulo con cm. de donde resulta:
- Sean a, b, c los lados del primer triángulo; como son proporcionales con el segundo, resulta:
- Como el perímetro p = a+b+c, es precisamente la suma de los numeradores de esta serie de razones iguales, se tiene aplicando la propiedad ya conocida
R / Los lados pedido para el triángulo ABC, son a = 8,0cm., b = 10cm., c = 12cm.
Aplicaciones geométricas a la proporcionalidad con magnitudes de las unidades de medidas..
2- Los lados de un triángulo miden a= b=3,6cm y c=0,7dm.
a) Exprese cada longitud de los lados del triángulo en la unidad de medida que se indica.
b) Calcula los segmentos determinados en el lado c por la bisectriz del ángulo opuesto.
Es recomendable construir una figura de análisis.
Expresando cada lado del triángulo en (mm), resulta.
a = 0,054m *100 = 5,4cm
b = 3,6cm
c = 0,7dm * 10 = 7cm
Resolviendo la ecuación
3 -En un triángulo rectángulo, los segmentos en la hipotenusa por la altura correspondiente miden 90,0mm y 0,04m.
a) Compara las dimensiones dadas y exprésalas en cm.
b) calcula:
- La altura del triángulo.
- El área y el perímetro del triángulo.
c) Demuestra que los Triángulos obtenidos son semejantes al triángulo original.
90,0mm = 9,0 cm
0,04m = 4,0cm
b) Es necesario realizar una construcción auxiliar.
Aplicando teorema resulta
- Para calcular los catetos b y c se puede aplicar el teorema de Pitágoras, es decir
Ejercicios sobre igualdad de triángulos.
Ejercicios propuestos.
1- Los lados de un triángulo miden a =m 0,12m, b = 1,6dm y c = 200mm.
a) Exprese cada lado del triángulo en (cm.).
b) Clasifique el triángulo atendiendo a la longitud de sus lados.
c) Calcula los segmentos determinados en el lado menor por la bisectriz del ángulo opuesto y exprese el resultado en metros (m.). R / (5,33m; 6,67m.).
Triángulos semejantes.
1- Los lados de un triángulo ABC miden 4,8cm, 0,056dm y 32mm respectivamente.
a) Clasifique el triángulo según la longitud de sus lados.
b) Si el perímetro de un triángulo semejante al triángulo ABC es de 51mm. Halla las longitudes de sus lados.
Hay que expresar cada lado en una unidad de longitud.
2- Dos triángulos ABC y A"B"C" tienen A = A", B = B" y C = C". Si los lados de estos triángulos miden a = 2,4dm, b = 1,6dm, c = 0,36m, a"= 18cm, b"= 1,2dm, c"= 2,7.10-4 km.
a) Exprese la misma unidad de medida para cada triángulo en la menor que se indica.
b) Halla la razón entre los perímetros.
c) Diga si los triángulos son semejantes.
Ejercicios de cálculo en triángulos.
Ejemplos:
1- Los catetos de un triángulo rectángulo son; b = 80mm y c = 0,6dm.
a) Calcula el área del triángulo expresando la unidad intermedia de los datos dados.
b) Halla el perímetro en metros (m).
a) La unidad intermedia es el cm. luego:
b = 8,0cm. c = 6,0cm.
- El área de un triángulo rectángulo es el semiproducto de sus catetos.
b) Para calcular el perímetro, se necesita calcular la longitud de la hipotenusa, aplicando Pitágoras:
Propuesta de ejercicios.
1- Un avión de la aeronáutica civil sobre vuela el espacio aéreo a una altura de 7000 pies de altura.
a) ¿A cuántos metros equivale esta altura?
2- En la Serie Nacional 43 una pelota fue bateada y cayó a 460 pies del hom. Calcule en metros esta distancia.
3- La altura de una pirámide regular de base cuadrada mide 1,4 dm, y el lado de la base es de 1,5.102 mm.
a) Halla la longitud de la arista lateral en cm.
b) ¿Cuántos litros de capacidad puede contener esta pirámide?
4- ¿Cuánto litros de agua caben en una cisterna de forma de ortoedro si sus dimensiones son.
Largo: 45 dm. Ancho: 2,5 m. Altura: 2.102 cm.
5- Un vasito para helado tiene forma de cono circular recto de 80 mm de diámetro y 9,0 cm de altura.
6- ¿Cuánto cuesta llenar una jarra de 1,5 dm3 si el vasito se paga a $1.00?
7- Una caja de galleta tiene forma de cubo de 3,5 dm de arista.
a) ¿Qué cantidad de metros de papel se necesita para forrar la caja, sin incluir la parte posterior ni la parte inferior?
b) ¿Cuál es la máxima cantidad de galletas que puede contener la caja si cada una ocupa 25 cm3?
8- Determina la cantidad de litros de agua que pueden almacenarse en un tanque cilíndrico de 5,25.102 mm de diámetro y 95 cm. de altura?
9- Halla la superficie total de una pirámide recta de base cuadrada de 0,2 m de altura, si el lado de la base mide 42 cm.
10- Por las normas de gramaje para los centros internos para elaborar arroz con cerdo, se necesitan 90 gramos de arroz, 68 gramos de cárnicos y los ingredientes.
a) ¿Cuál es la mayor cantidad de libras que se necesitan de cada producto para elaborar 400 raciones?
11- José asiste al mercado y compra 8 libras de tomate y 8,3 Kg. de arroz y paga por la mercancía $20,70; en el mismo mercado otra persona compra 4,6 Kg. de tomate y nueve libras de arroz y gasta $35,40.
a) ¿Cuánto cuesta en ese mismo mercado 1 libra de cada producto? ( suponer que el precio no varía).
12- Para festejar el Aniversario de boda, Jorge compró 5 litros de vino Blanco y 0,12 hl de vino Maniabo pagando en total $360.00.
a) ¿Cuánto vale el litro de cada uno, si el vino Blanco es $4.00 más caro que el vino Maniabo?
b) ¿En cuántos frascos de 125 ml se podrá envasar el vino Blanco?
Conclusiones
La revisión bibliográfica y el análisis documental realizada, permitieron rebelar que en las etapas precedentes, la bibliografía para desarrollar habilidades en la conversión de unidades de magnitud era muy escasa.
El contexto social donde se desarrolla la investigación, está caracterizada por la universalización de la enseñanza y los profesores y alumnos no tienen la bibliografía apropiada para el estudio y profundización de habilidades en la conversión de unidades de magnitud.
El folleto de ejercicios y problemas propuestos se sustenta desde el punto de vista teórico en los fundamentos filosóficos, sociológicos, pedagógicos y psicológicos.
El folleto de ejercicios elaborado posee la generalización suficiente como para ser utilizado en ramas de la educación, la economía y los servicios, fundamentalmente por profesores y alumnos de la educación media superior.
ontenido Apunte de cinemática: Vectores, posición, desplazamiento, velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media, aceleración instantánea. Aceleración tangencial y normal. Formulas, cuestionario y problemas. Cinemática Actividades iniciales 1. ¿Por qué la masa es una magnitud escalar y el peso es vectorial ? 2. La aceleración de un móvil es un vector y como tal se puede descomponer en componentes. Si se elige un sistema de referencia con el origen centrado en el móvil, un eje tangente a la trayectoria y el otro perpendicular a la misma,¿qué significado físico tienen las componentes de la aceleración referidas a ese sistema de referencia? 3. Comenta la frase pronunciada por un automovilista imprudente después de estar a punto de salirse de la carretera: "¡la curva era tan cerrada que la fuerza centrífuga me ha sacado de la carretera!". 1.- Cinemática 1.1.- Vector de posición (r) Para describir el movimiento de una partícula,respecto de un sistema de referencia, tenemos que conocer, en cada instante, la posición del móvil, su velocidad y la aceleración con la que está animado.
Elegido un sistema de referencia, la posición del móvil queda determinada por el vector de posición: vector de posición r(t) = x(t).i + y(t).j + z(t).k(1) El extremo del vector de posición describe, a lo largo del tiempo, una línea que recibe el nombre de trayectoria. Esta curva se puede obtener eliminando el tiempo en las ecuaciones paramétricas. Se denomina vector desplazamiento Δr entre los instantes t0 y t1 a:
vector desplazamiento Δr = Δx.i + Δy.j + Δz.k(2)
1.2.- Velocidad (v) Se denomina vector velocidad media (vm) al desplazamiento que experimenta un móvil en la unidad de tiempo: vector velocidad media
Y se llama celeridad media a la longitud de trayectoria recorrida en la unidad de tiempo. celeridad media = v = Δt
Δs
=
distancia recorrida
tiempo empleado
Si la trayectoria es una línea recta y no hay cambios de sentido, el módulo del vector velocidad media coincide con la rapidez. Velocidad instantánea (v) es la velocidad que posee una partícula en un instante determinado. Es un vector tangente a la trayectoria y de sentido el del movimiento. vector velocidad instantánea
El valor numérico de la velocidad instantánea es el módulo de la velocidad y se denomina rapidez o celeridad :
1.3.- Aceleración (a) Se denomina vector aceleración media, am, a la variación que experimenta la velocidad instantánea en la unidad de tiempo. vector aceleración media
Aceleración instantánea a es la aceleración que posee la partícula en un instante determinado (en cualquier punto de su trayectoria). Su dirección y sentido coincide con el del cambio de la velocidad. vector aceleración instantánea
El valor numérico de la aceleración instantánea es el módulo del vector aceleración :
Componentes intrínsecas de la aceleración Si elegimos como sistema de referencia uno con origen la posición de la partícula, en cada instante, con un eje tangente a la trayectoria y el otro perpendicular a la misma, la aceleración tiene dos componentes: a = at + an Aceleración tangencial: es un vector tangente a la trayectoria y su módulo representa la variación del módulo de la velocidad en un instante. at = |at| = dv/dt Aceleración normal: es un vector perpendicular a la trayectoria y sentido hacia el centro de curvatura. Su módulo representa la variación de la dirección del vector velocidad en un instante. an = |an| = v ²/R donde R es el radio de curvatura de la trayectoria. Por tanto, podemos escribir:
donde Ut y Un son dos vectores unitarios en la dirección tangente y normal a la trayectoria. CUESTIONES C1.- Indica que afirmaciones son correctas. Movimiento es: a) un cambio de lugar b) un cambio de lugar si el cuerpo que se mueve es un punto material c) un desplazamiento d) un cambio de posición
C2.- Un ciclista se desplaza en línea recta 750 m. Si su posición final está a 1250 m del punto de referencia, el ciclista inició su recorrido desde una posición de: a) 750 m b) 1250 m c) No se puede hallar d) 500 m C3.- Un coche pasa de 90 km/h a 126 km/h en 8 segundos. La aceleración media del coche ha sido: a) 4.5 m/s ² b) 2.25 m/s ² c) 1.25 m/s ² d) 1.5 m/s ² C4.- Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 1.8 m/s ² . Después de estar 20 segundos de estar acelerando, la distancia recorrida por el coche es: a) 360 m b) 720 m c) 18 m d) 36 m C5.- Un automóvil toma una curva de 100 m de radio con velocidad constante de 36 km/h. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?: a) el coche no tiene aceleración porque su velocidad es constante b) el coche tiene aceleración porque su velocidad varía c) el coche tiene aceleración tangencial d) la aceleración del coche vale 1 m/s ² C6.- Las coordenadas del extremo del vector de posición de una partícula móvil son P(2, -1) en un instante dado. Si el punto de referencia se encuentra en el origen de coordenadas: a) en ese instante el punto se encuentra en el plano xy b) el vector de posición es r = 2.i - j c) el vector de posición es r = i + 2.j
d) no se puede definir este punto con un vector ¿Qué afirmaciones son correctas? C7.- El vector de posición de una partícula móvil es r = (t + 2).i + t ².j ¿Qué desplazamiento ha experimentado la partícula en el intervalo de tiempo de 2 a 4 s? C8.- El vector de posición de una partícula es r = (4.t ² - 1).i + (t ² + 3).j (en unidades del S.I.) : a) Deduce las expresiones de los vectores velocidad y aceleración. b) Calcula la velocidad y aceleración en el instante 1 s. C9.- El vector de posición de un punto móvil es r = (2.t + 5.t ²).i. a) el punto se mueve en el plano xy b) el punto se mueve sobre el eje x c) el punto se mueve sobre una recta paralela al eje x d) el movimiento es rectilíneo uniforme e) la ecuación dada es equivalente a la ecuación x = 2t + 5t ² Señala las afirmaciones correctas. CINEMATICA: movimientos sencillos (tratamiento escalar) SEMEJANZA ENTRE ECUACIONES MOVIMIENTO RECTILINEO Y CIRCULAR MRUA (1) s = s0 + v0.t + a.t ²/2 (2) v = v0 + a.t (3) v ² - v0 ² = 2.a.(s - s0) MCUA (1) φ = φ0 + v0.t + α.t ²/2 (2) ω = ω0 + α.t (3) ω ² - ω0 ² = 2.α.(φ - φ0)
Relación entre magnitudes angulares y lineales: s = φ.R v = ω.R at = α.Ran = v ²/R = ω ².R
CASO PARTICULAR: CUANDO EL MOVIMIENTO ES UNIFORME s = s0 + v.t
φ = φ 0 + ω .t
consideraciones: ω = 2.π.f T = 1/f LANZAMIENTO HORIZONTAL (g = - 9.8 m/s ²) eje x: x = v0.t eje y: y = y0 + g.t ²/2
vector de posición:
r = (v0.t).i + (y0 + g.t ²/2).j ecuación de la trayectoria:
componentes de la velocidad: vx = v0 vy = g.t
ángulo formado con el eje horizontal: α = arctg (g.t/v0)
alcance:
TIRO PARABOLICO (g = - 9.8 m/s ²) eje x: x = v0.cos α.t eje y: y = v0.sen α.t + g.t ²/2
vector de posición:
r = (v0.cos α.t).i + (v0.sen α.t + g.t ²/2).j ecuación de la trayectoria:
componentes de la velocidad: vx = v0.cos α vy = v0.sen α + g.t
ángulo formado con el eje horizontal: α = arctg (vy/vx)
altura máxima alcanzada: y máxima = -v0 ².sen ² α/2.g alcance: x = -v0 ².sen 2.α/g MOVIMIENTO RECTILINEO CUESTIONES C1.- ¿Cómo definirías la trayectoria de un móvil? C2.- ¿Qué es lo que mide la aceleración? C3.- ¿Qué diferencias hay entre la velocidad media y la velocidad instantánea? C4.- Si el cuentakilómetros de un coche marca una velocidad máxima de 240 km/h, ¿puedes concluir con este dato que el coche tiene una alta aceleración?. Razona la respuesta. C5.- ¿Qué aceleración es mayor, la de un leopardo que pasa de su posición de reposo a una velocidad de 30 m/s en 9 segundos, o la de un coche que tarda 8 segundos en alcanzar los 100 km/h? PROBLEMAS P1.- Un caracol se desplaza a la escalofriante velocidad de 5 mm cada segundo sin altibajos (no acelera ni descansa para "tomar una hojita de lechuga"). ¿Sabrías calcular la distancia recorrida por el bicho en media hora? ¿cuál será su velocidad media? ¿y su velocidad instantánea? P2.- Representar las gráficas espacio-tiempo y velocidad-tiempo para un Seat 600 (eso sí, rectificado) que se desplaza en tres tramos: a) Durante 3 h recorre 210 Km con MRU b) Durante 1 h hace una parada para comer c) Recorre 100 Km con MRU a la velocidad de 20 m/s P3.- Dos ciclistas, separados por una distancia recta de 500 m, salen al mismo tiempo en sentidos contrarios, uno al encuentro del otro, con velocidades constantes de 12 (m/s) y 8 (m/s) respectivamente: a) Calcular el punto en que se encuentran
b) Hallar el tiempo que tardan en chocar c) Representar en la misma gráfica el diagrama posición-tiempo de los dos movimientos. (Hay que considerar correctamente un punto de referencia; con respecto a este punto hay que tener en cuenta el signo positivo o negativo de la velocidad en cada caso). Resultado a) a 300 m del punto del más rápido b) 25 s P4.- La representación gráfica del movimiento de un cuerpo es la que aparece en la figura. Contesta las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué tipo de movimiento ha tenido en cada tramo?. Razona la respuesta. b) ¿Cuál ha sido la velocidad en cada tramo? c) ¿Qué distancia ha recorrido al cabo de los 10 segundos?. d) ¿Cuál ha sido el desplazamiento del móvil? P5.- La representación gráfica del movimiento de un cuerpo viene dada por la figura. Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Qué tipo de movimientos ha realizado el móvil que estudiamos? b) ¿Cuál ha sido la aceleración en cada tramo? c) ¿Qué distancia ha recorrido el móvil al final de su viaje? P6.- Dejamos caer una pelota desde nuestra terraza. Sabiendo que la altura al suelo es de 15 m, calcula: a) ¿Con qué velocidad llegará al suelo? b) ¿Cuánto tiempo tardará en efectuar el recorrido? c) Suponiendo que no existiera ningún tipo de rozamiento, ¿hasta qué altura volvería a subir? d) ¿Cómo sería la representación gráfica de la posición frente al tiempo y de la velocidad frente al tiempo a lo largo de toda la trayectoria? e) Dibuja la gráfica de la aceleración frente al tiempo en todo el movimiento. P7. Un caza F-18, partiendo del reposo, acelera a razón de 10 (m/s ²) mientras recorre la pista de despegue y empieza a ascender cuando su velocidad es de 360 Km/h.
a) ¿Cuántos metros de pista ha recorrido? b) ¿Qué tiempo ha empleado? Resultado a) 500 m b) 10 s. P8.- Un tren reduce su velocidad desde 15 (m/s) hasta 7 (m/s), con una aceleración constante, recorriendo entretanto una distancia de 90 m. Calcular: a) la aceleración con que frena, b) la distancia que recorrerá hasta detenerse, si mantiene constante la aceleración adquirida. Resultado a) -0.98 (m/s ²) b) 25 m. P9.- Un automóvil se desplaza a 45 (km/h) y disminuye uniformemente su velocidad hasta 15 (km/h) en 10 s. Calcular: a) la aceleración, b) la distancia recorrida en los 10 s, c) el tiempo que tardará en detenerse, si continúa con la misma aceleración, d) la distancia que recorre hasta detenerse,contando desde que se movía a 15 Km/h Resultado a) -0.83 (m/s ²) b) 83.5 m c) 5s d) 10.6 m P10.- Desde lo alto de un edificio se deja caer una piedra y se observa que tarda 4s en llegar al suelo. Determinar: a) la altura del edificio, b) la velocidad con que llega al suelo. Resultado a) 78,4 m b) 39,2 (m/s)
P11.- Se lanza verticalmente hacia abajo desde cierta altura una piedra, con la velocidad inicial de 6 m/s y tarda 2 s en llegar al suelo. Calcular: a) La altura desde la cual fue lanzada. b) La velocidad con que llega al suelo, c) El espacio que recorrerá al cabo de uno y dos segundos. Resultado a) 31.6m b) 25.6 (m/s) c) 10.9 m y 20.7 m P12.- Un tanque dispara verticalmente hacia arriba (suponiendo que pueda hacerlo) un proyectil con velocidad inicial de 500 (m/s). Determinar: a) la altura máxima que alcanzará, b) el tiempo que empleará en ello, c) la velocidad que tiene a los 10 s, d) la posición en que se encontrará cuando su velocidad sea de 300 (m/s). Resultado a) 12 755 m b) 51 s c) 402 (m/s) d) 8163.3 m P13.- Desde el borde de un pozo se deja caer una piedra. Si el sonido del choque de la piedra con el fondo se oye 5 segundos después de haberla dejado caer y la velocidad del sonido es de 340 m/s, calcula la altura del pozo. Resultado ¡¡ánimo valiente!! (pista: hay que considerar dos tramos con diferente movimiento) (otra pista: un tramo podría ser el de bajada hasta chapotear; el otro el del sonido en subir) (y ya no hay más pistas) MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
MOVIMIENTO CIRCULAR P14.- Un ciclista parte del reposo en un velódromo circular de 50 m de radio y va moviéndose con movimiento uniformemente acelerado, hasta que, a los 50 s de iniciada su marcha, alcanza una velocidad de 36 km/h; desde este momento conserva su velocidad. Calcula: a) la aceleración tangencial y la aceleración angular en la primera etapa del movimiento b) la aceleración normal y la aceleración total en el momento de cumplirse los 50 s. c) la longitud de pista recorrida en los 50 s. d) la velocidad tangencial media y la velocidad angular media en la primera etapa del movimiento. e) el tiempo que tarda en dar una vuelta a la pista, con velocidad constante. f) el número de vueltas que da en 10 minutos, contados desde que inició el movimiento. Resultado a) at = 0.2 m/s ² α = 0.004 rad/s ²
b) an = 2 m/s ² a = 2.01 m/s ² c) Δs = 250 m d) vm = 5 m/s ω m = 0.1 rad/s
e) t = 31.4 s f) 18.31 vueltas P15.- Un punto material describe una circunferencia de 2 m de radio con aceleración constante. En el punto A la velocidad es de 0.5 m/s y transcurridos dos segundos la velocidad en b es 0.75 m/s. Calcula la aceleración tangencial, normal y total en el punto A. Resultado at = 0.125 m/s ² an = 0.125 m/s ² a = 0.18 m/s ² P16.- Un móvil describe una trayectoria circular de 1 m de radio 30 veces por minuto (movimiento circular uniforme). Calcula: a) el período b) la frecuencia c) la velocidad angular
d) la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta de ese movimiento Resultado a) T = 2 s/vuelta b) f = 0.5 vueltas/s c) ω = 3.14 rad/s d) v = 3.14 m/s an = 9.8 m/s ² LANZAMIENTO HORIZONTAL P17.- Desde un acantilado de 40 metros de altura se lanza horizontalmente un cuerpo con una velocidad de 20 m/s. Calcula: a) ¿Dónde se encuentra el cuerpo 2 segundos después? b) ¿Qué velocidad tiene en ese instante? c) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la superficie? d) ¿Con qué velocidad llega al agua? e) ¿Qué distancia horizontal máxima recorre? f) Ecuación cartesiana de la trayectoria Resultado a) x = 40 m y = 20.4 m b) v = 28 m/s α = -44.42° c) t = 2.85 s d) v = 34.35 m/s α = -54.39° e) x = 57 m f) y = 40 - 4.9 (x/20) ² P18.- Un avión vuela a 800 m de altura y deja caer una bomba 1000 m antes de sobrevolar el objetivo, haciendo blanco en él. ¿Qué velocidad tiene el avión? Resultado v0 = 78.26 m/s = 282 km/h P19.- Pepe y Blas, pilotos de la RAF, se encuentran a 2000 m de altura pilotando su bombardero a 650 km/h. A una distancia de 16 km (medida en el eje horizontal) se ve una nube de polvo producida por un camión (se supone que es el enemigo, aunque los del camión
no dirían lo mismo). El avión está muy preparado y detecta que la velocidad del camión es de 120 km/h. a) ¿A qué distancia del camión (medida en el eje x) y sin bajar, para que no oigan el ruido de los motores los ocupantes del camión, debe soltar la bomba para dar en el blanco? b) ¿Qué tiempo transcurre desde que ven al camión hasta que hacen "diana" ? c) ¿A qué distancia del camión tiene que soltar la bomba para hacer blanco? Nota: Pepe y Blas eran "buenos muchachos", pero ahora cumplen órdenes. TIRO PARABOLICO P20.- Manolo pretende encestar una canasta de tres puntos. Para ello lanza la pelota desde una distancia de 6.5 m y a una altura de 1.9 m del suelo. Si la canasta está situada a una altura de 2.5 m, ¿con qué velocidad debe realizar el tiro si lo hace con un ángulo de elevación de 30° ? Resultado v0 = 9.34 m/s P21.- Un bombero desea apagar el fuego en un edificio. Para ello deberá introducir agua por una ventana situada a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1 metro del suelo, apuntándola bajo un ángulo de 60° hacia la fachada (que dista 15 m), ¿con qué velocidad debe salir el agua? Resultado v0 = 16 m/s P22.- Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 400 m/s y un ángulo de elevación de 30°. Determina: a) La posición y la velocidad del proyectil a los 5 segundos b) ¿En qué instante el proyectil alcanza el punto más alto de la trayectoria?. Halla la altitud de ese punto. c) ¿En qué instante el proyectil se encuentra a 1000 m de altura y qué velocidad tiene en ese instante? d) El alcance del proyectil e) ¿Con qué velocidad llega a la horizontal del punto de lanzamiento? f) La ecuación cartesiana de la trayectoria que sigue el proyectil. Nota: tomar g = 10 m/s ² Resultado
a) x = 1732 m y = 875 m v = 377 m/s α = 23.4°
b) t = 20 s y = 2000 m c) t1 = 5.86 s t2 = 34.14 s para t1, v = 374 m/s d) α = 22.2° e) v = 400 m/s α = -30° f) y = tg 30 . x - 5 . (x/346) ² P23.- Desde el borde de un acantilado de 85 m se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 150 m/s y un ángulo de elevación de 30°. Calcula: a) la distancia horizontal desde el cañón al punto donde el proyectil pega en el suelo b) la máxima elevación que alcanza el proyectil respecto del suelo Resultado a) alcance = 2125 m b) altura máxima = 372 m • Si utilizaste el contenido de esta página no olvides citar la fuente "Fisicanet"
Soluciones ejercicios Ejercicio 2.1 Demuestre las identidades (•a ו b) × •c = (•a · •c) • b−(
• b · •c)•a. (•a ו b) · •c = •a · ( • b × •c). •a ו
b 2 =a 2 b 2 − (•a ·
• b) 2 . Solución. Deben haber muchas demostraciones. La tercera es fácil pues si φ es el ángulo entre •a y •
b •a ו b 2 =a 2 b 2 sin 2 φ=
=a 2 b
2 (1 − cos
2 φ)
=a 2 b 2 −a
2 b 2 cos 2 φ
=a 2 b 2 − (•a ·
• b) 2 . La segunda, intercambiar la cruz con el punto, se demuestra así: (•a ו b) · •c = (aybz − azby)cx + (azbx − axbz)cy + (axby − aybx)cz
= cxaybz − cxazby + cyazbx − cyaxbz + czaxby − czaybx
y •a · ( • b × •c) = (bycz − bzcy)ax + (bzcx − bxcz)ay + (bxcy − bycx)az = cxaybz − cxazby + cyazbx − cyaxbz + czaxby − czaybx18 Soluc iones ejercicios
resultan iguales. La primera es larga. Veamos la componente x de (•a × • b) × •c, esta es: (•a ו b)ycz − (•a ו b)zcy = (azbx − axbz)cz − (axby − aybx)cy = czazbx − cz axbz − cyaxby + cyaybx = (cyay + cz az)bx − (czbz + cyby)ax =
(•c · •a − cxax)bx − (•c · • b − cxbx)ax = (•c · •a)bx − (•c ·
• b)ax, de modo que es claro que algo similar ocurre con las otras dos componentes y luego (•a ו b) × •c = (•c · •a) • b − (•c ·
• b)•a. N Ejercicio 2.2 Si los lados de un triángulo son a, b, c determine los ángulos
del triángulo. Solución. Podemos obtenerlos de varias maneras, por ejemplo del teorema del coseno c 2 =a 2 +b 2 − 2ab cos γ,
o bien cos γ =
a 2 +b 2 −c
2 2ab , y otras dos similares cos α = a 2 +c 2 −b
2
2ac , cos β = c 2 +b 2 −a
2 2bc , A C B α β γ
a b c19 N Ejercicio 2.3 Considere los puntos cuyas coordenadas son A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 1), C = (−1, 2, 0) determine
a) El área del triángulo ABC. b) Los ángulos del triángulo ABC. c) Las magnitudes de los lados del triángulo ABC. d) Las alturas del triángulo ABC.
Solución. Los vectores con magnitud y dirección los lados del triángulo pueden escribirse A C B α β γ
a b c •c = −→ AB = (1, 2, 1) − (1, 1, 1) = (0, 1, 0)
•a = → BC = (−1, 2, 0) − (1, 2, 1) = (−2, 0, −1)
• b= −→
C A = (1, 1, 1) − (−1, 2, 0) = (2, −1, 1) de manera que •c × •a = (0, 1, 0) × (−2, 0, −1) = (−1, 0, 2) • b × •c = (2, −1, 1) × (0, 1, 0) = ( −1, 0, 2) •a ו b = (−2, 0, −1) × (2, −1, 1) = (−1, 0, 2)
entonces el área del triángulo es A= 1 2 |(−1, 0, 2)| =
1 2 √
5. las magnitudes de los lados son |•c| = |(0, 1, 0)| = 120 Soluciones ejercicios • b = |(2, −1, 1)| = √
6 |•a| = |(−2, 0, −1)| = √
5 los ángulos están dados por sin α =
|•bוc| |•b||•c| = √ √5
6 sin β =
|•cוa| |•a||•c| = √ √5
5 =1 sin γ =
|•bוa| |•a||•b| = √ √5
5 √
6 = √1
6 las alturas del triángulo se calculan de acuerdo a hC = • b sin α = √
5, hB = |•a| sin γ = √
5 √
6 , hA = |•c| sin β = 1. N Ejercicio 2.4 Considere un paralelógramo donde se dan tres vértices A = (0, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0). a) Determine el cuarto vértice. b) Determine el área del paralelógramo. c) Determine las longitudes de las diagonales. Solución. Construyamos los vectores −→
AC = −→ OC − −→ OA = (1, 0, −1) , −→
AB = → OB − −→ OA = (1, −1, 0) ,
de manera que →
AD = −→
AB +
−→ AC = (2, −1, −1) ,
entonces el cuarto vértice está en la posición (esta es una solución de otras posibles) →
OD = −→
OA + →
AD = (2, 0, 0)21 El área del paralelógramo será A= −→
AB × −→
AC = |(1, 1, 1)| = √
3, donde las longitudes de las diagonales serán −→
AB + −→ AC = |(2, −1, −1)| = √
6, −→ AB −
−→ AC = |(0, −1, 1)| = √
2. N Ejercicio 2.5 Escriba la ecuación de un plano que es perpendicular a la dirección nˆ = (1, −1, 1)/ √
3 y que pasa a distancia 3 del origen. Solución. La ecuación resulta nˆ · •r = 3,
o sea x−y+z=3 √
3. N Ejercicio 2.6 Sea una recta x = 2t + 1, y = −t + 2, z = 3t − 1,
siendo t un parámetro. Determine su distancia al origen. Solución. La distancia de un punto arbitrario de la recta al origen es d= p x 2 +y
2 +z 2 , esto es d= p (2t + 1) 2 + (−t + 2)
2 + (3t − 1)
2 = √
14t 2 − 6t + 6.
La cantidad subradical, polinomio de segundo grado, tiene un mínimo justo en el punto medio entre sus dos raíces que son22 Soluciones ejercicios t1 = 3 14 + 5 14 i
√
3, t2 = 3 14 −5
14 i √
3 y el punto medio es t= 1 2 ( 6 14 )= 3 14 , y para ese valor d es la distancia de la recta al origen, cuyo valor resulta d= 5 14 √
42 = 2. 315, N Ejercicio 2.7 Sean •a = (1, 1, 0),
• b = (−1, 1, 1) dos vectores. Determine la
ecuación de un plano que pase por el origen y que contenga los vectores •a y • b. Solución. Si los dos vectores •a y • b están sobre el plano, entonces un vector normal al plano es N• = •a ו b. Calculando resulta N• = (1, 1, 0) × (−1, 1, 1) = (1, −1, 2) . La ecuación del plano es, en general •r · N• = constante, y si pasa por el origen •r · N• = 0. Calculando (x, y, z) · (1, −1, 2) = x − y + 2z de modo que la ecuación del
plano es x − y + 2z = 0.
N Ejercicio 2.8 Determine el área de un triángulo en función solamente de sus lados a, b y c. Solución. En principio el área del triángulo puede ser escrita de muchas maneras, por ejemplo A= 1 2 •a ו b=
1 2 ab sin γ,
= 1 2 • b × •c = 1 2 bc sin α,
= 1 2 |•c × •a| = 1 2 ca sin β,23
pero la tarea es eliminar los ángulos. Para ello considere c = a cos β + b cos α. Expresando los “cosenos” en términos de los “senos” se obtiene
c=a r 1−(
2A ca )
2 +b r 1−(
2A bc ) 2 , o bien c 2 = p c 2 a 2 − (2A)
2 + p b 2 c 2 − (2A)
2 , y el resto es álgebra. Para despejar A (c 2 −
p c 2 a 2 − (2A)
2 ) 2 =c 4 −2
p (c 2 a 2 − 4A2
)c 2 +c
2 a 2 −4A2
=b 2 c 2 −4A2
de donde c 2 +a 2 −b
2 =2 p (c 2 a 2 − 4A2
) (c 2 +a
2 −b
2 ) 2 = 4 (c 2 a 2 − 4A2
) 16A2 = 4c 2 a 2 −(c
2 +a 2 −b
2 ) 2 = (a + b − c) (a + b + c) (c − a + b) (c + a − b) y finalmente
A=
1 4 p (a + b − c) (a + b + c) (c − a + b) (c + a − b).
Intente otro camino. N Ejercicio 2.9 Con relación a la figura, demuestre que si F• 1 = −F•
2 entonces: •r1 × F• 1 + •r2 × F• 2 = •0.
r1
r2
F2
F124 Soluciones ejercicios Solución. Podemos escribir •r1 × F• 1 + •r2 × F• 2= •r1 × F• 1 − •r2 × F•
1=
(•r1 − •r2) × F• 1 = 0, porque F• 1 es paralela a (•r1 − •r2). N Ejercicio 2.10 Desde una determinada posición en un camino, una persona observa la parte más alta de una torre de alta tensión con un ángulo de elevación de 25 o . Si avanza 45 m en línea recta hacia la base de la torre, divisa la parte más alta con un ángulo de elevación de 55 o . Considerando que la vista del observador está a 1,7 m. Determine la altura h de la torre. 25º h β
45 m 1.7 m 55º Solución. Sea d la distancia del punto más cercano a la torre, entonces tenemos d h = cot 55, d + 45 h = cot 25,
restando 45 h = cot 25 − cot 55
de donde h= 45 cot 25 − cot 5525
y numéricamente resulta h = 31. 157 m respecto al observador y h = (31. 157 + 1,70) = 32. 857 m respecto al suelo. N Ejercicio 2.11 Desde un avión de reconocimiento que vuela a una altura de 2500 m, el piloto observa dos embarcaciones que se encuentran en un mismo plano vertical con ángulos de depresión de 62 o 24 0 y 37 o 18 0 respectivamente. Encuentre la distancia x entre las embarcaciones.
2500 m 37º18' x 62º24' Solución. Expresando los ángulos son con decimales 62,4 o y 37,3 o Similarmente al problema anterior si d es la distancia horizontal entre el avión y la embarcación más cercana se tiene x+d 2500 = tan(90 − 37,3),
d 2500 = tan(90 − 62,4),
y restando se obtiene d = 2500(cot 37,3 − cot 62,4) = 1974. 751 m26 Soluciones ejercicios
N Ejercicio 2.12 Una persona se encuentra en la mitad de la distancia que separa dos edificios y observa la parte más alta de éstos con ángulos de elevación de 30
o y 60 o respectivamente. Demuestre la que las alturas de los edificios
están en la relación 1 : 3.
30º x 60º Solución. Si las alturas son llamadas h1 y h2 tenemos que tan 30 = h1 x/2 , tan 60 = h2 x/2 , de donde h1 h2 = tan 30 tan 60 = 1 3 √
3 √
3 = 1
3 . N Ejercicio 2.13 Un mástil por efecto del viento se ha quebrado en dos partes, la parte que quedó vertical en el piso mide 3 m y la parte derribada quedó atada al extremo superior de la parte vertical, formando un ángulo de 30 o con el piso. Encontrar la altura del mástil. 3m 30º27 Solución. La hipotenusa c será dada por 3 c = sin 30 = 1 2 , de donde c = 6 m, por lo tanto la altura del mástil era 9 m. N Ejercicio 2.14 Una persona en su trote diario, desde su casa, corre 7 km al Norte, 2 km al Oeste, 7 km al Norte y 11 km al Este. Encuentre la distancia a su casa a que se encuentra la persona . Solución. Sean los ejes cartesianos OX hacia el este y OY hacia el norte, entonces el desplazamiento resultante es •r = 7ˆj + 2(−ˆı) + 7ˆj + 11ˆı
= 9ˆı + 14ˆj,
y su magnitud, la distancia a la casa, es r= √
9 2 + 14 2 = 16. 64 km. N Ejercicio 2.15 Una caja tiene 16 cm de largo, 18 cm de ancho y 10 cm de alto. Encuentre la longitud de la diagonal de la caja y el ángulo que ésta forma con cada uno de los ejes. Z X Y 16 cm 18 cm 10 cm28 Soluciones ejercicios Solución. El vector que representa la diagonal es •r = 16ˆı + 18ˆj + 10 ˆ
k, y entonces su longitud es r= √
16
2 + 18 2 + 10 2 = 26. 077 cm. Los ángulos están dados por cos α = •r · ˆı (26. 077) = 16 26. 077 cos β = •r · jˆ 26. 077 = 18 26. 077 cos γ = •r · ˆ
k 26. 077 = 10 26,077
