Listado de Problemas 2 Matemáticas Especiales II para Física Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia 1 de septiembre de 2015 1. Considere Considere el polinomio polinomio de grado n grado n P ( P (z ), cuyas raíces son α son α1 , α2 , . . . , αn . Muestre que P (z ) P ( P (z )
=
1 1 1 + +···+ . z − α1 z − α2 z − αn
c ) Encuentre Encuentre la versión “PP” “PP” de las ecuaciones ecuaciones de Cauchy–Riemann escribiendo f escribiendo f (z ( z ) = Re i Ψ y considerando R siderando R y y Ψ como funciones de r de r y θ. θ .
(1)
7. Demuestre Demuestre que la derivada de una función función compleja compleja f (z ( z ) = u ( u (r , θ ) + i v ( v (r , θ) puede escribirse escribirse en las formas equivalentes
El cuociente P (z ) /P ( P (z ) es conocido como derivada como derivada logarítmica de P de P ((z ). ¿Adivina por qué?
∂v ∂ v , + i f (z ) = e ∂r ∂r 1 ∂u ∂v ∂ v + i f (z ) = . i z ∂θ ∂θ
2. Use las ecuaciones ecuaciones de Cauchy–Riemann Cauchy–Riemann para verificar ∗ que z que z → z no es analítica.
8.
(4)
(5)
∂F 1 ∂F ∂F . = + ∂z ∗ 2 ∂x ∂ y
5. Muestre Muestre que, que, si f ( f (z ) es analítica en una región conexa, entonces cualquiera de las siguientes condiciones fuerza f fuerza f ( ( z ) = const.
(6)
Inspirados por este resultado, resultado, definamos definamos el opeb ) Inspirados rador ∂ 1 ∂ ∂ . (7) = + ∂z ∗ 2 ∂x ∂ y
a ) ℜ f (z ( z ) = 0. =
Demuestre que si las partes real e imaginaria de una función f (z ( z ) = u x , y + i v x , y satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann, entonces
∗
sólo f (z también f (z ). c ) No sólo ( z ) es analítica, sino también f
6. Las ecuaciones ecuaciones de Cauchy-Ri Cauchy-Riemann emann toman su forma usual, ∂u ∂v , = ∂x ∂ y ∂u ∂v =− , ∂ y ∂x
a ) Considere Considere una función función F (z ( z , z ∗ ). Aplicando formalmente la regla de la cadena, deduzca que
4. Muestre Muestre que ninguna ninguna elección elección de v de v x , y puede hacer 2 2 que f que f (z ( z ) = x + y + i v x , y sea analítica.
f ( z ) const. b ) f
∂u
3. Considere Considere la función f ( f (z ) = x 2 + y 2 + i y /x . Use las ecuaciones de Cauchy–Riemann para demostrar que f (z ( z ) no es analítica.
i θ −i θ
∂v ∂u ∂v
∂ f 1 ∂u = − + i + ∂z ∗ 2 ∂x ∂ y ∂x ∂ y
(2)
= 0.
(8)
9. Verifique que el mapeo z mapeo z → e z satisface las ecuaciones de Cauchy–Riemann.
(3)
10. Demuestre Demuestre que las siguientes siguientes funciones funciones son armónicas:
cuando escogemos separar la función compleja f ( f (z ) en sus partes real e imaginaria, u imaginaria, u y y v , v , y escribir ambas como funciones de las coordenadas cartesianas x cartesianas x y y y y .. Llamemos a las ecuaciones (2) (2)–( –(3 3) la versión “CC” de las ecuaciones de Cauchy–Riemann.
a ) e x cos y cos y 2
2
b ) e x − y cos2x cos2 x y
c ) ln f (z donde f ((z ) es analítica. ( z ) , donde f
a ) Encuentre Encuentre la versión “CP” de las ecuaciones ecuaciones de Cauchy–Riemann escribiendo f ( f (z ) = u + + i v y considerando u considerando u y y v v como como funciones de r de r y θ. θ .
11. Ilustre Ilustre la propiedad propiedad de ortogonalidad ortogonalidad para las partes real e imaginaria de una función analítica para las siguientes funciones:
Encuentre la versión “PC” de las ecuaciones ecuaciones de b ) Encuentre Cauchy–Riemann escribiendo f escribiendo f ( ( z ) = Re i Ψ y considerando R siderando R y y Ψ como funciones de x de x y y y . y .
a ) f ( f (z ) = z b ) f ( f (z ) = 1/z 1/z 1
a ) φ(x , 0) = x 2 + 5x + 1 para todo x
4
b ) φ(x , 0) =
2x 3 x 2 + 4
3
para todo x . Ayuda : Escriba
2x 3 x 2 + 4
y
=
x 2 x 2 + . x − 2i x + 2i
(9)
19. Verifique que cada una de estas funciones u es armónica, y encuentre una función armónica conjugada.
2
a ) u = y b ) u = e x sin y
1
c ) u = x y − x + y d ) u = sin x cosh y 0
0
1
2 x
3
e ) u = ln |z |
4
20. Muestre que si v es una conjugada armónica para u , entonces −u es una conjugada armónica para v .
Figura 1: Algunas curvas de nivel para la función armónica del problema 16.
21. Muestre que si v es una conjugada armónica para u en un dominio D , entonces uv es armónica en D .
c ) f (z ) = z 3 (use la forma polar)
22. La posición de una partícula que se mueve en el plano complejo puede escribirse como z (t ) = r (t )e i θ(t ) .
12. ¿Cuál es la función u = a x 2 + bx y + c y 2 más general que es la parte real de una función analítica? Construya esta función analítica, y exprésela en términos de z .
a ) Muestre que la velocidad y la aceleración de la partícula pueden escribirse en la forma
13. ¿Cuáles de las siguientes funciones son analíticas?
˙ = ˙r e i θ + r ˙θi e i θ , z
a ) e − y (cos x + i sin x )
¨= z
b ) cos x − i sin y
−
(10)
2r ˙ ˙θ r ¨θ i e . r ˙ θ e 2
i θ
+
+
i θ
(11)
Interprete físicamente.
c ) r 3 + 3i θ
b ) Si la partícula si está moviendo en un campo de fuerzas central, con el centro de fuerzas en el ori˙ gen, deduzca que la velocidad areolar A ˙ = r 2 θ/2 es constante.
d ) r e r cos θ e i (θ+r cos θ)
r ¨
14. Resuelva las ecuaciones de Cauchy–Riemann “CP” en el caso ∂v /∂θ = 0 (ver problema 6). Exprese su respuesta en términos de una función familiar.
Referencias
15. Demuestre que, si r y θ son coordenadas polares, entonces las funciones r n cos n θ y r n sin n θ son funciones armónicas de x y y .
[1] E. B. Saff, A. D. Snider, Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering . PrenticeHall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1976).
16. Encuentre una función armónica definida dentro de la cuña acotada por el eje x positivo y la línea y = x (con x ≥ 0), que se anula sobre estos bordes pero que no es idénticamente cero (ver problema 15). Las curvas de nivel para esta función pueden ser interpretadas como líneas de flujo para un fluido que fluye dentro de esta cuña, bajo ciertas condiciones idealizadas (ver figura 1).
[2] T. Needham, Visual Complex Analysis . Oxford University Press, Inc., New York (2000). [3] J. W. Brown, R. V. Churchill, Variable Compleja y Aplicaciones . McGraw-Hill/Interamericana de España (2004). [4] R. A. Silverman, Complex Analysis with Applications . Dover Publications, Inc., New York (1984).
17. Encuentre una función armónica, no idénticamente cero, que se anule sobre la hipérbola y = 1/x . Ayuda : comience considerando z 2 . Al igual que en el problema 16, las curvas de nivel pueden interpretarse como líneas de flujo.
[5] G.B. Arfken, H. J.Weber, Mathematical Methods for Physicists . Elsevier, Boston, Amsterdam (2005). [6] M. L. Boas,Mathematical Methods in the Physical Sciences . Wiley, Hoboken, NJ (2006).
18. Encuentre una función φ x , y , armónica en el semiplano superior, ℑ (z ) > 0, y continua cuando ℑ (z ) ≥ 0, tal que
[7] R. Penrose, The Road to Reality . Alfred A. Knopf, New York (2006).
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