Ejercicios resueltos IO UAP

Ejercicios resueltos 1. Un Una a re refifine nerí ría a pr prod oduc uce e ga gaso solilina na Co Corr rrie ient nte, e, Ex Extr tra a y ACPM para las cuales a establecido un precio de venta de !""", !#"" y !1"" por gal$n respectiva%ente. Para la producci$n de estos co%bustibles, la co%pa&ía cuenta con una

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disponibilidad de #""" galones de petr$leo crudo y '""" '" "" ga galo lone ness de pe petr tr$l $le eo re refifina nad do. Ade de% %(s se a establecido )ue el costo de gal$n de petr$leo crudo es *""" *" "" y el re reffin inad ado o a *#" #"". ". Por re re) )ue ueri ri%i %ien ento toss de calilid ca dad, se sa sab be )ue la gasolin ina a corrie ien nte debe contener !"+ de petr$leo crudo y "+ de petr$leo refifina re nado do-- la ga gaso solilina na ex extr tra a deb ebe e co con nte tene nerr *" *"+ + de petr$leo crudo y '"+ de petr$leo refinado- %ientras )ue el ACPM debe contener #"+ de a%bos petr$leos. Plantee el %odelo de progra%aci$n lineal con el fin de obtener el beneficio de la e%presa. 

P. P. P/EC356 C/U /E234 A74 0 A0 C//3E4 !"+ "+ !""" 8E E98/A *"+ '"+ !#"" ACPM #"+ #"+ !1"" 03:P43;3 #""" '""" 730A0 galo galone nes s P/EC356 *"" *#"" A74 " <7o pri%ero )ue =ace%os es definir las variables a usar en el %odelo de progra%aci$n lineal>













91? 6al$n de gasolina corriente- 9 @? 6al$n de gasolina extra- 9*? 6al$n de ACPM- 9 !? 6al$n de petr$leo crudo- 9#? 6al$n de petr$leo refinado.  %ax? !"""91B!#""9@B!1""9**"""9!B*#""9#D !"""91B!#""9@B!1""9**"""9!B*#""9#D < las restricciones a las )ue esta so%etido nuestro proble%a son> /E:8/3CC34 0E P/CE48AFE 0E P. C/U0> /1? ".!91B".*9@B".#9* G #""" /E:8/3CC34 /E:8/3CC 34 0E P/CE48AFE 0E P. P. /E234A0> /E234A0 > /@? ".91B".'9@B".#9* ".91B".'9@B".#9* G '""" /E:8/3CC34E: 0E P:383H30A0> 91,9@,9*,9!,9# G " @. Una co%pa co%pa&ía &ía de petr$ petr$leo leo produ produce ce tres tipos de gasolina :Iper, 4or%al y Euro. :e obtienen por la %eJcla de tres calidades de crudo )ue contienen tres co% co %ponentes A, ; y C. 7a partic iciipaci$ i$n n de eso soss co%ponentes en la fabricaci$n de cada crudo













A ; C

K"+ !#+ *"+

1"+ *"+ !"+

#+ @"+ @#+

7as especificaciones de los tres tipos de gasolina son> 83P 0E 6A:734A :UPE/ 4/MA7 EU/

A

;

C

L"+ L#"+ G!"+

G@#+ G*"+ L*#+

L1"+ G1#+ L@"+

7os costos por barril de crudo A, ; y C es de #", #"" y !#" respectiva%ente. El presupuesto diario de co%pras es de #" %illones- la disponibilidad diaria de crudo ; y C se li%ita respectiva%ente a *""" y '""" barriles. Ciertos acuerdos obligan co%prar al %enos @#"" barriles de A por día. 7as de%andas de las gasolinas :Iper y 4or%al son de @""" y @#"" barriles diarios respectiva%ente, )ue deben satisfacerse. 7a co%pa&ía desea %axi%iJar la producci$n de gasolina Euro. 0E2343M:

7A:

HA/3A;7E:>

9ij?< i? 8ipo de crudo? A, ;, CN- j?8ipo de gasolina?













<4uestra funci$n objetivo es, teniendo en cuenta )ue la e%presa desea %axi%iJar la producci$n de gasolina Euro> %ax?

9AEB9;EB9CE

 ".KC1B ".1C@B "."#C*L ". 9 A:B9;:B9C:D ".!#C1B ".*C@B ".@C*G ".@# 9 A:B9;:B9C:D ".*C1B ".!C@B ".@#C*L ".1 9 A:B9;:B9C:D ".KC1B ".1C@B "."#C*L ".# 9 A4B9;4B9C4D ".!#C1B ".*C@B ".@C*G ".* 9 A4B9;4B9C4D ".*C1B ".!C@B ".@#C*G ".1# 9 A4B9;4B9C4D ".KC1B ".1C@B "."#C*G ".! 9 AEB9;EB9CED ".!#C1B ".*C@B ".@C*L ".*# 9 AEB9;EB9CED ".*C1B ".!C@B ".@#C*L ".@ 9 AEB9;EB9CED  #" 9 B9 B9 DB#"" 9 B9 B9 DB!#" 9 B9 B9 D G #" %illones A:

A4

AE

;:

;4

;E

C:

C4

CE















 9 A:B9;:B9C:D L @""" barriles 9 A4B9;4B9C4D L @#"" barriles  9 B9 B9 D L @#"" barriles. A:

A4

AE

 9ijL" O i? 8ipo de crudo? A, ;, CN- j?8ipo de gasolina? :, 4, EN. *. Una co%pa&ía produce bibliotecas y escritorios para los cuales a estab establecido lecido un precio de venta por unidad de """ y 1"""" respectiva%ente. Para la producci$n de dic=os artículos, la co%pa&ía cuenta con co n un una a di disp spon onib ibililid idad ad %e %ens nsua uall de '" '"" " %e %etr tros os de %adera, K"" %etros de tubo y "" pliegos de papel de lilija ja.. QR QRuS uS ca cant ntid idad ad de bi bibl blio iote teca cass y es escr crititor orio ioss se debe de ben n fa fabr bric icar ar %e %ens nsua ual% l%en ente te,, si se sa sabe be )u )ue e un una a biblioteca consu%e ' %etros de %adera, 1" %etros de tubo y  pliegos de papel de lija- %ientras )ue el escritorio consu%e 1" %etros de %adera, K %etros de tubo y 1# pliegos de papel de lijaT















91? 4I%ero de bibliotecas- 9 @? 4I%ero de escritorios. A=ora, la funci$n objetivo es>

Zmax=9000X1+10000X2 /estricciones> 

/estricci$n de cantidad de %adera a e%plear> '91B1"9@ G '"" %



/estricci$n de cantidad de tubo a e%plear> 1"91BK9@ G K"" % /estricci$n de cantidad de papel de lija a e%plear> 91B1#9@ G "" pliegos /estricci$n de positividad> 91, 9@ L "

 

!. Un Una a co co%p %pa a&í &ía a de pe petr tr$l $le eo pr pro odu duce ce tr tres es titipo poss de gasolina :Iper, 4or%al y Euro. :e obtienen por la %eJcla de tres calidades de crudo )ue contienen tres













83P 0E 6A:734A :UPE/ 4/MA7 EU/

1

1

1

L"+ L#"+ G!"+

G@#+ G*"+ L*#+

L1"+ G1#+ L@"+

7os costos por barril de crudo A, ; y C es de #", #"" y !#" respectiva%ente. El presupuesto diario de co%pras es de #" %illones- la disponibilidad diaria de crudo ; y C se li%ita respectiva%ente a *""" y '""" barriles. Ciertos acuerdos obligan co%prar al %enos @#"" barriles de A por día. 7as de%andas de las gasolinas :Iper y 4or%al son de @""" y @#"" barriles diarios respectiva%ente, )ue deben satisfacerse. 7a co%pa&ía desea %axi%iJar la producci$n de gasolina Euro. 0E2343M: 7A: HA/3A;7E:> 9 ij?< i? 8ipo de crudo? A, ;, CN- j?8ipo de gasolina? :, 4, EN- en unidades de barriles.  co%o ayuda tene%os de variable variable C, con













",K"9A:B",!#9;:B",*"9C: ",K"9A:B",!#9;:B",*"9C: L ","9A:B9;:B9C:D ","9A:B9;:B9C:D ",1"9A: B",*"9;:B",!"9C: G ",@#9A:B9;:B9C:D ",@#9A:B9;:B9C:D ","#9A:B",@"9;:B",@#9C: ","#9A:B",@"9;:B",@#9C: L ",1" 9A:B9;:B9C:D ",K"9A4B",!#9;4B",*"9C4 ",K"9A4B",!#9;4B",*"9C4 L ",#"9A4B9;4B9C4D ",#"9A4B9;4B9C4D ",1"9A4 B",*"9;4B",!"9C4 G ",*"9A4B9;4B9C4 D ","#9A4B",@"9;4B",@#9C4 ","#9A4B",@"9;4B",@#9C4 G ",1# 9A4B9;4B9C4D ",K"9AEB",!#9;EB",*"9CE ",K"9AEB",!#9;EB",*"9CE G ",!"9AEB9;EB9CED ",!"9AEB9;EB9CED ",1"9AE B",*"9;EB",!"9CE L ",*#9AEB9;EB9CED ",*#9AEB9;EB9CED ","#9AEB",@"9;EB",@#9CE ","#9AEB",@"9;EB",@#9CE L ",@"9AEB9;EB9CED ",@"9AEB9;EB9CED  #" #" 9 B9 B9 DB#"" 9 B9 B9 DB!#" 9 B9 B9 D G #" %illones A:

A4

AE

;:

;4

;E

C:

C4

CE

 9;:B9;4B9;E G *""" barriles. 9 B9 B9 G '""" barriles.













 9 A:B9 A4B9 AED L @#"" barriles.  9ijL" O i? 8ipo de crudo? A, ;, CN- j?8ipo de gasolina? :, 4, EN. #. P/8/AC, produce dos líneas de %a)uinaria pesada. Una de sus líneas de productos, lla%ada e)uipa de excavaci$n, se utiliJa de %anera pri%ordial en aplicaciones de construcci$n. 7a otra línea, deno%inada e)uipo para la silvicultura, esta destinad a la industria %aderera. 8anto la %a)uina %as grane de la línea de e)uipo de excavaci$n ED, co%o la %ayor de toda la línea de silvicultura 2D son fabricadas en loss %i lo %is% s%os os de depa part rta% a%en ento to y co con n el %is is%o %o e) e)ui uipo po.. E%pleando las proyecciones econ$%icas













:e to%a en cuenta los siguientes factores i%portantes> •

•

•

•

El %argen de contribuci$n unitaria de P/8/AC es de  #""" pro cada E vendida y de !""" por cada 2. Cada product cto o pasa por la lass operacio ion nes de %a)uinado, tanto en el departa%ento A co%o el ;. Para la producci$n correspondiente al %es pr$x pr $xi% i%o, o, es esto toss do doss de depa part rta% a%en ento toss titien enen en titie% e%po poss disponibles de 1#" y 1" =oras, respectiva%ente. 7a fabricaci$n de cada E re)uiere 1" =oras de %a)uinado en el departa%ento A y @" =oras en el departa%ento ;, %ientras )ue la de cada 2 re)uiere 1# =oras en el departa%ento A y 1" en el ;. Para Pa ra )u )ue e la ad ad%i %ini nist stra raci$ ci$n n cu cu%p %pla la un ac acue uerd rdo o conc co nce ert rtad ado o co con n el si sin ndi dica catto, la lass =o =ora rass to tota tale less de trabajo invertidas en la prueba de productos ter%inados del siguiente %es no deben ser %as all( de 1"+ 1" + in inffer erio iorr a una %e %etta co conv nve eni nid da de 1# 1#" " =o =ora ras. s.















•

operativa )ue .deber( construirse cuando %enos una 2 por cada tres E )ue sean fabricadas. Uno de los principales distribuidores =a ordenado un total de cuando %enos cinco E y 2 para el pr$xi%o %es, por lo cual tendr( )ue producirse por lo %enos esa cantidad. Entonces to%a%os co%o nuestras variables> 9? V %()uinas E ? V %()uinas 2. 4uestra funci$n objetivo ser(>

Zmax= 5000X + 4000Y. /estricciones> 

1"9 B 1# G 1#".













 y N. !a cantidad, en gramos, de cada componente por "ilo de estos piensos #iene dada en la tabla siguiente$

" $

A

B

C

D

1"" #

# 1""

1"" @""

@"" 1""

!a dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos %.&'g del componente A, %.('g del componente B, )'g del componente C, y *.+'g del componente D. El compuesto  cuesta %.)-'g y el compuesto N %.%-'g. /0u1 cantidades de piensos  y N deben adquirirse para que el gasto de comida sea el menor posible2

%ol&'i() :e deter%inan las variables de decisi$n y se representan algebraica%ente. En este caso> •

91> cantidad de pienso M en Wg

•

9@> cantidad de pienso 4 en Wg













•

En el co%ponente 0> ".@91 B ".19@ L 1.' :e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por la naturaleJa de las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue solo puedan to%ar deter%inados valores, ... En este caso, la Inica restricci$n es )ue las cantidades de pienso )ue for%an la dieta no pueden ser negativas>

•

91 L "

•

9@ L "

*. ra),!orte de tro!a, 3n destacamento militar 4ormado por 5% soldados ingenieros, 6( 7apadores, )) de las 4uer7as especiales, y *)% soldados de in4anter8a como tropa de apoyo, ha de transportarse hasta una posición estrat1gica importante. En el parque de la base se dispone de & tipos de #eh8culos A, B, C, y D, acondicionados para transporte de tropas. El n9mero de personas que cada #eh8culo puede transportar es *%, +, (, y :, de la 4orma en que se detalla en la siguiente tabla$

-)e)iero,

Za!atero,

/&era,

-)a)tera













•

•

•

•

•

•

:e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen de los soldados )ue deben ser transportados> 3ngenieros> *91 B 9@ B @9* B *9! L #" apadores> @91 B 9@ B 9* B @9! L * 2uerJas especiales> 91 B @9@ B @9* B *9! L @@ 3nfantería> !91 B *9@ B 9* B 9! L 1@" :e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por la naturaleJa de las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue solo puedan to%ar deter%inados valores, ... En este caso las restricciones son )ue la cantidad de ve=ículos no puede ser negativa y debe ser ade%(s un nI%ero entero> 9i L " 9i son enteros

3. ra),!orte de mer'a)'a, Para este tipo de proble%as, aun)ue pueden ser resueltos por el %Stodo del :i%plex, existe un %Stodo específico de %(s f(cil resoluci$n> el %Stodo del transporte o %Stodo si%plificado del :i%plex para proble%as de transporte. Este %Stodo a=orra bastante tie%po y c(lculos frente al %Stodo del :i%plex tradicional. :in e%bargo el proble%a se %odela de la %is%a for%a. Eem!lo 3n 4abricante desea despachar #arias unidades de un art8culo a tres tiendas <*,













•

•

•

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•

•

•

•

•

9> nI%ero de unidades transportadas desde el al%acSn ; =asta la tienda 8* :e deter%ina la funci$n objetivo> Mini%iJar  ? 91 B @9@ B !9* B *9! B @9# B 9 :e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen de la disponibilidad de unidades )ue =ay en cada al%acSn así co%o de la de%anda de cada tienda> 0isponibilidad en el al%acSn A> 91 B 9@ B 9* ? # 0isponibilidad en el al%acSn ;> 9! B 9# B 9 ? 1" 0e%anda de la tienda 81> 91 B 9! ? K 0e%anda de la tienda 8@> 9@ B 9# ? # 0e%anda de la tienda 8*> 9* B 9 ? @ :e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por la naturaleJa de las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue solo puedan to%ar deter%inados valores, ... En este caso las restricciones son )ue la cantidad de unidades no puede ser negativa y debe ser ade%(s un nI%ero entero> 9i L " 9i son enteros

9. rbole, r&tale,















•

•

•

•

•

Maxi%iJar  ? #"91 B @#9@ B @"9* B *"9! :e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen de las necesidades de cada (rbol de terreno, =oras de trabajo anuales, y necesidades de riego> 4ecesidades de terreno> 191 B !9@ B K9* B 1@9! G !" 4ecesidades de =oras anuales> *"91 B #9@ B 1"9* B @"9! G "" 4ecesidades de riego> @91 B 9@ B 9* B @9! G @"" :e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por la naturaleJa de las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue solo puedan to%ar deter%inados valores, ... En este caso las restricciones son )ue el nI%ero de (rboles no puede ser negativo y ade%(s debe ser un nI%ero entero> 9i L "













XYZif Ysupport7ists[< XYZif Ysupport7ists[< XYZif Ysupport7ists[<

• • •

XYZendif[<9*1 B 9*@ B 9** B 9*! G 1 XYZendif[<9!1 B 9!@ B 9!* B 9!! G 1 XYZendif[<9#1 B 9#@ B 9#* B 9#! G 1

En cada %()uina debe =aber un trabajador> 911 B 9@1 B 9*1 B 9!1 B 9#1 ? 1 91@ B 9@@ B 9*@ B 9!@ B 9#@ ? 1 91* B 9@* B 9** B 9!* B 9#* ? 1 XYZif Ysupport7ists[< XYZendif[<91! B 9@! B 9*! B 9!! B 9#! ? 1 :e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por la naturaleJa de las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue solo puedan to%ar deter%inados valores. En este caso las restricciones son )ue las asignaciones de trabajadores a %()uinas no puede ser negativa y debe ser ade%(s una variable booleana " no se asigna, 1 se asignaD> •

•

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9ij> 9ij> acc acci$n i$n de desp despla laJJarse arse del del pueb puebllo i al j " indic ndica a )ue )ue no =ay =ay desplaJa%iento y 1 )ue sí =ay desplaJa%ientoD :e deter%ina la funci$n objetivo> Mini%iJar  ? 1@91@ B !91* B #9@! B *9@# B @9*! B 1"9* B #9!@ B @9!* B 1"9!# B *9#@ B 1"9#! B @9#'B 1"9* B !9' :e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen del balance entre los posibles ca%inos )ue parten desde cada pueblo y los )ue llegan =asta Sl obviando los ca%inos )ue nos devuelvan al punto de partida y los )ue provengan del punto de destinoD> ;alance de ca%inos del pueblo 1> 91@ B 91* ? 1 ;alance de ca%inos del pueblo @> 9@! B 9@#  91@  9!@  9#@ ? " ;alance de ca%inos del pueblo *> 9*! B 9*  91*  9!*  9* ? "













•

•

•

•

•

•

9ij> cantidad enviada del al%acSn i a la poblaci$n j i> al%acSn situado en la poblaci$n i " indica )ue no =ay ningIn al%acSn y 1 )ue sí lo =ayD :e deter%ina la funci$n objetivo> Mini%iJar  ? ".#91@ B ".'91* B ".K91! B ".#9@1 B ".!9@* B ".K9@! B ".'9*1 B ".!9*@ B ".9*! B ".K9!1 B ".K9!@ B ".9!* :e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen de la siguiente %anera> 7as unidades )ue se envían envían a cada poblaci$n poblaci$n desde los al%acenes al%acenes deben cu%plir con la de%anda de dic=a poblaci$n> 911 B 9@1 B 9*1 B 9!1 L *""" 91@ B 9@@ B 9*@ B 9!@ L @"""













@" +

1" +

+

11 +

/Cuál es la 4orma óptima de reali7ar la in#ersión para conseguir las má=imas ganancias2

•

•

•

•

•

%ol&'i() :e deter%inan las variables de decisi$n, en este caso> 91> inversi$n en bolsa 9 9@> inversi$n en bolsa  9*> inversi$n en bonos 9 9!> inversi$n en bonos  :e deter%ina la funci$n objetivo> Maxi%iJar  ? ".@91 B ".19@ B "."9* B ".119! ".119! :e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuaciones















8MA8E 8D MA4A4A MD

1K""" @'"""

!' K

KK '













%axD? 1""91 B 1@"9@ B *#911B9@1D B *K91@B9@@D B *'91*B9@*D B !191!B9@!D B @91#B9@#D •

/E:8/3CC34E:













1:.# Un agente esta arreglando un viaje en es)uís, puede llevar un %(xi%o de 1" personas y =a decidido )ue deber(n ir por lo %enos ! =o%bres y * %ujeres.













total debe ser invertido al #+. El corredor recibe el 1+ de los ingresos de la inversi$n al #+ y @+ de la inversi$n del !+. QCu(nto invertir( el corredor a cada













acciones son una inversi$n con cierto riesgo, decide no invertir en acciones %as de lo )ue ponga en la cuenta de a=orro. El inversionista se )uedara con al



















































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