SOAL-SOAL LATIHAN ANALISIS REAL A =BARISAN BILANGAN REAL=
Catatan : kalau ditulis barisan, yang dimaksud adalah barisan bilangan real. real . 1.
Barisan & Sub Barisan xn dari barisan berikut (contoh: barisan 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, …, xn 1.1. Tentukan formula untuk x = n + 1 untuk n = ganjil, xn = n – 1 untuk n genap) 1.1.1. 1, 0, 1, 0, 1, 0, … 1.1.2. 1, 3, 6, 10, 15, … 1.1.3. 1, -4, 9, -16, -16, 25, -36, … 1.1.4. 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, … 1.2. Manakah dari barisan pada soal 1.1 diatas yang merupakan sub barisan dari {n }n 1 ?
1.3. Jika S
{s n }n
2n 1
1
n
dan N 1
merupakan sub barisan dari k
k 1
{n i }i
i2
1
n 1
, tentukan s 5 , s 9 , n 2 , n3 . apakah n
?
1.4. Misalkan S adalah sebuah barisan. Buktikan bahwa setiap sub barisan dari suatu sub barisan barisan dari S adalah sub barisan dari S . 2.
Limit Barisan 2.1. Jika {s n }n 1 adalah barisan bilangan real, jika s n
bahwa L M . 2.2. Jika L , M , dan L
,
M
M, n
dan jika lim s n n
0 buktikan bahwa L
2.3. Jika {s n }n 1 adalah barisan barisan bilangan real, dan jika
0, s n
L buktikan
M . L
, n
n 0 dimana n 0
tidak bergantung pada , buktikan bahwa semua, tetapi berhingga, dari sukusuku -suku barisan {s n }n 1 adalah sama dengan L. 2.4. Tentukan n 0
sedemikian hingga
2.5. Buktikan bahwa lim n
2.6. Tentukan n 0
2n n
2.8. Buktikan bahwa
2.9. Buktikan bahwa 5
55
sn
2.11.
5! n b
1 n
1
0.03, n
n0 .
tidak memiliki limit. n 1
107 n
n0 .
memiliki limit 0. n 1
n
n!
5
107
, n
5
0
n 1
n
1
2
2
3
1
n
3
n
sedemikian hingga
2.7. Buktikan bahwa lim
2.10. Jika s n
2n
, tunjukkan bahwa lim s n
jika n
n
0 . (petunjuk: buktikan bahwa
5).
, buktikan bahwa lim n
b n
0. http://mtaufiknt.co.nr – http://mtaufiknt.wordpress.com – http://mtaufiknt.wordpress.com
4.1.1. 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, … 4.1.2.
n
sin
4.1.3.
2 n
1
1
n 1
n
n 1
4.2. Jika lim sup s n 4.3. Jika s n
n 1
adalah barisan yang terbatas, dan lim inf{s n }
5.
n 1
n 1
n 1
M .
m , buktikan bahwa ada sub
n
barisan dari s n sn
M buktikan bahwa lim sup setiap sub barisan dari s n
yang konvergen ke m. buktikan pula bahwa tidak ada sub barisan dari
yang dapat konvergen ke nilai yang lebih kecil dari m.
Barisan Cauchy 5.1. Berikan dan tunjukkan satu contoh barisan terbatas yang bukan barisa n Cauchy.
5.2. Dengan definisi, tunjukkan bahwa
n
5.3. Dengan definisi, tunjukkan bahwa 1 5.4. Dengan definisi, tunjukkan bahwa 1 hitung dg s 2 n
1 n
adalah barisan Cauchy. n 1
1
1
2!
3!
1
1
2
3
1
... ...
n!
adalah barisan Cauchy. n 1
1 n
bukan barisan Cauchy. (Petunjuk: n 1
s n ).
5.5. Buktikan bahwa setiap sub barisan dari barisan Cauchy adalah barisan Cauchy. 5.6. Dengan definisi, tunjukkan bahwa jika { xn} dan { yn} adalah barisan Cauchy, maka { xn yn} adalah barisan Cauchy. 5.7. Misalkan s n sn
1
sn
n 1 n
cr ,
adalah barisan bilangan real. Jika n
tunjukkan bahwa s n
n 1
c
,0
r
1 dan
konvergen.
5.8. Tunjukkan bahwa barisan yang terbatas dan monoton tak turun adalah barisan Cauchy.
http://mtaufiknt.co.nr – http://mtaufiknt.wordpress.com
