3. Hallar la longitud de arco de la curva y = e x comprendida entre los puntos
⇒ y = e x
/
dy
/ (
⇒
=
dx
dy ⇒ dx
e x
( 0 ,1 ) y ( 1, e ) .
d dx
)2
2
=
dy ⇒1+ dx
e 2 x
/ + 1
2
=
dy ⇒ 1+ dx
1 + e 2 x
/
2
1
1+ e
=
∫
2 x
/
0 2
b
Sea z 2
1
dy ⇒ ∫ 1 + dx = ∫ 1 + e 2 x dx dx 2 0 a 144 44 3 ⇒ L. C . =
2
∫
z
2
z
2 1+e 2
⇒ L. C . =
∫
2 1+e
⇒ L. C . =
2
∫
2
Si x = 1 ⇒ z
∫
2
2
−
1
dz +
∫
2
=
1 + e2
Cero Conveniente, más conocido
z 2 − 1 + 1 2 dz z − 1 1+e 2
⇒ 2 z dz = 2e 2 x dx
dz
z 2 2 dz z − 1
1+e 2
⇒ L. C . =
z
⋅
x
1 + e2
Si x = 0 ⇒ z = 2
L. C .
1+e
=
como Nikita Nipone :
1 2 dz z − 1
z − 1 ⇒ L. C . = z + Ln z + 1
→
−
1+1
Fracciones Parciales
1+e 2
2
1 + e 2 − 1 2 − 2 + Ln 2 −1 ⇒ L. C . = 1 + e + Ln 2 +1 1+ e 2 +1 ⇒ L. C . ≈ 2,53 [ u.l. ]
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4. Hallar la longitud de arco de la curva x
⇒ ⇒
dx
=
dy dx
=
dy
dx ⇒ dy
1 sec ( y )
⋅
sec ( y ) ⋅ tg ( y )
=
Ln [ sec ( y ) ] desde y
0 hasta y
π =
3
.
d
/
tg ( y )
=
dy
)2
/ (
2
tg ( y ) 2
=
dx ⇒ 1 + dy
/ + 1
2
=
dx ⇒ 1 + dy
1 + tg 2 ( y )
π
2
3
=
1 + tg ( y ) 2
/
∫ 0
2
dx ⇒ ∫ 1 + dy = dy 2 a 144 4 44 4 3 b
/
π
3
∫
1 + tg 2 ( y ) dy
0
L. C . π
3
⇒ L. C . =
∫
sec 2 ( y ) dy
0 π
3
⇒ L. C . = ∫ sec ( y ) dy 0
⇒ L. C . = Ln [ sec ( y ) + tg ( y ) ]
π
3
0
π π ⇒ L. C . = Ln sec + tg − Ln [ sec (0 ) + tg (0 ) ] 3 3 ⇒ L. C . = Ln [ 2 + 3 ] − Ln [1 + 0 ] ⇒ L. C . = Ln [ 2 + 3 ] − Ln [1 ] ⇒ L. C . = Ln [ 2 + 3 ] ⇒ L. C . ≈ 1,32 [ u. l. ]
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5. Hallar la longitud de arco de la curva x =
⇒ x = ⇒
dx
y 2
Ln ( y )
−
4 =
y
dy
2
dx ⇒ dy
2
y
1
y 1 = 2 − 2 y 2
2
2
d dy
)2
/ + 1 2
y 4 − 2 y 2 + 1 1 + 2 4 y
=
desde y = 1 hasta y = e .
2
y 2 − 1 = 1+ 2 y
dx ⇒ 1 + dy
4
/ (
2 y
dx ⇒ 1 + dy
−
/
2 −
Ln ( y )
2
/ e
∫
/
1
2
e 4 2 dx y + 2 y + 1 dy ⇒ ∫ 1 + dy = ∫ 2 dy 4 y 1 a 144 4 244 4 3 b
L. C .
( y
e
⇒ L. C . = ∫
2
+
4 y
1
1)
2
dy
2
2
y 2 + 1 dy 2 y
e
⇒ L. C . = ∫ 1
y 1 dy ⇒ L. C . = ∫ + 2 2 y 1 e
⇒ L. C . =
y
2
+
4
1 2
e
Ln ( y ) 1
e 2 Ln (e ) 12 Ln (1) ⇒ L. C . = + − + 2 2 4 4 ⇒ L. C . =
e
⇒ L. C . =
e
2
+
4
1 2
2
+
−
1 4
1
4
⇒ L. C . ≈ 2,1 [ u. l. ] www.jaimealucema.tk
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a + a 2 − y 2 a − y − a ⋅ Ln y 2
6. Calcular la longitud de curva de la ecuación de Alucema x =
2
desde y = a hasta y = b ; con 0 < b < a .
a + a 2 − y 2 d ⇒ x = a − y − a ⋅ Ln / y dy 2 a + a 2 − y 2 dx y y y ⇒ = − − a⋅ ⋅ − − 2 2 2 2 2 2 2 2 dy y a − y a + a − y y a − y y 2 + a a 2 − y 2 + a 2 − y 2 dx y a ⇒ = − + ⋅ 2 2 2 2 2 2 dy a − y a + a − y y a − y a a 2 − y 2 + a 2 dx y a ⇒ = − + ⋅ 2 2 2 2 2 2 dy a − y a + a − y y a − y 2
⇒
dx
a2
=
dy
dx ⇒ dy
2
−
y a 2 2
y 2 −
/ (
y 2
a 2 − y 2 = 2 2 y a − y
dx ⇒ 1 + dy
2
=
dx ⇒ 1 + dy
1+
(a
2
−
y (a
2
=
2
2
2
/ + 1
y
)
2 2
−
(a 1+
)2
y
2
2
−
y
)
y 2 )
2
/ a
∫
/
b
2
a dx y 2 + a 2 − y 2 ⇒ ∫ 1 + dy = ∫ dy 2 dy y 24 4 4 a b 144 4 3 b
L. C . a
1
⇒ L. C . = a ⋅ ∫ dy b
y
⇒ L. C . = a ⋅ Ln ( y )
a b
⇒ L. C . = a ⋅ [ Ln (a ) − Ln (b ) ] a ⇒ L. C . = a ⋅ Ln [ u. l. ] b
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x = 3 ⋅ [ cos (t ) + t ⋅ sen (t ) ] 7. Hallar la longitud de curva de la envolvente del círculo y = 3 ⋅ [ sen (t ) − t ⋅ cos (t ) ] desde t = 0 hasta t = 2 .
x = 3 ⋅ [ cos (t ) + t ⋅ sen (t ) ] y = 3 ⋅ [ sen (t ) − t ⋅ cos (t ) ]
/
d dt
dx dt = 3 ⋅ [ − sen (t ) + sen (t ) + t ⋅ cos (t ) ] dy = 3 ⋅ [ cos (t ) − cos (t ) + t ⋅ sen (t ) ] dt dx dt = 3 t ⋅ cos (t ) dy = 3 t ⋅ sen (t ) dt 2
⇒ L. C . = ∫ ( 3 t ⋅ cos (t ) )
2
+
( 3 t ⋅ sen (t ) ) 2
dt
0
2
⇒ L. C . = ∫ 9 t 2 ( cos 2 (t ) + sen 2 (t ) ) dt 0
2
⇒ L. C . = 3 ⋅ ∫ t dt 0
t 2 ⇒ L. C . = 3 ⋅ 2 2 2 ⇒ L. C . = 3 ⋅ 2
−
2
0
2 0
2
⇒ L. C . = 6 [ u. l. ]
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8.
x = a ⋅ [ t − sen (t ) ] Calcular la longitud de curva de la cicloide y = a ⋅ [1 − cos (t ) ] x = a ⋅ [ t − sen (t ) ] y = a ⋅ [1 − cos (t ) ]
/
d dt
dx dt = a ⋅ [1 − cos (t ) ] dy = a ⋅ sen (t ) dt 2π
⇒ L. C . =
∫
a [1 − cos (t ) ]
2
2
+
a sen (t ) dt 2
2
0 2π
⇒ L. C . = a ⋅ ∫ 1 − 2 cos (t ) + cos 2 (t ) + sen 2 (t ) dt 0 2π
⇒ L. C . = a ⋅ ∫
2 − 2 cos (t ) dt Uno Conveniente, más conocido
0 2π
⇒ L. C . = a ⋅ ∫ 2 ⋅ 1 − cos (t )
⋅
0 2π
⇒ L. C . = 2a ⋅ ∫
1 − cos (t )
0
2
2 2
dt
como Nikita Nipone :
2 2
=
1
dt
2π
t ⇒ L. C . = 2a ⋅ ∫ sen dt 2 0 t ⇒ L. C . = − 4a ⋅ cos 2
→
Sustitució n simple
2π
0
⇒ L. C . = −4a ⋅ [ cos (π ) − cos (0 ) ] ⇒ L. C . = 8a [ u. l. ]
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9. Hallar la longitud de arco de la curva y = 2 x desde x = 0 hasta x
⇒ y = 2 x ⇒
dy
1
=
dx
dy ⇒ dx
/
2
1 = x
dy ⇒1+ dx
2
=
dy ⇒ 1+ dx
1+
dx
)2
2
/ + 1 1
/
x
2
1
x + 1
=
∫
/
x 2
b
0
1
x + 1 dy ⇒ ∫ 1 + dx = ∫ dx dx x 24 4 3 0 a 144
Sea u 2
u
∫
⇒ L. C . = Lim 1
→
u
a
2
⇒ L. C . = 2 Lim 1
a
→
⇒ L. C . = 2 Lim 1
a
→
a
⋅ −
u
a
∫
2
u
∫
2
=
=
dx
2
2
2u du
1
2
du −
2 u −1
−
[
⇒ L. C . = Lim u ⋅ u 1
→
−
1
+
u
du 2 u − 1 1
+
1 2
→
2
Sustitució n Trigonomét rica :
1
u ⋅ u2 −1 ⇒ L. C . = 2 Lim a 1 2
(
Ln u +
(
Ln u +
u
2
u
−
1
2
−
)]
1
)
+
1
[
sec (θ )
=
sec (θ ) ⋅ tg (θ ) d θ
2 u −1
(
2
)
Ln u +
a
2 a
[
→
=
du
→
(
⇒ L. C . = Lim [ 2 + Ln ( 2 + 1 ) ]− a ⋅ a 2 − 1 + Ln a + a
