EJERCICIOS RESUELTOS DE CORRIENTE CONTINUA En el circuito de la figura, se indican la disposición y los valores de las resistencias, las baterías (f.e.m y resistencias internas) y la capacidad del condensador.
Hállese en el estado estacionario la carga, la diferencia de potencial entre las placas del condensador, y la energía que almacena en el mismo.
Si se quita el condensador y se unen sus bornes, calcular la intensidad en las distintas ramas. Comprobar que la energía por unidad de tiempo suministrada es igual a la disipada
En el circuito de la figura. Calcular en el estado estacionario
Las intensidades
La carga y energía en el condensador
La potencia suministrada por las baterías de 8V y de 3V.
La energía disipada en la resistencia de 3 al cabo de 3 s.
EJERCICIOS CRACK^S
34) Sabiendo que R > r, ordene de mayor a menor las intensidades de corriente que circula por los cables 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 en el circuito a antes de cerrar el interruptor y después de cerrarlo. Idem para el circuito b.
Este ejercicio tiene una trampa maléfica. (En realidad benéfica, porque te lo proponen en una ejercitación y no en un examen). Se trata de lo siguiente: los circuitos de este estilo, en los que la corriente puede tomar caminos alternativos que no se corresponden con la asociación serie/paralelo, y que los electrónicos llaman circuitos de mallas se resuelven gracias a las Leyes de Kirchoff, que -aunque son sencillas- suelen quedar afuera de los cursos secundarios y preuniversitarios. De modo que así, a primera vista, cualquier docente de Física diagnosticaría: este ejercicio corresponde a otro nivel. Pero ocurre que éstos dos, en particular, poseen una propiedad inusual que permite resolverlos sencillamente con la Ley de Ohm, de modo que sólo hay que estar muy despierto para darse cuenta de esa circunstancia inusual. Te voy a resolver el caso b que es más fácil de explicar. Empecemos con el interruptor abierto, de modo que sea imposible el paso de la corriente por ese conductor (de modo que la corriente 7 vale 0), ni lo dibujo. La corriente entrante (1) se divide en dos: 2 y 6. Como en la bifurcación no se muere ni nace ninguna carga es obvio que la suma de las corrientes 2 y 6 será igual a la corriente 1 (i2 + i6 = i1). Lo que también indica que la corriente 1 ha de ser mayor que cualquiera de las dos. Por otro lado resulta obvio que las resistencias de la rama superior (ABC) están en serie. De modo que toda la corriente que pasa por la primera resistencia de la serie debe pasar por la segunda. Dicho de otro modo la corriente 2 es igual a la corriente 3 ( i2 = i3). En la rama inferior (ADC) pasa lo mismo que en la de arriba, de modo que la corriente 6 es igual a la 5 (i6 = i5).
Por último, si comparamos la rama superior con la inferior, vemos que la resistencia total de la serie superior (R + R), es mayor que la inferior (r + r). La diferencia de potencial (ΔVAC) es la misma para ambas series, ya que están en paralelo entre sí. Y según la Ley de Ohm, a mayor resistencia menor corriente, de modo que la corriente que atraviesa la rama superior -de mayor resistencia- ha de ser menor que la corriente que atraviesa la rama inferior -de menor resistencia- (i2 < i6). Si juntamos en una sola expresión todo lo que fuimos razonando, llegamos a: i1 = i4 > i5 = i6 > i2 = i3 > i7 = 0 Inventemos un ejemplo: la corriente 1 podría valer 10 A, se divide en dos, por arriba van 3 A y por abajo 7 A. Las corrientes vuelven a reunirse en C, de modo que la corriente 4 vuelve a valer 10 A. Fácil, ¿no? Ahora vamos a resolver el mismo circuito, pero con la llave cerrada. Es acá donde hay que avivarse de la peculiaridad de este circuito. Olvidate de la rama de abajo y prestale atención exclusivamente a la de arriba. Las dos resistencias de esa rama son iguales entre sí, de modo que las caídas de tensión en cada una también serán iguales entre sí y, además, serán iguales a la mitad de la caída de tensión de la fuente. En símbolos: ΔVAB = ΔVBC = ½ ΔVAC Pongamos un ejemplo numérico: si la fuente proveyera una diferencia de potencial de 12V entonces podría ser: VA = 12V, VB = 6V y Vc = 0V Si realizás el mismo razonamiento para la rama de abajo, y le ponemos el mismo ejemplo numérico llegarás a la conclusión de que el potencial de D es el mismo que el de B. O sea: ΔVBD = 0V. Para terminar, si unís con un cable (tenga mucha o poca resistencia) los puntos B y D, como entre ellos no hay diferencia de potencial, no habrá corriente alguna. O sea, que la llave esté abierta o cerrada (para esta particular configuración de resistencias) es lo mismo, por ahí no pasa corriente. La corriente 7 seguirá valiendo cero y el resultado es el mismo que el anterior.
El caso a es apenas más difícil que el anterior y se llega a la misma conclusión respecto de la corriente 7. Vos podés.
33) De acuerdo con el circuito esquematizado en la figura, obtener la potencia desarrollada en R4. R1 = 25 Ω R2 = R3 = R5 = R6 = 80 Ω r=5Ω e = 340 V VAB = 220 V Este problema es bastante atípico. Y uno de los motivos es que tanto las preguntas como los datos se encuentran entremezclados en etapas intermedias de la simplificación del circuito. Si fuéramos directo a buscarlos y a resolverlos no me atrevería a tratar de enseñarte cómo supe dónde buscar. Voy a obrar ingenuamente: primero voy a hacer todo el trabajo de simplificación (que de paso, nos viene bien practicar), y después me fijo en cuál de las etapas me conviene operar algebraicamente para hallar la respuesta que nos están pidiendo.
Una de las dificultades con las que suelo encontrarme es que no siempre le resulta fácil a los iniciados entender los circuitos. Un ejercicio que suelo proponerles es describirlos como para que otra persona lo pueda reproducir sin mirarlo. En este caso sería así: el circuito es una serie entre tres resistencias: R1, r y un paralelo de tres líneas; las tres líneas del paralelo son: R4, una serie integrada por R5 y R6, y otra serie más integrada por R2 y R3 (el orden de las resistencias de una serie no importa). Si lo hacés bien, la misma descripción conduce tu trabajo de simplificación. R56 = R23= 160 Ω R2-6 no sabemos cuánto vale porque todavía no sabemos cuánto vale R4, pero sabemos que ese valor habrá que hallarlo utilizando la suma de las inversas. RT es la suma de R2-6 + R1 + r. Vamos al diagrama c). La suma de las diferencias de potencial a lo largo de una serie es igual a la subida de potencial de la fuente: 340 V = 220 V + ΔVR1 + ΔVr 120 V = iT . R1 + iT . r 120 V = iT . ( R1 + r ) iT = 120 V / ( R1 + r ) iT = 4 A Volvé a mirar el diagrama c) R2-6 = 220 V / iT
R2-6 = 55 Ω Ahora mirá el diagrama b); resolvamos ese paralelo en el que interviene R4 1
1 =
R2-6 1
1 +
R4 1 =
R4 1
+ R23 1
– R2-6 1
= R4
R56 1 –
R23 1 –
55 Ω
1
R56 1 –
160 Ω
160 Ω
R4 = 176 Ω Con este dato, si querés, podemos contestarle a la pregunta del enunciado: Pot4 = ΔVAB² / R4
ayudame a mejorar el CBC
Pot4 = (220 V)² / 176 Ω Pot4 = 275 W Me olvidé de contarte que la resistencia de 5 Ω, es la que en los ejercicios de circuitos suelen llamar "la resistencia interna de la pila".
32) En el circuito de la figura, la corriente i es de 3 mA. a) ¿De qué intensidad son las corrientes i1 e i2? b) ¿Cuánto vale la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los resistores? c) ¿Cuál resistor requiere más potencia? Explique. Un súper clásico más. Lo voy a resolver en forma integral, o sea, voy a encontrar los valores de todas las corrientes, no solamente la que pide el enunciado. De ese modo te muestro cómo se procede para cualquier circuito.
Yo tengo como costumbre ir simplificando el circuito, paso a paso hasta obtener el más simple de todos los circuitos posibles, o sea, aquel que tiene una sola resistencia, una sola corriente y una sola fuente. La resistencia de 200 Ω y la de 1.000 Ω se hallan en paralelo. De modo que voy a reemplazar ese par por su equivalente:
Rep = 167 Ω Ahora es todavía más fácil, porque las dos resistencias que quedan se hallan claramente en serie. Las voy a reemplazar por su equivalente: Res = 167 Ω + 220 Ω = 387 Ω A este circuito -equivalente al primero pero más sencillo- lo sometemos al detector de mentiras de la Ley de Ohm: e = ΔV = i . R e = 3 mA . 387 Ω = 1,16 V También puedo conocer la diferencia de potencial en cada una de las resistencias de la serie. ΔV220Ω = 3 mA . 220 Ω = 0,66 V ΔV167Ω = 3 mA . 167 Ω = 0,50 V Como ves, se cumple que la suma de las diferencias de potencial a lo largo del circuito es igual a la diferencia de potencial de la pila. Ahora, sabiendo que la diferencia de potencial en la resistencia de 167 Ω es 0,50 V puedo conocer las corrientes que pasan por las resistencias de 200 Ω y 1.000 Ω, que están bajo la misma diferencia de potencial. i1 = 0,50 V / 200 Ω = 2,5 mA i2 = 0,50 V / 1.000 Ω = 0,5 mA
i1 = 2,5 mA, i2 = 0,5 mA
Nuevamente, chequeamos, con el concepto de que la suma de las corrientes que pasan por esas dos resistencias debe ser igual a la corriente que pasa por su equivalente. Y ocurre. Para responder la segunda pregunta podés calcular (yo no te lo voy a hacer) la potencia disipada en cada resistencia (Pot = i² R) y fijarte cuál es la más alta. ATENCIÓN: andan por ahí circulando en apuntes, fórmulas para calcular intensidades de corriente y otras variables eléctricas en circusntancias particulares. Los autores de esos apuntes las llaman fórmulas salvadoras. Supongo que las llaman salvadoras porque sirven -según ellos- para aprobar un examan. Es cierto que, tal vez, aumenten en cierta proporción la probabilidad de aprobar... pero definitivamente aseguran que no aprendas física. Es como si fueras al natatorio a aprender a nadar y el profesor de natación te dijera: mirá, es más fácil si vas caminando por el borde de la pileta.
EM 8) Los resistores de las figuras tienen todos una resistencia de tres ohms. ¿Cuánto vale la resistencia equivalente en cada caso? a) 1Ω, 1Ω, 1Ω d) 1Ω, 1Ω, 3Ω
b) 1Ω, 3Ω, 3Ω e) 3Ω, 3Ω, 3Ω
c) 3Ω, 1Ω, 3Ω f) 3Ω, 1Ω, 3Ω
Hay quien lo mira a un metro y en 10 segundos lo saca. Hay quien lo estudia con lupa 18 horas seguidas y justo antes de desmayar de sueño decide pasarse a abogacía. Pero fijate que si tenés un método (y hay más de uno) el asunto sale con fritas. El método que te ofrezco consiste en usar colores para pintar los cables. En un circuito los cables son las líneas llenas que unen resistencias o capacitores o pilas o lo que sea. La cuestión es que los cables son conductores ideales (sin resistencia) y por lo tanto tienen el mismo potencial en toda su extensión. Y si en algún lugar hacés un nudo y empalmás otro cable, ese otro cable que sale del nudo también tiene el mismo potencial. Entonces elegís un color cualquiera y comenzás a pintar todo el cable que puedas sin pasar por arriba de ningún componente (en este ejercicio: ninguna resistencia). Si te quedó cable sin pintar seguís con otro color. Y así por todo el circuito.
Mirá: acá va para el circuito 1.
Y ahora mirás una por una cada resistencia y te fijás a qué potenciales está conectada. En este caso las tres resistencias están conectadas de la misma manera: cada extremo a un potencial diferente entre los únicos dos que hay. De modo que las tres resistencias están agrupadas en paralelo. Como intuyo que no me creés, voy a deformar el circuito, en dos pasos, para llegar al paralelo de las tres resistencias tan difícil de ver en el original. Hacé de cuenta que los cables son más o menos elásticos. Tirá del azul hacia arriba y del rojo hacia abajo. Las resistencias se van a rotar, ¿no es cierto? Las resistencias no tienen polaridad, no cambia su valor si las conectás al derecho o al revés; no tienen derecho ni revés. Los nudos de los cables se pueden correr, los cables se pueden alargar o acortar... la única condición es que se mantengan las conexiones originales con los componentes del circuito. Si necesitás más pasos intermedios hacelos vos, te viene bien como práctica, ya que la "deformación de los circuitos" es otro método -y bastante utilizado- para simplificar y comprender circuitos. En este caso se llega a lo que ya habíamos deducido: las tres resistencias están en paralelo. La resistencia equivalente a un grupo de tres resistencias en paralelo, de 3 Ω cada una, vale 1 Ω. Vamos al segundo circuito. Mirá qué fácil es entenderlo y resolverlo utilizando la técnica de los colores:
Tomás el circuito original, agarrás las pinturitas y arrancás con un color desde un estremo del circuito. Seguís con el mismo color hasta llegar a una resistencia (también podría ser un capacitor o cualquier otro elemento eléctrico). Pero los nodos no cambian los colores. Todos los cables que llegan o salen de un nodo (los redondelitos blancos) tienen el mismo color. Del otro lado de la resistencia usás otro color. Terminás cuando todo el circuito está coloreado. Y lo mirás de lejos. Quedó clarísimo, en este caso, que se trata de un simple y sencillísimo paralelo entre tres resistencias (que encima son iguales entre sí). Te dejo a vos las cuentas (tenés que hacerlas mentalmente), y encontrarás que la resistencia equivalente de este circuito es la misma que el anterior: 1 Ω. El tercer circuito es un caso especial. Te conviene primero estudiar este ejercicio. Resulta que tiene un complejidad que nos excede... y una solución inesperada. Pasa que las asociaciones serie y paralelo no son las únicas posibles (aunque sí las más corrientes y útiles). Pero hay configuraciones, como la del ejercicio 3 que no se encuadra en los casos conocidos. Para resolver esas configuraciones (que reciben el nombre de estrellas o mallas) los físicos y técnicos disponen de otras herramientas analíticas: las leyes de Kirchoff. Aunque se trata de una serie de ecuaciones sencillas, el método de resolución de circuitos con las leyes de Kirchoff suele quedar fuera de los cursos iniciales de Física y no vale la pena que nos metamos en él. La configuración 3 es típica para la aplicación del método de Kirchoff porque es sencilla valgan lo que valgan cada una de las cinco resistencias que la integran. Pero en el caso concreto de nuestro circuito 3 no hace falta Kirchoff, y lo podemos resolver nosotros con lo
que ya sabemos de Ley de Ohm, porque al ser que todas las resistencias valen lo mismo (3 ohms cada una) la diferencia de potencial entre los punto A y B vale cero.
De modo que la resistencia del centro -al no estar sometida a una diferencia de potencial distinta de cero- no es atravesada por ninguna corriente, es lo mismo que esté a que no esté. Podés ignorarla. Y lo que queda es un simple paralelo integrado por una simple serie en cada rama. Y la resistencia equivalente de todo el circuito (hacemos las cuentas mentalmente) vale 3 Ω. Y así llegamos a la respuesta final de este ejercicio kilométrico (por no decir kilombétrico). d) 1Ω, 1Ω, 3Ω Desafío: Aplicá el método de los colores al tercer circuito, a ver qué pasa.
EM 24*) En el circuito de la figura, la corriente i vale 5 mA. a) ¿cuánto valen las corrientes i1 e i2? b) ¿Cuál resistor disipa más potencia? Acá tenemos un ejercicio muy sencillo. Como casi siempre, para resolverlo, conviene simplificarlo con la técnica de reemplazar las asociaciones de resistencias por su resistencia equivalente. Acá es obvio que hay un lugar clave en el paralelo de las resistencias por las que circulan las corrientes que tenemos que calcular.
El valor de la resistencia equivalente del paralelo, Req, surge sencillamente de esta cuenta: Req = (1 kΩ . 1,5 kΩ) / (1 kΩ + 1,5 kΩ) Req = 600 Ω El circuito equivalente que queda luego de la sustitución es tan sencillo que podemos ir resolviéndolo en el aire. El concepto fundamental que tenemos que tener presente es que la corriente dato, la de 5 mA, pasa exactamente igual por las tres resistencias. De modo que, aplicando la Ley de Ohm, podemos calcular la diferencia de potencial a la que está sometida cada una, en especial la de 600 Ω, que es la que más nos interesa, ΔV600. Acá va: ΔV600 = Req . i ΔV600 = 600 Ω . 5 mA ΔV600 = 3 V Esa diferencia de potencial es la misma a la que están sometidas las dos resistencias originales del paralelo. De modo que si aplicamos nuevamente la Ley de Ohm para cada una obtenemos las corrientes que queríamos conocer. i1 = ΔV600 / R1,5k i1 = 3 V /1,5 kΩ i1 = 2 mA Y la otra: i2 = ΔV600 / R1k i2 = 3 V /1 kΩ i2 = 3 mA i1 = 2 mA ; i2 = 3 mA
Es muy importante que repares en lo siguiente: la suma de ambas intensidades de corriente, debe -necesariamente- ser igual que la corriente que recorre al equivalente del paralelo, o sea, los 5 mA. Y es lo que nos da. Vamos al asunto de las potencias. Calculemos las cuatro potencias. Pot1,5k = (2 mA)2 . 1,5 kΩ = 6 mW Pot1k = (3 mA)2 . 1 kΩ = 9 mW Pot500 = (5 mA)2 . 500 Ω = 12,5 mW Pot1000 = (5 mA)2 . 1.000 Ω = 25 mW Antes de dar la respuesta podemos chequear que no hubo errores en las cuentas. La potencia total disipada entre todas las resistencias es igual a la potencia entregada por la fuente. Si calculamos las diferencias de potencial en cada resistencia podemos calcular el voltaje de la fuente: ΔVF = ΔV600 + ΔV500 + ΔV1000 ΔVF = 3 V + 2,5 V + 5 V ΔVF = 10,5 V De modo que la potencia entregada valdrá: PotF = ΔVT . i PotF = 10,5 V . 5 mA PotF = 52,5 mW Si sumás las cuatro potencias, ya podés elegir la mayor, con tranquilidad: mayor Pot = Pot1000 = 25 mW
EM 25*) Dos resistencias, R1 y R2 se conectan en paralelo a una fuente V y desarrollan en conjunto una potencia Pot. Si esas mismas resistencias, en cambio, se conectan en serie a la misma fuente, desarrollan una potencia cuatro veces menor. ¿Qué relación hay entre las resistencias?
Como tantas otras veces tenemos dos momentos, o dos situaciones, que vamos a distinguir de esta manera: la conexión en paralelo la llamaremos A y la conexión en serie B. Entonces ya podemos escribir la primera ecuación que surge del enunciado: PotA = 4 PotB Como una de las cosas que tienen en común ambos circuitos es la fuente, a esas potencias las expresaremos con esta fórmula: Pot = V²/R. Por lo tanto: V²/RA = 4 V²/RB Donde RA y RB son, respectivamente, las resistencias equivalentes de cada circuito. Y valen... RA = R1 . R2 / R1 + R2 RB = R 1 + R2 Si metemos estas equivalenias en la relación de potencias nos queda: V² (R1 + R2)
V²
=4
R1 . R2
R1 + R2
Cancelando los potenciales cuadrados y reordenando: (R1 + R2)² = 4 . R1 . R2 Está claro que lo que aparece es una relación entre R1 y R2, o sea, vamos bien. Desarrollemos el binomio cuadrado del primer miembro: R1² + R2² + 2 . R1 . R2 = 4 . R1 . R2 R1² + R2² – 2 . R1 . R2 = 0 (R1 – R2)² = 0 R1 – R2 = 0
R1= R2
12) Un condensador de 1 mF se conecta en paralelo con otro de 2 mF y dicho paralelo se conecta a su vez en serie con un condensador de 6 mF. a) ¿Cuál es la capacidad equivalente de esta asociación? b) Si se aplica al conjunto una diferencia de potencial de 6V, ¿cuánto vale la carga de cada condensador, y la diferencia de potencial entre sus placas? Este es el ejercicio clásico de capacitores. Y lo voy a resolver del modo clásico: consiste en reemplazar el circuito original (el de la izquierda) por otro equivalente en el que a su vez reemplazamos un grupo de capacitores por su equivalente. Se repite lo mismo hasta llegar a un solo capacitor. Ahí vamos: Le puse nombre a los capacitores, así podemos seguir las operaciones. Reemplacé los capacitores CA y CB por su equivalente CAB, que es la suma directa. CABC, es el capacitor equivalente total del circuito. Surge de sumar los inversos de la serie CAB y CC. Respondo la primera pregunta del ejercicio:
CABC = 2 mF
Ahora podemos aplicar con toda tranquilidad la relación de los capacitores: capacidad, carga y voltaje, ΔV = C / Q, y a partir de ahí vamos desandando el camino hasta llegar al circuito original. QABC = CABC . ΔVABC = 2 mF . 6 V QABC = 12 mC En una serie de capacitores la carga se repite en cada uno de ellos (en este caso dos solos): QABC = QAB = QC = 12 mC Y conociendo las capacidades puedo calcular las diferencias de potencial: ΔVAB = QAB / CAB = 12 mC / 3 mF = 4 V ΔVC = QC / CC = 12 mC / 6 mF = 2 V Aprovechamos y comprobamos que la suma de las diferencias de potencial en una serie de cualquier cosa es igual a la diferencia de potencial de toda la cosa: ΔVABC = ΔVAB + ΔVC 6V=4V+2V Aquí retornamos al circuito original: En un paralelo las diferencias de potencial son... la misma. ΔVA = ΔVB = 4 V como conocemos las capacidades podemos calcular las cargas: QA = CA . ΔVA = 1 mF . 4 V = 4 mC QB = CB . ΔVB = 2 mF . 4 V = 8 mC y comprobamos (siempre tenemos un camino de comprobación) que la suma de las cargas de un grupo en paralelo es igual a la carga total del
equivalente: QAB = QA + QB QAB = 4 mC + 8 mC = 12 mC
QA = 4 mC ; QB = 8 mC ; QC = 12 mC ΔVA = 4 V ; ΔVB = 4 V ; ΔVC = 2 V
