EJERCICIOS A DESARROLLAR Modo de Presentación a) Presentar en Word con los siguientes márgenes Izq, Der: 3cm, Sup, Infe: 3cm formato de hoja A4, tipo de letra Calibri 11. b) Cada grupo presentara los ejercicios (19) en donde identificaran la función Objetivo y Restricciones. Además deberá presentara el resultado con el programa asignado a cada grupo (se deberá capturar la pantallas necesaria que demuestren la solución). c) Cada ejercicio presentara la parte literal y el desarrollo. 1. A un joven matemático se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. Él pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al matemático S/. 50. El joven sabía que al visitante le gustaba mesclar sus tragos, pero que siempre bebía a lo más de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y 24 martinis. El tiempo que empleaba para beber era 15` por cada vaso de cerveza, 6` por cada vaso de ginebra, 7` y 4` por cada vaso de whisky y Martini. Los precios de las bebidas eran: Cerveza S/. 1, el vaso; Ginebra S/. 2, el vaso; Whisky S/. 2, el vaso; Martini S/. 4, el vaso. El matemático pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohólico durante 90` que tenía para entretener al huésped. Logro que un amigo químico le diese el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas por un vaso de 17, 15, 16 y 7 por vaso. El visitante siempre bebía un mínimo de 2 whiskys. 2. Un barco tiene 3 bodegas: en la proa, en la popa y el centro, las capacidades límites son: BODEGA TONELAJE PIES CÚBICOS Proa 2000 100000 Popa 1500 30000 Centro 3000 135000 Se han recibido las siguientes ofertas de carga, las que se pueden aceptar total o parcialmente CARGA CANTIDAD PIES CUBICOS GANANCIA Por tonelada S/. / Toneladas A 6000 Ton 60 6 B 4000 Ton 50 8 C 2000 Ton 25 9 Como se debe de distribuir la carga para maximizar la ganancia, si la preservación del equilibrio obliga a que el peso de cada bodega sea proporcional a la capacidad de toneladas. 3. Se hace un pedido a una papelería de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500 rollos de 45 pulgadas de ancho y 1000 de 50 pulgadas. Si la papelería tiene solamente rollos de 108 pulgadas de ancho. Como deben cortarse los rollos para surtir el ped ido con el mínimo desperdicio de papel, sabiendo que el máximo desperdicio aceptable de papel o rollo es de 22 pulgadas.
4. Una pequeña refinería mescla 5 crudos para producir dos grados de gasolina “A” y “B”. el número de barriles diarios disponibles, numero de octanos y el costo por barril aparecen en la tabla siguiente: Crudo # Octanos Barriles / Día Costo X Barril 1 70 2000 80 2 80 4000 90 3 85 4000 95 4 90 5000 115 5 99 3000 200 El número de octanos de gasolina “A” no puede ser menor que 95 y de la “B” menor de 85. Asumir que una disposición gubernamental obliga a producir por lo menos 8000 barriles de gasolina tipo “B”, la gasolina tipo “A” se vende a los distribuidores a 375 por barril y la “B” a 285 por barril. Los crudos no utilizados para producir “A” y “B” siempre y cuando tengan al menos 90 octanos se vende como gasolina de aviación a 257 por barril y aquellos con 85 octanos, como máximo se venden “extra” a 125 por barril. Si deseamos maximizar las utilidades diarias. ¿Cuál debe ser la producción de gasolina de “A” y “B”? ¿Cómo debemos mesclar los crudos? 5. Un inversionista tiene perspectivas de invertir en dos actividades A y B, siendo el horizonte económico de 5 años cada unidad económica invertida en A en el comienzo de cualquier año produce una utilidad de S/. 0.40 dos años más tarde cada unidad monetaria invertida en B, en el comienzo de cualquier año produce una utilidad de S/. 0.70 tres años más tarde. Además tiene otras dos perspectivas: C y D para el futuro. Cada unidad monetaria invertida en C en el comienzo del segundo año permite una utilidad de S/. 1.00 a fin de los 5 años cada unidad monetaria invertida en D en el comienzo del 5 año produce una utilidad de S/. 0.30. El inversionista dispone de S/. 10000 y desea conocer el plan de inversiones que maximice sus utilidades. 6. Aeroperu está considerando la probabilidad de adquirir aviones de pasajeros en el mercado mundial: USA, Inglaterra o Rusia. El costo del avión (USA) A es de $/. 6.7 millones, el avión (Ingles) B en $/. 5 millones y el avión (Ruso) C de $/. 3.5 millones. El directorio de dicha empresa ha autorizado la compra de aviones pro valor de 150 millones. Los economistas de Aeroperu han calculado que cualquiera sea el tipo A de mayor capacidad proporcionara una utilidad neta de $/. 420000 el avión B proporcionara una utilidad neta de $/300000 y el avión C una utilidad de $/. 230000 anuales. Por otra parte se conoce que la fuerza aérea peruana solo le podría proporcionar 30 pilotos debidamente entrenados. Si solo se adquieren los aviones más pequeños, los servicios de reparación y servicio con que cuenta Aeroperu solamente podrán mantener en operación un máximo de 40 unidades. Además se sabe que mantener un avión B requiere 1 1/3 más que el avión C y que el avión A requiere 1 2/3 más que el C. Determinar el número de cada tipo de avión que se debe comprar para maximizar las utilidades?
7. Cia. De aerolíneas Foucett tiene qque decidir cuantas azafatas nuevas tiene que emplear, entrenar, despedir en los 6 meses que viene. Los requisitos en hora de vuelo de azafata son los siguientes: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio #Hrs. 8000 9000 8000 10000 9000 12000 Una chica necesita un mes de entrenamiento antes de que puedan usarla en un vuelo regular, por lo tanto hay que emplearla un mes antes de que sus servicios sean necesarios. También el entrenamiento de una chica nueva requiere el tiempo de una azafata regular entrenada. Dicho entrenamiento tomo aproximadamente 100 horas de la azafata con experiencia en el mes de entrenamiento. Entonces por cada chica en entrenamiento hay 100 horas menos disponibles para servicio de las azafatas regulares. Cada azafata regular puede trabajar un máximo de 150 horas cada mes, hay 60 azafatas disponibles el primer día de enero. Si el tiempo máximo disponible de la azafata requerida es mayor que la demanda, las regulares pueden trabajar menos de 150 horas o la Cia. Puede despedirlas a un costo de $ 1000 por cada azafata despedida. Cada mes el 10% de las azafatas regulares al trabajo para casarse o por otras razones. Una azafata regular cuesta $/. 800 al mes y una chica en entrenamiento recibe $/. 400. Formule el problema en PL para minimizar el costo de servicio de azafata. 8. Una pequeña Cia. De inversión está considerando la posibilidad de adquirir parte de dos inversiones. La inversión A es muy riesgosa; pero se espera ganar un 30% sobre la inversión. La inversión B es menos riesgosa y se espera ganar un 10% sobre La Inversión. Se dispone para fines de inversión un total de un millón de soles. La compañía cree que la inversión en B no debe ser mayor que 200000 mil debido al bajo porcentaje de ganancias que esta ofrece a fin de equilibrar los riesgos se requiere una inversión mínima de B de 100000 soles. La CIa. Desea maximizar las ganancias en la inversión sujeta a las restricciones mencionadas. Se deja como ejercicio la formulación de este ejercicio como un PL? 9. Un agente vendedor maneja dos productos y no espera vender más de 10 unidades/mes del producto 2. Para evitar una multa debe vender al menos 24 unidades del producto 2. Recibe una comisión de 10% sobre todas la ventas y debe gastar de sus propios gastos que se estiman en $/. 1.50 por hora gastada en hacer visitas. Trabaja solo una parte del tiempo y debe trabajar hasta un máximo de 80 horas/mes. El producto 1 se vende $/150 por unidad y requiere un promedio de 1.5 horas por cada visita; la probabilidad de hacer una venta es 0.5. El producto 2 se vende $/. 70 por unidad y requiere un promedio de 30 minutos por cada visita; la probabilidad de hacer una venta es de 0.6. ¿cuantas visitas mensuales debe hacer a los clientes de cada producto? 10. Un contratista está considerando la propuesta para la pavimentación de un camino, las especificaciones requieren un espesor mínimo 12”, y un máximo de 48”. El camino debe ser pavimentado en concreto, asfalto o gravilla, o cualquier combinación de los tres.
Sin embargo, las especificaciones requieren una consistencia final igual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 9” de espesor. El contratista a determinado que 3” de su asfalto son tan resistentes como 1” de concreto y 6” de gravilla son tan resistentes como 1” de concreto. Cada pulgada de espesor por yarda cuadrada de concreto le cuesta S/ 100, el asfalto S/. 380 y la gravilla S/. 150. Determina la combinación de materiales que él debería usar para minimizar su costo. 11. Un granjero puede criar ovejas, cerdos y ganado vacuno. Tiene espacio para 30 ovejas, o 50 cerdos o 20 cabezas de ganado vacuno o cualquier combinación de estos (con la relación siguiente), 3 ovejas, 5 cerdos o 2 vacas usan el mismo espacio. Los beneficios (utilidades) dadas por animal son 500, 500 y 100 soles por oveja, cerdos y vacas respectivamente. El granjero debe criar por ley al menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntas. 12. El gerente de personal de una compañía constructora grande esta analizando la necesidad ed mano de obra semi calificada durante los próximos 6 meses. Se lleva un mes para adiestra a una persona nueva. Durante este periodo de entrenamiento un trabajador regular junta con una en adiestramiento (aprendiz) producen el equivalente a lo que produce 1.2 trabajadores regulares. Se paga $/. 500 mensuales a quien está en entrenamiento, mientras que los trabajadores regulares ganan $/. 800 mensuales. La rotación de personal entre los trabajadores regulares es bastante alta, del 10% mensual. El gerente de personal debe decidir cuantas personas necesita contratar cada mes para adiestramiento. En seguida se da el número de meses hombre necesario. También se desea tener una fuerza de trabajo regular de 110 a principiar julio. En cuanto al primero de enero, haya 58 empleados regulares.
13. Un hombre de negocios tiene la opción de invertir su dinero en dos planes. El plan A garantiza que cada dólar invertido retornara 70 centavos por año, mientras que el plan B garantiza que cada dólar invertido retornara $/. 2.00 en dos años. En el plan B solo se invierte para periodos que son múltiplos de dos años. ¿Cómo se invertirá $/. 100000 para maximizar los retornos al final de los tres años ?. Formule el problema como un modelo de PL. 14. Un fabricante de acero produce 4 tamaños de vigas en I: pequeño, mediano, Grande y extra grande. Estas vigas se pueden producir en cualquier de tres tipos de máquinas: A, B y C. A continuación se indica las longitudes (en pies) de las vigas I que pueden producir las maquinas por hora. VIGA Pequeña
A 300
MAQUINAS B 600
C 800
Mediana 250 400 700 Grande 200 250 600 Extra Grande 100 200 300 Supóngase que cada máquina se puede usar hasta 50 hrs. Por semana y que los costos de operación por horas de estas maquina son $/. 30, $/. 50 y $/. 80 respectivamente. Supóngase además, que semanalmente se requieren 10000, 8000, 6000 y 6000 pies de los distintos tamaños de las vigas I. formular el problema de programación de máquinas como un programa de PL. 15. Un agricultor quiere cultivar maíz y trigo en un terreno de 70 hectáreas. Sabe que una hectárea puede rendir 30 quintales de maíz o 25 quintales de trigo. Cada hectárea requiere un capital de $/. 30 si se cultiva con maíz y de $/. 40 si se cultiva con trigo. El capital total disponible es de $/. 2500. Las necesidades de agua de riego son de 900 m3 por hectárea de maíz y 650 m3 por hectárea de trigo en octubre, y de 1200 m3 y 850 m3 por hectárea de maíz y trigo respectivamente en el mes de noviembre. La disponibilidad de agua en octubre es de 57900 m3 y en noviembre es de 115200 m3. Si los beneficios por la venta del maíz y trigo son $/. 4.50 y $/. 6.00 por quintal métrico respectivamente, hay que determinar la cantidad de maíz y trigo que debe producirse para obtener el beneficio máximo. 16. En una industria panadera se quiere introducir la elaboración de dos nuevos tipos de pan: integral y de centeno, ya que se tiene asegurada la venta de su producción. Estos panes se elaboran principalmente a base de tres ingredientes: salvado integral, harina de trigo y harina de centeno. Para elaborar 1 kg de pan integral se necesitan 350 g de salvado integral y 150 g de harina de trigo y para la elaboración de 1 kg de pan de centeno se necesitan se necesitan 250 g de harina de trigo y 250 g de harina de centeno. La disponibilidad diaria de salvado integral es de 210 kg, 115 kg de harina de trigo y 100 kg de harina de centeno. El beneficio que deja cada kg de pan integral es de 0.40 € y 0.60 € cada kg de pan de centeno. Calcular la elaboración diaria de pan integral y de centeno, si se han puesto las siguientes metas por orden de prioridad: Prioridad 1. Se desea obtener un beneficio de al menos 240 € diarios. Prioridad 2. Se desea que la cantidad elaborada diariamente de pan integral sea al menos el doble que la de centeno. Prioridad 3. Se desea que la cantidad elaborada diariamente de pan de centeno no sea inferior a 300 kg. ¿Qué metas de las propuestas se han cumplido? 17. Una empresa que fabrica electrodomésticos está pensando abrir una nueva factoría para producir 3 modelos de lavadora: modelo de gama alta, media y baja. Tiene dos posibles ubicaciones: 1 y 2. La inversión necesaria para construir la fábrica en la ubicación 1 es de 2000000 unidades monetarias y de 1750000 unidades monetarias en la ubicación 2. Los costes unitarios de producción son 15, 13 y 10 unidades monetarias, respectivamente para gama alta, media y baja, en la ubicación 1 y 16, 12 y 9 unidades monetarias, respectivamente, en la ubicación 2.
De la gama alta se han de producir al menos 75000 unidades anuales, 100000 de la media y 200000 de la baja. a) Si sólo se va a construir una factoría, modelizar el problema con el objetivo de minimizar costes. b) Si se incluye la posibilidad de construir las dos factorías (ubicación 1 y 2), modelizar el problema con el objetivo de minimizar costes considerando, además, las siguientes restricciones: En caso de producirse lavadoras de gama baja en la ubicación 1 se recibirá una subvención de 1000000 unidades monetarias. La gama alta se producirá únicamente en una de las dos ubicaciones. 18. Una empresa dispone de dos tipos de máquinas A y B. Por cada hora de trabajo en la máquina A se obtienen 20 piezas y 30 piezas por cada hora en la máquina B. Por motivos de capacidad de la empresa no se pueden fabricar al día más de 600 piezas ni menos de 250. Además debido a las características de las dos máquinas el coste por unidad producida por la máquina A es de 4 € y 3 € por unidad producida por B. Determinar las horas diarias óptimas para las dos máquinas con las siguientes metas y prioridades: Prioridad 1. El coste total diario no supere los 2000 €. Prioridad 2. Las horas de trabajo diarias en las máquinas A y B sean iguales. Prioridad 3. Maximizar el número de piezas diarias.
