Ing. Dante Álvaro Gonzales Olmos Investigación de Operaciones PROBLEMA DE PRODUCCIÓN “METALMECANICA”
Formulación del Problema
Una empresa metalmecánica produce: escritorio, estantes y gaveteros. Para ello se emplean dos tipos de plancha: A y B de los cuales se dispone 800 y 1200 m2 respectivamente. Los requerimientos de plancha por unidad de los tres productos produ ctos así como otros datos esenciales se da en la tabla. El tiempo de labor de cada escritorio es el doble de cada estante y 4 veces el de cada gavetero. Si solo se producirían escritorios el máximo seria 500 unidades. Se instruye además que el número de escritorios y estantes debe ser al menos 4/5 partes del total de productos elaborados. En tanto que por cada 2 estantes deben elaborarse como mucho 3 escritorios. Construir el modelo de programación lineal. Productos Plancha (m2/u) Utilidad Demanda A B $us/unid Mínima Escritorio 3 3 20 100 Estante 2 1 30 150 Gavetero 5 2 35 30 I) Identificar el objetivo del estudio
Maximizar las Utilidades II) Definición de la(s) variable(s) de decisión
X j : Número de unidades producidas de muebles metálicos tipo “j”
j = ( 1,
2,
3)
(1 = Escritorios; 2 = Estantes; 3 = Gaveteros) III) Identificar las restricciones
Recurso Limitado; planchas tipo A se dispone 800 m2 . Recurso Limitado; planchas tipo B se dispone 1200 m2 . Condición: El tiempo de labor de cada escritorio es el doble de cada estante y 4 veces el de cada gavetero. Si solo se producirían escritorios el máximo seria 500 unidades. Condición: El número de escritorios y estantes debe ser al menos 4/5 partes del total de productos elaborados. Condición: En tanto que por cada 2 estantes deben elaborarse como mucho 3 escritorios Restricción de demanda mínima de escritorios es de 100 unidades.
Ing. Dante Álvaro Gonzales Olmos Investigación de Operaciones
Formulación del Problema
Restricción de demanda mínima de estantes es de 150 unidades. Restricción de demanda mínima de gaveteros es de 30 unidades. IV) Plantear la Función Objetivo
(los datos abiertos son las utilidades y se encuentran en la tabla, para cada uno de los muebles) Max Z = 20X1 + 30X2 + 35X3 V) Plantear las restricciones
3X1 +
2X2+
5X3 800
3X1 +
X2 +
2X3 1200
X1/500+ X2 /1000+ X3 /2000 1 X1 +
X2
- 3X1+
2X2
4/5(X1 +X2+ X3) 0
X1
100 X2
150 X3
30
VI) Plantear la restricción de no negatividad
X 0 donde j (1, 2, 3) 6.- PROBLEMA DE MEZCLA
Un Químico desea mezclar 3 productos para obtener K Kgr. de un compuesto. El compuesto preparado debe contener: MINIMO
MAXIMO
2 Kgr. Del Elemento 1 (E1)
5 Kgr. Del Elemento 1 (E1)
3 Kgr. Del Elemento 2 (E2)
8 Kgr. Del Elemento 2 (E2)
2 Kgr. Del Elemento 3 (E3)
6 Kgr. Del Elemento 3 (E3)
E1, E 2 y E3 son los elementos químicos contenidos en los productos a mezclar. Los 3 productos a ser mezclados tienen precios unitarios y contenidos en % de E1 , E2 y E3 , mostrados según la tabla
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Formulación del Problema
Producto
Precio Unitario
% Contenido E1
% Contenido E2
% Contenido E3
P1
200
P2
300
30
10
60
P3
400
70
15
15
20
30
50
Por razones de disponibilidad las cantidades P1 y P3 no deben ser mayores que los correspondientes Q1 = 15 kgr. y Q3 = 20 kgr. Formular este problema como un modelo de programación lineal. Formulación: I) Definir el objetivo del estudio
Minimizar el Costo de la Mezcla II) Definición de la(s) variable(s) de decisión
X j: Cantidad en kgr. del producto “j” a ser mezclado j = (1, 2, 3) III) Identificar las restricciones
“El compuesto preparado debe contener un máximo y un mínimo de cada elemento en el compuesto” “Los 3 productos a ser mezclados tienen contenidos en % de E1 , E2 y E3” “Por razones de disponibilidad las cantidades de los productos P1 y P3 no deben ser mayores que los correspondientes Q1 = 15 kgr. y Q3 = 20 kgr.” IV) Plantear la Función Objetivo
“Formular como un modelo de programación lineal, sabiendo que los precios unitarios son: P1 = 200; P2 = 300; P3 = 400 ”
Min Z = 200X1 + 300X2 + 400X3 V) Plantear las restricciones:
Restricciones de Contenido: (se puede realizar por separado las 3 primeras restricciones) 2 20X1 +30 X2 + 70X3]/100 5 3 30X1 + 10X2 + 15X3]/100 8 2 50X1 + 60X2 + 15X3]/100 6 Restricciones de Disponibilidad: X1 X3 VI) Plantear la restricción de no negatividad X 0 donde j (1, 2, 3)
Ing. Dante Álvaro Gonzales Olmos Investigación de Operaciones 7.- PROBLEMA DE MEZCLA DE ALIMENTOS
Formulación del Problema
Una de las aplicaciones más exitosas de la programación lineal trata sobre la determinación de una mezcla óptima de alimentos para satisfacer las necesidades nutritivas de un animal o una persona con el costo mínimo. El modelo supone la disponibilidad de ciertos ingredientes con los cuales se mezcla el alimento. Se conoce el contenido nutritivo de cada ingrediente. Las descripciones del modelo incluyen (1) requerimientos nutritivos diarios del animal y (2) limitaciones físicas o no nutritivas tales como abasto, textura o consistencia y posibilidad de aglomeración. El objetivo es minimizar el costo total de un tamaño de lote dado de la mezcla, de tal manera que se satisfagan las restricciones físicas y nutritivas. Un ejemplo muy simplificado se aplica a ¡a formulación de una dieta para pollos. Suponga que el lote diario requerido de la mezcla son 100 libras. La dieta debe contener 1. Al menos 0.8% pero no más de 1.2% de calcio. 2. AI menos 22% de proteínas. 3. A lo más 5% de fibras crudas. Suponga además, que los principales ingredientes utilizados incluyen maíz, soya y caliza (carbonato de calcio). El contenido nutritivo de estos ingredientes se resume a continuación. Libras por libra de ingrediente Ingrediente
Calcio
Proteína
Fibra
Piedra caliza Maíz Alimento de soya
0.380 0,001 0.002
0.00 0.09 0.50
0.00 0.02 0.08
Costo ($) por libra 0.0164 0.0463 0.1250
Sean X1, X 2 y x3, las cantidades en libras de caliza, maíz y soya utilizadas para producir la mezcla de 100 libras. I) Definir el objetivo del estudio:
Minimizar Costo II) Definición de la(s) variable(s) de decisión
X j : Cantidad mezclada del producto “j”; donde j = (1, 2, 3)
III) Identificar las restricciones
“Lote diario requerido de la mezcla son 100 libras” “Al menos 0.8% pero no más de 1.2% de calcio”. “AI menos 22% de proteínas”. “A lo más 5% de fibras crudas”.
Ing. Dante Álvaro Gonzales Olmos Investigación de Operaciones IV) Plantear la Función Objetivo
Formulación del Problema
“La meta del modelo es determinar la producción diaria óptima para los tres productos que maximice el beneficio”
Min Z = 0,0164 X1 + 0,0463 X2 + 0,1250 X3 V) Plantear las restricciones
X1 + X2 + X3 = 100 0,380 X1 + 0,001 X2 + 0,002 X3 0,012 0,380 X1 + 0,001 X2 + 0,002 X3 0,008 0,09 X2 + 0,50 X3 0,22 0,02 X2 + 0,08 X3 0,05 VI) Plantear la restricción de no negatividad
X j 0 donde j (1, 2, 3) 14.- PROBLEMA DE CAPACIDAD
Un avión de carga tiene 3 compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero estos compartimentos tienen un límite tanto de peso como de espacio. Compartimiento
Cap. De peso (Toneladas)
Cap. De espacio (Pies Cúbicos)
Delantero
12
7000
Central
18
9000
Trasero
10
5000
Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga de los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad, Se encuentra con oferta para los siguientes envíos para un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio disponible.
Carga
Peso (Toneladas)
Volumen (Pies Cúbicos)
Ganancias (Toneladas)
1
20
500
320
2
16
700
400
3
25
1000
360
4
13
400
290
Ing. Dante Álvaro Gonzales Olmos Investigación de Operaciones I) Identificar el objetivo del estudio
Formulación del Problema
Maximizar las ganancias II) Definición de la(s) variable(s) de decisión
X j : Peso a transportar en el avión de la carga del tipo J
j = (1,2,3,4 )
III) Identificar las restricciones
“Recurso Limitado 1; Para mantener el avión balanceado, la carga de los respectivos
compartimientos debe ser proporcional a su capacidad de peso, la oferta de la carga 1 es de 20 Toneladas, de la carga 2 es de 16 Ton., de la carga 3es de 25 Ton. y de la carga 4 es de 13 Toneladas. El límite de peso en los tres compartimentos es de 12 Ton. en la parte delantera, 18 Ton. al medio y de 10 Ton. en la parte trasera” “Recurso Limitado 2; Para mantener el avión balanceado, la carga de los respectivos
compartimientos debe ser proporcional a su capacidad de Volumen, la oferta de la carga 1 es de 500 Pies Cúbicos, de la carga 2 es de 700 Pies Cúbicos, de la carga 3 es de 1000 Pies Cúbicos y de la carga 4 es de 400 Pies Cúbicos. El límite de volumen en los compartimentos es de 7000 Pies Cúbicos en la parte delantera, de 9000 Pies Cúbicos en la parte central y de 5000 Pies Cúbicos en la parte trasera” IV) Plantear la Función Objetivo
Maximizar Z = 320X1 + 400X2 + 360X3 + 290X4 V) Plantear las restricciones
De Peso 20 X1 + 16 X2 + 25X3 + 13X4 20 X1 + 16 X2 + 25X3 + 13X4 20 X1 + 16 X2 + 25X3 + 13X4 De Volumen 500 X1 + 700 X2 + 1000X3 + 400X4 500 X1 + 700 X2 + 1000X3 + 400X4 500 X1 + 700 X2 + 1000X3 + 400X4 VI) Plantear la restricción de no negatividad
X1, X2, X3, X4
0
