Ejercicios de Difracción. 4
1.- Una red de difracción tiene 10 líneas uniformemente distribuidas en 0,0254 [m]. Se
ilumina normalmente con luz amarilla de una una lámpara de sodio. Esta luz está formada por dos líneas muy cercanas entre sí (doblete del sodio) de longitudes longitudes de onda de 589 y 589,59 [nm]. a) ¿Para qué ángulo se formará el máximo de primer orden para la primera primera de estas longitudes? b) ¿Cuál es la separación angular entre los máximos de primer orden orden para esas líneas? c) ¿Cuántas líneas debe tener una red para que esté en el límite de poder separar el doblete del sodio en el tercer orden del espectro? Solución
Datos;
líneas,
.
a)
Condiciones de máximo de interferencia:
b)
De la ecuación anterior:
, como y son variables, derivando, se tiene:
Si las longitudes de o nda están muy cercanas entre sí podemos escribir
, respectivamente. Luego:
y como y
c)
Se sabe que:
Si
y , luego:
.
Por lo tanto, esta red resuelve el doblete del sodio en el tercer orden del espectro. espectro.
2.- Sobre una red de difracción que da un patrón como el de la figura, incide luz de sodio
(
).
a) ¿Cuántas aberturas tiene la red? b) Calcule el ancho del máximo central de difracción, si se sabe que la red está a 50 [cm] de la pantalla que recibe el patrón y que tiene 1 [cm] de ancho. c) Si se cambiara la red por otra de 2 [cm] por lado y 3000
. ¿Cuál es el poder de
resolución para el quinto orden del espectro? d) ¿Cuál es la separación angular entre el primer y segundo máximo de interferencia? e) Calcule el ancho del máximo central de interferencia. Solución
Datos:
a) La red de la figura tiene 5 aberturas, porque:
número de máximos secundarios. De la figura: b)
Condición de mínimo de difracción:
Para ángulos pequeños:
(1)
, luego (1) se puede escribir como:
(2)
Condición de máximo de interferencia:
(3)
Dividiendo (3) por (1), se obtiene:
Como
(4)
; luego:
, sustituyendo en (4), se obtiene: . De la figura:
; introduciendo en (2):
; reemplazando por los valores, se obtiene:
. Como el ancho del máximo central es c)
, su valor es .
Si se cambia la red por otra de densidad
, se tiene:
d)
e) Calcular el máximo central de interferencia significa aplicar las condiciones de mínimo de interferencia para una red de difracción.
; como , luego:
, y el ancho es .
3.- La figura representa un patrón de interferencia-difracción.
a) Diga el número de aberturas que tiene esta red. Explique. b) Si sobre esta red incide luz de 540 [nm] y se sabe que el ancho de la red es de 2 [cm], calcule el ancho del máximo central de difracción que se forma en una pantalla colocada a 80 [cm] de la red. c) Calcule el ancho del máximo central de interferencia. d) Diga cuántos máximos de interferencia se forman. Explique. e) Diga si esta red puede resolver el doblete del sodio ( para el máximo de quinto orden. Explique.
Solución
a)
número de máximos secundarios. De la figura:
.
b) Condición de mínimos de difracción:
(1)
Condiciones de máximos de interferencia:
(2)
)
(3)
Dividiendo (1) por (2):
.
Introduciendo (3) en (1):
,
luego:
. c)
Condiciones de mínimo de interferencia en una red de difracción:
De aquí:
Por lo tanto:
d) Se forman 9 máximos de interferencia: cuatro a cada lado, más el máximo central. Se anulan los órdenes
e)
y por coincidir con un mínimo de difracción.
, el poder separador de la red utilizada es . Luego esta red no resuelve el doblete del sodio para el quinto orden del espectro, ya que
4.- Una red de difracción de 2,5 [cm], que tiene 3150 líneas por centímetro es iluminada con
luz de mercurio. a) ¿Qué dispersión es de esperar en el tercer orden cerca de la línea verde intensa
. b) ¿Cuál es el poder separador que se puede esperar de esta red en el quinto orden?
Solución
, , (para inciso a), (para
Datos:
inciso b). a) Sabemos que:
Luego
y que
y
, por lo tanto:
. b)
De aquí podemos decir que cerca de 546 [nm] se puede distinguir una diferencia de longitudes de onda
dada por:
.
5.- ¿Cuál es la longitud de onda más larga que se puede observar en el espectro de quinto
orden utilizando una red con 4000 rendijas por cm?
Solución
Datos:
Condiciones de máximo de interferencia:
(1)
Pero:
De (1):
.
7.- El telescopio del Monte Palomar posee un diámetro aproximado de 5 [m]. Supóngase una
estrella doble situada a cuatro años luz. En condiciones ideales, ¿cuál debería ser la separación mínima de las dos estrellas del sistema para que sus imágenes puedan ser resueltas utilizando luz de longitud de onda de 550 [nm]?
Solución
Datos:
.
Según el criterio de Rayleigh se tiene:
Si designamos por
a la separación entre las estrellas, se tiene que:
; entonces: , luego: Luego:
.
8.- Los faros de un pequeño coche se encuentran separados por una distancia de 112 [cm].
¿A qué distancia máxima pueden resolverse estos faros si el diámetro de las pupilas es de 5 [mm] y la longitud de onda efectiva de la luz es de 550 [nm]? Solución
Por otro lado:
.
9.- Dos fuentes de 700 [nm] de longitud de onda están separadas por una distancia horizontal
. Están a 5 [m] de una rendija vertical de 0,5 [mm] de ancho. ¿Cuál es el menor valor de que permite que el diafragma de difracción de las fuentes sea resuelta mediante el cr iterio de Rayleigh?
Solución
Datos:
.
.
10.- La estrella Mizar de la Osa mayor es un sistema binario formado por dos estrellas de
magnitudes iguales. La separación angular entre las dos estrellas es de 14 segundos de arco. ¿Cuál es el diámetro mínimo de la pupila que permite la resolución de las dos estrellas utilizando luz de 550 [nm]?
Solución
Datos:
, por lo tanto : Se sabe que:
Luego:
.
