EJERCICIOS
1) Producción p ara utilid ad máxima. máxima. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos juguetes, camiones y perinolas, con base en la información concerniente a sus tiempos de producción dados en la tabla que sigue:
Camión (x) Perinola (y) Disponibles
Máquina A 2h 1h
Máquina B 3h 1h
Acabado 5h 1h
≤80h
≤50h
≤70h
Utilidad $7 $2
Por ejemplo, cada camión requiere de 2 horas en la máquina A. Las horas que tienen disponibles empleadas por semana son: para la operación de la máquina A, 80 horas; para la B, 50 horas; para acabado, 70 horas. Si las utilidades obtenidas o btenidas por cada camión y cada perinola son de $7 y $2, respectivamente, ¿cuántos juguetes de cada tipo debe producir por semana el fabricante con el fin de maximizar la utilidad?¿Cuál es la utilidad máxima? 2) Producción para utilid ad máxima máxima Un fabricante produce dos tipos de reproductores de DVD: Vista y Xtreme. Para su producción requieren del uso de dos máquinas, A y B. El E l número de horas necesarias para ambas está indicado en la tabla siguiente MÁQUINA A
MÁQUINA B
VISTA
1h
2h
XTREME
3h
2h
Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos Vista y Xtreme son de $50 y $80, respectivamente, ¿cuántos reproductores de cada tipo deben producirse por día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuáles la utilidad máxima? 3) Formulación de dieta Una dieta debe contener al menos16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el B $0.80 por unidad, ¿cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo? m ínimo? 4) Nutrientes en fertilizantes Un agricultor comprará fertilizantes que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los requerimientos mínimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas de fertilizantes de gran aceptación en el mercado. La mezcla I cuesta $8 por bolsa, y contiene 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $10 por bolsa, con 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántas bolsas de cada mezcla debe comprar el agricultor a la semana para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutrientes?
5) Extracción de mi nerales Una compañía extrae minerales de dos menas. El número de libras de los minerales A y B que pueden extraerse por cada tonelada de las menas I y II, se dan en la tabla siguiente junto con los costos por tonelada de las menas: Mineral A Mineral B Costo por tonelada
Mena I 80 lb 140 lb $60
Mena II 160 lb 40 lb $80
Si la compañía debe producir al menos 4000 lb de A y 2000 lb de B, ¿cuántas toneladas de cada mena deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo? 6) Programación de producció n Una compañía petrolera que tiene dos refinerías necesita al menos 8000, 14,000 y 5000 barriles de petróleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada día, la refinería I produce 2000 barriles de grado bajo, 3000 barriles de grado medio y 1000 barriles de grado alto, mientras que la refinería II produce 1000 barriles de cada uno de los grados alto y bajo, y 2000 barriles de petróleo de grado medio. Si operar la refinería I cuesta $25 ,000 por día, y operar la refinería II $20,000 diarios, ¿cuántos días debe operarse cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? Suponga que existe un costo mínimo. ¿Cuál es? 7) Costo de construcción Una compañía química diseña una planta para producir dos tipos de polímeros, P1 y P 2. La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P1 y 420 unidades de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las principales cámaras de reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600 ,000, y es capaz de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día; el tipo B es un diseño más económico, cuesta $300 ,000 y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de P2 por día. Debido a los costos de operación, es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de construcción y satisfacer el programa de producción requerido? (Suponga que existe un costo mínimo.) 8) Control de la contaminación Debido a las nuevas reglamentaciones federales sobre la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso con el fin de complementar o reemplazar un proceso anterior para la fabricación de un producto químico en particular. El proceso anterior descarga 25 gramos de dióxido de carbono y 50gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de producto químico producido. El nuevo proceso descarga 15 gramos de dióxido de carbono y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La compañía obtiene una utilidad de $0.40 y $0.15 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno le permite a la planta descargar no más de 12525 gramos de dióxido de
carbono y no más de 20000 gramos de partículas a la atmosfera cada día ¿cuántos litros de producto químico deben producirse diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la máxima utilidad diaria? 9) Envíos de carga Una compañía de fletes maneja los envíos de dos corporaciones, A y B, que están ubicadas en la misma ciudad. La corporación A envía cajas que pesan 3 lb cada una y tienen un volumen de 2 pies3; B envía cajas de 1 pie3 que pesan 5 lb cada una. Ambas corporaciones envían al mismo destino. El costo de transporte para cada caja de A es $0,75 y para B es$0,50. La compañía de fletes tiene un camión con capacidad de carga de 2.400 pies3 y una capacidad máxima36.800 lb. En un acarreo, ¿cuántas cajas desde cada corporación debe transportar este camión de modo que el ingreso de la compañía de fletes sea máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo? 10) Producción Una compañía fabrica tres productos X, Y y Z. Cada producto requiere tiempo de máquina y tiempo de acabado como se muestra en la tabla siguiente: Tiempo de máquina
Tiempo de acabado
X
1 hr
4 hr
Y
2 hr
4 hr
Z
3 hr
8 hr
El número de horas de tiempo de máquina y el tiempo de acabado disponibles por mes son 900 y 5000, respectivamente. La utilidad unitaria sobre X, Y y Z es de $6, $8 y $12, respectivamente. ¿Cuál es la utilidad máxima por mes que puede obtenerse? 11) Producción Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones. Cada tipo requiere madera, plástico y aluminio como se muestra en la tabla siguiente: Madera Plástico Aluminio Silla Mecedora Sillón
1 unidad 1 unidad 1 unidad
1 unidad 1 unidad 2 unidades
2 unidades 3 unidades 5 unidades
La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 500 de plástico y 1450 de aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se venden en $21, $24 y $36 respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden venderse, determine la producción necesaria para que el ingreso total sea máximo ¿Cuál es el ingreso máximo? 12) Control de emision es Una planta de cemento produce 3 300 barriles de cemento por año. Los hornos emiten 2 libras de polvo por barril producido. La planta debe reducir sus emisiones a no más de 1 000 libras anuales. Hay dos dispositivos de control disponibles, A y B. El dispositivo A reducirá las emisiones a ½ libra por barril y el costo es de $0.25 por barril de cemento producido.con el dispositivo B
,las emisiones son reducidas a ¼ de libra por barril y el costo es de $0.40 por barril de cemento producido. Determine el plan de acción más económico(Min) que la planta debe asumir de modo que mantenga su producción anual de exactamente 3 300 barriles de cemento. 13) Compra de p iezas Un fabricante de automóviles compra alternadores de dos proveedores, X y Y. El fabricante tiene dos plantas, A y B, y requiere exactamente de 7000 alternadores para la planta A y de exactamente 5000 para la planta B. El proveedor X cobra $300 y $320 por los alternadores (incluyendo costos de transporte) Ay B, respectivamente. Para estos precios, X requiere que el fabricante de automóviles ordene al menos un total de 3000 unidades; sin embargo, X no puede proveer más de 5000 unidades. El proveedor Y cobra $340 y $280 por cada alternador, A y B, respectivamente, y requiere una orden mínima de 7000 piezas. Determine cómo debe hacer los pedidos de alternadores el fabricante de automóviles para que su costo total sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo? 14) Un desarrollador puede comprar lotes por $300,000en la avenida baltic y por $400,000 en park.en cada lote de la avenida baltic puede construir un edificio de apartamentos de 6 pisos y en cada lote de park se puede construir un edificio de apartamentos de 4 pisos .el ayuntamiento exige que su desarrollo añada 24 pisos de apartamentos en el vecindario y también que cada desarrollo aporte por lo menos 8 puntos de embellecimiento a la ciudad.el desarrollador ganara 1 punto por cada lote de la avenidad baltic,y 2 por cada lote de park ¿Cuántos lotes debe comprar el desarrollador en la avenidad baltic y en park para minimizar sus costos . 15) Un vendedor tiene tiendas en Columbus y Dayton y bodegas en acron y espinal. Cada tienda requiere del envio de exactamente 150 reproductores de video. En la bodega de acron hay 200 reproductores de video.y en la de espinal hay 150. Los costos de transportación para enviar reproductores de video desde los almacenes hasta las tiendas están dados en la tabla siguiente. Columbus($) acron
5
espinal
3
Dayton($) 7 2
por ejemplo ,el costo para enviar un reproductor desde acron a la tienda de Columbus es de $5 .como debe pedir el vendedor los reproductores de modo que los requerimientos de las tiendas se satisfagan y los costos totales de transportación se minimicen.
