EJERCICIOS DE CÁCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA CÁLCULO INTEGRAL (MB147-A) Problema 1.

Sea la función:

  √             

              

Y considerando la partición:

Calcule

           }              ∫   de para aproximar 

Solución:

Graficando según los intervalos de partición:

     √                             √      Es una función decreciente dado que si:

Además su dominio viene dado por 

Evaluando en sus puntos de la partición

ESPECIALIDAD: M5

, y el error cometido.

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                                                                   *                                           *           Es función continua en el intervalo intervalo analizado, Hallando máximos y mínimos , haciendo

Para máximo

, para mínimo

Evaluando en puntos extremos y de la partición

Evaluando en los puntos de la partición

ESPECIALIDAD: M5

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Con estos datos obtenidos se evalúa el siguiente gráfico:

                        ∫         √             √   √  Intervalo

1/2

La aproximación de

   

  √  √    

será:

El error cometido será:

ESPECIALIDAD: M5

    

√     √     √   √ 

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FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA CÁLCULO INTEGRAL (MB147-A) Problema 2.

Calcular:

                             Solución:

Se observa que el argumento del límite se puede reducir a una sumatoria de n términos, entonces agrupando de forma conveniente:

                 (                )                       (                        )              (      ) (      )    (     )  Reemplazando en el límite:

Reconociendo la suma de Riemann

                                    Regresando a su forma integral

ESPECIALIDAD: M5

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FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA CÁLCULO INTEGRAL (MB147-A)

      (     )          Resolviendo la integral definida

                      √         ⁄                                  

ESPECIALIDAD: M5

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FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA CÁLCULO INTEGRAL (MB147-A) Problema 3.

Calcular 

 √    √   √     √ * Solución:

Identificando el término general de la sumatoria, y dando la forma de la suma de Riemann

                          (                 )                (     ) (     )    (  )         √ *     Reconociendo la suma de Riemann

 



Volviendo la sumatoria a se forma integral:

      (   )    √   Resolviendo la integral

            |    √              √    √   √     √ *   ESPECIALIDAD: M5

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FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA CÁLCULO INTEGRAL (MB147-A) Problema 4.

Calcular:

  √        

El área de la región defina por  Riemann.

, mediante límite y suma de

Solución:

[]

         

El grafico muestra la región y el k-ésimo rectángulo circunscrito. Dividiendo el intervalo  “” ubitrv  gitu

Aplicando la definición de suma de Reimann:

        √    Del gráfico:

Reemplazando en la sumatoria.

                 *  √  

ESPECIALIDAD: M5

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FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA CÁLCULO INTEGRAL (MB147-A)

Dado que

∑ √ 

√ 

es convergente no será posible determinarlo para un el término n-

ésimo, entonces se hallara la equivalencia al área mediante la función inversa de

      √       

∫ √ 

Sea R el área del rectángulo y S el área debajo de f*, entonces numéricamente R-S =

ESPECIALIDAD: M5

.

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FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA CÁLCULO INTEGRAL (MB147-A) Desarrollando en la suma de Riemann de f*:

                                                          ,     * + Resolviendo:

                                       *               Reemplazando el límite:

       √ 

ESPECIALIDAD: M5