INVESTIGACION DE OPERACIONES OPERACIONES
PROBLEMA 1: Problema en la programación de autobuses La Municipalidad de Lima está estudiando la factibilidad de introducir un sistema de autobu autobuses ses de tránsi tránsito to masivo masivo ue dismi disminu nu!a !a el proble problema ma de la contam contamin inaci ación ón ambiental" reduciendo el n#mero de ve$%culos ue circulan en la ciudad& El estudio inicial busca la determinación del n#mero m%nimo de autobuses ue pueda mane'ar las necesidades de transporte& (espu)s de recopilar la información necesaria" el ingeniero de la ciudad observó ue el n#mero m%nimo de autobuses fluctuaba seg#n la $ora del d%a& Al estudiar más a fondo los datos" fue evidente ue era posible $acer una apro*i apro*imac mación ión del n#mero n#mero de autobu autobuses ses media mediante nte valore valoress consta constante ntess sobre sobre inte interv rval alos os suce sucesi sivo voss de + $ora $orass cada cada uno& uno& El sigu siguie ient nte e gráf gráfic ico o resu resume me los los descubrimientos del ingeniero& Para llevar a cabo el mantenimiento diario reuerido" cada autob#s pod%a operar sólo oc$o $oras sucesivas del d%a&
,e reuiere determinar el n#mero de autobuses ue van $a operar durante los diferentes turnos -variables. ue satisfagan la demanda m%nima -restricciones." al mismo tiempo ue se minimi/a el n#mero total de autobuses diarios en operación -ob'etivo.&
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PROBLEMA 0: Problema de desperdicio en el corte o de recorte de las e*istencias na 2ompa3%a papelera produce rollos de papel con un anc$o estándar de 04 pies cada uno& Los pedidos especiales de los clientes" con diferentes anc$os" se producen recortando los rollos estándar& Los pedidos t%picos -ue pueden variar d%a a d%a. se resumen en la siguiente tabla: Anc$o 5#mero deseado deseado -pies. de rollos 1 6 164 0 7 044 8 9 844 En la práctica" un pedido se prepara fi'ando las cuc$illas de corte en el anc$o deseado& Por lo com#n" $a! cierto n#mero de formas en las cuales se pueden cortar un rollo estándar para satisfacer un pedido determinado& Pedido
Representación Matemática: ratamos de determinar las combinaciones de las posiciones de las cuc$illas -variables. ue pueden satisfacer los pedidos reueridos -restricciones. con el área m%nima de desperdicio en el corte -ob'etivo.& La definición de las variables como se dan deben traducirse de tal forma ue pueda utili/arla el operador de la cortadora& (e manera espec%fica las variables se definen como el n#mero de rollos estándar ue van a cortarse conforme a una posición determinada de las cuc$illas& Esta definición reuiere la identificación de todas las posiciones posibles de las cuc$illas" como se resume en la siguiente tabla: Anc$o Reuerido -pies. 6 7 9 (esperdicio en el corte por pie de largo
Posición de las cuc$illas 1 4 1 1
0 0 1 4
8 0 4 1
+ + 4 4
6 1 0 4
; 4 4 0
+
8
1
4
1
0
M%nimo n#mero de rollos 164 044 844
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PROBLEMA 8: Pol%tica de pr)stamos bancarios na institución bancaria" esta en proceso de formular una pol%tica de pr)stamos ue inclu!e un má*imo de 10 millones de dólares& La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes acerca de los diferentes tipos de pr)stamos ue ofrece el banco: ipo de asa de Probabilidad de pr)stamo inter)s un mal cr)dito Personal 4&1+4 4&14 Automóvil 4&184 4&47
erreno >rea utili/able -?ectáreas. Agua disponible -m8. 1 +44 16"444 0 ;44 04"444 8 844 9"444 La organización está considerando tres cultivos que difieren principalmente en el consumo de agua, la utilización por hectárea y la cantidad de terreno asignada a cada cultivo que esta limitada por la disponibilidad de equipo apropiado.
2ultivo A B 2
Má*ima cantidad de terreno asignada 744 ?a& 44 ?a& 844 ?a&
2onsumo de Agua -m8@ ?a. 64 +4 84
tilidad por ?ectárea -. 04"444 16"444 6"444
Para mantener la carga de traba'o uniforme entre los terrenos" la pol%tica de la organi/ación establece ue el porcenta'e de terreno usado en cada una debe ser el mismo& ,in embargo" puede usarse cualuier combinación de cultivos en los terrenos& La organi/ación desea saber cuántas $ectáreas dedicar a cada cultivo en cada terreno para ma*imi/ar la utilidad esperada&
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PROBLEMA 6: n avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero" central ! trasero& Estos compartimentos tienen un l%mite de capacidad tanto en peso como en espacio& Los datos se resumen en seguida: Compartimento Delantero Central Trasero
Capacidad de Peso (ton) 12 18 10
Capacidad de Espacio (pies 3) 7000 9000 5000
Para mantener el avión balanceado" el peso de la carga en los respectivos compartimentos debe ser proporcional a su capacidad& ,e tiene ofertas para cuatro cargamentos en un vuelo pró*imo !a ue se cuenta con espacio: Carga 1 2 3 &
Peso disponible (ton) 20 1% 25 13
ol!men (pie3"ton)
#anancia ($"ton)
500 700 %00 &00
320 &00 3%0 290
,e puede aceptar cualuier fracción de estas cargas& El ob'etivo es determinar u) cantidad de cada carga debe aceptarse -si se acepta. ! como distribuirla en los compartimentos para ma*imi/ar la ganancia del vuelo PROBLEMA ;: PROE2A< produce dos l%neas de uipos pesados E ! C" $aciendo el uso de las predicciones económicas para el pró*imo mes" el gerente de mercadotecnia 'u/ga ue durante ese periodo será posible vender todos lo productos E ! C ue se puedan producir& PROE2A< tiene utilidades de 6"444 ! +"444 por cada producto de E ! C ue se venda respectivamente& 2ada producto pasa por operaciones mecánicas en los departamentos A ! B" ! tiene reuerimientos de tiempo por departamento&
E C otal (isponible
?ORA, A B 14 04 16 14 164 1;4
Además de las operaciones en los departamentos A ! B" se reuiere de procesos de verificación& Los tiempos en $oras de verificación ! el reuerimiento m%nimo de $oras traba'adas de acuerdo a contrato laboral es dada en la siguiente tabla: ?oras de verificación
E 84
C 14
Reuerimiento otal 186
La alta gerencia dispone ue se produ/ca un producto C por cada 8 de E" ! ue la producción total sea por lo menos de 6 unidades& (etermine el plan óptimo de producción para PROE2A<& 4
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PROBLEMA 7: n agricultor de 2a3ete posee 044 cerdos ue consumen 94 lb de comida especial todos los d%as& El alimento se prepara como una me/cla de ma%/ ! $arina de so!a con las siguientes composiciones: Libras por libra de alimento 2alcio Prote%na Cibra 2osto -@lb. 4&441 4&49 4&40 4&40 4&440 4&;4 4&4; 4&;4
Alimento Ma%/ ?arina de ,o!a
Los reuerimientos diarios de alimentos de los cerdos son: 1&D 2uando menos 1= de calcio 0&D Por lo menos 1= de prote%na 8&D Má*imo 6= de fibra (etermine la me/cla de alimentos con el m%nimo costo por d%a&& PROBLEMA : 'ecla ptima (bebidas)
na empresa de bebidas debe preparar" a partir de 6 tipos de bebidas de frutas disponibles en almac)n" 644 galones conteniendo por lo menos 04= de 'ugo de naran'a" 14= de 'ugo de uva ! 6= de 'ugo de mandarina& Los datos referentes al stoc de las bebidas son mostrados en la siguiente tabla& F2uánto de cada una de las bebidas" la empresa debe utili/ar de forma ue obtenga la composición reuerida a un costo total m%nimoG *ebida
+aran,a -
./a -
'andarina -
toc en galones
Costo ($) galn
A B 2 ( E
+4 6 94 4 4
+4 14 6 74 4
4 04 4 14 14
044 +44 144 64 44
1&6 4&76 0&44 1&76 4&06
PROBLEMA 9: orm!lacin
na empresa ue vende fertili/antes" dispone de tres clases de fertili/antes ue los puede usar para me/clarlos ! obtener un producto final ue se a'uste a los reuerimientos de los clientes" la siguiente tabla muestra la composición de los tipos de fertili/antes ue dispone la empresa: Certili/ante H HH HHH
- +itrgeno
- s4oro
- Potasio
Precio
06 14 6
14 6 14
6 14 6
14 7
n cliente reali/a un pedido especial de I144J oneladas" las ue deben tener la siguiente composición: 'ineral +itrgeno s4oro Potasio
- 'nimo
14 7 6
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Cormule un MPL para lograr la me/cla del pedido especial al m%nimo costo&
PROBLEMA 14: Problema de programacin de prod!ccin (cemento)
na industria de cemento desea programar su producción bimestral para el pró*imo a3o suponga ue la demanda prevista para el pró*imo a3o sea dada por la siguiente tabla: *imestre 1 2 3 & 5 %
Cemento (ton) 1206000 1306000 2006000 1806000 806000 1506000
La capacidad de producción de la industria es de 184"444 ton@bimestre& Entre tantos es posible producir 64"444 ton@bimestre adicionales" con un costo adicional de 004 ton@bimestre ue lo normal& Los cementos ue no se pueden vender deben ser almacenados a un costo de 064 ton@bimestre& La capacidad del almac)n es de ;4"444 ton@bimestre& Ba'o esas condiciones cuantas toneladas de cemento en turno normal ! e*tra deben ser producidos de forma ue cubra la demanda ! ue redu/ca los costos de producción ! almac)n" sabiendo ue el costo de producción normal de cemento es previsto por la siguiente tabla: *imestre 1 2 3 & 5 %
$ Ton
764 784 764 74 794 44
PROBLEMA 11: n inversionista tiene dos alternativas de inversión A ! B" disponibles al comien/o de cada uno de los siguientes 6 a3os& 2ada 1"444 invertidos en A al inicio de un a3o retornan 1"644 -una utilidad de 644. despu)s de dos a3os& cada 1"444 invertidos en B comien/o de un a3o" retornan 1"944 tres a3os despu)s& Además de estas dos alternativas e*isten otras dos 2 ! (" las cuales estarán a disposición del inversionista por una #nica ve/& La 2 estará disponible al inicio del primer a3o ! retornara 0"444 cuatro a3os despu)s por cada 1"444 invertidos& La ( estará accesible al inicio del tercer a3o ! retornara 1"844 un a3o despu)s por cada 1"444 invertidos& El inversionista cuenta con 14 millones de dólares al inicio del primer a3o& El desea ma*imi/ar la cantidad de dinero ue puede acumular al final del uinto a3o& (urante estos 6 a3os el es libre de invertir ! de reinvertir todo su dinero entre las alternativas disponibles& Cormular el modelo de programación lineal para este problema&
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PROBLEMA 10: Formulación y solución mediante el método r!"ico
,e tiene una máuina in!ectora de plástico con dos moldes diferentes& (ebido a distintas cantidades de cavidades de moldes ! a los diferentes tiempos de ciclo" con el primer molde se puede producir 144 ca'as de envases para 'ugo en seis $oras& 2on el segundo molde se puede producir 144 de unos envases para coctail mu! elegantes en cinco $oras& ,e uiere traba'ar no más de ;4 $oras de producción semanal& La producción de la semana se almacena en una $abitación con una capacidad efectiva de 16"444 pies c#bicos& na ca'a de envases de 'ugo reuiere 14 pies c#bico de espacio para almacenamiento" mientras ue una ca'a de envases para coctail reuiere 04 pies c#bicos debido a su empaue especial& La contribución marginal es de 6&4 por ca'a de envases para 'ugos ! de 6&64 por ca'a de envases para coctail& La demanda má*ima semanal es de 44 ca'as para envases de 'ugos ! en el caso de los envases para coctail se vende todo lo ue se produ/ca& F2uántas ca'as de diferentes tipos de envases debe producirse cada semana de manera de ma*imi/ar la contribución totalG& Cormular el modelo de PL ue resuelva el problema& Resolver gráficamente el problema& Hnterpretar administrativamente la solución óptima& PROBLEMA 18: La empresa Basa fabricante de productos de plásticos tiene un contrato de importancia con una gran empresa de computadora ue implica la producción de ca'as de plástico para las impresoras portátiles de dic$a empresa& Las ca'as de impresora se producen en dos máuinas de moldeo por in!ección& La máuina M144 tiene una capacidad de producción de 04 ca'as de impresora por $ora ! la M044 tiene una capacidad de producción de +4 ca'as por $ora& Ambas máuinas utili/an la misma materia prima u%mica para producir las ca'as de impresoraK la M144 utili/a +4 libras de materia prima por $ora" ! la M044 utili/a 64 por $ora& La empresa de computadoras le $a pedido a Basa ue produ/ca tantas ca'as durante la semana ue sigue como sea posible" ! le $a dic$o ue le pagará , 1 por cada ca'a ue pueda entregar& ,in embargo la siguiente semana es un periodo normal de vacaciones programadas para la ma!or parte de los empleados de producción de Basa& (urante este tiempo" se efect#a el mantenimiento anual de todo el euipo de la planta& (ebido al tiempo parado para mantenimiento" la M144 dispondrá de 16 $oras ! la M044 de 14 $oras& ,in embargo" en ra/ón al elevado costo de preparación involucrado con ambas máuinas" la administración reuiere ue" si se programa producción en cualuiera de estas máuinas" deben operarse por lo menos durante 6 $oras en con'unto& El proveedor de la materia u%mica utili/ada en el proceso de producción le $a informado a Basa ue tendrá disponible un má*imo 1"444 libras de materia prima para la producción de la siguiente semana& El costo de esta materia prima es de ; dólares por libra& Además del costo de la materia prima" Basa estima ue el costo $orario de operación de la M144 ! de la M044 son de 64 ! 76 dólares la $ora respectivamente& Cormule un modelo de programación lineal ue se pueda utili/ar para ma*imi/ar la contribución a la utilidad
PROBLEMA 1+: PROBLEMA (E H5
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INVESTIGACION DE OPERACIONES
PRO(22HO5 (E ELE2RO(OME,H2O, na planta de producción fabrica refrigeradoras" cocinas ! lavadoras& (urante cada trimestre se dispone de 1444 $oras de producción& na refrigeradora reuiere de 0 $oras" una cocina + $oras ! un lavadora 8 $oras de producción& ,uponga ue un producto ue permane/ca al final de un trimestre -incluido el ultimo." supone un costo de almacenamiento por unidad de 14 para las refrigeradoras" para las cocinas ! ; para las lavadoras& ,e debe mantener un nivel de inventario de al menos de 164 unidades por cada producto& El cuarto trimestre no se producen refrigeradoras& La compa3%a reuiere un plan de fabricación ue no e*ceda la limitación de $oras de fabricación disponible cada trimestre" ue satisfaga la demanda de inventario trimestral ! ue tenga un costo m%nimo por unidades almacenadas al final de cada trimestre& 5ivel de Hnventario : al menos 164 para cada trimestre& Hnventario al Hnicio de cada trimestre es cero& ?oras disponibles : 1 444 cada trimestre Refrigeradora : 0 $oras 2ocina : + $oras Lavadora : 8 $oras 2uarto trimestre no se producen refrigeradoras: 2ostos de inventario: 14 @ refrigeradora @ cocina ; @ lavadora
E:#ED;
1 0 8 +
DE'+D C;C:+
1644 1444 0444 1044
1644 1644 1044 1644
<D;
1644 0444 1644 0644
PROBLEMA 15
na agencia de servicios traba'a 0+ $oras al d%a" su personal traba'a turnos de $oras consecutivas cada d%a& La siguiente tabla muestra las necesidades diarias de personal ?oras del d%a 40D4; 4;D14 14D1+ 1+D1 1D00 00D40
5#mero m%nimo de personal 10 14 7 14 9
2on cuanto de personal como m%nimo se debe traba'ar para cumplir con los reuerimientos diarios&
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Una empresa de inversiones, que mane)a carteras de acciones para diversos clientes. Un cliente nuevo acaba de solicitarle que le mane)e una cartera de U* + -,---. $l cliente desea, como estrategia inicial de inversión, restringir la cartera a una combinación de las tres siguientes acciones:
Blue 2$ip
64
Rendimiento Anual estimado por Acción ;
Best
84
+
+6"444
Regular
86
6
84"444
Acción
Precio por Acción -.
Hnversión Má*ima Posible -. 64"444
,uponiendo ue el cliente desea ma*imi/ar el rendimiento anual total" formule un modelo de programación lineal para el problema de inversión&
Un individuo cuyo negocio es mezclar /his0y, importa 3 grados &, #, y 1. Los combina de acuerdo con recetas que especifican los porcenta)es má2imos y mnimos de los grados &, #, y 1 en la mezcla. $stos porcenta)es se dan en la siguiente tabla: 4ombre de la mezcla
$specificaciones
recio 5 #otella 6+7
4o menos de (-9 de & #lue 8ot
(.4o mas de -9 de 1 4o mas de (-9 de 1
;igh < fli
=.4o menos de '=9 de &
"ld < >ranz
4o menos de =-9
?.=-
/his0y básico
8isponibilidad
1osto 5 #otella 6+7
diaria 5 botella &
---
#
=--
=
1
'--
?
royecte una poltica de producción que ma2imice las ganancias.
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Una empresa metal@rgica produce una aleación de ? metales &, #, 1, y 8. La aleación debe contener al menos: -
&l menos 39 del metal &.
-
4o mas del '=9 del metal #
-
4o mas del '?9 del metal 1
-
$ntre =-9 y =9 del metal 8.
-
La empresa dispone de seis tipos de concentrados minerales, de los cuales los metales se obtienen por refinación. Las impurezas de los concentrados son eliminados antes del procesamiento. Las caractersticas de los concentrados son indicados en la siguiente tabla:
orcenta)e 6 9 7 1oncentrado
1osto 5 Aonelada 6 + 7 &
#
1
8
'
=
'-
'-
==
3
?-
-
-
(-
-
3
-
'-
-
-
'
?
-
'=
=
-
'-
=
-
-
-
(-
(
=
-
(
'
8eterminar las cantidades de los concentrados requeridos para producir, a costo mnimo, una tonelada de aleación.
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