Ejemplo 2.2-1 (Política de los préstamos bancarios)
Una institución financiera Thriftem Bank se encuentra en el proceso de formular su política de préstamos para el próximo trimestre. Para ese fin se asigna un total de $12 millones. Siendo una institución de servicios integrales, está obligado a otorgar préstamos a diversos clientes. La tabla que sigue señala los tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra el banco y la posibilidad de que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables, según se estima por experiencia: Tipo de préstamo Personal Automóvil Casa habitación Agrícola Comercial
Tasa de interés 0.140 0.130 0.120 0.125 0.100
Probabilidad de incobrables 0.10 0.07 0.03 0.05 0.02
Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto, no producen ingreso por concepto de intereses. La competencia con otras instituciones financieras del área requiere que el banco asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a préstamos agrícolas y comerciales. Para dar asistencia a la industria de la habitación en la región, los préstamos para casa habitación deben ser iguales cuando menos al 50% de los préstamos personales, para automóvil y para casa habitación. El banco tiene asimismo, una política establecida que especifica que la relación global de pagos irrecuperables no puede ser superior a 0.04. Modelo matemático
Las variables del modelo se pueden definir como sigue: X1 = préstamos personales (en millones de unidades monetarias) X2 = préstamos para automóvil X3 = préstamos para casa habitación X4= préstamos agrícolas
X5= préstamos comerciales El objetivo de Thriftem Bank es el de maximizar su rendimiento neto compuesto de la diferencia entre el ingreso por concepto de intereses y los fondos perdidos por adeudos no cubiertos. Como los adeudos no cubiertos son irrecuperables, tanto el principal como el interés, la función objetivo se puede expresar como: maximizar z = 0.14(0.9X 1) + 0.13(0.93 X2) + 0.12(0.97 X3) + 0.125(0.95 X4) + 0.1(0.98 X5) - O.I X1 - 0.07 X2 - 0.03 X3 - 0.05 X4 - 0. 02 X5 Esta función se simplifica a maximizar z = 0.026 X1 + 0.0509 X2 + 0.0864 X3 + 0.06875 X4 + 0.078 X5 El problema tiene cinco restricciones: 1. Fondos totales
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 < 12 2. Préstamos agrícolas y comerciales
X4 + X5 > 0.4 x 12 o bien X4 + X5 > 4.8 3. Préstamos para casa habitación
X3 > 0.5(X1 + X2 + X3) 4. Límite sobre adeudos no cubiertos
o bien 0.06 X1+ 0.03 X2 – 0.01 X3 + O.O1 X4 - 0.02 X5 < 0 5. No negatividad
X1>0, X2 >0, X3>0, X4>0, X5>0 Una hipótesis sutil en la formulación anterior es que todos los préstamos se otorgan más o menos al mismo tiempo. Esta hipótesis nos permite no tomar en cuenta las diferencias en los valores temporales de los fondos asignados a los diferentes. préstamos. En la figura 2-9 se muestra la salida del modelo "Política de los Préstamos Bancarios". Se observa que sólo son recomendables los préstamos para casas habitación y los comerciales. De los restantes, los préstamos personales son los menos atractivos, no sólo porque tienen el menor coeficiente objetivo (= 0.026), sino también porque su costo reducido es el mayor entre todas las variables (= 0.0604). El costo reducido significa que la "utilidad" de la variable de préstamo comercial debe incrementarse en 0.0604, para que ésta resulte apenas provechosa. Observando los precios duales, vemos que la primera restricción muestra que un incremento de 1 (millón de unidad monetaria) en los fondos asignados, incrementará el rendimiento neto de todos los préstamos en 0.0864 (millones de unidad monetaria). Esto equivale a un rendimiento anual de 8.64% sobre la inversión. Como el intervalo asociado es (4.8, ), este rendimiento está garantizado para cualquier incremento de los fondos asignados superior a los 12 millones iniciales. Un rendimiento de 8.64% parece ser bajo, puesto que los intereses más bajos que cobra el banco son del 10%. La diferencia puede atribuirse a los posibles incobrables que no son recuperables, ni en capital ni en intereses. El coeficiente objetivo más alto en el modelo es 0.0864 (préstamo para casas habitación); este coeficiente es igual al precio dual de la restricción 1 (fondos asignados). La conclusión de esta observación es que cualesquiera nuevos fondos adicionales serán asignados, necesariamente, por la solución óptima a los préstamos para casas habitación.
También se observa que el precio dual asociado con la restricción 2 es negativo (=-0.0084). La restricción se asocia con el límite mínimo fijado para los préstamos agrícola y comercial. Puesto que su precio dual es negativo, un incremento en ese límite tendrá un efecto adverso en el rendimiento neto. En otras palabras, no existe ninguna ventaja económica al fijar un límite mínimo a la magnitud de los préstamos agrícola y comercial. Esta observación es consistente con la interpretación de la primera restricción, que estipula que cualquier nuevo fondo adicional será asignado a las casas habitación y no a los préstamos agrícola o comercial. De hecho, si elimináramos el requisito de límite mínimo en los préstamos agrícola y comercial, todos los fondos se asignarían a los préstamos para casas habitación (verifíquese esta conclusión "desprendiendo" la restricción 2, usando la opción MODIFY de TORA). *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** *** RESUMEN DE SOLUCIÓN ÓPTIMA *** Title: Reddy Mikks model
Título: modelo Reddy Mikks
Final: iteration No: 6
Iteración final núm. 6
Objective value (max) = 0.9965
Valor objetivo (máx) = 0.9965
Variable
Value
Objective Coefficient
Objective ValueContribution
Variable
Valor
x1 personal x2 automóvil
Reduced Cost
Coeficiente objetivo
Contribución valor objetivo
0.0000
0.0260
0.0000
0.0604
0.0000
0.0509
0.0000
0.0355
x3 casa habitación 7.2000
0.0864
0.6221
0.0000
x4 agrícola
0.0000
0.0688
0.0000
0.0092
x5 comercial
4.8000
0.0780
0.3744
0.0000
Costo reducido
Constraint
RHS
Slack(-)/Surplus(+)
Dual Price
Restricción
Segundo miembro
Holgura()/Exceso(+)
Precio dual
1 (<)
12.0000
0.0000-
0.3333
2 (<)
4.8000
0.0000-
-0.0084
3 (<)
0.0000
3.6000-
0.0000
4 (<)
0.0000
0.1680-
0.0000
***SENSITIVITY ANALYSIS*** ***ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD*** Objective coefficients ... Single Changes:
Coeficientes objetivo ... únicos cambios: Reduced Cost
Variable
Current Coefficient
Minimun Coefficient
Maximun Coefficient
Variable
Coeficiente corriente
Coeficiente mínimo
Coeficiente máximo
x1 personal
0.0260
- infinito
0.0864
0.0604
x2 automóvil
0.0509
- infinito
0.0864
0.0355
x3 casa habitación
0.0864
0.0780
- infinito
0.0000
x4 agrícola
0.0688
- infinito
0.0780
0.0092
x5 comercial
0.0780
0.0688
0.0864
0.0000
Right - hand - Side… Single Changes
Costo reducido
Segundo miembro… únicos cambios
Constraint
Current RHS
Min. RHS
Max RHS
Dual price
Restricción
Sdo. miem. cor.
Sdo. miem. min.
Sdo. miem. max.
Precio dual
1 (<)
12.000
4.8000
- infinito
0.0864
2 (<)
4.8000
0.0000
12.0000
-0.0084
3 (<)
0.0000
- infinito
3.6000
0.0000
4 (<)
0.0000
0.0688
- infinito
0.0000
Figura 2-9 Ejemplo 2.2-2 (Uso y urbanización de la tierra)
Birdeyes Real Estate Co. posee 800 acres de tierra de primera clase, pero no urbanizada, en un lago escénico en la parte central de Ozark Mountains. En el pasado, se aplicaba poca o ninguna regulación a nuevas urbanizaciones en torno al lago. Las orillas del lago ahora están alineadas con residencias vacacionales agrupadas. Debido a la falta de servicio de drenaje, o desagüe por alcantarillado, se utilizan muchos tanques sépticos, la mayoría instalados en forma inadecuada. Con el paso de los años, la infiltración de los tanques sépticos ha provocado un severo problema de contaminación del agua.
Para controlar la degradación más profunda en la calidad del agua, los funcionarios del municipio presentaron y aprobaron algunos reglamentos estrictos aplicables a todas las urbanizaciones a futuro: 1. Sólo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, donde las unifamiliares constituyen cuando menos el 50% del total. 2. Para limitar el número de tanques sépticos, se requieren tamaños de lote mínimos de 2, 3 y 4 acres para casas de una, dos y tres familias. 3. Se deben establecer áreas de recreo de 1 acre cada una a razón de un área por cada 200 familias. 4. Para preservar la ecología del lago no se puede extraer agua del subsuelo para uso en la casa o el jardín. El presidente de Birdeyes Real Estate estudia la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la compañía en el lago. La nueva urbanización incluirá casas para una, dos Y tres familias. El estima que el 15% del terreno se utilizará en la apertura de calles y vías de acceso para servicios. También calcula que los siguientes serán sus ingresos derivados de la venta de las diversas unidades habitacionales: Unidades habitacionales Ingreso neto por unidad ($)
Sencilla 10 000
Doble 15 000
Triple 20 000
El costo de conexión del servicio de agua al área es proporcional al número de unidades que se construyan. Sin embargo, la comunidad estipula que se deberá colectar un mínimo de $100 000 para que el proyecto sea económicamente factible. Además, la expansión del sistema acuífero más allá de su capacidad actual está limitada a 200 000 galones por día durante periodos de consumo máximo, pico. Los datos que siguen resumen el costo de conexión del servicio de agua y también del consumo de agua suponiendo una familia de tamaño medio: Unidad habitacional Costo del servicio de agua por unidad ($) Consumo de agua por unidad (gal/día)
Sencilla 1000
Doble 1200
Triple 1 400
Recreo 800
400
600
840
450
Modelo matemático
La compañía debe decidir el número de unidades que se construirán de cada tipo de habitación, junto con el número de áreas de recreo que satisfagan los decretos del municipio. Defínanse X1 = número de unidades de casas unifamiliares X2= número de unidades de casas para dos familias X3= número de unidades de casas para tres familias X4= número de áreas de recreo. Un objetivo aparente de la compañía es el de maximizar el ingreso total. La función objetivo está dada como maximizar z = 1 0 000 X 1 + 12 000 X2 + 15 000 X 3 Las restricciones del problema son 1. Límite sobre el uso de la tierra. 2. Límite sobre los requisitos de casas unifamiliares en relación con otros estilos. 3. Límite sobre los requisitos de áreas de recreo. 4. Requisito de capital para conectar el servicio de agua. 5. Límite sobre el consumo de agua diario en periodos pico. Estas restricciones se expresan matemáticamente como sigue: 1. Uso de la tierra
2 X1 + 3 X2 + 4 X3 + 1X1 < 680 2. Casas unifamiliares
o bien 0.5 X1 - 0.5 X2 - 0.5 X3 > 0 3. A reas de recreo
o bien 200X4 – X1 - 2X2 - 3X3 > 0 4. Capital
1 000 X1 + 1 200 X2 + 1 400 X3 + 800 X4 > 100 000 5. Consumo de agua
400 X1 + 600 X2 + 840 X3 + 450 X4 < 200 000 6. No negatividad
XI > 0 , X2 > 0 , X3 > 0, X4 > 0 En la formulación de un modelo es un buen hábito poner atención al impacto que puede tener el error de redondeo computacional. En el modelo anterior, se nota que los coeficientes en las restricciones 4 y 5 (capital y consumo de agua), son relativamente mayores que la mayoría de los coeficientes en las restricciones restantes. En general, esta inconsistencia podría conducir a errores de redondeo inconvenientes en la computadora, como resultado del manejo combinado de coeficientes relativamente grandes y relativamente pequeños en el mismo problema. En el presente ejemplo, podemos rectificar este problema potencial reduciendo de escala las restricciones, para ello se dividen los coeficientes entre la constante 1 000. Esto reduce las restricciones a X1 + 1.2x2 +1.4x3 +0.8x4 > 100
0.4x1 + 0.6x2 +0.84x3 + 0.45x4 < 200 Resulta igual de inconveniente tratar en la computadora con coeficientes de restricción muy pequeños. En tales situaciones es aconsejable aumentar la escala de todos los coeficientes pequeños para lograr cierta consistencia en la formulación del modelo. La mayor parte de los programas (incluido TORA), tratan de lograr esta consistencia antes de resolver el problema. Sin embargo, es un buen hábito implementar esta etapa de la solución durante la formulación del modelo. La figura 2-10 da la solución óptima del modelo. Nótese que la programación lineal, en general no proporciona soluciones enteras. La presente solución da los valores SINGLE = 339.152 y RECR'N = 1.696 con DOUBLE = TRIPLE = 0. Por razones prácticas podemos redondear esta solución a SINGLE = 339 y RECR'N 2 (que, incidentalmente, resulta ser la solución óptima entera). Es interesante constatar que la solución óptima no recomienda la construcción de casas dobles y triples, a pesar de que sus rendimientos por unidad ($12 000 y $15 000) son mayores, en sentido absoluto, que los de las casas unifamiliares. Este resultado muestra que los rendimientos marginales, tal como se expresan en la función objetivo, no son suficientes para juzgar la utilidad o provecho de una actividad. Además, se debe considerar el costo de los recursos usados por la actividad. Esto es lo que logra el costo reducido. Los costos reducidos presentes de $3 012.45 y $5 024.94 de DOUBLE y TRIPLE proporcionan el exceso del costo por unidad de recursos sobre el rendimiento marginal. Entonces para que cualesquiera de estas actividades resulte apenas provechosa, debemos reducir el costo por unidad de los recursos, o bien, incrementar el rendimiento marginal en una cantidad igual a su costo reducido. Las restricciones 2, 4 y 5 tienen valores positivos de holgura/exceso, lo que indica que sus recursos son "abundantes". En consecuencia, sus precios duales (valor por unidad) son cero. La restricción 1 que representa tierra disponible tiene un valor dual de $4 987.53, indicando que un incremento de 1 acre en tierra disponible vale $4 987.53 de renta neta. Esta información podría ser valiosa al decidir sobre el precio de compra de nueva tierra. La restricción 4 tiene un precio dual de -$24.937 y, por ser negativo, nos dice inmediatamente que cualquier incremento en su "recurso" tendrá un
efecto adverso en la renta total. ¿Por qué es esto así? Podemos contestar esta pregunta sólo si sabemos cuáles son las unidades del "recurso" de esa restricción. Veamos nuevamente la restricción: 200 RECR'N - SINGLE - 2 DOUBLE - 3 TRIPLE > 0 La restricción especifica el número mínimo de áreas de recreo (RECR'N) en relación con el número de casas. La restricción así expresada nos muestra claramente las unidades de su primer miembro. Sin embargo, si dividimos la restricción entera entre 200 obtenemos: RECR'N - (0.005 SINGLE + 0.01 DOUBLE + 0.015 TRIPLE) > 0 Ahora, la variable RECR'N representa el número de áreas de recreo. Como cada área de recreo ocupa 1 acre, las unidades de RECR'N y las de la expresión entre paréntesis deben ser también acres. Así, un incremento de 1 unidad en el primer miembro (o sea, un incremento de 0 a 1) puede interpretarse como un incremento de 1 acre en RECR'N. Con esta nueva presentación de la restricción, podemos decir que el precio dual representa el valor por incremento de acre en el área de recreo. Sin embargo, con la nueva restricción, el precio dual debe ser 200 x -$24.937 = -44987.53. (En realidad, si modifica la restricción como se muestra y vuelve a correr el modelo, la salida del programa TORA le dará directamente el nuevo valor dual; ¡hágalo así!). *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** *** RESUMEN DE SOLUCIÓN ÓPTIMA *** Title: Land development
Título: Uso y urbanización de la tierra
Final: iteration No: 6
Iteración final núm. 6
Objective value (max) = 3391521.2500
Valor objetivo (máx) = 3391521.2500
Variable
Value
Variable
Valor
Objective Coefficient
Objective ValueContribution
Reduced Cost Costo reducido
Coeficiente objetivo
Contribución valor objetivo
x1 Simple
339.1521
10000.0000
3391521.2500
0.0000
x2 Doble
0.0000
12000.0000
0.0000
3012.4688
x3 Triple
0.0000
15000.0000
0.0000
5024.9351
x4 Recreo
1.6958
0.0000
0.0000
0.0000
Constraint
RHS
Slack(-)/Surplus(+)
Dual Price
Restricción
Segundo miembro
Holgura()/Exceso(+)
Precio dual
1 (<)
680.0000
0.0000-
4987.5308
2 (<)
0.0000
169.5760+
0.0000
3 (<)
0.0000
0.0864+
-24.9377
4 (<)
100.0000
240.5087+
0.0000
5 (<)
200.0000
63.5761-
0.0000
***SENSITIVITY ANALYSIS*** ***ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD*** Objective coefficients ... Single Changes:
Coeficientes objetivo ... únicos cambios: Reduced Cost
Variable
Current Coefficient Minimun Maximun Coefficient Coefficient Coeficiente corriente Coeficiente mínimo Coeficiente máximo
x1 Simple
10000.0000
7993.3557
0.0864
0.0604
x2 Doble
12000.0000
- infinito
0.0864
0.0355
x3 Triple
15000.0000
- infinito
- infinito
0.0000
x4 Recreo
0.0000
-2000000.1250
5000.0000
0.0000
Variable
Costo reducido
Right - hand - Side… Single Changes
Segundo miembro… únicos cambios
Constraint
Current RHS
Min. RHS
Max RHS
Dual price
Restricción
Sdo. miem. cor.
Sdo. miem. min.
Sdo. miem. max.
Precio dual
1 (<)
680.0000
199.7012
996.8926
4987.5308
2 (<)
0.0000
- infinito
169.5760
0.0000
3 (<)
0.0000
-340.0000
50988.0195
-24.9377
4 (<)
100.0000
- infinito
340.5087
0.0000
5 (<)
200.0000
136.4239
- infinito
0.0000
Figura 2-10
El nuevo precio dual nos dice que un incremento de 1 acre en el área de recreo reducirá la renta en $4 987.53. Es interesante notar que este valor es exactamente igual al precio dual del recurso "uso de la tierra" (restricción 2), pero con signo opuesto. Este resultado tiene sentido desde el punto de vista económico porque un acre destinado al área de recreo es, por definición, un acre menos disponible para la construcción de casas. No es entonces una coincidencia que los precios duales concuerden.
11 Sunco Oil ¾ F.O. Maximizar Ganancias ¾ Variables: o Crudo tipo i en gasolina tipo j Æ Cij ¾ Restricciones: o Suma de Cij <= 14,000 o Suma de Ci1 >= 3,000 o Suma de Ci2 >= 2,000 o Suma de Ci3 >= 1,000 o Promedio de Octanaje de Ci1 >= 10 o Promedio de Octanaje de Ci2 >= 8 o Promedio de Octanaje de Ci3 >= 6 o Promedio de % de azufre de Ci1 >= 1 % o Promedio de % de azufre de Ci2 >= 2 % o Promedio de % de azufre de Ci3 >= 1 % ¾ F.O. Max [ 70*( C11 + C21 + C31 ) + 60*( C12 + C22 + C32 ) + 50*( C13 + C23 + C33 ) 45*( C11 + C12 + C13 ) – 35*( C21 + C22 + C23 ) – 25*( C31 + C32 + C33 ) – 4*( C11 + C12 + C13 + C21 + C22 + C23 + C31 + C32 + C33 ) ] ¾ Desigualdades: o C11 + C12 + C13 + C21 + C22 + C23 + C31 + C32 + C33 <= 14,000 o C11 + C21 + C31 >= 3,000 o C12 + C22 + C32 >= 2,000 o C13 + C23 + C33 >= 1,000 Administración de Operaciones Ing. José Villanueva Herrera o 12*C11 + 6*C21 + 8*C31 >= 10 C11 + C21 + C31 o 12*C12 + 6*C22 + 8*C32 >= 8 C12 + C22 + C31 o 12*C13 + 6*C23 + 8*C33 >= 6 C13 + C23 + C33 o 0.5*C11 + 2.0*C21 + 3.0*C31 <= 1 C11 + C21 + C31 o 0.5*C12 + 2.0*C22 + 3.0*C32 <= 2 C12 + C22 + C31 o 0.5*C13 + 2.0*C23 + 3.0*C33 <= 1 C13 + C23 + C33
