Universidad Politécnica de Puebla Ingeniería en Informática
Ejercicios IO – Programación Lineal Para los siguientes problemas, proponga un modelo de PL, identifique la función objetivo, variables de decisión y restricciones. 1. Fábrica
Un fabricante de dos productos A y B dispone de 6 unidades de material y 28 Horas para su ensamblaje, el modelo A requiere 2 unidades de material y 7 horas de ensamblaje, el mode lo B requiere una unidad de material y 8 horas de ensamblaje, los precios de los productos son $120 y $80 respectivamente. ¿Cuantos productos de cada ca da modelo debe fabricar para maximizar su ingreso?
2. Destilación de crudos
Una compañía de petróleos produce en sus refinerías gasóleo (G), gasolina sin plomo (P) y gasolina súper 97 (S) a partir de 2 tipos de crudos, C1 y C2. Las refinerías están dotadas de dos tipos de tecnologías. La tecnología nueva Tn utiliza en cada sesión de destilación 7 unidades de C1 y 12 w2 C2, para producir 8 unidades de G, 6 de P y 5 de S. con la tecnología antigua Ta, se obtienen en cada destilación 10 unidades de G, 7 de P y 4 de S, con un gasto de 10 unidades de C1 y 8 de C2. Estudios de demanda permiten estimar que para el próximo mes se deben producir al menos 900 unidades de G, 300 de P y entre 800 y 1700 de S. La disponibilidad de crudo C1 es de 1400 unidades y de C2 de 2000 unidades. Los beneficios económicos por unidad producida son Producto G P S Beneficio/u 4 6 7 La compañía desea conocer cómo utilizar ambos procesos de destilación, que se pueden realizar total o parcialmente, y los crudos disponibles para que el e l beneficio sea el máximo. 3. Problema de la dieta
En un centro de nutrición se desea obtener la dieta de costo mínimo con unos determinados requisitos vitamínicos para un grupo de niños que van a asistir a campamentos de verano. El especialista estima que la dieta debe contener entre 26 y 32 unidades de vitamina A, al menos 25 unidades de vitamina B y 30 de C, y a lo más, 14 de vitamina D. La siguiente tabla propone el número de unidades de las distintas vitaminas por unidad de alimento consumido para seis alimentos elegidos, denominados 1, 2, 3, 4, 5, 6, así como su costo por unidad.
Alimentos 1 2 3
A 1 1 0
Vitaminas B 1 2 1
C 0 1 2
D 1 0 0
Costo por unidad 10 14 12
4 5 6
3 2 1
1 1 0
0 2 2
1 0 1
18 20 16
Se desea construir un modelo de programación lineal para conocer la cantidad de cada alimento que hay que preparar que satisfaga los requisitos propuestos con costo mínimo. 4. Producción de gasolinas
Una compañía de petróleos produce tres tipos de gasolinas. Súper, Normal y Euro. Se obtienen por mezcla de tres calidades de crudos (A, B y C) que contienen tres componentes (1, 2 y 3). La participación de estos componentes en la composición de cada crudo es
Componentes Crudos
1
2
3
A
80%
10%
5%
B
45%
30%
20%
C
30%
40%
25%
1
2
3
≥60%
≤25%
≥10%
≤50%
≤40%
≤25%
≤40%
≥35%
≥20%
Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son
Súper Normal Euro
Los costos por barril de crudos A, B y C son 65, 50 y 45 euros, respectivamente. El presupuesto diario de compra es de 5 millones de euros. La disponibilidad diaria de crudos B y C se limita, respectivamente a 3000 y 7000 barriles. Ciertos acuerdos obligan a comprar al menos 2500 barriles de A por día. Las demandas de gasolinas Súper y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios, que deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina Euro. Formular un modelo de programación lineal que dé respuesta al problema planteado por la compañía.
5. Elaboración de jugos
Una empresa de alimentación produce jugos de pera, naranja, limón, tomate y manzana, además de otros dos tipos denominados H y G que son combinados de algunos de los anteriores. La disponibilidad de fruta para el periodo próximo, así como los costos de producción y los precios de venta para los jugos, vienen dados en la tabla
Fruta Naranja (N) Pera (P) Limán (L) Tomate (T) Manzana (M)
Disponibilidad Costo precio venta máxima (kg) (euros / kg) (euros / lt) 32000
0.94
1.29
25000
0.87
1.25
21000
0.73
1.1
18000
0.47
0.88
27000
0.68
0.97
Las especificaciones y precios de venta de los combinados vienen dados en la tabla precio venta combinado Especificación (euros / lt) No más del 50% de M
H
No más del 20% de P
1.0
Al menos el 10% de L 40% de N
G
35% de L
1.2
25% de P
La demanda de los distintos jugos es grande, por lo que se espera vender toda la producción. Por cada kg de fruta, se produce un litro del correspondiente jugo. Determinar los niveles de producción de los siete jugos, de manera que se tenga beneficio máximo en el periodo entrante. 6. Sombreros texanos
Wild West produce dos tipos de sombreros texanos. Un sombreo tipo A requiere dos veces la mano de obra que el tipo B. Si toda la mano de obra disponible se dedica sólo al tipo B, la compañía puede producir un total de 400 sombreros tipo B al día. Los límites de mercado respectivos para los dos tipos son150 y 200 sombreros por día. El ingreso es de $8 por sombrero tipo A y de $5 por sombrero tipo B. La empresa quiere determinar la cantidad de sombreros de cada tipo que maximice el ingreso.
7. Alimentos
Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitamina W, 50 unidades de vitamina X y 49 unidades de vitamina Y. Cada onza del alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X y 7 unidades de vitamina Y; cada onza del alimento B proporciona 10 unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de Y. El alimento A cuesta 5 pesos/kilogramo y el alimento B cuesta 8 pesos/kilogramo. 8. Granjero López El granjero López tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados los márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados abajo, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? ¿Cuál es ésta utilidad máxima? Maiz: Utilidad: $40 por hrs. Trabajo: 2hs por hrs. Trigo: Utilidad: $30 por hrs. Trabajo: 1hs por hrs
9. Artículos electrónicos HiDec produce dos modelos de artículos electrónicos, donde se usan resistores, capacitores y chips. La tabla siguiente es un resumen de los datos en este caso:
Recurso
Resistor Capacitor Chips Utilidad ($)
Requerimientos del recurso por unidad Modelo 1 (unidades) 2 2 0 3
Modelo 2 (unidades) 3 1 4 4
Disponibilidad máxima (unidades) 1200 1000 800
La empresa pretende decidir qué cantidad de cada modelo debe producir para maximizar el beneficio. 10. TV, HiFi y Altavoces Una compañía produce televisores, equipos Hi-Fi y altavoce s utilizando una serie de componentes comunes, tal y como se indica en la tabla siguiente. Estos componentes están disponibles en cantidades limitadas, por lo que se trata de pla ntear el problema de maximización restringida de beneficios sabiendo que la contribución neta de los tres productos es, respectivamente, de 75 €, 50 €, y 35 €. Televisor Hi-Fi Altavoces Disponibilidad 1 2 0 450 Chasis Tubo de imágenes 1 2 0 250 Conos de altavoces 2 1 1 800 Fuente de alimentación 1 1 0 450 Componentes electrónicos 2 0 1 600
11. Chamarras ExpeditionOut fabrica una variedad de ropa especializada para excursionismo, esquí y alpinismo. Han decidido comenzar la producción de dos nuevas chamarras para usarse en frío extremo: la Everest y la Rocky. Su planta manufacturera tiene 120 horas de tiempo de corte y 120 horas de tiempo de costura para producir dos tipos de chamarras. Cada chamarra tipo Everest requiere 30 minutos de corte y 45 minutos de costura; cada modelo de chamarra Rocky requiere 20 minutos de corte y 15 minutos de costura. Es costo de mano de obra y material es de 150 por cada Everest y 50 por cada Rocky. Los precios de venta son de 250 para Everest y 200 para la Rocky. Si la empresa desea maximizar su utilidad: a) ¿Cuántas chamarras de cada modelo debe fabricar ExpeditionOut? b) ¿Cuál es la utilidad máxima que puede obtener la compañia? c) ¿Cuántas horas de producción se programarán en cada departamento?
12. Manoplas para beisbol Nike manufactura dos tipos de manoplas para beisbol: un modelo regular y otro para cátcher. La compañía tiene 100 horas disponibles de tiempo de producción en su departamento de corte y costura. 610 horas disponibles en su departamento de terminado y 280 horas disponibles en departamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo de producción por guante son los siguientes: el modelo regular requiere 1 hora para corte y costura; ½ hora para terminado y 1/8 de h ora para empaque y embarque. El modelo de cátcher requiere 3/2 hora para corte y costura, 1/3 hora para terminado y ¼ de hora para empaque y embarque. La ganancia o utilidad que tiene la empresa por vender cada manopla de modelo regular ese $70, mientras que por vender cada manopla del modelo para cátcher gana $95. Para que la compañía maximice su utilidad: a) ¿Cuántas manoplas de cada modelo debe fabricar Nike? b) ¿Cuál es la utilidad máxima que puede obtener la compañia? c) ¿Cuántas horas de producción se programarán en cada departamento?
13. Escritorios Una compañía fabrica 4 modelos de escritorios, cada escritorio es primero construido en el taller de carpintería y entonces es enviado al departamento de acabados, donde este es barnizado, encerado y pulido, se proporciona a continuación la siguiente información: 1. Los insumos (materia prima y accesorios) están disponibles en cantidades suficientes y todos los escritorios pueden ser vendidos. 2. La compañía desea determinar la mezcla óptima de productos tal que se maximice la ganancia. 3. Las limitaciones de capacidad por departamento para el próximo periodo de planeación son: 6000 hh (horas hombre) en el taller de carpintería y 4000 hh en el de acabados. 4. Las horas hombre requeridas por tipo de escritorio y sus ganancias se dan a continuación
Taller de carpintería (H.H) Depto. de acabados (H.H) Ganancias (en miles)
1 4 1 12
ESCRITORIO 2 3 4 9 7 10 1 3 40 20 18 40
14. Tres productos Una fábrica produce tres productos, tres recursos (servicios técnicos, mano de obra y administración), y son requeridos para producir estos productos. La siguiente ta bla muestra los requerimientos de cada uno de los recursos para los tres productos:
PRODUCTO 1 2 3 HORAS DISPONIBLES
SERVICIOS MANO DE TECNICOS OBRA 1 10 1 4 1 5 100 600
ADMINISTRACION 2 2 6 300
GANANCIA POR UNIDAD 10 6 4
Se desea determinar la mezcla óptima de productos que maximice la ganancia total.
Ejercicios IO/ Programación lineal Para los siguientes problemas de Programación Lineal, a) Hallar la región factible b) Encontrar el/los puntos óptimos a través de la solución gráfica.
1. Maximizar 8x1 + 5x2 Sujeta a: 2x1 + 1x2 <= 1200 3x1 + 4x2 <= 2400 x1 + x2 <= 800 x1 - x2 <= 450 x1, x2 >= 0 2. Maximizar Z= 3x + 2y
Sujeta a:
2x + y 18 2x + 3y 42 3x + y 24 x 0,y 0
3. Minimizar C=6x+8y
Sujeta a: 40x+10y>2400 10x+15y>2100 5x+15y>1500 X, y >0 4. Maximizar 40x+30y Sujeta a 2x+y<800 x+y<480 x>0 , y>0
5. Minimizar 0.60x1 + 0.50x2 Sujeto a 20x1 + 50x2 ≥ 100 25x1 + 25x2 ≥ 100 50x1 + 10x2 ≥ 100 x1, x2 ≥ 0
