UNIVER SIDAD NAC IONAL DEL CALL AO FACULTA D DE C IENCIAS N ATURA LES Y MATE MÁTICA INSTITUTO DE INVESTIGACI
N
TEXTO: “DIFRACCIÓN DE RAYOS X I: UN ENFOQUE EXPERIMENTAL”
Lic. Carlos Alberto Quiñones Monteverde
(01-09-2009 al 28-02 -2011) (Resolución Rectoral Nº 1015- 09-R del 2 2-09-2009)
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NDICE
Página ÍNDICE
1
RESUMEN
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INTRODUCCI ÓN
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MARCO TEÓRICO
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MATERIALES Y MÉTODOS
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RESULTADOS
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Capítulo 1. EL PROGRAMA 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.
measure
Instalación Funciones Básicas Registro Datos de Visualización,ProcesadoyEvaluacióndelosDatos Laboratorio1.IntroducciónalPrograma measure 4.2 Laboratorio 2. La unidad de Rayos X: Descripción de componentes
10 10 11 13 18 20
Capítulo 2. PROPIEDADES DE LOS RAYOS X I
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9.
Radiación Electromagnética Producción de los rayos X Espectro El Continuo El Espectro Característico Laboratorio3.EspectroCaracterísticodelCobre Laboratorio4.EspectroCaracterísticodelMolibdeno Laboratorio5.EspectroCaracterísticodelFierro Laboratorio 6. Ley de Duane- Hunt Laboratorio 7. Ley de Moseley
24 25 26 27 28 31 34 37 40
Capítulo 3 . PROPIEDADES DE LOS RAYOS X II
3.1. Absorción 3.2. Filtros 3.3. Detección los de rayos X 3.3.1 LasPantallasfluorescentes 3.3.2 La película fotográfica 3.3.3 Los aparatosdeionización 3.4. Precauciones de seguridad 3.5. Laboratorio8.AbsorciónderayosX
43 45 46 46 46 46 47 49
Capítulo 4. GEOMETR A DE LOS CRISTALES I
4.1. Redes
53 1
4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8.
Sistemas Cristalinos Celdasprimitivasynoprimitivas Direcciones planos y de la red Estructura Cristalina Tamañodelosátomosycoordinación Laboratorio 9. Introducción al Programa Carine Crystallography 3.1 Laboratorio 10.Celda Unitaria yPlanosCristalográficos
53 55 55 57 58 59 61
Capítulo 5. GE OMETRÍA DE LOS CRISTALES II
5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.
Proyección Esférica Proyección Gnomónica Proyección Estereográfica Propiedades delaproyecciónestereográfica Construccióndeproyeccionesestándardeuncristal Laboratorio 11. Cálculos Cristalográficos y Proyección Estereográfica
65 65 67 68 68 70
Capítulo 6 . DIRECCI ÓN DE LOS HACES DIFRACTADOS
6.1. Difracción rayos deX 6.2. Bragg deLey 6.3. Espectroscopia de rayos X 6.4. Direcciones de Difracción 6.5. Métodos Difracción de 6.6. Método Laue de 6.6.1.Método de Transmisión 6.6.2.MétododeRetroreflexión 6.6.3.Portamuestras 6.6.4. Colimadores 6.6.5.Formas de las manchas 6.7. Método de Debye-Scherrer 6.7.1.Preparacióndelamuestra 6.7.2.Cargado de la película 6.7.3.Cámarasdealtaybajastemperaturas 6.8. Fotografías Pinhole 6.9. Elección radiación de la 6.10. Laboratorio12.MétododeLaue 6.11. Laboratorio13.MétododeDebye-Scherrer
76 76 76 77 77 77 78 78 79 79 80 81 82 83 83 84 84 86 89
Capítulo 7 . INTENSIDAD DE LOS HACES DIFRACTADOS
7.1. Dispersión por un electrón 7.2. Dispersión por un átomo 7.3. Dispersiónporunaceldaunitaria 7.4. Algunas relaciones útiles 7.5. Cálculosdelfactordeestructura al Método del Polvo 7.6. Aplicación 7.7. Factor de Multiplicidad 7.8. Factor Lorentz de 7.9. Factor Absorción de 7.10. Factor de Temperatura
92 93 94 94 95 96 96 97 98 98 2
7.11.I ntensidadesdelaslíneasenlospatronesdepolvo 7.12. MedidadelaintensidaddelosrayosX 7.13.L aboratorio14.DispersiónComptondelosrayosX 7.14. Laboratorio 15. Intensidad de los rayos Xcaracterísti os
98 98 99 103
DISCUSI N
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REFERENCIALES
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APÉNDICE
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Tabla N° 1.- Constantes Fí sicas Tabla N° 2.- Filtros para la supresión de radiación K β Tabla N° 3.- Ecuaciones para determinar la d istancia entre planos Cuadro N° 1.- Cargado de la película Cuadro N° 2.- Reve lado de la película Sílabo de la asignaturaDifracción de rayos X I .
111
ANEXOS
111 112 113 114 115 120
Tabla Nº 1.- Longitudes de onda de algunas lí neas características de e misión y bordes absorción. de 121 TablaNº2.- Coeficientesdeabsorciónmásico 123 TablaNº3.-Á ngulosinterplanaresencristalescúbicos 125 Tabla N° 4.- NúmerosyPesosAtómicosinternacionales 126 Tabla Nº 5.- Conjunto de coci entes d 12 para e l inde xado de c ristales isométricos. 127
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RESUMEN
Se ha elaborado un texto de naturaleza práctica, redactado en lenguaje simple, que presenta de f orma sistemática y concreta los fundamentos y los métodos experimentales de la
Difracción de los rayos X en una primera parte; lo que le permitirá ser usado en forma complementaria con ot ros textos para el dictado de la asig natura Difracción de rayos X I que forma parte de los currículos de estudios de las diversas carreras de ciencias del país y en especial de la Escu ela Profesional de Físi ca de la Facultad de C iencias Naturales y Matemática de nuestra Universi dad. Específicamente, el texto “DIFRACCI N DE RAYOS X I: UN ENFOQUE EXPERIMENTAL” presenta en forma clar a y detallada los fundamentos, conf iguración, procedimientos y ejecución de doce (12) experimentos usando la unidad de rayos X de la marca PHYWE y, asimism o, el diseño y la simul ación de otros tres (3) usando el so ftware Carine Crystallography 3.1 para una mejor comprensión de l curso Difracción de rayos X I.
Además, prepara al estudiante para que emprenda con éxito el trabajo experimental de otras asignaturas relacionadas a ésta , a nivel de pre y post- grado. Los aspectos teóricos de l texto se han elaborado en base a los textos mencionados en los referenc iales y la parte experimental se ha desarrollado e n base a la trad ción y adaptación del Manual de Experimentos de PHYWE y los tutoriales de los programas Measure 4.2 y Carine Crystallography 3.1. Se han definido experiencias estructuradas sistemáticamente
a
ser desarrolladas en el tiemp o destinado a la sesi ón de tra ajo, que c ontienen un proce dimiento bien explicado que orienta al estudiante en la ejecución de las mismas y exhiben un cuestionar io de preguntas para fij ar, ampliar o complemen tar los conceptos tratados . El resultado muestra que , en contrast e con los textos ela borados por otros autores, el texto “DIFR ACCIÓN DE RAYOS X I: UN ENFOQU E EXPERIM ENTAL” hace más dinámico y fácil el proceso de enseñanza- aprendizaje del aspecto experimental de
la
asignatura Difracción de rayos X I . 4
INTRODUCCI N
La difracción de los rayos X es una potente herramienta para la investigación de la estructura fina de la materia. Esta técnica tuvo sus inicios con el descubrimiento de von Laue en 1912 quien demostró que los cristales difracta ban los rayos X y que la forma de la difracción revela ba la estructura del cr istal. Inicialmen te, la d ifracción de los rayos X se usó en la determinación de estructuras cristalinas, posteriormente fueron desarrollados otros usos y hoy en día este método es aplicado, no solame nte para la determinación
estructuras, sino
también en el análi sis químico, la medida de esfuerzos el estudio de l equilibrio de fa ses, la medida del tamaño de las partículas y la determinación de la orientación de l cristal, entre otras muchas aplicaciones. Deb ido a las d iversas ap licaciones de la difracción de los rayos X , muchos textos se han escrito sobre est e tema; sus autores explican, con extensión muy diversa, sus fundamentos y leyes que la rigen, sus métodos experimentales y s us principales apl icaciones. Debido a la extensión en la exposición de los conceptos, la inserc ón de tablas, gráficos y fotografías
, los
autores de estos textos no presentan en detalle el desarrollo de experimen tos ue se podrían realizar con los diversos apara tos de difracción de rayos X que han si
diseñados y fabricados,
con la finalidad de conocer sus aspectos característicos, verificar las leyes que rigen la difracción de los rayos X , experimentar sus mé todos de aná lisis y aplicación . En la Escuela Profesional de Física de nuestra universidad, omo ocurre en otras Escuelas de Ciencias e Ingenierías química, mineralógica y metalúrgi ca de otras instituciones de educación superior, se dicta la asignatura Difracción de rayos X I como parte de la formación profesional de aquellos estudi antes que están interesados en las áreas de la Física de la materia co ndensada o en las ciencias de los materia es. En ella se describen l as propiedades de los rayos X, la geometría de los cristales y las le
y métodos de análisis relacionados con la
difracción de los rayos X para el estudio de las sustancias cristalinas. 5
Como es fácil de entender, la comprensión de estos temas se refuerzan en los estudiantes mediante el trabajo experimental, que les posibilita, asimismo, a usar diversos instrumentos y equipos de laboratorio, desarrollar sus habilidades, sus destrezas, su análisis crítico y su capacidad del trabajo en equipo. Por lo tanto,
ejecutar experimentos específicos
relacionadas a los fundamentos, leyes y métodos experimentales de la difracción de los rayos X, permitirá a los estudiantes de Física , interesados en e l estudio de la materia condensada o en las ciencias de l os materiales, y de ingenierías química, mineralógica y metalúrgica un mejor entendimiento de la asignatura Difracción de rayos X I . En e ste sentido, e l problema de la investigación consis ió e n elaborar un texto de naturaleza práctic a, presentado de forma sistemática y concreta, que p ermita la comprensión de los fundamentos, leyes y métodos de la difracción de los rayos X a partir de la ejecución de experimentos y que pueda ser usado en forma complementaria con otros textos ya editados para el dictado de esta asignatura. Los principales objetivos planteados para la investiga
consideran presentar en
forma detallada, clara y precisa las pautas para la ejecución de experimentos relacion ados a los fundamentos, leyes y principales métodos experimentales de la difracción de los rayos X, e iniciar a los e studiantes en e l método científico de co mprobación de hipótesis q ue les permitan desarrollar sus habili dades experimentales y ana líticas . La importancia del presente trabajo radica en e l hecho que el texto: “DIFRACCIÓN DE RAYOS X I: UN ENFOQUE EXPERIMENTAL” constituye un instrumento para facilitar el proceso de enseñan za-aprendizaje, de acuerdo con los objetivos y contenidos del programa oficial de una asignatura de es te tipo .
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MARCO T E RIC O
En la asignatura Difracción de rayos X I se describen las propiedades de los rayos X, la geometría de los cristales y las leyes y métodos de análisis relacionados c n la difracción de los rayos X para su posterior aplicación en el estudio de las sustancias cristalinas.
Muchos autores, Buerger (1952), Klug y Alexander (197 4), Peiser, Rooksby y Wilson (1960), Jeffery (19 71), Hammond (1997) , Warren (1990), Dinnebier y Billinge (2008) entre otros, han escrito textos rel acionados a es ta asignatura, generalmente dirigidosa es tudiantes de
ciencias y metalurgia , en los que la exposición de los conceptos, métodos y aplicaciones son demasiado extensos lo que limita la presentación de problemas resueltos y prácticas experimentales . Otros, Azaroff (1968), Cullity (197 8), Bloss (1971), Woolfson (1997), presentan una teoría moderada que acompañan con algunos ejemplos y presentan al final de cada capítulo una lista de problemas propuestos . Muy pocos, Barret (1967), Clark (1955), Azaroff y Buerger ( 1958), Henry, Lipson y Wooster (1961), orientan sus textos a aplicaciones específicas de los rayos X . Sólo Azároff y Donahue (1969) han enfocado en su obra el estudio de la difracción de los rayos X desde el punto de vista del experimento de laboratorio, en un texto escrito en idioma inglés, donde se presentan exp imentos haciendo uso de cámaras de difracción y un difractómetro convencional de rayos X de geome tría θ - 2 θ. En la actualidad, los difractómetros de rayos X han ev
ionado y su operación, el
registro y el a nálisis de los da tos se realizan po r medio de software, lo cua l está indicado en sus respectivos manuales de operación y no en textos, como trata Hermbecker (2005) para el equipo de rayos X de PHYWE. Asimismo, éstos no contemplan el uso, explicación y aplicación de los diversos programas informáticos especializados que existen para simular la creación de estructuras cristalinas y la e jecución de diversas situaciones experimentales .
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MATERIALES Y M ÉTODOS
El texto “DIFRACCIÓN DE RAYOS X I: UN ENFOQUE EXPERIMENTAL” se ha desarrollado considerado el ordenamiento clásico de los temas tal como los proponen muchos de los autores que se citan en los referenciales,
Cullity (197 8), Azaroff (196 8), Klug y
Alexander (197 4), Peiser, Rooksby y Wilson (196 0), Warren (1990), Dinnebier y Billinge
(2008), entre otros. Los aspectos teóricos del texto se han elaborado en base a los textos men cionados en los r eferenciales y la parte e xperimental se ha desarrollado en base a la traducción y adaptación del manual de experimentos de PHYWE, Hermbecker (2005), y los tutoriales de los programas Measure 4.2 y Carine Crystallogra phy 3.1. Se han def in do experiencias estructuradas sistemáticamente para ser desarroll adas en el tiempo d tinado a la sesión de trabajo, que contienen un procedimiento bien explicado que orienta
estudiante en la ejecución de las
mismas y exhiben un cuestionario de preguntas para fijar, ampliar o complementar los conceptos tratados. Toda la información ha sido procesada en un computador
sonal usando el software
Microsoft Word for Windows 2003, en concordancia con las directivas vigentes, mediant el cual se han escrito todos los textos, editado todo el formulismo matemático y elaborado los esquemas y d ibujos relacionados a los diversos temas y experimentos desarrollados. El método emplead o es el inductivo-deductivo que permite desarrollar la Física en forma concreta y or den ada. Este método ha ce posible mostrar el desarrollo del formulismo que describe cada uno de los conceptos, así como también, el análisis deosl datos y resultados que se obtienen en las sesiones e xperimentales .
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RESULTADOS
El resultado del presente trabajo de investigación es el texto: “DIFRACCIÓN DE RAYOS X I: UN ENFOQUE EXPERIMENTAL”, cuyo contenido se expone en siete capítulos, distribuidos en el orden señalado en el índice y que se presenta en las páginas siguientes. En cada ca pítulo se exponen de mane ra clara, directa y conc isa, a manera de re paso, los principales conceptos, leyes y fórmulas asociados a los temas tratados , a fin de que el estudiante pueda tener una buena r eferencia para co mpr nder la conf iguración, e l procedimiento y la ejecución de los experimentos que se presentan y, asimi smo, dar solución a las preguntas que se plantean e n los cuestionari os . Por otro lado, se han incluido un total de 81 (ochentiuno) figuras en el texto con el fin de facilitar la comprensión de los temas expuestos o ilustrar, cuando fue necesari o, el montaje
de los 15 (quince) experimentos q ue fueron diseñados. El uso del texto: “DIFRACCIÓN DE RAYOS X I: UN ENFOQUE EXPERIMENTAL”, permite unificar los conceptos teóricos con el trabajo experimental y favorece el proceso enseñanza -aprendizaje de la asignatura Difracción de Rayos X I, de acuerdo a la propuesta silábica para su dictado. Ademá
permite afianzar en el estudiante los
conceptos relacionados con las propiedades de los rayos X, la geometría de los cristales y l os principales métodos de análisis mediante la difracción de los rayos X para su posterior uso en e l estudio de las sustancias cristalinas.
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CAPÍTULO 1 EL PROGRAMA
measure
amente operable y disponible para una amplia gama de instrumentos de medición PHYWE, entre los que se incluyen todos los instrumentos portátil es, mód ulos y sensores . measure es un programa info rmático d e medida de gran a lcance, intuitiv
E l programa ofrece un aspecto uniforme para procesar y visualizar los datos de una medición, y permite trabajar de manera rápida, confiabl e y simple co n instrumentos de medida que difieren grandemente. El aprendizaje rápido de cómo trabajar y operar el programa co n un instrumento de med ida determinado , permitirá aplicarlo directamente al traba jo con otros instrumentos. 1.1. INSTALACI N measure e stá equipado
con su propio programa de instalación. Para instalarlo, se introduce el CD-ROM srcinal de instalación en la unidad lectora de la computadora. Generalmente , el programa de instalación se inicia automáticamente, si no lo hace , se abre el Explorador de Windows , se selecciona el drive del CD, y se h ace doble click en start.exe. Luego, se siguen las instrucciones que aparecen en el monitor. El programa measure se puede obtener gratuitamente en la versión 4. 6.4 para el entorno de Windows en la dirección siguiente: http://www.phywe.com/490n381/Services/Downloads/ . 1.2. F UN CIONE S B SICA S
En las siguientes secciones, se explican las funciones básicas del programa measure , para familiarizarnos con la forma de cómo se puede registrar, exhibir, evaluar y almacenar una medida. El programa measure ofrece una variedad de funciones y posibilidades y, por lo tanto, no se puede pretender entender todo al mínimo detalle en el primer intento. Estas instrucciones dan una primera descripción de las funciones del programa ómo pueden utilizar se. De acuerdo con este conocimiento, se pueden descubrir y utilizar funciones del programa no mencionados en este texto . La ayuda en línea, y naturalmente e l m enú Ayuda en la barra de menús del programa, están disponibles para la asistencia. La ayuda en línea proporciona no sólo información específica en relación al contexto sobre cierta función del pro grama, s ino también los comentarios ge neral es sobre la función del programa . Se alcanza la ayuda en línea cuando : • •
se selecciona de la barra de menús Ayuda/Man ual (también vía Shift+F1). dentro de los diálogos, se presiona la tecla F1, o una tecla de ay uda cuando está disponible.
Como estas breves instrucciones son simplemente una introducción al tra ajo con measure, la ayuda en línea es una herramienta imprescindible, para contestar las preguntas que se presentan, así como para explicar funciones y ajustes pecíficos del programa .
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1.3. REGISTRO DE DATOS
Para recopilar datos con el programa measure se debe tener el instrumento de med ición apropiado conectado a la interfaz RS232 de la computadora que se controla con el programa y luego se enciende. Si se tienen varios instrumentos de medición instalados en el programa, entonces se debe seleccionar el desea doa través del menú Sensorantes de comenzar el registr o de los datos. A este instrumento después se le da un vi sto en el menú y ser á a partir de ese momento e l instrumento efectivo de medición . Después de seleccionar el instrumento de medición, se selecciona del menú Archivo/Nueva medida o se presiona el botón de registro rojo en el panel de bo tones. Se ingresa a un cuadro de diálogo en el cual se pueden fijar todos los parámetros para la medida que se va a hacer. Este cuadro de diálogo está diseñado de manera diferente pa ra cada instrumento de medición, de acuerdo a las posibilidades q ue ofrece el instrumento de medición y a la cantidad de funciones que requiere n ser medidas . Está claro por lo tanto, que en esta sección no se puede cubrir todos los diversos ajustes para todos los instrumentos de medición disponibles, sino que se puede dar solamente u na visión general de las funciones y de los grupos de funciones posibles. La información exacta sobre un instrumento de medición y sus ajustes posibles y los parámetros para una medida se proporcionan en los Manuales Experimentales PHYWE, que explican con detalle los ajustes requeridos para un experimento específico. Aquí se discutirán algunos ajustes estándar que sonsoportados por el aparato de rayos X y se utilizará la ventana de sus parámetros de medida c omo ejemplo, ver Figura 1 .1.
Figura 1.1. - Ventana de los parámetros de medida del aparato de rayos X
.
Se puede seleccionar tipo de medición sede Compton registrar:. En measure , éstos Curva Espectros de quiere , Conteo deque y Experimento se llaman transmisión impulsos canales de medida. Más adelante, en el programa principa l, se pueden tener canales de medida trazados versus el registro de datos X , por ejemplo, Ángulo del cristal. Un canal de medida es una serie de datos para una cantidad de medición def inida. En nuestro ejemplo, se puede 11
seleccionar Curva de transmisión o Conteo de impulsos. Los canales marcados luego serán registrados durante la medida siguiente, de modo que los datos medidos est arán a nuestra disposición para el procesa miento subsiguiente . Para todos los instrumentos de medición se puede seleccionar el d isplay, digital o ana lógico, y la gráfi ca que van a ser mostrados durante la medición . Se debe seleccion ar el display de los instrume ntos que se desean ut ilizar para seguir e l curso de la medición . Se debe t omar en consideración que los canales de medi da mostrados por el display de los instrumentos no son registrados automáticamente, ni están disponibles para un uso posterior. Como se indicó previamente, solamente aquellos canales seleccionados en la lista de selección de canales serán registrados. En muchos instrumentos de medición se pueden predeterminar si los datos van a ser registrados automáticamente en los intervalos de tiempo fijados o cada vez que un botón se presione . Esto se selecciona en el panel Conseguir valores . De esta manera se determina ba jo qué condiciones debería comenzar y terminar el registro de los datos, así como también , una condición para un canal. De acuerdo a las condiciones experimentales, el uso de un botón disparador p odría ser muy útil. Todos los instrumentos de medición tienen un panel de selección , en l a Memoria de destino que se puede seleccionar el número máximo de valores que measure debería estar preparado para medir. Se puede fijar rutinariamente esto a un número muy alto, para siempre tener suficiente espaci o de almace namiento reservado para la medida entrante. Como measure puede procesar un máximo de 1 millón de valores medidos, tiene suficiente espacio de almacena miento incluso para medidas de largo plazo. En todo caso, cuando la medición ha terminado, measure só lo ha usado tanto almacenamiento como rea lmen te ha sido requerido por los datos medidos. El propósito de esta opción es que se pueda seleccionar un número inferior para equipos de cómputo con poco espacio de almacena miento, en los que el registro de datos con measure podría ser imposible. Luego, si se recib e un mensaje de error del programa se debe seleccionar aquí un número más bajo.
En muchos casos, se presenta un botón para la calibración de un instrumento de medición y de los sensores de l instrumento de med ición. Esto da la oportunidad de aumentar considerablemente la exactitud de la medida y reducir al mínimo las tolerancias. Si no se acepta la calibración, el programa realizará una calibración interna estándar, pero a pesar de esto no se puede estar seguro de conseguir los mejores resultados posibles con el instrumento de medición. Por lo tanto se recomienda aprovech ar siempre la calibración cuando es ofrecida por el software. También es necesaria una nueva calibración cuando se cambian los instrumentos de medición. Cuando se han hecho todos los ajustes, se puede alcanzar el área de registro de datos presionando el botón Continuar . Aquí se encontrarán otra vez los display de los instrumentos que han sido seleccionados, así como una ventana con el nombre midiendo. Se puede n ca mbiar de lugar los display de los instrumentos en la pantalla del monitor, cambiar su tamaño y colocarlos donde se desea.
Ahora se puede comenzar e l registro de los datos presionando el botón iniciar medida, siempre que se haya instalado previamente un registro automático de datos tipo intervalo. No es necesario presion ar este botón cuando se ha seleccionado una condición diferente del bot ón de 12
encendido para el inicio de la medición. En este caso, el registro de los datos se inicia automáticamente cuando se encuentran las condiciones dadas. Si se seleccionó previamentela opción Conseguir valores , se puede ah ora registrar cada valor individual re querido presionando apropiadamente el botón Guardar valor . Cuando se ha ingresado una condición para el botón de finalización del registro de datos, entonces éste se para automáticamente cuando se alcanza la condición; de otra forma, se puede parar la medida presionando el botón Finalizar medida . Se pasa ahora al pro grama principal en el cual se encuentran las medidas que se acaban de registrar visualiz ada s en un gráfico.
1.4 . VISUALIZ ACI N, PROCES ADO Y EVA LUACI N DE LOS DATOS Después de que una medida hay a sido obtenida, los datos que han sido registra dos se visualizan e n un gráfico . Este gráfico se presenta en un a sub-ventana. Se puede n mostrar tantos gráficos simultáneamente co mo se desea, y cambiar su tama ño y posición. En esta sección, se debe aprender cómo almacenar los datos permanentemente en un disco flexible o duro. Simplemente se s eleccional aopción Archivo/Guardar medida,olaopción Archivo/Guardar medida como c uando se desea cambiar el nombre del archivo antes de almacenarlo. Alternativamente, se hace click con el mouse en el icono diskette en la parte superior del panel.
- Pantalla principal del Programa measure. Figu ra 1.2.
El programa measure ofrece una serie de opciones de menús y botones de acceso directo , como se observa en la pantalla principal del programa que se muestra en la Figura 1.2. U tilizaremos los botones de acceso directo , situados cerca del borde superior de la panta lla y agrupados según sus funciones , para comentar más re specto a algunas funcion es del programa. 13
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El registro de valores de medición se inicia presionan o el botón Medida, al que también se puede acceder desde el men ú Archivo. A continuación aparece la ventana de diálogo para el dispositivo de medición instalado. En esta ventana se puede ingresar los parámetros que controlan el inicio, el desarrollo y el final de la medición, así como los displays que se rán mostrados durante la medición. Con el botón Abrir medida, al que también se puede acceder desde el menú Archivo, se puede abrir mediciones ya guardadas en la computadora. Los f icheros tienen la extensión .msr. Al cargar una medición previamente guardada, los valores de ésta se presentan en e gráfica y de tabla, y todas las herramientas evaluac ión de measure sedeactivan. formaeldbo Con tón Guardar se graba la medida activa en elde medio de almacenamiento datos escogido. Durante el trabajo con measure es aconsejable de tiempo en tiempo guardar la medida para evitar una pérdida de datos en el caso que la computadora se “cuelgue” o se presente una ca ída de tensión. Al presionar el botónImprimir se abre una ventana de diálogo en la cual se puede es r algunas configuraciones para imprimir una medición. Se puede imprimir el gráfico o la tabla con los valores de medición. Si se quiere imprimir el gráfico en toda una hoja de formato A4, se debe seleccionar Ajustar al tamaño del papel bajo Opciones. Si se elige imprimir la tabla con los va lores de medición, se debe seleccionar el cana l a imprimir. Los valores medidos pueden ser vistos en la respectiva tabla de datos, a la que se accede haciendo clic en este botón Tabla o a través del menú Archiv.o La primera columna contiene los datos X, las siguientes columnas contienen los valores de los canales ara cambiar un valor hacer clic con el mouse sobre éste y ego cámbielo. La ventana de diálogo Opciones de representación , a la que también se puede acceder desde el menú Medida , permite ingresar información adicional de la medición, cambiar la magnitud, unidades y nombres de ca da canal. La ventana está dividi da e n 3 registros: General y comentarios dispositivo de medición:
permite ingresar y cambiar el título, el autor y el nombre del utilizado. permite ingresar un título, la magnitud y las unidades. Ademá se puede ingre sar las posiciones decimales que se deben mostrar en el programa. Canales : permite ingresar un título, la magnitud, las unidades y el número de posiciones decimales para cada canal (valores Y). Este botón permite acceder al Contenido del menú Ayuda del measure , el que contiene además las opciones: Manu al, Novedades y Acerca de measure. Al hace r clic sobre el botón Manual aparece una introducción corta en formato PDF sobre e l uso de measure . Con es tos botones se desplaza el e je de coordenadas del gráf ico en la d irección mostrada por la flecha de cada botón. También se puede hacer esto en forma manual ingresando a Opciones de representación y definir los va lores que deben ser mos trados en los ejes X e Y. Los ejes también se pueden desplazar colocando el mouse a lo largo de uno de los ejes y desplazarlo a lo largo del e je co n el botón izquierdo presionado. Al pre sionar el botón Ajustar la curva, tanto el eje X como los dos ejes Y se escalan de tal manera que la curva completa entre en el gráfico, logrando así una vista general de la medición. Los dos ejes Y por lo general se escalan de rma distinta. La fijación de un eje Valores X :
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Ajuste del eje Y. Y al otro puede ser for del zadaeje usaYndo la her ramienta Con la función Ajuste se puede escoger entre cuatro opciones: de a cuerdo al eje Y actual , individualmente , conjuntamente , simétricamente respecto a la línea c y 10 manualmente entre estos valores . Esta función permite un escalado de los ejes sin tener que hacer modificaciones manuales con la herrami enta Opciones de representación .
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El botón cursor permite mostrar en un gráfico las coordenadas (X, Y1, Y2) de cualquier punto sobre el cual se coloque el mou se. La coordenada X es dada por la intersección de la vertical trazada desde la punta de la flecha del cu sor al eje X. La intersección de la vertical trazada desde la punta de la flecha del curso con la c urva da las coordenadas Y1 e Y2. Colocar la flecha del cursor sobre el punto del gráfico del cual quiere saber las coordenadas. Presion ar el botón izquierdo del mouse para mostrar las coordenadas. Al presionar el botón derecho del mouse se muestra las opciones de representación . El botón Zoom permite agrandar una región de un gráfico para examinarla de forma más exacta. Se debe formar un rectángulo, el cual definirá los nuevos márgenes del gráfico. Para hacer lo, colocar el cursor con la lupa en el vértice superior izquierdo del rectángulo que se quiere agrandar, presion ar el botón izquierdo del mouse y moverlo hacia la derecha y abajo formando el rectángulo que se convertirá en el marco del diagrama. Al soltar el botón izquierdo del mouse se agranda automát mente la región seleccionada con el rectángul o. Se puede realizar un zoom manual en opciones de representación ingre sando valores para los segmentos del ej e X y del je Y que deben ser mostrado s. Para poder ejecutar muchas de las funciones y herramientas de evaluación es necesario primero seleccionar una región de la curva. Esto se logra presionando el botón Seleccionar . Para se leccionar una región, coloque e l cursor con la cruz den tro del gráfico, presione el botón izquierdo del mouse y manténgalo presionado mientras mueve el mouse hacia la derecha. La región termina en el lugar donde se suelta el botón izquie do del mouse. Si ahora se quiere utilizar alguna de las funci o herramientas de evaluación, estas sólo tendrán efecto sobre la región seleccionada. Si no se ha seleccionado ninguna región, la función o herramienta de evaluación se ejecutará sobre la medición completa. Para anular una selección, simplemen te hacer clic con botón izquierdo del mouse en cualquier punto del diagrama. El botón Leyenda permite acceder a una v entana de diálogo en el que se puede insertar en un gráfico una leyenda que contenga textos, símbol os y líneas. Esta función permite la medición de distancias dentro un gráfico. Después de presionar el botón Examinar aparece en el diagrama un rectángulo con pequeñ os círculos en dos vértices y e n la parte superior derecha u na ven ana amar illa con información sobre las coordenadas de los c írculos. El tamaño y la po sición del rectángul o se pueden cambiar haciendo clic con el mou se sobre los círculos y des plazándolos. Si en la ven tana amarilla no se llegara a ver la información completa (X1, X2, ? X, Y1, Y2 y ? Y), realice el siguiente c ambio en las configurac iones de su computad ra: vaya a , , , , , y escoja “ letra peque ña”. Esta función permite realizar una regresión lineal. Al presionar el botón Regresión linea l aparece en el gráfico una rec ta (y1) que pasa por dos cuadrados que se pueden mover con el mouse. Se coloca el cursor sobre uno de los cuadrados y se pres iona e l botón izquierdo del mouse mientras se mueve hacia la derecha o la izquierda y luego se suelta el botón izquierdo del mouse. De esta forma se puede escoger visualmente el intervalo de la regresión y observar el ajuste de la recta. La ecuación de la recta se puede ver en la ventana amarilla, que también p uede ser desplazada con el mouse para que n o obstruya el área de trabajo. Al presionar el botón derecho del mo use dentro del diagrama aparece una opción que permite dibujar una segunda recta de regres ón lineal (y2), con la cual se puede traba jar de la forma ya descrita. En la ventana amarilla mostra rá adicionalmente la ecuación de la segunda recta y el punt o de intersección de las dos rectas. Este botón Cobra4 permite acceder a un programa que controla un sistema medición versátil con el que se pueden rea lizar e xperimentos en los campos de la f ísica, la química y la biología usando e sta línea d e sensores. 15
18 1 9
20
2122 23
24 25
26 27 28 29
30
31
La función Análisis de picos ofrece la posibilidad de definir picos y sus respectiv áreas. Para calcular el área se deben definir los puntos de entrada y salida, a partir de la línea de base, y e l punto máximo del pico. Para de terminar el canal Y, se debe seleccionar el eje Y cuyos valores deben ser usados par a el análisis. Tambi n se puede ingresar la tolerancia 18 de error con la cual se debe reconocer si un pico es reconocido como tal o no. Con una tolerancia de error alta se muestran menos picos y de forma sólo se analizan los picos más pr onunciados y s ignificat ivos; c on una tolerancia de error baja se muestran todos los picos, aún cuando estos solo hayan sido generador por ". Conintersecciones se una pueden analizar los extremos y mínimos y Y la función Análisis las con eldeejecurva X de curva. Primero e debe máximos decidir cuál es el eje cuyos valores deben ser usados para este análisis. Luego se puede escoger si se quiere 19 calcular extremo s o intersecciones con el eje X. Ya qu una medición sólo re sulta aproximadamente en una curva ideal matemática, es imposible evitar la aparición de fluctuaciones mínimas deb ido a l ruido . La función Mostrar promedio muestra el valor numérico del promedio de una región 20 seleccionada. Si no se ha seleccionado ninguna región, se muestra valor promedio del canal escogido completo. Lafunción Mostrar pendientemuestra el valor numérico de la pendiente de una regió selecciona da. Si no se ha seleccionado ninguna región, se muestra pendiente del canal 21 escogido completo. La pendiente mostrada es la de la recta generada por una regresión lineal sobre los valores de la región seleccionada. Se tiene la misma pendiente al usar la herramienta Regresión lineal para ajustar una recta a los valores selecc ionados. La función Mostrar integral muestra el valor numérico de la integral de una región seleccionada. Si no se ha seleccionado ninguna región, se muestra integral del canal escogido completo. Se calcula el área entre el eje X y la curva. Este cálculo se puede 22 hacer hasta dos muestra curvas mostradas misma i en el gráfico mue strandeldos curvas, estapara función el área de alala curva del vez. eje izquierdo, el área se de la curva eje derecho y la diferencia entre ambas área s. La función Mostrar extremos muestra los extremos mínimo y máximo de una región 23 seleccionada. Si no se ha s eleccionado ninguna región, se muestra los ex tremos de l canal escogido co mpleto. La herramienta Modificación de canal permite modificar matemática mente los valores medidos. Con esta función se puede, por ejemplo, modificar un canal Y con incremento 24 exponencial a un canal logar ítmico, y con la pendiente de la recta resultante determinar el exponente de la función e. Con la función Transformada de Fourier se puede realizar tanto un análisis de Fourier como una síntesis de se ñal. Bajo Análisis se puede esco ger el canal que debe ser analizado y si se debe eventualmente realizar una compensación (Offset). La frecuencia más alta en el espectro calculado es siempre la mitad la frecuencia de muestreo registrada. Adicionalmente al espectro se puede calcular el ángulo de fa se, cuyo resultado 25 indica en que relación de fase se encuentran unas con ras las partes de la frec uencia visibles en e l espectro. El rango de este valor se encuentra entre 0 y 2. Si un espectro o u n diagrama de ángulo de una faseseñal son de mostrados en la ventana activa, elcon Síntesis se puede conseguir nuevamente tiempo. Bajo Espectroescoja canal que contiene el espectro, bajo Ángulo de fase , el canal que contiene el ángulo de fase. Este botón permite acceder a la ventana Ajuste de función, para ajustar la curva a una 26 función determinada y calcular sus pará metros. 16
La herramienta Calcular promedio permite calcular el promedio de una región 27 seleccionada y representarla gráficamente. Si no se ha seleccionado ninguna región, se muestra el promedio del canal escogido completo. Si los valores medidos presentan mucho ruido, ya sea p peque ñas fluctuaciones de la magnitud medida o por la resoluci ón de l dispositivo de med ición, con esta funci ón Suavizar es posible subsanar esto. La función suaviza siempre la región seleccionada. Si 28 no se ha seleccionado ninguna región, se suaviza el ca escogido completamente. Puede seleccionar el nivel de suavizado con esta barra. Se recomienda experimentar un poco para determinar cuál es el nivel de suavizado adecuado para la medición. Con la herramienta Cortar se puede eliminar los valores de una región previamente seleccionada. La región eliminada de esta manera es mostrada en la curva mediante una 29 recta que une los dos valores que la limitan. La longitud de la medición no se modifica. Con esta función se tiene la posibilidad de eliminar v "extraviados". Estos valores pueden ser también direc tamente eliminado s o modificados en la tabla de datos. La función Tar jetadesonido establece una conexión entremeasure y la tarjeta de sonido de la computadora para hacer audible una m edición. Est significa, que esta func ión solo puede ser usada si la computadora dispone de una tarjeta de sonido. En pr incipio se puede 30 hacer audible con la tarjeta de sonido todos los valores evaluados con measure . No importa si los valores han sido cargados de un fichero, importados de alguna base de datos, registrados con una interfaz, graficados a mano o generados con alguna fórmula matemática. 31 E l botón Leyenda ocu lta y hace aparecer el cuadro que contien e la leyenda de un gráfico.
17
LABORATORI O 1
INTRODUCCI N AL PROGRAMA measure 4.2. OBJETIVOS.§ § §
Familiarizarse c on el uso de l programa aplicativo measure 4.2 . Identificar y describir las funciones de los elementos de la pantalla principal de esta aplicación . Realizar e interpretar gráficos.
GENERALIDADES.measure es un conveniente programa informático de medida de gran alcance, intuitivamente
operable y disponible para una amplia gama de instrumentos de medición PHYWE , incluyendo todos los instrumentos portátiles, módulos y sensores. E l programa ofrece un aspecto uniforme para procesar y visualizar los datos de una medición, y permite trabajar rápida, confiable y simplemente con instrumentos de medida que difieren grandemente. El aprendizaje rápido de cómo trabajar y operar el programa co n un instrumento de med ida, permitirá aplicarlo directamente al trabajo co n otros instrumentos.
Figura 1.-Pantalla principal del Programa measure.
La Figura 1muestra la ventana principal del measurey pueden desplegarse de ella un conjunto de menús que permiten principalment e: •
La apertura o creación de medidas de e spectros carac terísticos de difracción. 18
• • • •
Obtener tablas de datos de los re gistros de difracción. Controlar los c anales de medida. Exportar e importar da tos Analizar picos de difracción y curvas.
MATERIALES Y EQUIPOS .-
Computadora personal Programa measure PROCEDIMIENTO .-
1. Cargar el programa measure y usando el comando abrir medida del menú Archivo, aperturar el archivo correspondiente a un registro de difracción ya creado, a fin de activar algunos comandos de la barra de menús. 2. Colocar el puntero del mouse en cada uno de los menús en cada ca so, el despliegue del cuadro de comandos.
la barra de menús y observar,
3. Observar y registr ar la lista de co mandos e intentar definir la función de cada uno de ellos aplicándoselos alregistro de d ifracc ión aperturado . CUESTIONARIO .-
1. Identificar los elementos de la pan talla principal del programa
. measure
2. En relación a la pregunta 1, indicar y describir las funciones de los comandos de los menús: Arch ivo , Sensor, Med ida , Análisis , , y . Extras Ventana Ayuda 3. El número N de impulsos por segundo registrados por un detector como una función de la corriente I del ánodo de un tubo de rayos X es dado en la tabla adjunta. N (Imp/s)
761 1608 2451 3242 4003 4921 5813 6782 7704 8692
I (A)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Crear una tabla de valores para mostrar en un gráfico elación entre las variables. Usando los b otones de acceso directo determinar: a) El valor promedio de los valores de N b) La pendiente promedio de la curva c) El área ba jo la curva d) Los parámetros de la recta ajustada con un error relativo máximo del 1%. e) La ecuación experimental que relaciona a las dos varia .
19
LABORATORI O 2 LA UNI DAD DE RAY OS X: DESC RIPCI N DE COM PONENT ES
OBJETIVOS.-
Identificar y describir el funcionamiento de cada uno X PHYWE.
los componentes de la unidad de rayos
GENERALIDADES.-
Los aspectos esenciales de un d ifractómetro se muestran en la Figura 1. Una muestra cristalina sólida o en polvo C, en un portamuestraplano, s e monta sobre una mesa H, que puede girar alrededor de un eje O perpendicular al plano del dibujo. El tubo de rayos X es S y el blanco del tubo es T. Los rayos X divergen desdeel tubo y son difractados por la muestra para formar un haz difractado convergente que se focaliza en la rendija F y luego ingresa al tubo contador G . A y B son rendijas e speciales que definen y coliman a los haces incident e y difractado. La rendija receptora y el contador se soportan en un carril E que puede girar alrededor del eje O y cuya posición angular 2 θ se puede leer en la escala graduada K. Los soportes E y H están acoplados mecánicamente de tal forma que una rotación del contador en 2x grados se acompaña por la rotación de la muestra en x grados. Un motor produce el movimiento del contador a velocidad angular constante. La forma en la cual un difractómetro se usa para medir patrones de difracción depende de la clase de circuito usado para medir la tasa de producción de pulsos en el contador. Figura 1.-Esquema de un difract ómetro de r ayos X .
El funcionamiento de un difractómetro de rayos X, se basa en el Principio de focalización de BRAGG -BRENTANO. Este principio establece que para cualquier posición del sistema de d tección de rayos X, el diafragma receptor F del sistema de detección y el diafragma de entrada S (o el foco del tubo de rayos X), están siempre localiz ados sobre un c írculo denominado círculo difractométrico . La muestra se monta de manera que pueda rotar y su superficie se ubica en e l eje de rotación de la muestra que es concéntrico al eje de rotación del sistema detector. El haz primario divergente que incide sobre los planos de la red cristalina, bajo un ángulo de Bragg ? , es difractado bajo el mismo ángulo. Debido al acoplamiento mecánico del portamuestra con el sistema de detección, los pla nos difractantes de la re siempre son tangentes a un círculo de focalización centrado sobre la normal a la muestra y que pasa a tr és de F y S. El círculo de focalización no es de tamaño constante sino que incrementa su radio cuando el ángulo 2? disminuye, como se muestra en las F iguras 2 (a) y ( b) . 20
En el arre glo descrito, la superficie de la muestra se mporta como un espejo con el ángulo bisector entre la dirección del haz primario y la dire n del haz reflejado. Si la muestra y e l sistema detector giran exactamente en relación 1:2 de sus ángulos de rotación, la focalización está garantizada para todas las ref lexiones.
Figura 2.-Geometría de focalización de BRAGG -BR ENTANO
En un cristal perfecto, la reflexión ocurre exac tament cuando el ángulo ? que forma el haz primar io y el plano de la red satisface la ecuación de Bragg, de acuerdo a: n λ = 2 d sen θ ; donde n es el orden de difracción, ? la longitud de onda del haz incidente y d el espaciado inte rplanar del cristal. El método de Bragg conduce a la ventaja de obtener grandes intensidades con una alta res olución de las reflexiones. En el difractómetro, la mue stra a analizar se d ispone n un portamuestra o una placa plana, colocada a distancias iguales del sistema colimador de l tubo de rayos X y del sistema colimador de l sistema de detecci ón, que por lo general es un contad or Geiger. El brazo que soporta sistema de detecc ión e ystáelacoplado con e el portamuestra en fordel ma ángulo tal que el entre la elsuperficie la muestra haz incidente siempre la mitad 2? ángulo formado? por el eje del sistema detector y e l haz incidente. En los trabajos de precisión la intens idad registrada cada posición se determina por el número de cuentas por unidad de tiempo. Se trabaja con más comodidad con precisión suficiente para la mayoría de los ángulos de difracción e intensidades, moviendo el brazo que soporta el sistema detector - y, por tanto, al portamuestra - mediante un motor sincronizado y se hace un registro continuo de la tasa de conteo medi un dispositivo automático. La orientación al azar de los cristales en la muestra producen haces difractados que entran a detector y, de acuerdo a su intensidad, hace deflectar el lapicero de un registrador. Los diferentes valores hkl de las reflexiones de Bragg son así registradas como una serie de picos que corresponderán a las líneas de una fotografía de polvo. Así, se logra un registro denominado difractograma, que proporciona las intensidades en función del ángulo 2?, siempre y cuando las condiciones de operación del tubo de rayos X se mantengan c onstantes. MATERIALES Y EQUIPOS .-
Unidadde rayos X TubocontadortipoB Goniómetro CristaldeLiF(100)d =2.014 10 × Tubo de rayos X con ánodo de Cu Computador personal
-10
m 21
PROCEDIMIENTO.-
1. Instalar el tubo de rayos X con ánodo de cobre y monta el experimento como se muestr a en la Figura 3.
Figura3 .- Montaje experimental para el análisis de rayos X
2. Fijar e l diafragma tubular de 1 mm de diámetro en la s da de l tubo de rayos X y montar el monocristal de LiF en el soporte del goni ómetro. Cerrar y asegurar la puerta. 3. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure. Seleccionar del menú Archivo/Nueva medida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. el de cuadro de diálogo introd ucir los siguientes 4. En valores: Tipo medida :espectro Corriente deemisión :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración :2 s Tensiónconstante :35kV Modorotación :acoplado2:1 Cristal LiF : ngulodearranque 19º : Absorbedor :sinabsorbedor Ángulodeparada :24º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo : 0,1º 5. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciar medida . Cuando termine el registro, arc hivar e l espectro obtenido y apagar el equipo de ra yos X. 6. Repetir la medida con corrientes de emisión de 0.9, 0. 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2 y 0.1 mA. 7. Identificar en ca da caso la tasa de pulsos N 0 para las líneas K α, registrando los valores en la Tabla 1.
N0 ( imp/s) IA(
mA)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
22
CUESTIONARIO.-
1. Identificar y describir cada una d e los componentes de la unidad básica de l equipo de rayos X PHYWE que se indican con números en la Figura 4.
Figura 4.-Unidad básica del equipo de r ayos X
2. Identificar y desc ribir los elementos de operación del panel de control X PHYWE que se indican con números en la Figura 5 .
equipo de rayos
Figura 5.- Panel de control
4. Graficar la tasa de pulsos N 0 en función de la corriente del ánodo I A para las líneas K α considerando los valores de la Tabla 1 5. Interpretar la gráfica y hallar la ecuación que relaci na a las variables N 0 e I A para la línea Kα.
23
CAPÍTULO 2 PROPIEDAD ES DE LOS RAYOS X I 2.1. RADIACI N EL EC TRO MAGN TICA Los rayos X son radiación electromagnética de la misma aturaleza que la luz pero de longitud de onda mucho más corta. La unidad de med ida en la re gión de los rayos X es e l angstrom (A), igual a 10 −10 m, y los rayo s X usados en difracción tienen longitude de onda en el rang o de 0,5 -2,5A, mientras que la longitud de onda para la luz visible es del orden de 6000A. Los rayos X por lo tanto ocupan la región entre los rayos gamma y rayos ultravioleta en el espectro electromagnétic o, ver Figura 2.1. Frecuencia
Hz
× 10 14 Hz
Violeta 7,69- 6,59 Azul
6,59- 6,10
Verde
6,10- 5,20
Amarillo 5,20- 5,03 Nara nja 5,03-4,82
Rojo
4,82- 3,84
1 MHz
1 kHz
10 23 10 10 10 20 10 19 10 18 10 10 16 10 15 10 14 10 13 10 12 10 11 10 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 10 4 10 3 10 10
Nombre de la radiación
Longitud de onda, m
10 -14 10 -13 Rayos Ga mma 10 10 Rayos X 10 -10 10 -9 -8 Ultravioleta 10 -7 10 10 Visible 10 -5 Infrarrojo 10 -4 10 -3 10 -2 Microondas TV, FM Ondas de radio
Radiofrecuencia
10 1 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7
1 UX
o
1A 1 nm
1 µm
nm Violeta
390-4 55
Azul
455-492
Verde
492-577
Amarillo 577-597
Naranja 597-622 1 cm
Rojo
622-780
1m
1 km
Figu ra 2.1. - El Es pectro electromagnético
La longitud de onda λ y la frecuencia ν de una onda electromagnética, como es el caso de los c = λν rayos x, están relacionadas según: (2.1) Donde: c = 3 × 10 8 m / s es la velocidad de la onda en el vacío . En la teoríallamados cuántica,cuantos la radiación e ec tromagnética unaconcordancia corriente de con partículas o fotones . Cada fotón puede tiene considerarse asociado a élcomo una cantidaddeenergía: Eh = ν (2.2) donde h = 6,63 × 10 −34 J s es la c onstante de Planck. 24
2.2. PROD UC CI N DE LOS RAYOS X
Los rayos X se producen cuando electrones de rápido mo iento chocan contra la materia. Los fenómenos resultantes de la desaceleración de los electro es son muy complejos, y los rayos X resultan de dos tipos generales de interacci ón de los elec trones rayo x con los átomos del material que constituyen el blanco, aber: e v
1. Un electrón a gran velocidad golpea y desplaza a un elec trón ligado a la profundidad del átomo cerca al núcleo, ionizando átomo. Cuando cierta capa interna de un átomo ha sido ionizad de esta manera, un electrón de una capa más externa puede ocup r vacante, con el resultado dela emisión de un rayo X característico del átomo involucrado, como se ilustra en la Figura 2.2. Esta producción de rayos X es un proceso cuántico similar al origen del espectro óptico. 2. Los electrones de alta velocidad en lugar de ch ocar con un electrón al interior de un átomo del blanco, pueden ser retardados al pasar a través del campo eléctrico intenso cerca del núcleo de un átomo, como se ilustra en la Figura 2.3 . Este también es un proceso cuántico, la disminución de energía DEc del electrón aparece como un fotón de rayo X de frecuencia n y es dada por la ecuación de E instein: (2.3) hν = ∆E c donde h es la constante de Planck. La radiación X producida de esta manera es independiente de la naturaleza de los átomos que están siendo mpactados, i
e-
enúcleo Figu ra 2 .2.- Emisión de un rayo X caracterís tico
Fotón RX
e
-
v0
e
DEc=hn
-
v 0 ’
E
núcleo
Fig ura 2.3.- Emisión de un fotón de rayos X
yvarían aparece como una banda longitudes de onda que continuamente, cuyodelímite más bajo es una función de la energía máxima de los electrones que impactan. Es evidente que los rayos X son considerados electromagnétic os en naturaleza y por lo tanto son una parte del e spectro electromagnético. La radiación X se produce en un tubo de rayos X, el cual contiene una fuente de electrones y dos e lectrodos metálicos: el ánodo y el cátodo . El a lto voltaje mantenido entre estos e lectrodos, atrae rápidamente los electrones hacia el ánodo, con el cual chocan a una velocidad muy alta. Los rayos X se producen en el punto de impacto y se ir a dian en todas las direcciones. Si e es la carga de los electrones y V el voltaje entre los electrodos, entonces la e nergía cinética Ec de 1 los electrones que chocan co ntra el á nodo es: (2.4) Ec = eV = mv2 2 siendo m la masa del electrón y v su velocidad justo antes del impacto. A un voltaje del tubo de 30000 Voltios es ta velocidad es casi l a tercera parte de la velocidad de la luz. Gran parte de la energía cinética de los electrones que impa ctan el o es convertida en calor, menos del uno por ciento se transforma en rayos X. El espectro de rad iación de los rayos X es tá c ompuesto por dos tipos de radiaciones que aunque son de la misma naturaleza tienen srcen en diferentes fenómenos , a estos tipos de radiaciones se les conoce generalmente como: el esp ectr o conti nuo y el esp ectr o cara cterí stico . 25
2.3. EL ESPECTRO CONTINUO
Cuando los rayos X que provienen del ánodo se analizan, se encuentra que consisten de una mezcla de diferentes longitudes de onda, y la variación de la intensidad con la longitud de onda depende del voltaje del tubo.
) s a v it a l e r s e d a d i n (u
radiación caracte rística radiación
continua X La Figura 2.4 muestra la clase de curva S obtenida. La intens idad es cero para una OY cierta longitud de onda, llamada el límite AR S O de long itud de onda corta l SWL , se L E incrementa rápidamente hasta un D D máximo y luego decrece, con un límite A D I no agudo sobre el lado de las longitudes S N E de onda grandes. Cuando se aumenta el T N I voltaje del tubo, la intensidad de todas las longitudes de onda se incrementa, y el límite de longitud de onda corta y la LONGITUD DE ONDA (angstr oms) posición del máximo se desplazan en el Fig ura 2.4.- Espectro de rayo s X del molibdeno com o una sentido de las longitudes de onda más func ión del voltaje aplicado. cortas. Las curvas suaves de la Figura 2.4 corresponden a voltajes aplicados de 20 KV o menos para el caso de un ánodo de molibdeno. La radiación represen tada por tales curvas se denomina rad iación heteroc romática , continua o blanc a, puesto que está formada de rayos de muchas longitudes de onda.
El espectro continuo se debe a la desaceleración rápida de los electrones qu el ánodo. Cada electrón no es desacelerad o en la misma forma, a l unos son detenidos en un impac to y entregan toda su energía al mismo tiempo, mientras que otros son desviados por los átomos de l ánodo, perdiendo sucesivamente fracciones de su energía cinética total. Aquellos electrones que son detenidos en un impacto darán lugar a fotones e energía máxima, esto es, a rayos X de longitud de onda mínima. Tales electrones transfieren toda su energía eV en energía del fotón y podemos e scribir: eV = h ν max . Luego: 12400 o c hc (6.6234×10-27)(2.99776×1010)(300) = = ; y λSWL = A (2.5) λSWL = V (4.8024 × 10-10)V ν max eV La ecuación (2.5) define el límite de longitud de onda a (en angstroms) como una función del voltaje V aplica do (en unidades prácticas). Si un electrón no es detenido completamente debido a un impacto oblicuo que solamente disminuye parcialmente su velocidad, entonces sólo una fracción de su energía eV se emite como radiación y el fotón que se produce tie a energía menor que hnm ax; frecuencia menor que n m ax y una longitud de onda mayor que l SW L. La totalidad de estas longitudes de onda, a partir de l SWL, constituye el espectro característi c o. Se entiende porqué las curvas de la Figura 2.4 llegan a ser más grandes y agudas hacia la izquierda cuando se incrementa el voltaje aplicado, puesto que tanto el número de fotones producidos por segundo como la energía promedio por fotón se incrementan. 26
2.4. EL ESPECTRO CARA CTER STIC O Cuando se aumenta el voltaje de un tubo de rayos X en un determinado valor crítico, característico del metal del ánodo, aparecen p icos de áxima intensidad en ciertas longitudes de onda, superpuestas con el espectro continuo. Debido a que los picos son estrechos y puesto que sus longitudes de onda son características del metal del ánodo usado, estos son llamados líneas característi cas . Estas líneas se clasifican en varias series, referidas a K, L, M , etc., en e l orden del incremento de la longitud de onda, todas las líneas juntas forman el espectro s K son muy usadas caracte rístico del metal usado como ánodo. Ordinariamente sólo las l en difracción de rayos X, las líneas de longitudes de nda más grandes son fácilmente absorbidas. Existen varias líneas en la serie K, pero sólo tres más intensas se observan en trabajos normales de difracción. Estas son Ka 1, K a 2 y K b1. Las componentes a 1 y a 2 tienen longitudes de onda tan juntas que no son siemp resueltas como líneas separadas; si se resuelven son llamadas doblete K a y, si no son resueltas, simpleme nte líneKa a . Similarmente, K b1 se refiere usualmente como la línea K b, sin el subíndice. Ka 1 es siempre casi dos veces más intensa que K a 2, mientras que la razón de inte nsidad de Ka 1 a K b1 depende del número atómico pero en promedio es casi 5/1. La longitud de onda de un doblete no resuelto Ka se toma usualmente como el promedio ponderado de las longitudes de onda de sus componentes, asignándole peso 2 a Ka 1 respecto a 1 (2.6) Ka 2 puesto que es dos veces más intensa. Así: λ Kα = (2 λ Kα1 + λK α 2) 3 Estas líneas características pueden ser vistas en la curva más alta de la Figura 2.4. Puesto que el voltaje de excitación crítico K, esto es, el voltaje necesario para excitar la radiac ión característica K, es 20,01 KV para el molibdeno, las líneas K no aparecen en las otras curvas de la Figura 2.4. Un aumento de voltaje cerca al voltaje crítico incrementa las intensidades de las líneas características relativas al espectro continuo pero no cambia sus longit udes de o nda. La Figura 2.5 muestra esquemáticamente el gráfico de intensidad en función de la longitud de onda para el espectro característico del molibdeno sometido a una d iferencia de po tencial de 35 KV.
)a s v ti a l e r s e d a id n u ( D A D I S N E T N I
La existencia de esta línea aguda intensa Ka es lo que hace posible la difracción de los rayos X, debido a que muchos experimentos en difracción requieren del uso de radiación monocromática o aproximadamente monocromática. LONGITUD DE ONDA (angstroms)
En la Tabla N° 1 del A nexo se muestran los valores de la longitud de onda de las líneas de emisión característica K y L para los diferentes elementos.
Fig ura 2.5.- Espectro c aracterístico del Mo a 35 KV
27
LABORATORIO 3 ESPECTRO CARACT ER STICO DEL COBR E
OBJETIVOS.•
•
•
Obtener e interpretar el espectro característico de un tubo de rayos X con ánodo de cobre usando un monocr istal de L iF como analizador. Obtener e interpretar el espectro característico de un tubo de rayos X con ánodo de cobre usando un monocr istal de KBr como analizador. Calcular los valores de ene rgía de las líneas características del cobre.
TEO R A.Cuando electrones de alta energía inciden sobre un áno metálico de un tubo de rayos X, se producen rayos X con una distribución de energía continua (bremsstrahlung). Las líneas de rayos X cuyas energías no son dependientes del voltaje del ánodo y que son específicas del material del ánodo, líneas características de rayos X, están superpuestas sobre el continuo. Ellas son producidas como sigue: Un impacto de un elec rón sobre un átomo del ánodo en la capa K, por e jemplo, puede ionizar ese átomo. La vacanc ia resultante e n la capa es llenada p or un electrón de un nivel de energía más alto. La energía desprendida en este roceso de de exitación puede ser transformado en un ra yo X el cual es específico para el ánodo del átomo. n l
j
3 3
1 0
1/2; 3 /2
2
1/2
2
2
1
3/ 2
2 2
1 0
0 eV
P1/2; 3/2 M2/3 M1 S1/2
73.6 119 .8
2
P3/2
L3
931.1
1/ 2
2
P1/2
L2
951.0
1/ 2
2
S1/ 2
L1
1096.0 Ka 2
1
0
1/ 2
2
S1/ 2
Ka 1
Kb
8978.9
K
Figura 1.-Niveles de energía del cobre
La Figura 1 muestra el esquema de niveles de energía d un átomo de cobre. Los rayos X característico producidos de la transición L → K o M → K son llamadas líneas K αy K , β respectivamente. Las transiciones M 1 → K y L1 → K no tienen lugar debido a las reglas de selección de la mecánica cuántica. Por consiguiente, se esperan las líneas característica
ara el cobre con las siguientes energías: 28
E
1
Kα*
= E K − ( E L 2 + E L3 ) = 8,038 keV 2
(1)
E Kβ = E K − E M 23 = 8,905 keV Kα * se usa como el valor medio de las líneas Kα 1 y Kα 2 . El análisis de rayos X policro máticos es posible media e el uso de un monocri stal. Cuando rayos X de longitud λ incide sobre un monocristal bajo un ángulo de inclinación θ, la interferencia constructiva despuésde la dispersión solamente ocurre cuando la diferencia de recorrido de las ondas reflej adas parciales desde los lanos de la red es uno o más longitudes de onda. Esta situación es explicada por la ecuación d Bragg: 2 d senθn = λ (2) d: es e spaciado interplanar; n: el orden de difracción. Si d se asume conocido, entonces la energía de los rayos X pueden calcularse del ángulo de hc desviación θ, el cual es obtenido del espectro y usan do la relación siguiente: E = hν = (3) λ
Combinando (3) y (2) se obtiene:
nh c E= 2 d senθ
(4)
EQUIPOS Y MATERIALES .-
UnidadderayosX Goniómetro Tubo de rayos X con ánodo de Cu Tubo contador tipo B
CristaldeLiF(100) d=2.014 10 CristaldeKBr(100) d=3.29 Computador personal
× -10 m ×10-10 m
PROCEDIMIENTO .-
el tubo 1. Instalar en la Figura 2 . de rayos X con ánodo de cobre y m ontar el experimento como se muestra
Figura 2.-Montaje experimental para el análisis de rayos X
29
2. Fijar e l diafragma tubular de 1 mm de d iámetro en la salida del tubo de rayos X y montar e l monocristal de LiF en e l soporte del goni ómetro . Cerrar y asegurar la puerta. 3. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure. Seleccionar del menú Archivo/N ueva med ida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. 4. En el cuadro de diálogo introduci r los siguientes va lores: Tipo de medida :espectro Corrientedeemisión :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración : 2 s Tensiónconstante :35kV Modorotación : ac oplado 2:1 Cristal LiF : Ángulodearranque : 3º Absorbedor :sinabsorbedor Ángulodeparada :55º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo : 0,1º 5. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciarmedida . Cuando termine el registro, arc hivar e l espectro obtenido y apagar el equipo de ra yos X. 6. Fijar e l diafragma tubular de 2 mm de diámetro en la s da de l tubo de rayos X y montar el monocristal de KBr en el soport e del goniómetr o. Cerra y asegurar la puerta. 7. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure. Seleccionar del menú Archivo/N ueva med ida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. 8. En el cuadro de diálogo introduci r los siguientes va lores: Tipo de medida :espectro Corrientedeemisión :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración : 2 s Tensiónconstante :35kV Modorotación :acoplado2:1 : KBr : 3º Cristal Ángulo de arranque Absorbedor : sin absorbedor Ángulo de parada :75º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo : 0,1º 9. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciarmedida . Cuando termine el registro, arc hivar e l espectro obtenido y apagar el equipo de rayos X. CUESTIONARIO .-
1. Determinar los valores de los ángulos correspondientes a las líneas de intensidad Ka y Kß de los dos primeros órdenes del espectro característico del cobre con analizador de cristal de LiF. 2. Usando la ecuación (4) determine la energía, en keV, de cada una de las líne as del espectro con analizador de cristal de LiF . 3. Determinar los valores de los ángulos correspondientes a las líneas de intensidad Ka y Kß de los cuatro primeros órdenes del espectro característico del cobre con analizador de cristal de KBr. 4. Usando la ecuación (4) determine la energía, en keV, d cada una de las líneas del espectro con analizador de cristal de KBr. 5. Obtener los valores promedios de las energías, en keV, de cada una d e las líneas y compararlos con los valores teóricos. 6. En los registros de difracción obtenidos, ¿cuál es la ón de intensidad K αa Kβ? 7. ¿Por qué en el espectro del cobre usando un cristal an r de KBr se obtienen más órdenes de difracción que cuando se usa un cristal ana izador de L iF?
30
LABORATORIO 4 ESPECTRO CARAC TER STICO DEL MOLIBDENO
OBJETIVOS.•
•
•
Obtener e interpretar el espectro característico de un tubo de rayos X con áno de molibdeno usando un monocristal de LiF como analiz ador. Obtener e interpretar el espectro característico de un tubo de rayos X con ánodo de molibdeno usando un monocristal de KBr c omo analizador. Calcular los valores de ene rgía de las líneas características del molibdeno.
TEOR A .Cuando electrones de alta energía inciden sobre un áno metálico de un tubo de rayos X, se producen rayos X con una distribución de energía continua (bremsstrahlung). Las líneas de rayos X cuyas energías no son dependientes del voltaje del ánodo y que son específicas del material del ánodo, líneas características de rayos X, están superpuestas sobre el continuo. Ellas son producidas como sigue: Un impacto de un elec rón sobre un átomo del ánodo en la capa K, por e jemplo, puede ionizar ese átomo. La vacanc ia resultante e n la capa es llenada p or un electrón de un nivel de energía más alto. La energía desprendida en este proceso de de excitación puede ser trans formado en un r ayo X el cual es específico para el ánodo del á tomo. n l
0 eV
3 1 3/ 2
2
M3
392 .3
3 1 1/ 2 3 0 1/ 2
2
P1/ 2 S1/ 2
M2 M1
409 .7 504 .6
2 1 3/ 2
2
P 3/2
L3
2520.2
2 1 1/ 2
2
L2
2625.1
2 0 1/ 2
2
L1
2865.5
P3/ 2
2
P 1/2 S 1/2
Ka 2
1 0 1/ 2
2
S 1/2
Ka 1
K
Kb
19999. 5
Figura 1.-Niveles de energía del
La Figura 1 muestra el esquema de niveles de energía d o de molibde no. Los rayos X característico producidos de la transición L → K o M → K son llamadas líneas K αy K , β respectivamente. Las transiciones M 1 → K y L1 → K no tienen lugar debido a las reglas de selección de la mecánica cuántica. Por consiguiente, se esperan las líneas características para el molibdeno con las siguientes energías: 31
E
1
Kα*
= E K − (E L 2 + E L 3 ) = 17426,8 eV 2
(1)
E Kβ = E K − E M 23 = 19589,8 eV Kα * se usa como el valor medio de las líneas Kα 1 y Kα 2 . El análisis de rayos X policromáticos es posible mediante el uso de un monocristal. Cuando rayos X de longitud λ incide sobre un monocristal bajo un ángulo de inclinación θ, la interferencia constructiva después de la dispersión so amente ocurre cuando la diferencia de recorrido de las ondas reflejadas parciales desde los planos de la red es uno o más longit de onda. Esta situación es explicada por la ecuación d Bragg: 2 d senθn = λ (2) d: es e spaciado interplanar; n: el orden de difracción. Si d se asume conocido, entonces la energía de los rayos X pueden calcularse del ángulo de hc desviación θ, el cual es obtenido del espectro y usan do la relación siguiente: E = hν = (3) λ
Combinando (3) y (2) se obtiene:
nh c E= 2 d senθ
(4)
EQUIPOS Y MATER IALES.-
UnidadderayosX Goniómetro Tubo de rayos X con ánodo de Mo Tubo contador tipo B
CristaldeLiF(100) d=2.014 10 CristaldeKBr(100) d=3.29 Computador personal
× -10 m ×10-10 m
PROCEDIMIENTO .-
de rayos 1. Instalar muestra el en tubo la Figura 2. X con ánodo de molibdeno y montar el experimento como se
Figura 2.-Montaje experimental para el análisis de rayos X
32
2. Fijar e l diafragma tubular de 1 mm de diámetro en la s da de l tubo de rayos X y montar el monocristal de LiF en el soporte d el goniómetro. Cerra y asegurar la puerta. 3. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure. Seleccionar del menú Archivo/N ueva med ida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. 4. En el cuadro de diálogo introduci r los siguientes va lores: Tipo de medida : es pectro Corriente de emisión : 1 mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración : 2 s Tensiónconstante :35kV Modorotación :acoplado2:1 Cristal LiF : Ángulodearranque : 4º Absorbedor :sinabsorbedor Ángulodeparada :65º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo : 0,1º 5. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciarmedida . Cuando termine el registro, arc hivar e l espectro obtenido y apagar el equipo de r ayos X. 6. Fijar e l diafragma tubular de 2 mm de diámetro en la s da de l tubo de rayos X y montar el monocristal de KBr en el soport e del goniómetr o. Cerra y asegurar la puerta. 7. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure. Seleccionar del menú Archivo/N ueva med ida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. 8. En el cuadro de diálogo introduci r los siguientes va lores: Tipo de medida :espectro Corrientedeemisión :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración : 2 s Tensiónconstante :35kV Modorotación :acoplado2:1 : KBr : 3º Cristal Ángulo de arranque Absorbedor :sinabsorbedor Ángulodeparada :30º Filtro sin : filtro Incrementodelán gulo : 0,1º 9. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciarmedida . Cuando termine el registro, arc hivar e l espectro obtenido y apagar el equipo de ra yos X. CUESTIONARIO .-
1. Determinar los valores de los ángulos correspondientes a las líneas de intensidad Ka y Kß de los dos primeros órdenes del espectro característico d l molibdeno con analizador de cristal de LiF. 2. Usando la ecuación (4) determine la energía, en keV, d cada una de las líneas del espectro con analizador de cristal de LiF. 3. Determinar los valores de los ángulos correspondientes a las eas de intensidad Ka y Kß de los cuatro primeros órdenes del espectro característico del molibdeno con analizador de cristal de KBr. 4. Usando la ecuación (4) determine la energía, en keV, d cada una de las líneas del espectro con analizador de cristal de KBr. 5. Obtener los valores promedios de las energías, en keV, de cada una de las líneas y compararlos con los valores teóricos. 6. En los registros de difracción obtenidos, ¿cuál es la ón de intensidad Kα a Kβ? 7. ¿Por qué en el espectro del molibdeno usando un cristal analizador de KBr se o btienen más órdenes de difracción que cuando se usa un cristal ana izador de LiF?
33
LABORATORIO 5 ESPECT RO CAR ACTER STICO DE L FIERRO
OBJETIVOS.•
•
•
Obtener e interpretar el espectro característico de un tubo de rayos X c n ánodo de usando un monocr istal de L iF como analizador. Obtener e interpretar el espectro característico de un tubo de rayos X con ánodo de usando un monocrist al de KBr como anali zado r. Calcular los valores de ene rgía de las líneas características del fi erro .
fierro fierro
TEO R A.Cuando electrones de alta energía inciden sobre un áno metálico de un tubo de rayos X, se producen rayos X con una distribución de energía continua (bremsstrahlung). Las líneas de rayos X cuyas energías no son dependientes del voltaje del ánodo y que son específicas del material del ánodo, líneas características de rayos X, están superpuestas sobre el continuo. Ellas son producidas como sigue: Un impacto de un elec rón sobre un átomo del ánodo en la capa K, por e jemplo, puede ionizar ese átomo. La vacanc ia resultante e n la capa es llenada p or un electrón de un nivel de energía más alto. La energía desprendida en este proceso de de exitación puede ser transformado en un ra yo X el cual es específico para el ánodo del átomo. n l j 0 eV
3 3
1 0
1/2; 3/2
2
1/ 2
2
P1/2; 3/2 M2/3 S1/ 2 M1
2
1
3/ 2
2
P3/ 2
L3
708 .1
2
1
1/ 2
2
P1/ 2
L2
721 .1
2
0
1/ 2
2
S1/ 2
L1
846 .1
54.0 92.9
Ka 2
1
0
1/ 2
2
S1/ 2
Ka 1
Kb
7112.0
K
Figura 1.-Niveles de energía del f ierro
La Figura 1 muestra el esquema de niveles de energía d un átomo de fierro. Los rayos X característico producidos de la transición L → K o M → K son llamadas líneas K αy K , β respectivamente. Las transiciones M 1 → K y L1 → K no tienen lugar debido a las reglas de selección de la mecánica cuántica. Por consiguiente, se esperan las líneas característica
ara el cobre con las siguientes e nergías: 34
E
1
Kα*
= E K − ( E L 2 + E L3 ) = 6,3974 keV 2
(1)
E Kβ = E K − E M 23 = 7,0580 keV Kα * se usa como el valor medio de las líneas Kα 1 y Kα 2 . El análisis de rayos X policro máticos es posible media e el uso de un monocri stal. Cuando rayos X de longitud λ incide sobre un monocristal bajo un ángulo de inclinación θ, la interferencia constructiva después de la dispersión so amente ocurre cuando la diferencia de recorrido de las ondas reflejadas parciales desde los planos de la red es uno o más longitudes de onda. Esta situación es explicada por la ecuación d Bragg: 2 d senθn = λ (2) d: es e spaciado interplanar; n: el orden de difracción. Si d se asume conocido, entonces la energía de los rayos X pueden calcularse del ángulo de hc desviación θ, el cual es obtenido del espectro y usan do la relación siguiente: E = hν = (3) λ
Combinando (3) y (2) se obtiene:
nh c E= 2 d senθ
(4)
EQUIPOS Y MATERIALES .-
UnidadderayosX Goniómetro Tubo de rayos X con ánodo de Fe Tubo contador tipo B
CristaldeLiF(100) d=2.014 10 CristaldeKBr(100) d=3.29 Computador personal
× -10 m ×10-10 m
PROCEDIMIENTO .-
el tubo 1. Instalar en la Figura 2. de rayos X con ánodo de fierro y montar el experimento como se muestra
Figura 2.-Montaje experimental para el análisis de rayos X
35
2. Fijar e l diafragma tubular de 1 mm de diámetro en la s da de l tubo de rayos X y montar el monocristal de LiF en el soporte d el goniómetro. Cerra y asegurar la puerta. 3. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure. Seleccionar del menú Archivo/N ueva med ida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. 4. En el cuadro de diálogo introduci r los siguientes va lores: Tipo de medida :espectro Corrientedeemisión :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración : 2 s Tensiónconstante :35kV Modorotación :acoplado2:1 Cristal LiF : Ángulodearranque : 4º Absorbedor :sinabsorbedor Ángulodeparada :80º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo : 0,1º 5. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciarmedida . Cuando termine el registro, arc hivar e l espectro obtenido y apagar el equipo de ra yos X. 6. Fijar e l diafragma tubular de 2 mm de d iámetro en la salida del tubo de rayos X y montar e l monocristal de KBr en el soport e del goniómetr o. Cerra y asegurar la puerta. 7. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure. Seleccionar del menú Archivo/Nueva medida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. 8. En el cuadro de diálogo introduci r los siguientes va lores: Tipo de medida :espectro Corrientedeemisión :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de in tegración : 2 s Tensiónconstante :35kV Modorotación :acoplado2:1 Cristal : KBr Ángulo de arranque : 4º Absorbedor :sinabsorbedor Ángulodeparada :65º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo : 0,1º 9. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionariniciarmedida . Cuando termine el registro, arc hivar e l espectro obtenido y apagar el equipo de ra yos X. .CUESTIONARIO
1. Determinar los valores de los ángulos correspondientes a las líneas de intensidad Ka y Kß de los dos primeros órdenes del espectro característico del fierro con analizador de cristal de LiF. 2. Usando la ecuación (4) determine la energía, en keV, d cada una de las líneas del espectro con analizador de cristal de LiF. 3. Determinar los valores de los ángulos correspondientes a las líneas d intensidad Ka y Kß de los cuatro primeros órdenes del espectro característic del fierro con analizador de cristal de KBr. 4. Usando la ecuación (4) determine la energía, en keV, d cada una de las líneas del espectro con analizador de cristal de KBr. 5. Obtener los valores promedios de las energías, en keV, de cada una de las líneas y compararlos con los valores teóricos. 6. En los registros de difracción obtenidos, ¿cuál es la ón de intensidad K αa K β? 7. ¿Por qué en el espectro del cobre usando un cristal analizador de KBr se obtien en más órdenes de difracción que cuando se usa un cristal ana izador de LiF?
36
LABORATORI O 6 LEY DE DUANE -HUNT
OBJETIVOS.•
• • •
Obtener registros de intensidad de los rayos X emitidos por un tubo con ánodo de cobre a diferentes voltajes como función del ángulo de Bragg, usando un monocristal de LiF como analizador. Determinar el límite de longitud de onda mínima en los e spectros continuos obtenidos. Verificar la ley dedesplazamient o de Duane-Hunt. Determinar la constante de Planck.
TEO R A .-
El voltaje positivo UA en e l cátodo del tubo de rayos X srcina que los electrones sean emitidos desde el cátodo co n sólo una distribuci ón de energía bastante baja para acelerar. Al alcan zar el cátodo, los electrones tienen la e nergía: (1) E kin = e U A donde e = carga elemental Una porción de los electrone s serán desacelerados progresiv amente en la llegada , y su energía cinética será convertida en radiación electromagnética con una distribución continua de energía. Algunos electron es, sin embargo, tendrán su energía cinética convertida en radiación electromagnética en un solo paso, dando al bremss trahlung un límite de longitud de onda mínima. En 19 15, Duane y Hunt encontraron empíricamente que el producto del voltaje del ánodo y la longitud de onda más pequeñ a λ min es una constante, y que la siguiente relaciónse cumple :
U A . λ min ∝ 1,25 × 10 −6 Vm
(2)
Esta relación puede ser derivada fácil mente de la ecuación de cenergía de Einstein, según la cuál: E kin = e U A = h ν max = h (3) λ
Donde: La constante de Planck h = 6,6256 × 10 −34 Js La velocidadl de luza c = 2,9979 × 10 8 m / s Lacargaelemental e = 1,6021 × 10 −19 As
min
1 Vm . UA El análisis de los rayos X policromáticos se lleva a cabo usando un monocristal. Si los rayos X in ciden bajo un ángulo oblicuo θ, i nterferencia co nstructiva sólo a parecerá e n reflex iones si los trayectos de las ondas parciales reflejadas sobre los os de la red difieren en una o más longitudes de onda. Esta situación es descrit a por la ecuación Bragg: 2 d sen θ = n λ (4) Donde: La constante de red del LiF e d s= 201,4 n = orden de difracción . ;pm hc De (3) y (4), obtenemos: UA = (5) 2 e d sen θ El cálculo para la longi tud de o nda más pequeña llega a ser:
λ
min
= 12,398 × 10 −5
37
EQUIPOS Y MATERIALES .-
UnidadderayosX Goniómetro Tubo de rayos X con ánodo de Cu
TubocontadortipoB CristaldeLiF(100)d=2.014 10 Computador personal
×
-10
m
PROCEDIMIENTO .-
1. Instalar el tubo de rayos X con ánodo de cobre y monta el experimento como se muestr a en la Figura 1.
Figura 1.-Montaje experimental para el análisis de rayos X
2. Fijar e l diafragma tubular de 1 mm de diámetro en la s da de l tubo de rayos X y montar el monocristal de LiF en el soporte d el goniómetro. Cerra y asegurar la puerta. 3. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure. Seleccionar del menú Archivo/Nueva medida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. 4. En el cuadro de diálogo introduci r los siguientes va lores: Tipo de medida :espectro Corrientedeemisión :1mA : ángulo del cristal Registro de datos Tiempo de integración : 2 s Tensiónconstante :35kV Modorotación :acoplado2:1 Cristal LiF : Ángulodearranque : 3º Absorbedor :sinabsorbedor ngulodeparada :55º : 0,1º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo 5. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciar medida. Cuando termine e l registro, arc hivar e l espectro obtenido. 6. Seleccionar del menú Archivo/Nueva medida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. 7. En el cuadro de diálogo introduci r los siguientes va lores: Tipo de medida : e spectro Corrientedeemisión :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración : 2 s Tensión 33 : kV Modorotación acoplado : 2:1 : 3º Cristal LiF : Ángulodearranque 38
Absorbedor :sinabsorbedor Ángulodeparada :21º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo : 0,1º 8. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciarmedida . Cuando termine e l registro, arc hivar e l espectro obtenido. 9. Repita el paso 7 considerando tensiones de 31 kV, 29 kV, 27 kV, etc. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciarmedida . Cuando terminen los registros, archivar los e spectros o btenidos. .CUESTIONARIO
1. Obtener el espectro de rayos X del cobr e usando el analizador de LiF y determi nar los valores de los ángulos correspondientes a las líneas de intensidad Ka y Kß de los dos primeros órdenes de difracción. 2. Obtener los espectros de rayos X del cobre a d iferentes voltajes como función del ángulo de Bragg, usando el monocristal de LiF como analizador. A partir de la ecuac ión (4) determine los v alores de λ min en cada caso. 3. ¿Por qué para desarrollar esta experiencia se usa el t o de rayos X con ánodo de cobre con analizador de LiF? 4. Represente en un gráfico los valores de λ min como una f unción de los valores recípro cos de los voltajes del ánodo 1 / U A . Determine la pendiente de la gráfica. 5. Del análisis de la gráfica anterior se puede afirmar q e se verifica la ley del desplazamiento de Duane-Hunt. 6. Represente en un gráfico los valores del sen θ como una función de los valores recíprocos de los voltajes del ánodo 1 / U A . Determine la pendiente de la gráfica. 7. Del análisis de la gráfica anterior, determine el valo experimental de la constante de P lanck. 8. Usando la ecuación (5) y los valores de θ del espectro de rayos X del cobre, encuentre las energías de sus líneas características.
39
LABORATORIO 7 LEY DE MOSELEY
OBJETIVOS.•
•
Determinar las longitudes de onda y las frecuencias de las líneas características de los espectros de rayos X de tubos con ánodos de Cu , Fe y Mo . Verificar experimentalmente la ley de Moseley.
TEO R A.-
La energía de enlace de un electrón en la capa de un átomo de número cuántico principal es n me e4 1 2 dada por: (1) En = − ( Z − σ) 2 ( n = 1, 2, 3, ......) 8 ε0 h 2 n Donde: m e = 9,1091 × 10 −31 kg es la masa del electrón e = 1,6021× 10 −19 As es la c arga del electrón h = 6,6256 × 10 −34 Js es la co nstante de P lanck ε 0 = 8,8544 × 10 −12 N −1m −2 C 2 es la permitividad del vacío Z es el n úmero a tó mico σ es la constant e de a pant allamiento. Cuando la transferencia de un electrón de la capa L (n = 2) a la capa K (n = 1) tiene lugar, entonces se genera la radiación de rayos X característ K α. La frecuencia ν de esta radiación 4
es, de (1):
ν = ∆E = m e e 3 ( Z − σ) 2 12 − 12 Ley de Moseley h 8ε0 h n1 n 2 1 1 m e4 ν = f R (Z − σ) 2 2 − 2 donde: ; fR = e = 3,2899 × 1015eslafrecuenciadeRydberg 3 n n 8 ε h 1 2 0
Con n1 = 1 y n 2 = 2 , sigue de (2) que :
ν=
1 3 f R (Z − σ ) 2
(2) . (3)
EQUIPOS Y M ATERIALES .UnidadderayosX Goniómetro Tubo de rayos X con ánodo de Cu Tubo de rayos X con ánodo de Mo
TuboderayosXconánododeFe TubocontadortipoB Cristal de LiF (100) d = 2.014 10 × Computador personal
-10
m
PROCEDIMIENTO .-
1. Instalar el tubo de rayos X con ánodo de cobre y monta el experimento como se muestr a en la Figura 1. 2. Fijar e l diafragma tubular de 1 mm de diámetro en la s da de l tubo de rayos X y montar el monocristal de LiF en el soporte del goni ómetro . Cerrar y asegurar la puerta. 40
3. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure. Seleccionar del menú Archivo/Nueva medida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones.
Figura 1.-Montaje experimental para el análisis de rayos X
4. En el cuadro de diálogo introduci r los siguientes va lores: Tipo de medida :espectro Corrientedeemisión :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración : 2 s Tensiónconstante :35kV Modorotación :acoplado2:1 Cristal LiF : ngulodearranque : 3º Absorbedor :sinabsorbedor Ángulodeparada :55º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo : 0,1º medida . 5. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciar Cuando termine el registro, arc hivar e l espectro obtenido y apagar el equipo de ra yos X. 6. Instalar el tubo de rayos X con ánodo de molibdeno y repetir los pasos 2, 3 y 4 considerando en e l cuadro de diálogo: ángulo de a rranque: 4° y á ngulo de parada: 65°. 7. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciar medida . Cuando termine el registro, arc hivar e l espectro obtenido y apagar el equipo de ra yos X. 8. Instalar el tubo de rayos X co n ánodo de fierro y repe tir los pasos 2, 3 y 4 considerando en el cuadro de diálogo: ángul o de a rranque: 4° y á ngulo de para da: 80°. 9. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciar medida . Cuando termine el registro, arc hivar e l espectro obtenido y apagar el equipo de ra yos X. 10. De cada espectro de rayos X obtenido, i dentificar los ángulos de las líneas características Kα para los diversos órdenes de difracción y, usando la ecuación de Bragg, calcular las longitudes de onda y frecuencias correspondientes . Representar los valores obtenido s e n la Tabla N° 1. Tabla N° 1
1=n Elemento Z Fe 26 Cu 29 Mo 42
θ
(°)λ
2=n θ λ (pm)
3=n θ (°)
λ
(pm)
(°)
(pm)
λ (pm)
ν (10 8 s −1/ 2 )
41
11. De cada espectro de rayos X obtenido, identificar los ángulos de las líneas características Kβ para los diversos órdenes de difracción y, usando la ecuación de Bragg, calcular las longitudes de onda y frecuencias correspondientes . Representar los valores obtenido s e n la Tabla N° 2. Tabla N° 2
1=n Elemento
Z
Fe
26
Cu Mo
29 42
θ (°)λ
2=n (pm) θ λ (°)θ
3=n λ(pm)
(°)
(pm)
λ (pm)
ν (10 8 s −1/ 2 )
.CUESTIONARIO
1. Usando los valores de la Tabla N° 1, graficar ν en función de Z. Interpretar la gráfica y obtener la ecuación que relaciona las variables. 2. De la gráfica anterior, se verifica la ley de Moseley para las líneas K α. ¿Cuál es el valor de la constante de apantallamiento? 3. ¿La pendiente de la gráfica coincide con el valor de la constante de la ecuación (3)? 4. Usando los valores de la Tabla N° 2, graficar ν en función de Z. Interpretar la gráfica y obtener la ecuación que relaciona las variables. 5. De la gráfica anterior, se verifica la ley de Mosel ey para las líneas K β. ¿Cuál es el val or de la constante de apantallamiento? 6. Resolver la ecuación de la frecuencia que corresponda a la transición desde n = 3 a n = 1 . 7. e¿La pendiente de la gráfica para las líneas K β coincide con el valor de la co nstante de la cuación obtenida?
42
CA P TULO 3 PROPIEDADES DE LOS RAYOS X II 3.1 ABS ORCI N
Más del entendimiento de las transiciones electrónicas que pueden ocurrir en los átomos pueden ser obtenida considerando no sólo la interacción de los e lectrones y los átomos, sino también la interacción de los rayos X y los átomos. Cuando los rayos X encuentran cualqu ier forma de ma teria, son en parte transmi tidas y en parte absorbidas. Los experimentos muestr an que la disminuc ión fracciona en la intensidad I de un haz de rayo s X a med ida q ue pasa a través de cualquier substancia homogénea es proporcional a la distancia atravesada, x . En forma diferencial dI − = µ dx (3.1) I Donde la constante de proporcionalidad µ es llamada el coeficiente de absorción lineal y depende de la substancia considerada, su densidad, y la longitud de onda de los rayos X. La inte grac ión de la ecuación ( 3.1) da (3.2) I x = I 0 e −µ x donde I 0 = intensidad del haz de rayos X incidente y I x = inte nsidad del h az transmitido después de pasar a través de un e spesor x. El coeficiente de absorción lineal µ es proporcional a la densidad ρ, lo que significa que la cantidad µ/ρ es una constante del material y es independiente de su estado físico (sólido, líquido o gas). Esta última cantidad, llamada el coe ficiente de absorción másico, es la que se tabula usualmente. La e cuación ( 3.2) puede entonces ser reescrita en u na forma más utili zable: I x = I 0 e − (µ / ρ ρ x (3.3) Valores del coeficiente de absorción másico son dados la Tabla N° 2 del A nexo para diversas longitudes de onda carac terísticas usadas e n difracción. Es ocasionalmente necesario conocer el c oeficiente de absorción másico de una s ubstancia que contiene más de un elemento. Si la substancia es una mezcla mecánica, una solución, o un compuesto químico, y si están en estado s ólido, líquido, o gaseoso, su coeficiente de abso rción másico es simplemente el promedio ponderado de los coeficientes de absorción má sico de sus elementos constituyentes. Si ω1 , ω2 , ω3 , etc., son las fracciones en peso de los elementos 1,
2, 3, etc., en la substancia y (µ / ρ)1 , (µ / ρ) 2 , (µ / ρ) 3 , etc., sus coeficientes de absorción másicos, entonces el coeficiente de absor ción másico de la subs ancia es dado por
µ µ µ µ = ω1 + ω 2 + ω3 + ... ρ ρ 1 ρ 2 ρ 3
(3.4)
La forma en la cual el coeficiente de ab sorción varía c on la longitud de onda da la pista para la interacción de los rayos X y los átomos. La curva inferior de la Fig ura 3.1 muestra esta variación un absorbente níquel; es típico de todos materiales. La curva consta dos ramaspara similares separadasdepor una discontinuidad bienlosdefinida llamada un borde dede absorción. A lo largo de cada rama e l coeficiente de absorción v a ía con la longitud de onda aproximadamente conforme a una relación de la forma 43
µ = k λ3 Z3 ρ
(3.5)
Donde: k = constante, con un valor diferente para cada rama de la curva , y Z = nú mero atómico de l absorbent e. Los rayos X de longitud de onda corta son por lo tanto altamente penetrantes y son llamados duros, mientras que los rayos X de longitud de onda larga son fácilmente absorbidos y son llama dos suaves . La materia absorbe los rayos X en dos formas dispersión y por absorción verdadera,la y distintas, estos dospor procesos conjuntamente constituyen absorción total medida por la cantidad µ/ρ. La dispersión de los rayos x por los átomos es similar de muchas maneras a la dispersión de la luz visible por partículas de polvo en el aire. Tiene lugar en todas las di recciones, y dado que la energí a en los haces dispersados no aparece en el haz transmitido, es, así como el ha z transmitido es afectado, llamado absorbido. Es su ficiente notar aquí qu e, con excepción de los elementos m uy ligeros, es responsable sólo de una fracción pequeña de la absorción total. La absorción verdadera se debe a las transiciones electrónicas dentro del átomo y es mejor considerada desde el punto de vista de la teoría cuántica de la radiación. Así como un electrón de suficiente energía puede golpear un electrón K,
R O P A Í G R E N E
) g r e ( O T N A U C
Energía crítica W K para desalojar un electrón K del níquel
Borde de
absorción K
Figu ra 3.1.- Variación de la energía por c uanto de rayos X c on la longitud de onda y el coeficien te de absorc ión másico del níquel.
por ejemplo, fueraundecuanto un átomo y así X causar la emisión de que la radiación ística K, de así también lo puede de rayos incidente, con tal tenga la caracter misma cantidad energía mínima W K . En este últi mo c aso, el electrón expul sado es llamado un fotoelectrón y la radiación característica emitida es llamada radiación fluorescente . Irradia en todas las direcciones y tiene exactamente la misma longitud de o que la radiación característica causada por el bomba rdeo de e lectrones en un blanco de metal. (En efecto, un á tomo con una vacancia en la capa K siempre emite radiación K sin importar cómo fue creada srcinalmente la vacancia.) Este fenómeno es el equivalente en los rayos X del efecto fotoeléctrico en la región u ltravioleta de l espectro; a llí, los fotoelectrones pueden ser expulsados desde las capas más externas de un átomo de metal por acción de la radi ación ultravioleta, siempre que tengan una longitud d e onda me nor que un c ierto va lor crítico. Decir que la energía de los cuantos incidentes debe ex er a un cierto valor W K es equivalente a decir que la longitud de onda debe ser menor a un cierto valor λ K , dado que la energía por cuanto es hν y la longitud de onda es inversamente propo rcional a a frecuencia. Est as relaciones pueden ser esc ritas hc WK = h ν K = λ K (3.6) donde ν K y λ K son la frecuencia y la longitud de onda, respectivamente, del borde de absorción K. 44
3.2 FILTROS
Muchos experimentos de difracción de rayos X requieren ción que sea tan estrechamente monocromática como sea pos ible. Sin embargo, el haz de un tub o de rayos X ope r ado a un voltaje por encima de V K contiene no sólo l a línea fuerte K α sino que tambi én la línea más débil K β y el espect ro continuo. La intensidad de estas compo nentes indeseables puede ser disminuida en relación a la intensidad de la línea K α haciendo pasar el haz porun filtro hecho de un material cuyo borde de absorción K se ubica entre las longitudes de on da K αy K βdel metal del blanco. Tal material tendrá un número atómico 1 o 2 menos que l del metal del blanco. β mucho Un filtro asíKseleccionado la componente más fuertemente quedosla componente cambi oerábrusco en su coefiKciente de absorci ón entre est as α, debido al absorb longitudes de onda. El efecto de filt rac ión es mostrado en la Figura 3.2, en la cual los espectros parciales de los hace s no filtrados y filtrados de un lanco de cobre (Z = 29) se muestra n superpuestos sobre un gráfico del coefici ente de absor ión más ico del filtro de l níque l (Z = 28).
D A D I S N E T N I
O IC S Á M N IÓ C R O S B A E D E T N E II C F E O C
(a) Sin filtro
(b) Filtro de níquel
Figu ra 3.2.- Espectro de radiación del cobre (a) sin y (b) con
filtro
El espesor del filtro es más bajo que la razón de intensidad es K β a K α en el haz transmitido . Pero la filtración nunca es perfecta, claro está, no importa cuán grueso es el filtro , y uno debe sopesar entre la supresión razonable de la componente K β y el inevitable debilitamiento de la componente K α que lo acompaña. En la pr áctica se encuent ra que una reduc ción en la intensidad de la línea K α a casi la mitad de su valo r srcinal disminuirá la razón de intensidades Kβ a K α de casi 1/9 en el haz de incidente a casi 1/500 en el haz transmitido; este nivel es suficientemente bajo para la ma yoría de los propósit os . La 2 del muestra yloslosfiltros usados en ón cpara on losla metal Apéndice del Tabla blanco,N°los espesores requeridos, coeficientes deconjunci transmisión línea Ks comunes α. Los materiales del filtro son usualmente usados en forma de hojas finas metálicas delgadas. Si no es posible obtener un metal dado en forma de una hoja ina estable, entonces el óxido del metal 45
puede ser usado. El óxido en polvo es mezclado con un mezclador adecuado y esparcido sobre un papel, la ma sa de metal requerida por unidad de área es dada en la Tabla N° 2.
3.3 DETE CCI N DE LOS R AYOS X
El principalesmedios usados para detectar los haces de r ayos X son las pantallas fluorescentes, la película fotográfica y los apara tos de ionización . 3.3.1.- Las pantall as fluo rescente s .Son hechas de una cap a delgada de sulfuro de cinc, que contiene una pequeña cantidad de níquel, montad a sobre un apoyo de cart ón. Bajo la acción de l os rayos X, este compuesto es fluorescente en la región visible, esto es, emite luz visible, en este caso luz amarilla. Aunque la mayoría de los hac es difractados son d emasiados débile para ser detectados por este método, las pantallas fluorescentes son ampliamente usadas en trabajo de difracción para localizar la posición del haz primar io cuando se ajusta el aparato. Un cristal que es fluorescente también se puede usar en adición con un fototubo ; la combinación, llamada un contador de centel leo, es un detector muy sensibl e de los ra yos X.
3.3.2.- La pelí cula fotog ráfica.Es afectada por los rayos X en la misma forma como por la luz visible, y la película es el medio más ampliamente usado para el registro de los haces difractados de rayos X. Sin embargo, la e mulsión sobre la pe lícula or dinaria es demasiado delgada para absorber mucho de la radiac ió n X incidente, y sólo los ra yos X absorbidos pueden ser e fectivos para e nnegrecer la película. Por esta razón, las películas radiográficas son hechas con capas gruesas de emulsión por ambos lados para aumentar la absorción tota l. El tamaño del grano es también hecho grande por el mismo pr opósito: esto tiene la c onsecuencia desafortunada de que las pe lículas de rayos X que están llenas de granos, no resuelven el detalle fino, y no pueden resistir mucho estiramiento. Debido a que e l coeficiente de absorción másico de cualquier sustancia varía con la longitud de onda, sigue que la sensibilidad de la película, esto es, la cantidad de ennegrecimiento causado por los haces de rayos X de la misma intensidad, depende de su longitud de onda. Ésto se debería tener en mente cuando la radia ción blanca sea egistrada fotográf icamente; por una cosa, esta variación de la sensibilidad altera la forma efectiva del espectro continuo. Por otro lado , las intensidades relativas de haces de la m isma longitud d e on da pueden ser exactamente medidas por el medio f otográfic o.
3.3.3.- Los aparatos d e i onización.Miden la intensidad de los haces de rayos X por la cantidad de ionización que producen en un gas. Los cuantos de rayos X pueden causar ionización sólo cuando elec trones de alta velocidad puedan extraer de un golpe un electrón de una molécula de l gas y dejar un ión positivo. A partir de este fenómeno se puede tener la base para las medidas de intensidad haciendo pasar e l haz de rayos X a tr avés de una cámara que contiene un gas apropiado y dos e ectrodos que tienen una diferencia de potencial constante entre ellos. Los electrones son atraídos hacia el ánodo y los iones positivos hacia el cá todo produciéndose una corriente en un circuito e xterno . En la cámara de ionización, esta corriente es constante para una intensidad de rayos X constante , y la magnitud de la corriente es una medida de la intensidad de los rayos X. En el 46
contador Geiger y en el contador proporciona l, estas corrientes pulsan, y el número de pulsos por unidad de tiempo es proporcional a la intensidad d ayos X. En genera l, las pantallas fluorescentes son usadas hoy en día sólo para la detección de hace s de rayos X, mientras que la película fotográfica y las diversas as de contadores permiten la detección y medida de la intensidad. La película fotográfica es el método más ampliamente usado para observar efectos de difracción, porque p ueden registrar un número de haces difractados a la vez y sus posiciones relativas en el espacio y la película puede ser utilizada como una ba se para las medidas de intensidad si fuese eseado. Las intensi dades pueden ser medidas mucho más rápidamente con contadores , y estos instrumentos están volviéndose cada vez más po pulares para el traba jo cuantitativo. Sin embargo, registran sólo un haz difractado a la vez. 3.4 P RECAUCIONES DE SE GURIDAD
El operador de apar atos de rayos X está expues to a dos peligros obvios, choque eléctrico y lesión por radia ción, pero ambos peli gros pueden redu cirse a proporciones insignificantes por el diseño apropiado del equipo y el cuidado razonable parte del usuario. No obstante, es sólo prudente que la persona que labora con rayos X se dé continuamen te cuenta de estos peligros. El peligro de choque eléctrico está siempre presente en torno al aparato de alto voltaje. El extremo del ánodo de la mayoría de los tubos de rayos stá usualmente conectado a tierra y por c onsiguiente es seguro, pero el extremo del cátodo es una fuente de peligro . Los tubos de gas y los tubos de filamen to de la variedad a prueba de choqu e debe ser montado tal que su extremo del cátodo sea absolutamente inaccesible al us ario durante la operación; esto puede ser llevado a cabo poniendo el extremo del cátodo deba o de una mesa, en una caja, detrás de una pantalla, etc. La instalación debería ser tan ingeniosa que sea imposible para el operador tocar las partes del a lto voltaje parte sin que automáticamente se desconecte el alto voltaje. Los tubos sellados a prueba de choques están también disponibles: estos son empotrados en una cubierta de metal puesta a tierra, y un cable aislado, a prueba de choques que conecte el extremo del cá todo al transformador . Siendo a prue ba de choques, tal tubo tiene la ventaja que no necesita estar permanentemente fijo en posición sino que puede ser puesto en diversas posiciones según lo requerido para experiment os específicos. El peligro de la radiación es debido al hecho que los yos X pueden matar tejido humano; de hecho, es precisamente est a propiedad la que es utilizada en la terapia de rayos X para el aniquilamiento de células cancer ígenas. Los efectos biológicos de los rayos X incluyen quemaduras (debido a haces de alta intensidad localiza enfermedad de radiación (debido a radiación recibida generalmente por todo el cuerpo) y, a un nivel inferior de intensidad de radiación, mutaciones genéticas. Las quemaduras so n dolorosas y puede n ser difíciles, si no imposible, de sanar. Las exposiciones leves a los rayos x no son acumulativ , pero arriba de un cierto nivel llamado la "dosis de tolerancia," ellas tienen un efecto acumulativo y pueden producir lesión permanente. Los rayos X usados en difr son particularmente dañinos porque tienen longitudes de onda relativamente largas lo tanto fácilmente absorbidos por el cuerpo. No hay excusa hoy para recibir lesiones serias como la que los anteriores trabajadores de rayos X adquirieran por ignoranc ia. Probablemente no hubi eran accidentes si l os rayos X ueran visibles y produjeran una sensación inmediata de ardor, pero son invisibles y las quemaduras no pueden ser inmediatamente sentidas. Si el cuerpo ha recibido radiación general por encima de la dosis de tolerancia, entonces el primer efecto notable será un decrecimie del conteo de 47
glóbulos blancos, entonces recuentos sanguíneos periódicos son recomendables si existe cualquier duda acerca del nivel de intensidad general en e l laboratori o. El procedimiento más seguro que el experimentador debe seguir es: prime ro, localizar el haz primar io de l tubo con una pequeña pantalla fluorescente fija al extremo de una barra y e n lo sucesivo evit arla; y segundo, asegurarse que él está adecuadamente blindado por pl mo o pantallas de vidrio con plomo de la radiación dispersa por la cámara u otros aparatos que puedan estar en el recorrido del haz primario. La atención estricta y constante a estas precauciones garantizará la seguridad . Como la unidad de rayos X produc e radiación que es ri esgoso para la salud, sólo debe ser operada por p ersonal apropiadamente capacitado y ca lificado. Durante el manejo de la unidad de rayos X, todas las medidas y obligaciones reglamen tarias detalladas en la legislación de uso de los rayos X deb er estrictamente seguidas. El operador debe po ner atención parti cular a lo sigu iente: •
•
•
la un idad de rayos X debe estar bien prot egida tal que no puedan t ener acceso personas no autorizadas. la unidad de rayos X no debería ser mantenida en funcionamiento por más tiempo que el necesario. cuando la unidad está en operación, ninguna persona debería qu edarse más tiempo que el necesario en sus a lrededores próximos.
La operación de la unidad está prohibida cuando : •
• •
la puer ta corrediza, que es hecha de vidrio acrílico c teniendo plomo y que abre el área de experiment ación, o la ventana de v idrio protectora para la ob servación del tubo de ray s X, o la pan talla fluorescen te e stá dañad a. el ventilado r en el lado de inserción del tubo dentro de la unidad no opera (prueba acústica). los circuitos de seguridad para interrumpir la operación del tubo durante la apertura de la puerta corrediza no operan perfectamente .
48
LABORATORI O 8 AB SO RC I N D E R AY OS X
OBJETIVOS.•
•
•
Examinar el comportamiento de la absorción como una función del espesor del absorbedor y la longitud de onda de la radiac ión primar ia. Determinar el coeficiente de a bsorción má sico del aluminio. Probar la validez de µ / ρ = f (λ3 ) .
TEO R A .-
Si rayos X con intensidad I 0 penetran la materia de espesor de capa d, entonces la intensidad detrás de la capa es dada por: I = I 0 e − µ (λ d ( 1) La cantidad µ en la unidad cm -1, se denomina coeficiente de atenuación lineal y dep ende de la longitud de onda λ de la radiación primaria y el número atómic o Z. Para poder comparar d irectamente las absorbancias de los diversos materiales, es ventajoso usar el llamado espesor medio d1 / 2 . Esto simboliza el espesor del material que reduce la intensidad de la radiación primaria a la mitad. Al aplicar el espesor medio, la ecuación ( 1) se 1 convierte en : d 1 / 2 = 0,69 (2) µ
Dado que el coeficiente de atenuación es proporcional la masa, el coeficiente de absorción másico µ / ρ (donde ρ es la densidad de masa en la unidad cm 2 /g) se usa frecuentemente . La atenuación de la intensidad es de bida a los siguientes procesos: 1. El efect o fotoeléctrico 2. Dispersión 3. Producción de pares El proceso 3 concierne a la radiación gama, debido a la energía mínima requerida, igual al doble de la can tidad d e ene rgía en reposo del electró n. 2 E 0 = 2 m 0 c 2 = 1,02 MeV El coeficiente de absorción para los rayos X por lo tanto comprende los siguientes componentes: µ = τ+σ (3) τ = coeficiente de absorc ión fotoeléctrica σ = coef iciente de dispersión Para el rango de longitud de onda usada aqu í, el efecto fotoeléctrico es l a causa primordial de la absorción. Así: τ > σ . La siguiente ec uación (derivativa e mpíricamente) se ap ica con suficiente prec isión : τ ρ
≈
µ ρ
= k (λ3 Z3 )
(4)
Donde: Z = n úmero atómic o. 49
Los factores numéricos citados anteriormente de la con ante k sólo corresponden a las longitudes de onda λ < λ K , por lo cual λ K es entendida como la longitud de onda correspondiente al borde de absorción del nivel de energía K. Otros factores numéricos s e aplican para λ K < λ . Para producir la radiación monocromática necesaria par l análisis de absorción del espectro de rayos X del cobre , se utiliza un monocristal como monocromador. La longitud de onda λ es determinada por la ecuación de Bragg: 2 d sen θ = n λ (5) Donde: θ = ángulo de barrido n = orden de difracción d = 201,4 pm = constante de red del cristal LiF EQUIPOS Y MATERIALES .-
UnidadderayosX Goniómetro Tubo de rayos X con ánodo de Cu Juego de ab sorción para rayos X
TubocontadortipoB CristaldeLiF(100) d=2.014 10 Computador personal
×
-10
m
PROCEDIMIENTO .-
1. Instalar el tubo de rayos X con ánodo de cobre y montar el experimento como se muestra en la Figura 1.
Figura 1.-Montaje experimental para el estudio de absorción de rayos X
2. Fijar e l diafragma tubular de 1 mm de diámetro en la s da de l tubo de rayos X y montar el monocristal LiF en soporte el computadora goniómetro. Cerra la pu erta. . Seleccionar 3. Encender la de unidad deelrayos X ydla y abriryelasegurar programa measure del menú Archivo/Nueva medida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. 4. En el cuadro de diálogo introduci r los siguientes va lores: 50
5. 6. 7. 8.
Tipo de medida :espectro Corrientedeemisión :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración : 50 s o más Tensiónconstante :35kV Modorotación :acoplado2:1 Cristal LiF : ngulodearranque : 20º Absorbedor : sin absorbedor Ángulo de parada : 21º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo : 0,1º Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciarmedida . Cuando termine el registro, arc hivar e l espectro obtenido y apagar el equipo de ra yos X . Insertar el absorbedor de aluminio de 0,02 mm de espesor en el soporte a la entrada del tubo contador. Repetir los pasos 3, 4 y 5 considerando en el cuadro de diálogo: Absorbedor : Aluminio . Repitir el paso 6 insertando sucesiv ame nte los a bsorbedores de aluminio de 0,04, 0 ,06, 0,08 y 0,1 mm. Obtener las intensi dades transmitidas de cada uno de los registros y anot ar sus valores en la Tabla N° 1. Tabla N° 1
I (Imp/s) I/I0 d(mm)
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
9. Insertar el absorbedor de aluminio de 0,08 mm de espesor en el porte a la entrada del tubo contador y fijar la posición del detector en 6°.Repetir los pasos 3, 4 y 5 considerando en el cuadro de diálogo los siguientes valores, después de haber obtenido un registro sin absorbedor : Tipo de medida :espectro Corrientedeemisión :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración : 50 s o más Tensión c onstante : 25kV Modorotación : ninguna Cristal LiF Ángulo dearra 6º Absorbedor :: Aluminio Ángulo deparadanque :: 6º : ninguno Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo 10. Repetir el paso 9 cambiando sucesivam ente la posición el detector a 8°, 10°, 1 2°, 14° y 16°. 11. Obtener las intensidades transmitidas de cada uno de los registros y anotar y completar los valores en la Tabla N° 2, considerando para e l aluminio ρ = 2,7 g / cm 3 . Tabla N° 2
θ (°)
6
8
10
12
14
16
λ (pm)
I 0 (I mp/s)
I (Imp/s) I/I0 µ (cm-1) µ/ρ(cm 2/g)
51
.CUESTIONARIO
1. Usando los valores de la Tabla N° 1, gra ficar I / I 0 en función de d en una escala semilogarítmica. Interpretar la gráfica y obtener la ecuación que relaciona las variables. 2. De la gráfica anterior, se verifica la ley de la abso rción para e l aluminio. ¿Cuál es el valor de l coeficiente de atenuación lineal? 3. ¿La pendiente de la gráfica coincide con el valor de la constante de la ecuación ( 1)? 4. A partir de la ecuación (2), determinar el espesor medio para el aluminio y su coeficiente de absorción másico . 5. Usando los valores de la Tabla N° 2, g raficar 3 µ / ρ en función de λ. Interpretar la gráfica y obtener la ecuación que relaciona las variables. 6. De la gráfica anterior, se verifica la ecuación (4) . Considerando que para el aluminio Z = 13 , ¿cuál es el valor de la constante k?
52
CA P TULO 4 GEOMETR A DE LOS CRI STALE S I 4.1 REDES
Conjuntos de puntos imaginarios que tienen una relación fija en el espacio constituyendo un armazón sobre el c ual el cristal se construye. En la Figura 4.1 tres conjuntos de planos - cada uno de ellos paralelos e igualmente espaciados dividen el espacio en un conjunto de celdas idénticas en tamaño, forma y orientación: celda unitaria. Cada celda es un paralelepípedo. Los planos que dividen el espacio se interceptarán unos con otros en un conjunto de líneas y é stas a su vez se interceptarán en un conjunto de puntos: puntos de la red.
- Red puntual Figura 4.1.
El tamaño y forma de la celda unitaria es descrito por tres vectores a , b y c dibujados desde una esquina de la celda tomada como srcen, como se muestra en la Figura 4.2 . Los tres vectores definen los ejes cristalográficos de la celda y pueden ser descritos en términos de sus longitudes a , b y c y los ángulos α, β y γ entre ellos.
- Ce lda unitaria Figura 4.2.
4.2 SISTEMAS CRISTALINOS
Siete diferentes redes puntuales se obtienen al poner ntos en las esquinas de la celda unitaria de los siete sistemas cristalinos. Sin embargo existen ot arreglos de puntos que cumplen los requerimientos de una red puntual, esto es, que cada punto tiene alrededores idénticos. Según Bravais existen catorce redes puntuales posibles. Las catorce redes de Bravais son descritas y represent das en las Figura 4.3 y pueden ser celdas simples o primitivas y celdas no primitivas. Las celda rimitivas tienen sólo un punto de red por celda mientras que las celdas no primitivas tienen más de uno. El número de puntos de red por ce lda es dado por:
N = Ni +
Nf Nc + 2 8
(4.1)
Donde: N i = número de puntos interiores en la celda,N f = número de puntos en las caras y N c = número de puntos en las esquinas.
53
En la Figura 4.3, a los ejes de igual longitud en un s stema particular le han sido dados el mismo símbolo para indicar su igualdad. Sistema
Primitiva
BaseCentrada
Cuerpo Centrado
CaraCentrada
Triclínico
a ≠ b ≠ c; α≠β≠ ≠ 90º Monoclínico
a ≠ b ≠ c; α γ = 90º; β =≠ 90º
Ortorrómbico
a ≠ b ≠ c; α= β= γ= 90º
Trigonal
a = b ≠ c; α= β= 90º; γ = 120º a = b = c; α= β= γ ≠90º Tetragonal a = b ≠ c;
α= β= γ= 90º
Hexagonal
a = b ≠ c; α= β= 90º; γ = 120º
Cúbico
a = b = c; α= β= γ= 90º
- Sistemas cristalinos y Redes de Bravais Figura 4.3.
54
4.3 CELDAS PRIMITIVAS Y NO PRIMITIVAS
En cualquier red puntual una ce lda unidad puede ser elegida en un n úmero infinito de forma s y puede contener uno o más puntos de red por celda. Es importante notar que las celdas unidad no existen como tal en una red: Son una construcción mental y en consecuencia pueden ser elegidas a nuestra conveniencia. Las celdas convencionales mostrada s en la Figura 4.3 son elegidas simpleme nte po r conveniencia y p or adaptarse a los elementos de simetría de la red. Cualquiera de las catorce redes de Bravais pueden ser referidas a una celda u nidad primitiva. Por ejemplo, la red cúbica cara centrada mostrada en la Figura 4.4 puede ser referida a la celda primitiva indicada por líneas a trazos. La última celda romboédrica, su ángulo axial a es 60° , y cada uno de sus ejes es 1/2 veces la longitud de los s de la celda cúbica. Cada celda cúbica tiene cuatro puntos de red asociados con ella, cada celda romboédrica tiene uno, y la primera tiene, correspondientemente, cuatro veces el volumen de la última. No obstante, es usualmente Figura 4.4.- Red puntual cúbica cara centrada referidas a celdas cúbica y más conveniente usar la celda cúbica en vez de la romboédrica porque la anterior inmedi atamente sugiere a romboédrica. simetría cúbica que la red posee en la actualidad. Similarmente, las o tras celdas centrad as no primi tivas de la Figura 4.3 son preferi das a las posibles celdas primitivas en sus redes respectivas. Si se usan celdas de red no primitivas, entonces el ve tor desde srcen a cu alquier punto en la red tendrá ahora componentes que son múltiplos no ente de los vecto res de la celda unidad a , b , c . La posición de cualquier punto de la red en una celda puede ser dada en términos de sus coordenadas; si el vector desde el srcen de la celda uni dad al punto dado tiene componentes x ae,l punto y b , zA c , en z son fracciones, las tiene coordenadas del punt donde x, y, y4.4 son x y z. Así, la Figura , tomado comoentonces el origen, coordenadas 000o 11 mientras que los puntos B , C y D, cuando se refiere a ejes cúbicos, tienen coorde nadas 0 , 22 1 1 11 11 0 y 0 , respectivamente. El punto E tiene c oordenadas 1 y es equivalente al punto 2 2 22 22 D, estando separado de él por el vector c . Las coordenadas de los puntos equivalentes en celdas unidad diferentes siempre pueden ser hechas idéntica por la adición o sustracción de un 11 conjunto de coordenadas enteros ; en este caso, la sustracción de 001 desde 1 (las 22 11 coordenadas de E) a 0 (las c oordenadas de D). 22 4.4 DIRECCIONES Y PLANOS DE LA RED
La dirección de cualquier línea en una red puede ser descrita por las coordenadas de cualquier punto sobre unaAsí línea paralela a la línea de dada y que el srcen de uejes cristalográficos. [uvw] son los índices la dire ciónp dee lapor línea, dondedel los sistema valores de , vy w son el conjunto de los más pequeños números enteros e los que se pueden expresar las coordenadas del punto sobre la línea. Índices negativo son escritos con una barra sobre el número, por ejemplo [123] . 55
La orientación de un plano en una red se describe por os índices de Miller, definidos como los recíprocos de los interceptos fraccionales que el plano hace con cada uno de los ejes cristalográficos. En general, los índi s de un plano se representan por ( hk l ) , e indican que el plano hace interceptos fraccionales 1/h, 1/k y 1 / l con los ejes, y, si las longitudes axiales son a, b, y c, el plano hace interceptos a/h, b/k y c / l , como muestra la Figura 4.5. Paralelo a cualquier plano, en cualquier red existe todo un conjunto de planos paralelos y equidistantes, uno de los cuales pasa a través del srcen del sistema de ejes cristalográficos; los índic s de Miller
Figura 4.5.- Interceptos seg ún Miller
( hk l ) usualmente se refieren a aquel plano del conjunto que está más cerca al srcen. Los índices de un plano en el sistema hexagonal – llamados los índices de Miller-Bravais – refieren a cuatro ejes y se escriben ( hkil ) . El índice i es el recíproco del intercepto fracciona sobre un eje a 3 ubicado en el plano basal del prisma hexagonal simétricamente relacionado a los ejes iguales y coplanares a 1 y a 2 dispuestos a 120º uno del otro, como muestra la Figura 4.6. Puesto que el intercepto de un plano sobre los ejes a1 y a 2 determina su intercepto sobre a 3 , el valor de i depende de los valores de h y k, según:
(4.2)
h+k =− i
Puesto que i es determinado por h y k, algunas veces se reemplazan por un punto y los índices del plano se escriben ( hk . l ) . Las direcciones en una red hexagonal son mejor expresa términos de los tres vectores básicos a 1 , a 2 y c .
en
Figura 4.6.-Celda unitaria hexagonal
Los planos de una zona son planos que son todos paralelos a una línea – el eje de zona – y la zona se especifica dando los índices del eje de zona. Si el eje de una zona tiene índices [uvw], entonces cualquier plano de índices ( hk l ) que pertenece a esa zona satisface la relación: hu + kv + l w
=
0
(4.3)
Los diferentes conjuntos de planos en una red tienen diferentes valores de espaciado interplanar. Los planos de espaciado grande tienen índices bajos y pasan a través de una a lta densidad de puntos de la red, mientras que los planos de espaciado pequeño tienen índices altos y pasan a través puntosladered la red de baja densidad, como de muestra bidimensional de la Figura 4.7 . Figu ra 4.7.- Redes bidimensionales
56
La distancia interplanar d hkl es una función de los índices ( hk l) de los planos del cristal y de las constantes de la red: a, b, c, α, β y γ . La relación exacta depende del sistema cristalino. a Sistema Cúbico (4.4) d hkl = h2 + k2 + l 2 a Sistema Tetragonal (4.5) d hk l = h 2 + k 2 + l 2 (a 2 / c 2 ) 4.5 ESTRUCTURA CRISTALINA
El principio cardinal dela estructura del cristal es que los átomos de u n cristal son ac omodados en el espacio ya sea en los puntos de una red de Bravais o en alguna relac ión fija a esos puntos. Los cristales más sencillos que el mismo puede imaginar son e s formados colocando átomos de la misma clas e e n los puntos de un enrejado Bravai s. No todos es os cristales exist en pero, afortunadamente para los metalu rgistas, muchos metal es cr istalizan e n e sta moda simple, y la Figura 4.8 mue stra do s estructuras comunes basadas en las r edes cúbicas cen tradas en e l cuerpo (BCC) y centradas en la cara (FCC). La anterior tiene dos átomos por celda unidad y la últi ma cuatro, como podemos hallar reescribiendo la ecuación (2.1) en términos del número de átomos, en vez de puntos de la red, p or celda y aplicando a la celda unitaria mostrada. El siguiente grado de complejidad se encuentra cuando dos o más átomos de la misma clase son "asociados con" cada punto de una red de Bravais, como se ejemplificó por la estructura hexagonal compacta (HCP) comú n a muchos metales. Esta estructura e s hexagonal simple y se ilustra en la Figura 4.9. Hay dos átomos por celda unidad, como es mostrado en (a), uno en 000 y el otro en 211 121 (o en , lo que es una posición 332 332 equivalente).
(a)
Figu ra 4 .8. - Estructuras cristalinas
(b)
(c )
Figura 4.9. -Estructur as hexago nal co mpactas.
La Figura 4.9 ( b) muestra la misma es tructura con el or igen de la celda unidad fijada tal que el 211 punto 100 en la nueva celda está a la mitad de camino entre los átomos 100 y en (a), los 332 nueve átomos mostrados en (a) cor respondiendo a los nueve á tomos marcados con X en ( b). La asociación de pares de átomos con los puntos de una simple red de Bravais hexagonal es 57
sugerida por la línea a trazos en (b) . Notar que los átomos de una estructura hexagonal no forman una red puntual, las vec indades de un átomo en 000 es diferente de la e un átomo en 211 . 332 La Figura 4 .9 (c) muestra todavía otra representación e la estructura HCP: los tres átomos en el inte rior del prisma hexagonal están directamente ar de los centros de triángulos alternados en la base y, si es repetida a través de l espacio por los vec tores a1 y a 2 . 4.6 TAMA O DE LOS
TOMOS Y COOR DINA CI N
El tamaño de un átomo es dado por la distancia más pró de acerca miento de centros atómicos en un cristal del elemento y puede calcularse de los parámetros de la red. Por ejemplo, el parámetro de red del Fe- α es 2,87 A, y en una red centrada en el cuerpo los átomos están en contacto solamente a lo largo de las diagonales del cubo unidad. El diámetro de un átomo de Fe es por lo tanto igual a la mitad de la ongitud de la diagonal del cubo, o ( 3 / 2) = 2, 48 A . Las siguientes fórmulas dan la distancia más próxima de acercamiento en las tres estructuras metálicas comunes: 3 Red Centrada en el cuerpo : BCC = a 2 2 Red Centrada en l as caras : FCC = a 2 Red hexagonal compacta : HCP = a (entre átomosen elplano basal) Red hexagonal compacta
: HCP
=
a2 3
+
c2 4
(entre átomos en el plano basal y vecinos
arriba o abajo) El tamaño de un átomo tiene una ligera dependencia sob su número de coordinación, el cual es el número de vecinos más próximos de un átomo dado y que depende de la estructura cristalina. El número de coordinación de un átomo en estructuras F C, Figura 4.8, o HCP , Figura 4.9 (c), es 12, en e structuras BC C, Figura 4.8, es 8 y en el diamante cúbico 4.
58
LABORATORI O 9
INTRODUCCI N AL P ROGRAMA CARINE CRYSTALLOGRAPHY 3.1 OBJETIVOS.• •
Familiarizarse c on el uso de l programa aplicativo. Identificar las funciones de los elementos de la pa nta la principal de la aplicación.
TEO R A.El CaRIne Crystallography 3.1 es una herramienta informática que permite la creación, visualizac ión y modificación simulada de estructuras c alinas. Realiza diversos cálculos cristalográficos de los diferentes modelos simulando una variedad de condiciones experimentales. El programa puede obtenerse gratuitamente en la versión de prueba 4.0 para el entorno de Windows en la dirección siguiente: http://pros.orange. carine.crystallogra phy/
Figura 1.-Ventana principal del pro grama CaRIne Crystallography 3.1
La Figura 1 muestra la ventana princi pal del CaRIne Crystall ography 3 .1 y pueden desplegarse de ella un conjunto de menús que permiten principalmente: •
controlar au tomáticamente, entre otras: §
la apertura o creación de celdas cristalográficas, 59
§ § •
calcular: § § §
•
la ro tación de las celdas para una me jor visualizac ión de los planos cr istalográficos la traslación de los planos
las distancias entre los átomos de la celda, el ángulo entre las di recciones de los planos, el volumen y la densidad de la celda uni tar ia.
crear: § §
Proyecciones estereográficas. Re gistros de difracción de rayos x para diferentes longi tude s de onda.
EQUIPOS Y MATER IALES.-
Computadora personal Programa CaRIne Crystalloghr aphy 3.1 PROCEDIMIENTO .-
1. Cargar el programa CaRIne Crystalloghraphy 3.1 y usando el comando open cell del menú uesto, a fin de activar File , abrir el archivo correspondiente a la celda ya creada de un algunos comandos de la barra de menús. 2. Colocar el puntero del mouse en cada uno de los menús en cada ca so, el despliegue del cuadro de comandos.
la barra de menús y observar,
3. Observe y registre la lista de comandos e intente definir la función de cada uno de ellos aplicándoselos a la celda del archivo a bierto. CUESTIONARIO .-
1. Identificar los elementos de la pantalla principal del programa CaRIne Crystalloghraphy 3.1. 2. En relación a la pregunta 1, indicar y describir las f ciones de los comandos de los menús: File Edit
Cell hkl/uvw
Calcul Specials
Crystal View
Window ?
60
LABORATORIO 10 CELDA UNITARIA Y PLA NOS C RIST ALOG R FICO S
OBJETIVOS.• • •
Construir la celda unitaria de un cr istal determinado usando e l CaRIne Crystallography 3.1 . Visualizar planos cristalográficos usando e l CaRIne Crystallogra phy 3.1 . Realizar representaciones gráficas de planos cristalográficos.
TEOR A.Las características de los cristales pueden ser fácilmente explicadas asumiendo una estructura reticular para las sustancias cristalinas. La estructura de un cristal es representada Y diagramaticamente en la forma de una red espacial, como se muestra en la Figura 1. Es X decir la red cristalina espacial viene Figura 1.-La red esp acial representada por un conjunto de traslaciones en las tres direcciones del espacio, de tal forma que el cristal puede considerarse como un a pilamiento, en res dimensiones, d e paralelepípedos idénticos. Cada paralelepípedo, de u na forma y tamaño eterminados se denomina celda unidad. Su tamaño viene determinado por la longitud de sus tres aristas a, b y c y la forma por el valor de los ángulos entre dichas aristas a , b y g, como se observa en la Figura 2. La cara unidad es el plano diagonal de e ste paralelepípedo. La celda unitaria es entonces el agrupamiento más pequeño de átomos que conserva la geometría de la estructura que al apilarse en unidades repetitivas forma un cristalina crist l cony dicha estructura.
c b
a
a
b
g
Las unidades axiales a, b y c se asocian a los ejes X( I), Y(II) y Figura 2.- Celda un itaria Z(III) , respectivamente, y los ángulos interaxiales se definen como sigue: a entre los ejes Y(II) y Z(III), b entre los ejes X(I) y Z(III), y g entre los ejes X(I) y Y(II). La posición de cada cara es definida por tres nodos de diferentes filas. La posición en el espacio de cualquier cara del cristal, puede ser definida en términos de tres números enteros, si las direcciones de las tres filas de una red sirve como eje de coordenadas, y los segmentos entre los nodos en la fila s irve como unidad de medida. La orientación de un plano en una red se describe usando los índices de Miller, definidos como los recíprocos de los interceptos fraccionales que el plano hace con cada un de los ejes cristalográficos. En general, los índices de plano se representan por ( hk l ) , e indican que el plano hace
Figura 3.-Interceptos según Mille r
61
interceptos fraccionales 1/h, 1/k y 1/ con los ejes, y, si las longitudes axiales son a, b, y c, el plano hace interceptos a/h, b/k y c / , como muestra la Figura 3. Paralelo a cualquier plano, en cualquier red existe todo un conjunto de planos paralelos y equidistantes, uno de los cuales pasa a través del ori en del sistema de ejes cristalográficos; los índices de Miller ( hk l ) usualmente se refieren a aquel plano del conjunto que está más cerca al srcen. EQUIPOS Y MATERIALES .-
Computadora personal Programa CaRIne Crystalloghr aphy 3.1 PROCEDIMIENTO .-
1. Para crear una celda unidad, la posición de cada átomo debe conocerse. Esto requiere buscar una bibliografía especializada. 2. Seleccionar el comando Ce ll y hacer click en Crea tion para hacer aparecer la caja de diálogo que se mu estra en la figura.
3. La caja de diálogo de la celd a unidad comprende de sei textos para los parámetros de celda (a, b, c, α, β, γ), una lista de posiciones atómicas, siete textos para entrar en las posiciones (símbolo químico, nivel de oxidación, X, Y, Z, R y el actor de ocupación). Un botón permite mo dificar el color de un átomo y cuatro botone permiten a una posición atómica ser a gregada, modificada o b orrada. 4. Hacer click en Mendeleev para obtener la Tabla Periódica donde se puede seleccionar el elemento a considerar. Una vez seleccionado el element hacer click en OK. La Tabla de Mendeleev puede usarse para dar sus características separadamente (el símbolo químico, nivel de oxidación, radio, color y oc upación) .
5. Escribir las coordenadas X, Y y Z y hacer click en
Add.
62
6. Cuando se han completado de definir totas las posicion s de los átomos hacer click en Ap ply. Luego hacer click e n OK . 7. En la pantalla principal de la aplicación, seleccionar el menú F ile y hacer click en Open ce l l para aperturar un archivo existente (na cl .c e l k, c l .c el cosc l.ce l ).
8. De la pantalla obtenida determinar los valores de a, b, c, a, ß, ? y el sistema cristalino al que pertenece el cristal. 9. Usando los controles correspondientes en la caja Rotations, que aparece en la pantalla, realizar rotaciones apropiadas en la celda respect o a ada uno de los ejes X, Y, Z de tal forma que se muestre la mejor presentación posible de celda que permita una buena observación de los planos represen tados.
63
10. Seleccionar choice of (hkl) p lan es del menúhkl/uvw y asignar valores correspondientes a los índices h, k y l, luego hacer Ok para visualizar el plano elegido. De ser necesario co rija la po sición de la celda para u na mejor visualización de l plano. 11. Capturar una imagen para cada plano e indicar los índices q ue le corresponden. 12. Repetir el procedimiento indicado para cada uno de los lanos pedidos y para cada una de las ce ldas creadas. CUESTIONARIO .0
1. Considerando que el ClNa tiene una estructura cúbica de constante de red 5,63 A , que 11 1 1 11 contiene cuatro átomos Cl en las posiciones 000, 0, 0 y 0 y cuatro átomos 22 2 2 22 111 1 1 1 Na en las posiciones , 00 , 0 0y 0 0 , construir su ce lda u nitaria. 222 2 2 2 −
+
2. Construir la celda unitaria del CsCl, en cuya es tructura existe sólo u na molécula por celda, con átomos Cs en los vértices 000 y átomos Cl en las posiciones centradas en el cuerpo 0 111 de la red espacial cúbica simple y constante de red 4,11 A . 222 +
−
3. Construir la ce lda unitaria del ZnS, en cuya estructura existen cuatro moléculas de ZnS por 11 1 1 11 celda, con átomos Zn en las posiciones 000, 0 , 0 , 0 y átomos S en las 22 2 2 22 111 133 313 331 posiciones , , , de la red espacial cúbica cara centrada y 444 40 4 4 444 444 constante de red 5,41 A . 4. Usando el CaRIne Crystalloghraphy 3.1, realizar representaciones gráficas de los planos cristalográficos del ClNa que se indican: (100), (010), (001), (111), ( 111 ) , ( 101) , (211), ( 012 ) . 5. Usando el CaRIne Crystalloghraphy 3.1, realizar representaciones gráficas de los planos cristalográf icos del CsC l que se indican: (100), (010), (001), (111), ( 111) , ( 101) , (211), ( 012 ) . 6. Usando el CaRIne Crystalloghraphy 3.1, realizar representaciones gráficas de los planos cristalográf icos del ZnS que se indican: (100), (010), (001), (111), ( 111) , ( 101) , (211), ( 012 ) .
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CA P TULO 5 GEOMET R A DE LOS CRIST ALES I I 5.1 PROYEC CI N ESF RICA
Si de un punto cualquiera del espacio se trazan normales a todas las caras de un cristal, se obtiene un haz de rectas convergentes en dicho punto. ángulos entre estas rectas serán suplementarios de los á ngulos centrales entre las c aras. Describiendo una superficie esférica de centro en este punto de intersección de las normales mencionadas, ver Figura 5.1, y prolongando éstas hasta la intersección con la superficie esférica, obtendremos en la esfera un conjunto de puntos que determinan unívocamente la posición de las caras. Esto es la proyección esférica cristal. Estos puntos se denominan polos de las caras. Su lugar en la esfera se puede fijar mediante c oordenadas esféricas, latitud y longitud, como se hace en geografía. En lugar de la la i tud medida desde 0º en el ecuador EE hasta +90º en el polo norte y –90º en el sur de la esfera, es más cómodo usar otra coordenada , denominada distancia polar , medida según un meridiano cualquiera a partir del 0º en el polo norte hasta 180º en el polo sur. Con este sistema de notación todos los puntos del ecuador tienen una distancia polar ig ual a 90º. Para las coordenadas esféricas usadas en Cristalografía se han tomado las siguientes notaciones: ρ para la distancia polar y ϕ para la longitud. Esta última se mide según el ecuado a partir del meridiano que se toma como cero. En la Figura 5.2, se indican las coordenadas ρ y ϕ de la cara M.
- Proyección esférica de un Fig ura 5.1. cristal
Figura 5.2. -Coordenadas ry es era
sobre una
Para pasar de la esfera al dibujo plano hay varios pro edimientos. Los más cómodos para las diferentes representaciones y cálculos gráficos son dos: la proyección gnomónica y la proyección estereográfica. 5.2 PROYEC CI N GNOM NICA
Las características de la proyecc ión gnomónica pueden render se mejor considerando que se deriva de la proyección esférica. En el caso de la proyecc ión gnomónica, plano de proyección generalmente se toma como el plano horizont que es tangente al polo norte de la 65
esfera de la proyección esférica. Se toman entonces lí eas imaginarias, desde el centro de la esfera a través de los polos de l as ca ras de los crist les que están ubicados en su superfi cie, y se prolongan hasta que tocan el plano de proyección. Los n los que estas líneas tocan e se plano, constituyen la proyección gnomónica de las formas representadas. La Figura 5. , muestra las relaciones entre las proyecciones gnomóni c y esférica, empleando las mi smas formas de cristales isométricos que se emplearán para ustrar los principios de la Proyección Estereográfica. La F igura 5.4 muestra la proyecci ón gnomónica de la misma serie de formas.
- Relación entre la proyección es férica y la gnomónica Figura 5.3.
Los siguientes rasgos de la proyección gnomónica son i antes. Todos los círculos máximos en la proyección esférica se convierten en líneas rectas cuando se pasan a la gnomónica. Los polos de una serie de caras del cristal que p enecen a la misma zona estarán, por lo tanto, colocados en una línea recta en la proyección gnomónica . El polo de una cara horizontal de l cristal, tal como la c ara superior del cubo, caerá en el centro de la proyección. Los polos de las caras verticales del cristal estarán situados en el plano de proyección sólo a distancias infinitas del centro. Esto se ve haciendo un examen de la Figura 5.4. Esas caras generalmente se indican en la proyección por el uso de líneas radiales o flechas que indican las direcciones en las que están situados sus polos. Esto se ilustra en e l caso de las caras verticales del cubo y del dodecaedro en la Figura 5.4. Las caras del cristal que tienen una inclinación pronunciada con el plano horizontal, deben frecuentemente indicar se de la misma ma nera. Figura 5.4. - Proyección gnomónica d el cubo Generalmente , también la proyección gnomónica está rodeada por un límite cuadrado de dos líneas paralelas, en las que están indicadas las d irec iones en q ue están ub icados los polos que no pueden aparecer en la proyección, por la posición vertical o muy inclinada de sus caras. Estas caracterís ticas se ven e n la Figura 5.4 . 66
5.3 PR OYEC CI N ES TEREOG R FI CA
Como plano de proyección se toma un plano diametral de la esfera, es decir, un plano que la corte por el centro y forme en ella un círculo máximo denominado círculo fundamental de proyección, como se muestra en la Figura 5.5 . El punto de vista se ubica en uno de los polos de este círculo. Las rec tas que unen el punto de vista O con los polos de las caras proyectados en la esfera, cortan el plano de proyección y estos puntos de intersección forman la proyección estereográfica del cristal. Los polos de las caras que se hallan en el círculo fundamental, son al mismo tiempo sus propiasproyecciones. Respecto a las ventajas e inconvenientes de los tipos de proyección descritos, se puede decir lo siguiente.
Figura 5.5. - Relación entre la proyección esférica y la es tereográfica.
Tanto la proyección estereog ráfica como la gno mónica, on muy cómodas para ap reciar los resultados de medición de los cristales. En la proyección gnomónica los ángulos son centrales, mientras que e n la proyecc ión e stereográfica los ángulos son inscritos, según se observa en la Figura 5 .6. Si ambos ángulos comprenden un mismo arco de circunferencia, el ángulo inscrito será dos veces menor que e l central. Por eso ; si cerca del punto superior, polo N de la esfera, es d cir, en la cumbre del cristal, se c oncentra una gran cantidad e caras, la proyección estereográfica ofrece un cuadro m claro que la gnomónica, la cual representa el cristal como si distanciase los polos de estas caras. Figura
5.6.- Relación entre los
Por otro lado, las caras cuyo s polos están a 90º del punto N, ángulos en la proyección estereográ fica y la proyección gnomónica. no caen en la proyección gnomónica, puesto que las rectas que las unen con e l centro de la e sfera, son paralelas a l plano de proyección. Sin embargo, esto no causa dificultades en la proyección, ya que la dirección de las normales a estas caras puede representarse en el dibujo mediante rectas y flechas, mo se indicó en las Figuras 5 .3 y 5.4. El análisis de los resultados de medir los cristales que se ha tratado, se reduce a hallar las constantes y el valor de los símbolos que caracterizan la posición de sus caras. Aquí nos detendremos brevemente en el método de hallar estos valores. Partiendo del valor obtenido al medir los ángulos, podemos calcular trigonométrica o gráficamente las constantes del cristal y los símbolos de sus caras. El primer método da unos resultados más exactos, pero exige mucho trabajo. El s gundo da unos resultados de menor precisión, pero en general bastante exactos. El mé todo del cálculo gráfico fue elaborado por G. Wulff, quien inventó y usó la red estereográfica. Con a ayuda de esta red se realiz an de manera fácil y se ncilla los cá lculos gráficos. 67
Para entender qué es una red estereográfic a, imaginemo una esfera en la que, como en el globo geográfico, se han tra zado c írculos meridianos y paralelos. Está c laro que la proyección estereográfica de esta esfera se puede ha cer de la mis a mane ra como se proyectan l os cristales. Si el centro de proyección se coloca en el ecuador, obtendremos la red de tipo ecuatorial que se muestra en la Figura 5.7. La red ecuatorial permite medir los ángulos entre puntos arbitrariamente elegidos en el interior de un c írculo, el c ual es un importantísimo problema en la cristalografía práctica. Por eso, en la actualidad, para todas las operaciones de cálculos gráficos se utiliza la red de proyección estereográfica de forma igual a la propuesta por G. Wulff, la cual tiene un diámetro de 20 cm. Las divisiones se hacen de dos en dos grados. Para comodidad de la lectura, los paralelos y meridianos que marcan las decenas de grados, son de trazo grueso.
Fig ura 5.7. - Red de Wulff
5.4 PR OPIE DADES D E LA PRO YECCI N ESTERE OGR FICA
La proyección estereográfica posee dos propiedades que tienen gran importancia en la representación gráfic a de los cr istales:
1. Un círculo trazado en la esfera se representa en la pr círculo.
cción estereográfica también por un
2. El ángulo entre dos arcos de círculos máximos de la esfera es igual al ángulo entre las proyecciones estereográficas de los mismos arcos. 5.5 CONSTRUCC I N DE PROYEC CION ES EST NDA R DE UN C RISTAL
Para tratar con problemas de orientación del cristal una proyección estándar es de sumo valor, ya que muestra a simple vista la orientación relativa de todos los planos important es en el cristal. Tal proyección se hace seleccionando algún plano importante del cristal de índice s bajos como plano de proyección [por decir, (100), (110), (111), o (0001)] y proyectando los polos de varios planos del cristal sobre el plano seleccionado. La construcción de una proyección estándar de un cristal requiere del conocimiento de los ángulos interplanares para todos los planos principales del cristal. Un conjunto de valores aplicables a todos los cristales en el sist ma cúbico es dado en la Tabla N° 3 del Anexo, pero aquéllos para los cristales de otros sistemas dependen de los cocientes axiales particulares implicados y deben
Figura 5.8.- Proyección estándar (001)
68
calcularse para cada caso mediant e las ecuaciones dad a en la Tabla N° 3 del Apéndice. Mucho tiempo puede ahorrarse al hacer proyecciones estándar haciendo uso de la relación zonal: las normales a todos los planos que pertenecen a una zona son coplanares y en á ngulo recto a los ejes de zona. Consecuentemente, los polos de los planos de una zo na se ubicarán sobre el mismo g ran círculo en la proy ección, y el eje de zon a quedará a 90° de est e gran círculo. Además, los planos importantes usual mente per tenecen a más de una zona y sus polos están por consiguiente ubic ados en la intersecci ón de los círculos de la zon a. Es también útil recordar qué dire cciones importantes , las cua les en el sistema cúbico son normales a los p lanos de los mismos índices , son usualmente los ejes de zonas importantes. La Figura 5.8 muestra los polos principales de un cristal cúbico pr yectado sobre el pl ano (001) del cristal o, en otras palabras, una proye cción e stándar (001). La ubicación de los polos {100} del cubo sigue inmediatamente de la Figura 5.9. Para ubicar los polos {110} primero notamos de la Tabla N° 3 del Anexo, ángulos interplanares en cristales cúbicos, que ellos deben ubicarse a 45° de los polos {100}, los cuales está n 90° aparte. De este modo localizamos (011), por ejemplo, sobre el gran círculo juntando (001) y (010) y a 45° de cada uno. Después que todos los polos {110} son representados gráficamente, podemos encontrar los polos {111} en la intersecc ión de los c írculos de zo na. La inspección de u n modelo del cristal o el dibujo o el uso de la relación de la zona dada por la Ecuación 4.3 mostrará que (1 11), por ejempl o, Figu ra 5 .9.- Polos {100} de un cristal pertenece a ambas zonas [101 ] y [ 0 11] . El polo de (111) cúbico es así localizado en la intersección del círculo de zona a través de (0 1 0 ) , (101), y (010) y el círculo de zona a través (100) , (011) y (1 00). Esta localización puede ser comprobada m idiendo su distancia angular de sde (010) o (100), la cual debería ser 54.7° .
69
LABORATORIO 11 C LC ULO S C RISTALO GR FICO S Y PROY EC CI N E STER EO GR FIC A
OBJETIVOS.-
Usar el programa aplicativo CaRIne Crystallography 3.1 en la simulación de un cristal cúbico, para: • Ca lcular determinadas dimensiones lineales,angulares y volumétricas. • Determinar listas de distancias interplanares. • Obtener proyeccio nes e stereográficas estándar específicas . TEO R A .-
Las redes son conjuntos de puntos imaginarios que tienen una relación fija en el espacio constituyendo un armaz n sobre el c ual se construye el cristal. En la Figura 1 res conjuntos de planos - cada uno de ellos paralelos e igualmente espaciados - dividen el espacio en un conjunto de ce ldas idénticas e n tamaño, forma y orientación: celda unitaria. Cada celda es un paralelepípedo. Los planos que dividen el espacio se interceptarán unos con otros en n conjunto de líneas y éstas a su vez se interceptarán e un conjunto de puntos: puntos de la red.
Figura 1.-Red puntual
El tamaño y forma de una celda unitaria es descrito por tres vectores a , b y c dibujados desde una esquina de la celda tomada como srcen, como se muestra en la Figura 2. Los tres vectores definen ejes cristalográficos de laacelda ser descritos en los términos de sus longitudes , b y yc pueden y los ángulosα, β y γ entre ellos. El volumen V de la celda unitaria queda definido por el triple producto esca lar de la forma: V = a.b × c ( 1)
Figura2.- Celda u nitaria
4π N 3
(2) ∑r 3 V i =1 i Según Bravais existen catorce redes puntuales posibles en las que cada punto tiene alrededores idénticos, las cuales pueden ser celdas simples o primitivas y celdas no primitivas. Las celdas primitivas tienen sólo un punto de red por celda mient as que las celdas no primitivas tienen más de uno. N N El número de puntos de red por ce lda es dado por: N = Ni + f + c (3) 2 8 Donde: N i = número de puntos interiores en la celda,N f = número de puntos en las caras y N c = número de puntos en las esquinas. La densidad ρ de la celda unitaria se determina según:
ρ=
La dirección de cualquier línea en una red puede ser descrita por las coordenadas de cualquier punto sobre una línea paralela a la línea dada y que p e por el srcen del sistema de ejes cristalográficos. Así [uvw] son los índices de la dirección de la línea, donde los valores de u, v y w son el conjunto de los más pequeños números enteros en los que se pueden expresar las 70
coordenadas del punto sobre la línea. Índices negativo son escritos con una barra sobre el número. Los índices de Miller de un plano se representan por l enteros de la forma ( hk l ) , e indican que el plano hace interceptos fraccionales 1/h, 1/k y 1 / l con los ejes, y, si las longitudes axiales son a, b, y c , el plano hace interceptos a/h, b/k y c / l , como se mostró en la Figura 4.5 . Los planos de un cr istal están arreglados en zonas. Los planos de una zona son planos que son todos paralelos a una línea – el eje de zona – y la zona se especifica dando los índices del eje de la zona. Si e l eje de una zona tiene índices [ uvw], entonces cualq uier plano de índices ( hk l ) que pertenece a esa zona satisface la relación: h u + k v + l w = 0 (4) El principio fundamental de la estructura cristalina es que los átomos de un cristal son puestos en el espacio ya sea sobre los puntos de una red de Bravais o en alguna relación fija a esos p ntos. Los átomos de u n cristal serán arreglados periódicamente en tres dimensiones y este arre glo de átomos exhibirá muchas de las propiedades de una red de Bravais, en particular muchos de sus elementos de simetría. Los cristales más simples son aquellos formados al ubi r átomos de la misma clase en los puntos de una red de Bravais. Las estructuras cristalinas más complejas pueden tener dos o más átomos de la misma clase asociados con cada punto de la red de Bravais. La proyección estereográfica es usada para mostrar la simetría de las caras extern s del cristal y la de la estructura interna y se determina a partir de la proyección esférica. La proyección estereográfica también se usa para orientar un cristal. Todos los planos de un cristal se pueden representar por un conjunto de normales al plano trazados de sde un punto al interior del cristal. Si una esfera de referencia se dibuja alrededor de este punto, las normales interceptarán la superficie de la esfera aenlosunplanos conjunto de puntosa llamados polos . Esta es la proyección esférica del cristal y se muestra en la Figura 3. El lugar de los polos en la esfera se puede fijar mediante las siguientes coordenadas esféricas: la distancia polar ρ - medida según un meridiano cualquiera a partir del 0º en el polo norte hasta 180º en el polo sur - y la longitud ϕ, que se mide según el ecuador a partir del meridiano que se toma c omo cero.
Figura3 .- Proyección esférica
Para pasar de la esfera a l dibujo plano el pr ocedimien o más cómodo para las diferentes representaciones y cálculos gráficos es la proyección tereográfica. Si los polos de una proyección esférica se proyectan sobre un plano paralelo a un plano tangente a la esfera de referencia se obtiene una proyección estereográfica, como se muestra en la Figura 4. Como plano de proyección se toma un plano diametral de la e fera, es decir, un plano que la corte por el centro y forme en e lla un círculo máximo denominado círculo fundamental de proyección. El punto de vista se ubica en uno de los polos de este círculo. Las rectas que unen el punto de vista O con los polos de las caras proyectados en la esfera, cortan el plano de proyección y estos puntos de intersección forman la proyección estereográfica del cristal. Los polos de las caras que se hallan en el círculo fundamental, son al mo tiempo sus propias proyecciones. 71
La proyección estereográfica posee dos propiedades que tienen gran importancia en la representación gráfic a de los cr istales:
1. Un círculo trazado en la esfera se representa en la proyección estereográfica también por un círculo. 2. El ángulo entre dos arcos de círculos máximos de la esfera es igual al ángulo entre las proyecciones estereográficas de los mismos arcos. Un instrumento muy útil para la solución de problemas que incluyen la proyección estereográfica es la Net de Wulff, que es la proyección de una esfera escalada con paralelos de latitud y longitudes sobre un plano paralelo al eje norte-sur de la esfera. Las líneas de latitud sobre una Net de Wulff son Figu ra 4.- Proyecci ones esférica y estereo gráfica. círculos pequeños que se extienden de lado a lado y las líneas de longitud – meridianos - son círculos grandes que conectan los polos norte y s r de la net. EQUIPOS Y M ATERIALES .-
Computadora personal Programa CaRIne Crystalloghr aphy 3.1 PROCEDIMIENTO .-
1. Cargar el programa CaRIne Crystalloghrap hy 3.0 y usand el comando File, abrir el archivo de la celda del ClNa.
Open cell del
menú
Figura5.- Comandos del menú Calcul
72
2. Ubicando el puntero en el menú Calcul. y haciendo click con el botón izquierdo del mouse, desplegar los comandos que ofrece el software, como se observa en la ventana de la Figura 5 y elegir la acción que desea rea lizar a c ontinuación. 3. Seleccionar Distance between atoms, hacer click con el botón izquierdo del mouse en un átomo y luego repetir la acción para otro átomo. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando las coordenadas de los átomos seleccionados y el valor de la distancia en Anstromgs. Para sali r hacer click e n OK . 4. Seleccionar angle between 2 directions , escribir las direcciones deseadas en el cuadro y hacer click en OK. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando las direc s seleccionadas y el ángulo entre e llas. Si selecciona angle between 2 directions with mouse, deberá hacer click con el botón izquierdo del mouse en dos átomos cualesquiera de una irecc ión determinada y luego repetir la acción para otros dos á tomos cualesquiera de otra dirección. Aparecerá u n cuadro de mensaje presentando las direcciones seleccionadas y e l ángulo entre ellas. 5. Seleccionar angle between 2 planes , escr ibir los índices de los planos deseados en el cuadro y hacer click en OK. Aparecerá un cuadro de mensaje presentando los plano seleccionados y el ángulo entre e llos. 6. Seleccionar Unit cell volume para obtener el volumen de la celda unitaria. 7. Seleccionar Unit cell density para obtener la densidad de la ce lda unitaria. 8. Seleccionar Plansepac inlgist , elegir una radiación determinada y hacer clickCen r eate List . Definir el rango y hacer click en OK. Creada la lista, hacer click en Compute. 2 2 2 2 Imprimir o anotar los valores de dhkl, (hkl), h + k + l , Teta , Fs , P e I% . 9. Cargar el programa CaRIne Crystallography 3.1 y usando el comando Open cell del menú File, aperturar el archivo correspondiente a la celda de l ClNa. 10. Seleccionar el comando Ste reo P r oje ction del menú Spe c ials para desplegar la ventana de funciones, como se muestra en la Figura 6 .
Figura6 .- Ventana de funciones del comando Stereo Pro jection
11. Hacer click izquierdo en la opción Parameters y el software le mostrará la ventana Stereographics Projection Prefs que se muestra en la Figura 7, donde podrá definir las direcc iones, los polos y las trazas de la proyección. 73
12. Hacer click en el botón Directions y definir el rango de direcciones u, v, w (h, k, l) que desea considerar. Hacer cli ck en OK. 13. Hacer click en el botón Poles y definir el rango de los polos u, v, w (h, k, l) que desea considerar. Hacer cli ck e n OK .
Figura 7.-Ventana Stereographics Projection Pref
14. Hacer click en Traces y definir el ran go de las trazas u, v, w (h, k, l) que desea considerar. Hacer click e n OK. 15. Definidas las direcciones, los polos y las trazas en l ventana Stereographics Projection Prefs hacer click en OK. CUESTIONARIO.-
1. Para la celda del ClNa, haciendo uso del programa CaRIne 3.0, realizar y presentar los siguientes cálculos: § Distancias entre á tomos ángulos entre dos direcciones del cr istal. volumen de la celda unitaria § densidad de la ce lda unitaria Usando fórmulas geométricas determinar la distancia entre dos átomos para la celda del ClNa y comparar con la hallada en la pregunta 1. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre dos direcciones del cristal de ClNa y comparar su va lor con el hallado en la pregunta 1. Mediante la ecuación 1, determinar el volumen de la celda unitaria del ClNA y contrastar su valor con el hall ado en la pregunta 1. Determinar la densidad de la celda unitaria usando la ecuación 2 y contrastar su valor con el hallado en la pregunta 1 . Obtener la lista del espaciado entre planos arbitrarios de la celda del ClNa y calcular los valores correspondientes de dhkl, (hkl), h 2 + k 2 + l 2 , Teta, Fs , 2 Pe , para las I% longitudes de onda de las radiaciones de Fe, Co, Cu y Mo. Para la celda del CsCl, haciendo uso del programa CaRIne 3.0, realizar y presentar los § §
2. 3. 4. 5. 6. 7.
siguientes cálculos: § Distancias entre á tomos § § §
ángulos entre dos direcciones del cr istal. volumen de la celda unitaria densidad de la ce lda unitaria 74
8. Usando fórmulas geométricas determinar la distancia entre dos átomos del Cs Cl y comparar con la hallada en la pre gunta 7. 9. Usando fórmulas geométricas determinar el ángulo entre dos direcciones del cristal de CsCl, y comparar su valor con e l hallado en la pregunta 7. 10. Mediante la ecuación 1, de terminar el vo lumen de la ce lda unitaria del CsCl y contrastar su valor con el hallado en la pregunta 7. 11. Determinar la densidad de la celda unitaria del CsCl usando la ecuación 2 y contrastar su valor con el hallado en la pregunta 7. 12. Obtener la lista del espac iado entre planos arbitrarios de la celda del CsCl y calcular los valores correspondientes de dhkl, (hkl), h 2 + k 2 + l 2 , Teta, Fs , 2 Pe I% , para las longitudes de onda de las radiaciones de Fe, Co, Cu y Mo. 13. Obtener la proyección estándar (001) del cristal cúbico ClNa, mostrando todos los po los de la f orma {100}, {110}, {111} y los círculos de zona e ntre e llos. 14. Obtener la proyección estándar ( 011) del cristal cúbico ClNa, mostrando todos los polos de la forma {100}, {110}, {111} y los círculos de zona entre ellos. 15. Obtener la proyección estándar (010) del cristal cúbic CsCl, mostrando todos los polos de la forma {100}, {110}, {111} y los círculos de zona entre ellos. 16. Obtener la proyecc ión estándar ( 111) de l cristal cúbico CsCl, mostrando todos los polos de la forma {100}, {110}, {111} y los círculos de zona entre ellos. 17. Describir la función de cada uno de los elementos de la ventana Ster. Figura 8.-Ventana Proj. que se muestra en la Figura 8. Mostrar ejemplos ilustrados de la Ster. Proj. aplicación de es tas funciones.
75
CA P TULO 6 DIR ECC I N DE L OS HAC ES DIFRA CTA DOS 6.1 D IFR AC CI N D E RA YOS X
Cuando los rayos X son dispersados por el entorno ordenado de un cristal, tienen lugar interferencias - tanto constructivas como destructivas - entre los rayos dispersados ya que las distancias entre los centros de dis persión son del mis o or den de magnitud que la longitud de onda de la radiación. El efecto acumulativo de esta dispersión desde los centros regularmente espaciados del cristal es la difracción. Los requisitos para la difracción de rayos X son:
(1) que el espaciado entre capas de átomos sea aproximadam onda de la radiación.
el mismo que la longitud de
(2) que los centros de dispersión estén distri buidos en el e spacio de una manera mu y regular. 6.2 LEY DE BRAGG
La difracción de los rayos X por los cristales fue estudiada por W. L. Bragg quien estableció que para un haz monocromático de rayos X, de longitud e onda λ, habrá sólo ciertos valores del ángulo de incidencia θ, determinados por la distancia d entre los planos del cristal, a los cuales ocurrirá difracción, de acuerdo a la re lación: n λ = 2 d sen θ
(6.1)
n
Donde es el orden de la difracción. 6.3 ESPECTROSCOPIA DE RAYOS X
Experimentalmente, l a ley de Bragg puede ser utili zada e s dos f ormas: Análisis estructural :
Usar rayos x de longitud de ondaλ conocida y medir θ para determinar el espaciado d de diferentes planos en u n cristal. un cristal con planos de espaciados d conocidos, medir θ para determinar la longitud de onda λ de la radiación usada. Espectroscopia de rayos x : Usar
Para un cristal cúbico el espaciado d de los planos puede obtenerse a partir de la medida de su densidad, según:
Densidad =
peso de los átomos en la celda unitaria ó volumen de la celda unitaria
ρ=
∑A N0 V
( 6.2)
Donde: ρ = densidad ( g / cm3 ) , ∑ A = suma de los pesos atómicos de los átomos en la celda unitaria, N 0 = Número de Avogadro = 6,023 × 10 23 moléculas / mol y V = volumen de la ce lda unitaria. 76
6.4 DI REC CIONES D E DI FRA CC I N
La relación que predice el ángulo de difracción para cualquier conjunto de pla combinando la ley de Bragg y la ec uación de los espaciados de los pl anos.
nos se obtiene
1 (h 2 + k 2 + l 2 ) = d2 a2
Para un cristal cúbico:
sen 2θ =
por lo que:
λ2 4a 2
(6 .3)
(h 2 + k 2 + l 2 )
(6.4)
1 h2 + k2 l 2 d 2 = a 2 + c2 λ2 h 2 + k 2 l 2 sen 2 θ = + 2 4 a2 c
Para un cristal tetragonal : por lo que:
(6.5) (6.6)
Para un cristal rombo édrico: 1 (h 2 + k 2 + l 2 ) sen 2 α + 2 (hk + k l + h l ) (cos 2 α − cos α) = d2 a 2 (1 − 3 cos 2 α + 2 cos 3 α) por lo que: sen 2 θ =
λ2 ( h 2 + k 2 + l 2 ) sen 2 α + 2 (hk + kl + hl ) (cos 2 α − cos α) 4 a 2 (1 − 3 cos 2 α + 2 cos 3 α)
(6.7) (6.8)
6.5 M TOD OS D E D IFR ACCI N
La difracción puede ocurrir cada vez que se satisface la ley de Bragg, n λ = 2 d sen θ . Esta ecuación pone condiciones estrictas en λ y θ para cualquier cristal dado. Con radiación monocromática, un montaje arbitrario de un mono cristal en un haz de rayos X no producirá, en general, haces difractados. Alguna forma de satisfacer la ley Bragg debe ser ideada, y esto puede ser hecho variando continuamente ya sea λ o θ durante el experimento. Las maneras en las que estas cantidades son variadas, distinguen los es métodos principales de difracción:
λ
θ
Laue
Variable
Cristal rotante
Fija
Fija Variable (en parte)
Debye-Scherrer
Fija
Variable
Método
6.6 M TOD O DE LA UE
Las fotografías de Laue son la clase de patrón de difracción más fácil de realizar. Se requiere radiación blanca proveniente de un tubo de rayos X con un ánodo de metal pesado. La presencia de componentes características intensas no c mplican el patrón de difracción y sólo serán reflejadas si un conjunto de planos en el crist a está orientado de tal forma que se satisface ley de para esas componentes, y el mancha delaLaue de Bragg alta intensidad.
efecto será la formación de una
La muestra usada en este método es un monocristal. Esto puede significar un monocristal aislado o un grano cristalino p articular de u n agregado policristali no. 77
Las manchas de Laue son formadas por el sol apamiento d reflexiones de diferentes órde nes debido a que los planos c orrespondientes a esas reflexiones son paralelos. Existen dos variaciones del Método de Laue, de pendiendo de la posición de la fuente, cristal y película: Método de transmisión y Método deretroreflexión. En ca da caso, la pe lícula es plana y ubicada perpendicularment e a l haz inc idente . 6.6.1 M TOD O D E TR A NSMISI N
En este método la película se ubica detrás d el cristal a fin de registrar los haces difractados hacia adelante. El ángulo de Bragg θ correspondiente a cualqui er mancha de Laue de una cámara de transmisión, esquematizada en la F igura 6. 1, es dado por: r tan 2θ = 1 (6 .9) D
Figura6.1.- Cámara de Laue de Tra nsmisión
Donde: r1 es la distancia de la mancha desde el centro de la película y D es la distancia de la muestra a la película .
Una muestra para el método de transmisión debe tener absorción lo suficientemente baja para transmitir los haces difractados; en la práctica , esto quiere decir que las muestras relativamente gruesas de un elemento ligero como el aluminio se pued usar, pero que el espesor de un elemento medianamente pesado como el cobre debe ser re cido, por ataque de ácido, por ejemplo, a una s cuantas milésimas de pulgada. Por otro lado, la muestra no debe ser demasiado delgada o la intensidad difractada será demasiada baja, dado que la intensidad de un haz difractado es proporcional al volumen del mater ial difractante. 6.6.2 M TOD O D E R ETRO REFLEXI N
En este método, la película es ubicada entre el cristal y la fuente de rayos X. El haz incidente pasa a través de un agujero en la película y se registran los haces difractados en una dirección hacia atrás. El ángulo de Bragg θ correspondiente a cualquier mancha de un patrón de difracción obtenido en una cámara de retro -reflexión de Laue, esquematizada en la Figura 6.2, es dado por : r tan (180º − 2θ) = 2 (6 .10) D
Figura6.2.- Cámara de Laue de retro-reflexión
Donde: r2 es la distancia de la mancha desde el centro de la película y D es la distancia de la muestra a la pe lícula. En el método de retrorestricción en que el espesor de difractados la muestra sye mu ras reflexión, considerablemente macizas puedennoserexiste examinadas, dado los haces srcinan en sólo una capa delgada d e la superficie de la muestra. Esta diferenc ia entre los dos mé todos puede ser puesta de manifiesto de otra manera y que bi cordar: cualquier información acerca de una muestra gruesa obtenida por el método de retro-reflexión se aplica sólo a una 78
capa delgada de la sup erficie de esa muestr a, mientras que la información registrada en un patrón de transmisión es representativa del espesor completo de la muestra, simplemente porque la muestra de transmisión necesariamente debe s r lo suficientemente delgada para transmitir los ha ces difractados desde todas las partes de su sección transversal. 6.6.3 PORTAMUESTRAS
Existe una gran variedad de portamuestras en uso, cada uno destinado a algún propósito particular. El más simple consiste de un poste fijo al cual la muestra es adherida con cera o plastilina. Un portamuestra más elaborado es requerido cuando es necesario fijar un cristal en alguna orientación particular relativa al haz de rayos X. En este caso, se usa un a cabeza goniomé trica de tres círculos (Figura 6.3); tiene tres ejes de rotación mutuamente p erpendiculares, dos verticales y uno horiz ontal, y es construido tal q ue el crist al, fijado con cemento a la punta de la barra pequeña de metal en la cúspide, no es desplazado en el espacio por cualquiera de las tres rotaciones posibles. Figura6.3.- Cabeza G oniométrica
En el examen de mu estras de láminas, es frecuent emente necesario obtener patrones de d ifracción de diversos puntos sobre la supe rficie, y esto requiere del movimiento de la muestra, entre exposiciones, en dos direcciones a ángulo recto en el plano de la superf icie de la muestra, siendo esta superficie perpendicul ar a l haz de ray os x incidente. 6.6.4 COLI MADORES
Los colimadores son dispositivos diseñados para producir un haz compuesto de rayos casi paralelos y son usados en todas las variedades de cámaras de rayos x. El colimador más simple consiste de dos aberturas circulares de diámetro d separadas una distancia u(>>d). Si una fuente puntual de radiación se sitúa en S sobre el eje del colimador y a una distancia v del orificio de salida, como se muestra en la Figura 6.4, los rayos desde el colimador no son paralelos y el haz tiene forma cónica con un ángulo má o de divergencia β1 , expresado en d radianes, por: (6.11) β1 = v
Figura6.4.- Coli mador y fuente puntual
Si un tubo de rayos x q ue tiene un espacio foc al de forma cuadrada y de lado h, es ubicado en S simétricamente sobre el eje del colimador y a una distancia v del orificio de salida, como se muestra en la Figura6.5, tal que los rayos convergentes desde los bordes de la fuente s cruzan en el centro del colimador y luego divergen, el ángulo máximo de divergencia, en radianes, es: 79
2d (6.12) u y el centro del colimador puede ser considerado como una fuente virtual de esos rayos divergentes.
β2 =
Figura6.5.- Colimador y fuente grande
El haz que se emite desde el colimador contiene no sol mente rayos paralel os y divergentes sino también convergentes que inciden sobre un cristal ubicado a una distancia w del orificio d de salida con un ángulo máximo de co nvergencia, en radianes, dado por: α = (6.13) u+w 2v El tamaño de la fuente mostrada en la Figura 6 .5 es dada p or: h = d − 1 (6.14) u 6.6.5 FORMAS DE LA S MANCHAS
Aquí estamos interesados con las formas de las manchas obtenidas de cristales perfectos, sin distorsión. Estas formas son grandemente influenciadas por la natu eza del haz de incidente, i.e., por su converg encia o su divergencia, y es import ante dars e cuenta de es te hecho, o las manchas de Laue de f orma "inusual" pueden erróneamente ser tomadas como la evidencia de distorsión d el cristal.
- Focalización de un haz di fractado en el método de transmisión Figu ra 6.6.
Consideremos primero el caso de transmi sión, y asumiremos que el cristal es delg ado y más grande que la sección transversal del haz primario en punto de la inci dencia. Si este haz es principalmente divergente, entonces cual en es la el difracción. caso usual La en Figura la práctica o 6.5)a , entonces una acción de enfoque ti eneellugar 6.6 es(Fig. una6.4 sección través del haz incidente y cualquier haz difractado; el haz de incidente, cuya sección transversal en cualquier punto es circular, es mostrado fluyendo desde una fuente pequeña, real o virtual. Cada rayo del haz de i ncidente que cae en el pl ano de l dibujo golpea a los planos 80
reflectantes de la red delcristal a un ángulo de Bragg li geramen te diferente, éste ángulo es un máximo en A y decrece progresi vamente hacia B. Los rayos más bajos son por cons iguiente desviados a través un ángulo 2 θ más grande que los superiores, con el resultado de que el haz difractado converge a un foco e n F. Esto es cierto sólo de los rayos en el plano del dibujo; esos en un plano a ángulo recto continú an para diverger des ués de la difracción, con el resultado de que el haz difractado es elíptico en la sección transversal. La película intersecta diferentes haces difractados a diferent es distancias del crist al, de tal manera que se observan manchas elípticas de tamaños diversos, como se muestra en la Figura 6.7. ste no es un esquema de un patrón Laue sino una ilustración de tamaño de la mancha y la forma como una función de posición de la mancha en un cuadrante de la película. Notar que las manchas son todas elípticas con sus ejes menores alineados en una dirección radial y que las manchas cercas al centro y el borde del patrón son más gruesos que aquéllas en las posiciones intermedias, la últimas formadas por haces cerca de su punto focal. Las Figu ra 6.7.- Forma de las manchas de manchas que tienen las formas ilustradas son bastante Laue de Transmisión como una función de la posici ón. comunes. En retro- reflexión, ninguna fo calización ocurre y un haz incidente divergente continúa para divergir en todas las direccione s después de la difracción. Las manchas de retro-reflexión d e Laue son por consig uiente más o menos circul ares cerca del centro del patrón, y llegan a ser progresivamente e lípticas hacia el borde, debido a la incidencia oblicua de los rayos sobre la película, los ejes principales de las elipses son aproximadamente radiales . 6.7 M TODO D E DEB YE-SCHERRER
- Cá mara Debye-Scherre r Figura 6.8.
La Figura 6.8 muestra las vistas lateral y frontal de las partes de una típica cámara Debye Scherrer. Consiste de una cámara cilíndrica con una cubierta, colimador para admitir y 81
definir el haz incidente, un atrapador del haz para confinar y detener el haz transmitido, un medio para soportar la película contra la circunferenc a interior de la cá mara y un portamuestra que puede ser rotado. Los diámetros de la cámara varía esde unos 5 a 20 cm. La geometría del método Debye-Scherrer se muestra en la F igura 6.9 . Si S es la distancia medida sobr e la película desde una línea de dif racción particular a l punto donde el haz transmitido incidiría sobre la película, entonces: S = 2θ R Donde R es el radio de la cámara.
(6.15)
El poder de resolución es la habilidad de la cámara pa separar líneas de d ifracc ión desde conjuntos de planos de casi el mismo espac iado y es dado por: Fig ura 6.9.- Geo metría del método d − 2R Debye.Scherrer Poder de resolución = = tan θ (6.16) ∆d ∆S Donde d es el espaciado medio de los dos conjuntos de planos, ∆d e s la diferencia en sus espaciados y ∆S es la s eparación de las dos lí neas de d ifracción que aparecen resueltas sobre la película. 6.7.1 PRE PAR ACI N DE LA MUES TRA
Los metales y las aleaciones pueden ser convertidos a olvo por limando o, si son suficientemente frágiles, por reducción a polvo en un mortero p equeño de ágata. En uno u otro caso, el polvo debería ser limad o o molido tan fino como sea posible, preferentemente par a pasar un tamiz de 325 mesh, para producir líneas de difracción suaves y continuas. El polvo tamizado es usualmente endurecido por calor en c ápsulas evacuadas de vidrio o de cuarzo para aliviar las tensiones debido al limado o la molienda. Precauciones especiales son necesarias par a tamizar aleaciones de dos fas es. Si una pe queña muestra representati va es seleccionada de un li ngote para aná lisis de rayos X, entonces esa muestra completa d ebe ser molida o li mada para pa sar a ravés del tamiz. El método co mún de molienda hasta que una cantidad sufici ente para la mue ra de rayos X ha pasa do el tamiz, el de tamaño muy gr ande es desech ado, puede conducir a resultados muy errón eos. Una fase de la aleación es usualmen te más frágil que la otra, y esa fase será más f ácilmente convertida en partículas finas; si la molienda y el cribado son interrumpidos en cualquier punto, entonces el material restante sobre la pantalla contendrá menos de la fase más q ebradiza que la muestra srcinal mientras que los de tamaño reducido c ontendrán más, y ninguno de los dos será representativo. La muestra final para la cámara Debye debería ser de forma de una barra d elgada, 0.5 mm o menos de diámetro y acerca de 1 cm de largo. Hay diversas formas de preparar tal muestra, una de las más simples es revestir el polvo sobre la superficie de una fibra de vidrio fina con una cantidad pequeña de goma o la vaselina. Otro s métodos consisten en empacar el polvo en un tubo dedeparedes de u na substancia débilmente ta l como ceslofán vidrio borato delgadas de litio, hecho o en comprimir una mezcla de polvoabysorbente agavil ladora a trelvé de uno agujero pequeño. Los alambres pol icristalinos pueden se r usados di rectamente, pero ya que usualmente exhiben alguna orientación p referida, el patrón resultante de difracción deb e ser inte rpretado con ese hecho e n mente. 82
6.7.2 CARGA DO DE LA PEL CULA
La Figura 6.10 muestra tres métodos de disponer la película en el mét odo Debye-Scherrer y las relaciones que permiten determinar el valor de θ en cada caso.
Método (a) 4 θ R = U (6.17)
Método (b) ( 2 π − 4θ ) R (6.18)
=
V
Método (c) 2θ S (6.19) = π W
Figura 6.10.- Méto dos de carg ar las pel ículas en c ámaras de Debye-Scher rer
6.7.3 C MARAS D E ALTA Y BAJAS TEMPERAT URAS Las investigaciones frecuentemente requieren que la es ructura cristalina de una fase estable solamente pueda ser determinada a altas temperaturas. En muchos casos, esto puede ser realizado apagando la mues tra a tasa lo suficientemente alt a para suprimir a de scomposición de la fase de alta temperatura y luego examinar la muestra en una cámara ordinaria a la temperatura ambiente. En otros casos, la transformación entre las fases estables a la temperatur a ambiente no puede suprimirse,y una cámara de alta temperatura es necesaria para que la muestra pueda ser examinada a la te mperatura en la cual la f ase en cuestión es estable. El diseño de cámaras Debye de alta temperatura varia m s o menos de laboratorio a laboratori o. Todas ellas incluy en un horno p equeño, usualmente del tipo de resist encia eléctrica, para calent ar la muestra y una termo cupla para medir su temperatura. El problema principal del diseño es mantener la película fría sin incre mento demasiado grande en el diámetro de la cámara; esto requiere de refrigeración por agua del cuerpo de cámara y/o la colocación cuidadosa de blindajes contra la radiación re el horno y la película, blinda jes bien diseñados que no interferirán con los haces de rayos X difractados. El horno que rodea la muestra debe ser Siprovisto de algún tipo de ran permitir ael altas pasajetemperaturas, de los haces incidentetambién y difractados. la muestra es suscepti ble a lapara oxidación entonces deben proveerse los medios para desocupar la cámara o el llenado con gas inerte; alternativamente, la muestra en polvo puede ser sellada en un tubo de silicio de paredes delgadas. Debido al tamaño pequeño del horno en una cámara de al temperatura, los 83
gradientes de temperatura en ella son usualmente muy pronunciadas, y debe haber el cuidado especial para asegurar que la temperatura registra da p la termocupla es realmente la de la muestra misma. Dado que la intensidad de cualquier reflexión es dismi ida por un incremento en la temperatura, el tiempo de exposición requerido para un patrón de difracción de alta temperatura es normalmente más larga. Las cámaras de Debye son también ocasionalmente requeridas para el tr a temperaturas debajo de la temperatura ambiente. La refrigerac ión de la muestra es usualmente r ealizada dirigiendo un chor ro delgado de lí quido refrige rante, tal como aire lí quido, sobre la muestr a durante toda la exposición a los rayos X. El patrón de difracción del líqui do refrigerante también será registrado pe ro esto es fácilmente disting uido de la de un sólido cr istalino, porque el patrón típico de un líquido contiene solo uno o dos máximos muy difusos en contraste con las líneas punti agudas de difracci ón de un sól ido. La dispersión del líquido, sin embargo, aumentará el ennegrecimi ento del fondo de la fotografía.
6.8 FOTO GRAF AS PIN HOLE Cuando radiación monocromática se usa para examinar muestras policristalinas en una cámara de Laue, el resultado es llamado una fotografía pinhole. Para este fin una cámara de transmisión o de retro reflexión puede ser usada, como se muestra en la Figura 6.20. En el método de transmisión, el valor de θ para una reflexión particular es dada por: U tan 2θ = (6.20)
2 D ón, el valor de En el método de retro- reflexi θ para una reflexión particular es dada por:
Figura 6.7. - Cámara Pinhole
V (6.2 1) 2D Donde U y V son los diámetros del anillo de Debye en cada método y D es la distancia de la muestra a la pe lícula. tan ( π − 2 θ) =
6.9 ELECCI N DE L A RADIA CI N Con cualesquiera de los métodos de polvo descritos antes, el investigador debe elegir la radiación más apropiada para el pr oblema por resol ver. Para hacer esta el ección, las dos consideraciones más importantes son:
(1) La longitud de onda ca racterística usada no de bería ser más corta que e l borde de ab sorción K de la muestra, o la radiación fluorescente p roducida oscurecerá la pe ícula. En e l caso de aleaciones o compuestos, puede ser difícil o imposible satisfacer esta condición para cada elemento en la muestra. (2) La ley Bragg muestr a que a más pequeña longi tud de onda, más pequeño es el ángulo Bragg para planos de un espaciamiento dado. Disminuyendo la longitud de onda por lo tanto cambiará cada línea de difracción a más bajos ángulos de Bragg y aumentará el número total de líneas en la película, mientras que incrementando l a longitud de onda se 84
tendrá e l efecto de contrario. La elección de una corta o larga longi tud de onda depe de del problema en particular. Las radiaciones características u sualmente utilizadas n la difracción de rayos X son las siguientes: MoK α: 0.711A 1.542 Cu Kα: Co Kα: 1.790 Fe Kα: 1.937 Cr Kα: 2.291 En Cada la caso, el filtroCu apropi usa para suprimir componNo entepuede K β deser la radiación. En general, radiación K αado es se generalmente la másel usada. utilizada con materiales ferrosos, sin embargo, ya que causará radiación fluorescente del hierro en la muestra; en cambio, la radiación Co K α, Fe K α o Cr K αdeberían ser u sadas. La medida de l parámetro preciso de la red requiere que exista un nú mero de líneas en la región de retro-reflexión, mientras algunas muestras pueden producir solamente una o dos. Esta dificultad puede ser evitada usando radiación no fi ltr da, para tener presente s las líneas K β así como también la Kα, y usando un bla nco de aleaci ón. Por ejemplo, si una alea ción de Fe-Co al 50 por ciento atómico es usada como blanco,y ningún filtro e s usado en el haz de rayos X, la radiación contendrá las longitudes de onda Fe K α, Feβ K ,αCo K β y Co K , ya que cada elemento emitirá su radiación característica independientemente. Desde luego, blancos especiales pueden ser usados sólo con tubos de rayos X esmontables.
85
LABORATORIO 12
MÉTODO DE LAUE OBJETIVOS.Obtener el registro del patrón de difracción de Laue de un monocristal de LiF y asignar los índices de Miller.
TEOR A .-
Las fotografías de Laue se obtienen irradiando monocristal es con rayos X policromáticos. Este método se utiliza principalmente para determinar simetrías cristalinas y orientaciones cristalográficas. Se puede hacer una evaluación a los patrones e reflexión de Laue de estructuras simples. La figura. 1 muestra el patrón de reflexión Laue de un monocristal de LiF que tiene una estructura de red cúbica cara centrada (FCC). Si el patrón da una rotación de 90 ° alrededor de la dirección del haz primar io, es de nuevo coherente consigo mismo. Por tanto, tenemos aquí una cuádruple s imetr ía, con la coincidencia entre la dirección del haz y la dirección cristal ográfica (100). La intensidad de las reflexiones depende tanto de las características cristalográficas como de la distribución espectra l de la intensidad de los rayos X. La condición de interferencia constructiva está determinada por relación de Bragg: 2 d sen θ = n λ donde: d = l a distancia en tre los planos reticulares λ =longituddeonda
(1)
Figura 1.- Foto de Laue de un cristal de LiF
θ= el ángulo de Bragg n=elordendeladifracción
La muestra de LiF c onsiste en un c ristal cúbico con constante de red a . La siguiente ecuación es vá lida para las d istancias d( hkl ) entre la red y los planos del sistema a cúbico: (2) d (hk l ) = h2 + k2 + l 2 Si L es la distancia entre una reflexión y el centro del patrón de difracción, y D la distancia entre la muestra y la pe lícula, entonces el ángulo e xperimental determinado es: 1 L (3) θ exp = tan −1 ; L = y 2 + z 2 2 D Donde y y z son las coordenadas de reflexión medidos del centro d el patrón. Si el haz de rayos X que coincide con la dirección cristalográfica [ h * k * l *] (queaquíes [100]) incide en un plano ( hk l ) del cristal , ver F igura 2, entonces el ángulo d e incidencia α está determinado por el producto es calar de l vec tor no mal del plano y e l vector incidente. 86
cos α
hh * +kk * + l l *
=
( h 2 + k 2 + l 2 ).( h *2 + k * 2 + l *2 )
(4)
De la Figura 2, θ cal = 90° − α y considerando que ( h * k * l * ) = (100 ) , de (4) se obtiene que : sen θ cal
h
=
h 2 + k2 + l 2
(5)
La asignación de las reflexiones individuales correspondientes a los planos reticulares se encuentra cuando: (6) θ =θ exp cal Además de (6), la relación k / l = y / z también debe ser válida, cuando z e y son las coordenadas de la reflexión medidas desde el centro del patrón.
Figura 2.-Reflexión de un plan o de la red con or ientación al azar.
EQUIPOS Y MATERIALES .-
Unidadbásica de RayosX CristaldeLiF(100) d = 2.014 × 10 −10 m Portapelículas Película Polaroid, (ISO 3000), (9 ×12) cm
Tubode RayosXconánodo de Cu Portamuestras para la difracción de Laue CalibradorVernierdeplástico Adaptador de película Polaroid
PROCEDIMIENTO .-
1.
Instalar el tubo de rayos X c on ánodo de cobre y montar el experimento como se muestra en la Figura 3 .
Figura3 .- Montaje experimental para el método de La ue
87
2.
Fijar el diafragma tubular de 1 mm de diámetro en la salida del tubo de rayos X y montar el monocristal de LiF con sus dos alfileres en el portamuestra de la difracción de Laue, de manera que el lado ova lado del cristal esté s iemp re hacia la fuente de ra yos- X.
3.
Colocar la película de rayos X con su envoltura resistente a la luz en el soporte de película con la ayuda de las dos láminas imantadas y a una distania alrededor de 1,5 cm a 2 cm del cristal, a fin de obtener un patr ón de Laue sin distorsiones
4.
Asegúrese de que las superficies del cristal y la película plana sean paralelas entre sí, y que amba s son perpendicul ares al ha z principal.
5.
Exponer la película en los valores máximos de tensión de ánodo , es to es 35KV y 1mA , con un tiempo de exposición de 2 horas.
6.
Medir exactamente la distancia entre el cristal y la película para la determinación posterior de las direcciones.
7.
Luego de haber expuesto la película a la radiación dur nte el tiempo mencionado anteriormente, proceda a revelar la, como se indica e n el Apéndice .
.CUESTIONARIO
1. Determinar los valores experimentales de usando la ecuación (3).
θ
para cada mancha de Laue de la fotografía,
2. Asignar los índice s de Miller a cada una de las manchas de Laue de la fotografía. 3. Calcular los valores de θ para cada mancha de Laue de la fotografía y comparar us resultados con los hall ados en la pregunta 1. 4. Usando la ecuación (2), determinar las distancias interplanares de los planos que han producido las reflexiones en la fotografía. 5. Hallar las longitudes de onda de los haces de rayos X ue han producido las manchas de Laue de la fotografía, usando la ec uació n (1).
88
LABORATORIO 13 M TOD O D E DE BYE- SCHERRER
OBJETIVOS.• • •
Obtener fotografías de Debye Scherrer de muestra s de p vo de NaCl y CsC l. Determinar las constantes de red de las mu estras analizadas. Determinar el número de átomos en las celdas unitari as.
TEO R A .-
Cuando los rayos X inciden sobre los átomos de un material sólido son dispersados por los electrones de los átomos. El poder de dispersión de un sólo átomo está representado por el factor de dispersión atómica f, que es aproximadamente proporcional al número de electrones en el átomo o su número atómico Z. Así tenemos que : f ∝Z (1) Si el sólido tiene una estructura periódi ca ordenada, a interferencia constructi va se produce sólo entre las ondas dispersadas. La dirección de la reflexión resultante se determina por la 2 d sen θ = n λ relación de Bra gg: (2) donde: d = la distancia e ntre los planos reticulares θ= el ángulo de Bragg n=elordendeladifracción λ =longituddeonda La intensidad de las reflexiones difractadas es proporcional a la magnitud del cuadrado de la amplitud F . Este último se obtiene de la suma de las amplitudes dispersa das y sus fases de todos los n átomos de la celda unidad del cristal. Si las coorden de los n átomos se denominan u n , v n y w n la , siguiente relación es válida para F (h , k,)l (donde , h ,,k l son los índice s de Miller del plano ref lectante de la red): F (h , k, l ) = f n . exp[−2 π i (h u n + k v n + l w n ) ]
∑
(3)
n
Para una red c úbica centrada en el cuerpo (bcc), las siguientes re laciones son válidas: Las posiciones de los átomos en una celda unidad: (0 , 0, 0) , (1 / 2, 1 / 2 ,1 / 2) F = 0si, la suma de los índices ( h + k + l ) = 2 n1+ , (es to es, un número impar) F
2
=
4 f 2 , si la suma de los índices
( h + k + l ) = 2 n (e sto es, un número par) .
Para una red c úbica cara centrada (fcc), las siguientes relaciones son válidas: Las posiciones de los átomos en una celda unidad: (0, 0, 0) , (1 / 2,1 / 2, 0) , (1 / 2 , 0, 1 / 2) , (0 ,1 / 2, 1 / 2) . F = 0 , si h, k y l son mixtos, es decir, impar, o par F
2
= 16 f 2 ,
si los índices h, k y
l
son todos pares o todos impares.
Cuando rayos X monocromáticos inciden sobre una muestra policristalina , con cristalitos distribuidos al azar, a lgunos de los cristalitos s e orientarán de tal manera que sus planos de red y la dirección del haz primario cumplen con la ley de Bragg.P or lo tanto, todas las reflexiones que pertenecen a un plano particular de la red, se distribuirán sobre la superficie de un cono circular, cuyo eje es el haz principal y el ángulo de d ivergencia es 4θ. Una pe lícula de rayos X 89
ubicada perpendicularment e a l haz primario registrará círculos concéntricos como imágenes de la reflexión (anillos de Debye-Scherrer). Si el diámetro de un anillo de difracción es D, y x es la d istancia entre la mue stra y la película, e l ángulo de Bragg es dado por la expresión: 1 D θ = tan −1 (4) 2 2x Si la muest ra se compo ne de cris tales cúbi cos con cons tante de red a, la siguiente relación es válida para la distancia d( hkl ) entre los planos (h, k, l ): a (5) d (hkl ) = h 2 + k2 + l 2 Utilizando ( 4) y (5), obtenemos de (2):
sen 2 θ = sen 2 1 tan −1 D = λ2 ( h 2 + k 2 + l 2 ) (6) 2x 4a 2 2 A los anillos de interferencia le s on asignados los índices de los planos reflectantes de la red como sigue: los cocientes se obtienen a partir de la suma de los cuadrados de los tripletes ( h, k , l ) y luego se busca la coincidencia de esos cocientes y los cocientes de los valores observados de sen 2 θ relacionados a uno de los anillos de interferencia ma interno. Para comenzar, la coincidencia se busca asumiendo que el anillo más interno debe ser asignado al plano (100). Si esto no da un resultado satisfactorio, se trata con el plano (110) y así sucesivamente hast a que se encuen tra la c oincidencia sa tisfactoria de los coc ientes. EQUIPOS Y MATERIALES .-
Unidad básicad eRayosX Morteroypistilo Calibrador Vernierde plástico ClorurodeSodio,250g Película laroid, (ISO 3000), (9 x 12) cm Filtro dePo Zirconio
TubodeRayosXconánododeMo Cucharaconextremoenformadeespátula Portapelículas ClorurodeCesio,5g Adaptador de película Polaroid
PROCEDIMIENTO .-
1. Preparar la muestra en polvo, echa ndo una p equeña cantidad de NaCl en el mortero y moler la hasta lograr pulverizar la sustancia. 2. En una hoja de papel bond de 80gr hacer un agujero con un perforador y por uno de los lados cubrir con cinta adhesiva el agujero de manera que al dar vuelta la hoja , en el lado que contiene el pegam ento se pueda rociar la muestra pulverizada de forma equitativa hasta cubrir todo el agujero. 3. Cubrir con cinta adhesiva el otro lado del agujero de manera que la muestra quede compacta. 4. Pegar la muestra en e l filtro de Zircon io. 5. Instalar el tubo de rayos X con ánodo de Molibdeno y montar el experimento como se muestra en la Figura 1. 6. Colocar la película de rayos X con su envoltura resistente a la luz en el soporte de película concristal. la ayuda de de las obtener dos láminas imantadas y a una d istancia alrededor de 2,5 cm a 3,5 cm sin distorsiones. del A fin patrones 7. Exponer la pe lícula en los valores máximos de tensión de ánodo es decir 35KV y 1mA con un tiempo de exposición de 2.5 horas . 90
8. Medir la distancia entre la muestra y la película e xactamente para la determinación posterior de las direcciones. 9. Luego de haber expuesto la película a la radiación durante el tiempo indicado anteriormente, proceda a revelarla como se indica e n el Apéndice . 10. Repita los pasos anteriores p ara una muestra de CsCl.
Figura1 .- Montaje experimental para el método de Debye -Scherrer
CUESTIONARIO .-
1. Usando la ecuación (4), determi nar los valores de l os ngulos de Bragg pa ra cada uno de los a nillos de la fotografía Debye-Scherrer del polvo de NaCl . 2. Determinar los índices de Miller de los planos del cri tal de NaCl que han producido los anillos de la fotografía. 3. Usando la ecuación (5) determinar las distancias interplanares de los planos identificados en la pregunta 2 . 4. Determinar el valor experimental de la constante de re el NaCl usado en la experiencia. 5. Usando la ecuación (4), determinar los valores de los ángulos de Bragg para cada uno de los a nillos de la fotografía Debye-Scherrer del polvo de CsC l. 6. Determinar los índices de Miller de los planos del cri tal de CsCl que han producido los anillos de la fotografía. 7. Usando la ecuación (5) determinar las distancias interplanares de los planos identificados en la pregunta 6. 8. Determinar el valor experimental de la constante de re el CsCl usado en la experiencia.
91
CAP TULO 7 INTENSIDAD DE LOS HACES DIFRACTAD OS 7.1 DISPER SI N POR UN ELE CTR N La intensidad I de un haz de rayos X dispersado por un sólo elec trón carga e y masa m, a una distancia r del elec trón, es dada por la ecuación de Thomson : e4 I = I0 sen 2 α (7.1) 2 r m 2c4 donde I 0 es la intensidad del haz incidente, c es la velocidad de la luz y a es el ángulo entre la dirección dispersada y la direcci ón del aceleración d e electrón. z Considerando u n haz incidente que viaja en la direcc ión E Ox de la Figura 7.1 y que encuentra un electrón en 0. La Ez P intensidad total del haz dispersado en el punto P , en el · r y plano del xz , donde OP está inclinado un ángulo de 2q O dispersión 2 θ respecto al haz incidente, se obt iene Ey sumando las intensidades de las dos componentes x dispersadas del haz: I P = I Py + I Pz . Figura 7.1. - Dispersión Coherente de los rayos X por un electrón
Aplica ndo la ecuación (7 .1) a cada componente : e 4 1 + cos 2 2θ I P = I 0 2 2 4 2 r m c
(7.2)
Esta ecuación muestra que la intensidad del haz dispersado decrece c la inversa del cuadrado de la distancia desde el electrón dispersado, y que el h dispersado es más intenso en las direcciones hacia delante y hacia atrás que en una dirección a ángulo recto al haz incidente. El factor, (1 + cos2 2θ) / 2 , es llamado el factor de polarización y se introduce en la ecuación simpleme nte porque e l haz incidente e s no polarizado . Existe otra forma muy diferente en la cual un electrón hν 1 e puede dispersar los rayos X, y que es manifestado en el efecto Compton. Este efecto, descubierto por A. H. Antes del impacto Compton en 1923, ocurre siempre que los rayos X hν 2 2q encuentren electrones lig ado s o libres y pueden ser mejor entendidos considerando el haz de incidente, no como un Después del impacto e movimiento ond ulatorio, sino como una corri ente de Figu ra 7 . 2. Colisión elástica del fotón y quantos de rayos X o f otones, cada uno de energía hν1 . el electrón (Efecto Compton) Cuando tal fot ón golpea a un electrón ligado, la co lisión es elástica como la de dos bolas de billar, como se muestra en la Figura 7.2. El electrón es golpeado por un lado y el fotón es desviado a través de un ángulo 2 θ. Dado que una parte de la energía del fo tón incidente es usada en proporcionar energ a cinética para e l electrón, la energía h ν2 del fotón después del impacto es menor que su energía h ν1 antes del impacto. La longitud de onda λ2 de la radiación dispersada es de tal manera ligeramente mayor que la longitud de onda λ 1 del haz incident e, la magnitud del ca mbio es dado por la ecuación (7.3) ∆λ( A ) = λ 2 − λ1 = 0.0243 (1 − cos 2θ ) 92
El incremento en la longitud de onda depende sólo del lo de dispersión, y varía desde cero en la dirección hacia adelante ( 2θ = 0 °) a 0.05A en el extremo de la dirección hacia atrás ( 2θ = 180°) . La radiación así dispersada es llamada radiación Compt n modificada , y, además de tener su longitud de onda increment ada, tiene la característica importante de que su fase no tiene relación fija a la fase del haz de inci dente. Por esta razón es también con ocida como radiación incoherente. 7.2 DISPERSI N POR UN TOMO
Cuando uncoherentemente h az de rayos de X eacuerdo ncuentra cada elect rón enTambién él disp ersa partesp e erarse de la radiación conunla átomo, ecuación de Thomson. podría que el núcleo tom e parte en la dispersión coherente, dado que también po rta una carga y debería ser capaz de osci lar bajo la influenc ia de l haz incidente. Sin embar go, el núcleo tiene una masa sumamente grande relativ a a la del electrón y no puede ser hecho oscilar en cualquier extensión apreciable; de hecho, la ecuación de Th omson muestra que la inte nsidad de la dispersión coherente es inversamente proporcional al cuadrado de la masa de la partícula dispersada. El efecto neto es que la disp ersión coherente por un átomo es debida sólo a los electrones conteni dos en ese á tomo. En la Figura 7.3, las ondas dispersadas hacia adelante por los electrones A y B están exactamente en fase sobre un frente de onda tal como XX', porque cada onda ha recorrido la misma distancia antes y después de la dispersión. Las otras ondas dispersadas mostradas la figura, sin embargo, tienenen una diferencia de trayectoria igual a (CB - AD) y están de e sa manera un poco fuera de fase a lo largo de un frente de onda tal como YY', la diferencia de trayectoria es menor que una - Dispersión de los rayos X por un átomo Figura 7.3. longitud de o nda. Interferencia parcial ocurre en tre las ondas dispersadas por A y B, con el resultado que la amplitud neta de la onda dispersada en esta dirección es meno r que la de l onda dispersada por los mismos electrones hacia adelante. La ef iciencia de la dispersión de un á tomo dado en una dirección dada e s descrita por el fa ctor de dispersión a tómico f, definida como una re lación de amplitudes : f
=
amplitud de la onda dispersada por un átomo amplitud de la onda dispersada por un electrón
(7 .4)
De lo que se ha dicho ya, es claro que f = Z para cualquier átomo dispersando ha adelante. Cuando θ aumenta, sin embargo, las ondas di spersadas por elect rones individuales llegan a estar más y más desfasadas y f de crece. El factor de dispersión atómico también depende de la longitud de onda del haz incid ente: a un valor fijo de θ, f será más pequeño que la longitud de 93
onda más corta, dado que las diferencias de trayectoria 30 serán mayores en relación a la longitud de onda, f produciendo interferencia más grande entre los haces Cu dispersados. El cálculo verdadero de f incluye sen θ en vez de θ , a fin de que e l efecto neto sea que f disminuya a 20 medida que la cantidad (sen θ)/ λ aumente. Valores calculados de f para diversos átomos y valores diversos de sin θ/λ han sido tabulados y se encuentran en muchos textos; una curva mostrand o la variación típica de f, en est e caso para el cobre, es dada en la Fi gura 7.4. Not ar que comienza en el número atómico cobre, 29, lay curva disminuye a valores muy bajos pordel la dispersión en la direc ción haci a atrás ( θ cerca a 90°) o para longitudes de o nda muy cortas.
29
10
0
sen θ/λ (A-1) 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 7.4. - Factor de dispersión atómic o del cobre
7.3 DISPERSI N POR U NA CE LDA UN ITAR IA
La onda resultante dispersada por todos los átomos de la celda unitaria es llamada el factor de estructura F , que se obtiene sumando todas las ondas d ispersadas por los á tomos individuales. Si una celda unitaria contiene átomos 1, 2, 3, …, N; c n coordinadas fraccionales u 1 v1w1 , u2v 2w2 , u3 v3w3 , … y factores de dispersión atómi ca f 1, f2 , f3, …, entonces e l factor de e structura para la reflexión hkl es dada por:
F = f1e 2πi( hu1 + kv1 + l w1 ) + f 2 e 2 πi (hu 2 + kv 2 + l w 2 ) + f 3e 2 πi( hu 3 + kv 3 + l w 3 ) + ..... N
En forma más compacta:
F
l
=
hk
∑ 1
f e 2 πi( hu n + kv n + l w n )
(7.5) (7.6)
n
F es, en general, un núme ro complejo y expresa la amplitud y la fase de la onda resultante. Su valor absoluto |F| da la amplitud de la onda resultante en términos de la amplitud de la onda dispersada por un solo el ectrón. Luego, |F | es definido como una razón de amplit udes: F =
amplitud de la onda dispersada por todos los átomos de la celda unitaria . amplitud de la onda dispersada por un electrón
7.4 ALGUNAS RELACIO NES
TILES
En el cálculo de los factores de estructura por funciones exponenciales co mplejas, muchas relaciones particul ares se presentan siempre a menudo por lo que va le la pena enunciarlas aquí. Ellas pueden verificarse mediante la ecuac ión e i x = cos x + i sen x . (a) e π i = e 3 π i = e 5 π i = −1 (b) e 2 π i = e 4 π i = e 6 πi = +1 (c) e n π i = (−1) n , donde n es cualquier e ntero. (d) e n π i = e − n π i , donde n escualquier entero. (e) e i x + e −i x = 2 cos x 94
7.5 C LCULOS DE L FAC TOR DE EST RUCTURA
La aplicación de la ecuación 7.6, resuelve el cálculo del factor de estructura de las celdas unitarias que se citan, según se indica:
(a) Celda unitaria con un átomo en el srcen 000: F = f e 2 π i [h (0 +k ( 0 + ( 0 ] = f e 0 = f y F 2 = f 2 . 11 0: 22
(b) Celda unitaria base centrada con dos átomos de la misma clase en 000 y F = f e 2 π i [ h ( 0) + k ( 0 ) + l ( 0 )] + f e
1 1 2 π i [ h ( ) + k ( ) + l ( 0)] 2 2Luego .
: F = f 1 + e π i (h + k ) ].
Si h y k son ambos pares o impares, esto es, no mezclados, entonces su suma es siempre par y e π i ( h + k )] = 1 . Por lo ta nto: F = 2 f y F2 = 4 f 2 . Si h y k son uno par y uno impar, esto es, mezclados, entonces su suma es impar y e π i ( h + k )] = −1 . Por lo tanto: F = 0 y F2 = 0 . (c) Celda unitaria cuerpo centrado con dos átomos de la mi sma c lase en 000 y
F = f e 2 π i [ h ( 0) + k ( 0 ) + l ( 0 )] + f e
1 1 1 2 π i [ h ( ) + k ( ) + l ( )] 2 2 Luego 2 .
111 : 222
: F = f 1 + e π i ( h + k + l ) ].
Cuando ( h + k + l ) es par: F = 2 f y F2 = 4 f 2 . Cuando ( h + k + l ) es impar: F = 0 y F 2
=
0.
(d) Celda cúbica unitaria cara centrada con cuatro átomos de la misma clase 000 , 12 12 0 , 1 1 11 0 y0 : 2 2 22 F = fe 2 π i [ h ( 0 ) + k ( 0 ) +
( 0 )]
+ fe
1 1 1 1 2 π i [ h ( ) + k ( ) + ( 0 )] 2 π i [ h ( ) + k ( 0 ) + ( )] 2 2 2 2 + + fe
fe
1 1 2 π i [ h ( 0 ) + k ( ) + ( )] 2 2
Luego : F = f 1 + e π i ( h + k ) + e π i ( h + l ) + e π i ( k + l ) . Si h, k y
l
son no mezclados, entonces las tres sumas ( h + k) , ( h + l ) y ( k + l ) son pares,
y cada uno de los términos tiene el valor 1 . Luego: F = 4 f y F2 = 16 f 2 . Si h, k y l son mezclados, entonces la suma de las tres exponenci les es – 1, ya sea que dos de los índices sea impar y uno par, o dos pares y uno im ar. Luego: F = 0 y F 2 = 0 . (e) Celda cúbica del NaCl con cuatro átomos Na en 000 ,
en
111 1 1 1 , 00 , 0 0y 0 0 : 222 2 2 2
11 22
0,
1 1 11 0 y 0 y 4 átomos Cl 2 2
22
95
1 1 2 π i [ h ( ) + k ( ) + l ( 0)] 2 2
+
f Na e
1 1 1 2 π i [ h ( ) + k ( ) + l ( )] 2 2 2
+
f Cl e
F = f Na e 2 π i [ h ( 0 ) + k ( 0 ) + l ( 0 )] + f Na e f Na e
1 1 2 π i [ h (0 ) + k ( ) + l ( )] 2 2
1 2 π i [ h ( 0 ) + k ( ) + l (0 )] 2 f Cl e
F = f Na [1 + e π i ( h + k )
+
f Cle
1 2 π i [ h (0 ) + k (0 ) + l ( )] 2
+
1 2 π i [ h ( ) + k ( 0 ) + l ( 0)] 2 +f e Cl
e π i ( h + l ) + e π i ( k + l ) ] + f Cl [ e π i ( h + k + l ) + e π i l
Luego: F = [1 + e i (h + k ) π
+
1 1 2 π i [ h ( ) + k (0 ) + l ( )] 2 2 +
i (h + l ) + e π
i ( k + l ) ] [f + e Na π
+
e πi k
+
eπ i h ]
i (h + k + l ) ] + f Cl e π
l son mezclados, entonces la suma de las tres exponenciales en e l primer fac tor es h, kyay sea –Si 1, que dos de los índices sea impar y uno par, o dos pares y uno impar. Esto demuestra que el NaCl tiene una red cara centrada y qu : F = 0 y F 2 = 0 . Si h, k y l son no mezclados: e π i ( h + k )] = 1 , e π i ( h + l )] = 1 , e π i ( k + l )] = 1 , por lo q ue:
f Cle π i ( h + k + l ) ] = 4 [ f a + f Cle π i ( h + k + l ) ] Si ( h + k + l ) es par: F = 4 (f Na + f Cl ) y F 2 = 16 ( f Na + f Cl ) 2 . Si ( h + k + l ) es impar: F = 4 ( f a − f Cl ) y F 2 = 16 ( f Na − f Cl ) 2 .
F = [1 + 1 + 1 + 1][ f
a
+
7.6 APLICACI N A L M TODO D EL POL VO Cualquier cálculo de la intensidad de un ha z difractado siempre debe comenzar con el fac tor de estructura. El resto del cálculo, sin embargo, varía con el método de di fracción particular considerado . Para el método de Lau e, los cálculos de intensidad son tan difíci les que muy pocas veces son hechos, ya que cada haz difractado tiene una longitud de onda erente y ennegrece la película una cantidad variable, dependiendo de la i ntensidad y la sensibi lidad de la pe lícula para esa longitud de onda particular. Los factores que controlan la intensidad difractada en los métodos de cr istal giratorio y de polvo son casi similar es, en los que radiación monocromática es usada en cada caso , pero difieren en detalle. Consideraremos e l método de polvo, ya que es de utilidad más general en el trabajo metalúrgico. Existen seis factores que afectan la intensidad rel ati a de las líneas de difracción en un patrón de polvo: (1) el factor de polarización, (2) el factor de estructura, (3) e l factor de multiplicidad, (4) el factor de Lorentz, (5) el factor de absorción, (6) el factor de tempera tura
7.7 FACTOR DE MULTIPLICIDAD La proporción relativa de los planos que contribuyen a una misma reflexión entra en la ecuación de intensidad como factor de elmultiplicidad, que puede serparalelos defini do una cantidad p, elque como el número de planos di ferentes en forma tienen mi smo espaciado. Planos con índices de Miller diferentes, tales como (100) y ( 1 00 ) de un cristal cúbico , son contados 96
separadamente como planos diferentes. Así el factor de multiplicidad para los planos {100} de un cristal cúbico es 6 y para los planos {111} es 8. El valor de p depende del sistema cristalino: en un cristal tetragonal, los plano s (100) y (001) no tienen el mismo espaciado, de manera que el valor de p para los planos {100} se reduce a 4 y el valor para los planos {001} a 2. Valores del factor de multiplicidad como una función de los índices hk l y el sistema cristalino se encuentran en muchos t extos de Difracción de rayos X . 7.8 FACTOR DE LORENTZ
Se deben considerar ciertos factores trigonométricos que influyen en la intensidad del haz reflejado tomando en cuenta :
(1) El rango angular máximo de rotación del cristal sobre difractada en la dirección 2 θ B es dada por: ∆θ =
cual energía apreciable será
λ
. 2 N a sen θ B depende de este rango, se puede concluir que
Puesto que I max I max es proporcional a 1 / sen θ B . La intensidad integrada de la reflexión es dada por área bajo la curva de difracción y es por lo tanto proporcional al producto I max B , lo cual es a su ve z proporcional a (1 / sen θ B ) (1 / cos θ B ) o a 1 / sen 2 θ B . (2) La intensidad integrada de una reflexión a cualquier án particular de Bragg depende del número de partículas orientadas a o cerca a ese ángulo. Si ∆N es el número de tales partículas y N el número total, entonces : ∆ N r ∆θ [ 2 π r sen (90° − θ B )] ∆ θ cos θ B . = = N 2 4π r2 El número de partículas favorablemente orientadas para la reflexión es así proporcional a cos B y es bastante pequeño para reflexion es en la dirección hacia atrás. (3) La longitud de cualquier línea de difracción es 2 π R sen 2θ B , donde R es el radio de la cámara, la intensidad relativa por unidad de longitud ínea es proporcional a 1 / sen 2θ B . En cálculos de intensidad, los tres factores expu estos son combinados en uno y l lamado el factor de Lorentz. Dejando de lado e l subíndice en el ángulo de Bragg, tenemos: 1 1 (cos θ ) 1 = cos2 θ = Factor de Lorentz = (7.7) 2 sen 2 θ sen 2 θ sen 2θ 4 sen θ cos θ Éste a su vez combinado con el factor de polarización de Lorentz -polarizac ión dado por:
1 (1 + cos 2 2θ) da el factor combinado 2
1 + cos 2 2 θ Factor Lorentz − polarizaci ón = sen 2 θ cos θ
(7.8)
Valores de este factor son dados en textos de Difracción de rayos X y son representados gráficamente en l a Figura 7.5 como una fun ción de θ. El efecto global de estos factores 97
geométricos es disminuir la intensidad de las re flexiones en á ngulos intermedios c omparados a las de las direcciones hacia adelante o hacia atrás. 7.9 FACTOR DE A BSO RCI N
Un cálculo de este efecto demuestra que la absorción relativa aumenta cuando θ disminuye, para cualquier muestra cilíndrica. Esto también es observado en los patrones de difracción de polvo. La diferencia en absorción entre reflexiones de θ altos y θ bajos disminuye cuando el coeficiente de absorción lineal de la muestra disminuye, pero la absorción es siempre mayor para las reflexiones de θ bajos. El factor de absorción tiene una forma completamente diferente para muestras planas usadas en un difractómetro. 7.10 FACTOR DE TEMPERATURA
2
2 s o c + 1
r o t c a F
s o c 2
n e S n ó i c a z i r a l o p z t n e r o L
Ángulo de Bragg
θ (grados)
Fígura 7.5.- Factor Lore ntz-Polarización
Cuando se realizan estudios de estructuras se asume qu los átomos permanecen quietos en las celdas y que no cambian de posi ción, por lo menos dura te el ensayo ; sin embargo , cuando se someten las muestras a temperaturas altas la vibración de los átomos se hace presente en mayor magnitud, motivo por el cual puede ocurrir que por ejemplo : la celda se expanda, aumentando el espaciamiento entre planos, la intensidad de la l ínea de difracción decrezca y la intensidad del grado de ennegrecimiento del b ackground aumente, disminuyendo la claridad de la muestra. El efecto de la tempera tura se da por la siguiente relación: I = I 0 e M , d onde e M es el término por el cual se debe multiplicar la intensidad pa a tener en cuenta las vibraciones producidas por efecto de la temperatura y cuya determinación se puede lograr por los datos que aparecen en libros de Difracción de rayos X . 7.11 INTENSIDAD ES DE LAS L NEAS EN LOS PAT RONES DE POLV O
La inte nsidad relativa I (unidades arbitrarias) de las líneas de un patrón de es dada por: 2 2 1 + cos 2θ I = F p (7 .9) sen 2 θ cos θ Donde: F es el factor de estructura; p es el factor de multiplicidad y θ es el ángulo de Bragg.
Esta ecuación determina la intensidad integrada relativa, esto es, el área relativa bajo la curva de intensidad versus 2 θ . 7.12 MEDIDA DE L A INTENSIDAD DE LOS RAYOS X
Para medir la intensidad de los haces difractados de r s X existen dos métodos, uno dependiendo del efecto fotográfico de los rayos X y el otro basado en la habilidad de los rayos X para ionizar gases y srcinar la fluorescencia de luz en los cristales. Estos métodos han sido ya mencionados en la sección 3.3.
98
LABORATORIO 14 DIS PERS I N COMPT ON D E LOS R AYOS X
OBJETIVOS.-
• Determinar la transmisión de un absorbedor de aluminio como una función de la longitud de onda de los rayo s X.
• Determinar la intensidad de los rayos X dispersados a diferentes ángulos de un dispersor y calcular sus coef icientes de transmisión.
• Obtener la curva de transmisión de l Alum inio y d eterminar los cambios e n las longitude s de • onda. Determinar la longi tud de onda para la dispersión Compton de 90°. TEO R A .-
La intensidad de los rayos X se determinará por la tasa de pulsos o número de pulsos/ segundo que se genera en e l gas ionizado de un tubo contador al i ncidir sobre é l un haz de rayos X. Si el número de pulsos medidos por un contador es N, entonces el error relativo de la medida N ∆N 1 es dada por la razón: = = (1) N N N A tasas de pulsos altas N, debido al tiempo muerto τ del tubo contador, no todos los fotones que ingresan son re gistrados. La tasa de pulsos verdadera N* debe por lo tanto determinarse N por me dio de la relación: N* = (2) 1− τN La tasa de pulsos corregida se u sa para ca lcular los coeficientes de transmisión , de acuerdo a la N* (3) relación: T = N2* 1
donde N 1* es la tasa de pulsos registrada sin absorbedor y N *2 es la tasa de pulsos registrada con absorbedor. p2 Una representación esquemática de la geometría de dispersión del efecto Compton se mue stra en la Fig ura 1. El p1 α • fotón incidente sufre una pérdida de energía cuando es β desviado de su dirección srcinal bajo un ángulo de mv dispersión α, mientras que el electrón libre es emitido bajo Electrón libre un ángulo β desde el punto de colisión con un aumento en Figura 1.-Relación de momentum lineal en la d ispersión Compton. energía. Del principio de conservación de la energía y el momentum linea l, y tomando en cuenta la masa relativista del electrón, ocurre un cambio ∆λ en la longitud de onda del fotón dispersado como una función del ángulo de dispersión:
donde: La constante de Planck
∆λ = h (1 − cos α) = 2 h sen 2 α m0 c m0 c 2
(4)
h = 6,6256 × 10 −34 Js 99
La velocidad de la luz c = 2,9979 × 10 8 m / s −31 Lamasaenrepososdelelectrón m 0 = 9,109 × 10kg El cambio en longitud de onda para la dispersión de 90° se denomina longitud de onda Compton y contiene la energí a de l electrón en reposo : hc 2 (5) Ec = h ν c = =m c 0 λ
De donde se obtiene que :
λ
c
=
h m 0c
=
c
2.426 pm .
EQUIPOS Y MATERIALES .-
Unidad de rayos X Goniómetro Tubo de rayos X con ánodo de Cu Tubo contador tipo B
Dispositivo Compton CristaldeLiF(100) d=2.0 Computador personal
41×10 -10 m
PROCEDIMIENTO .-
1. Fijar e l diafragma tubular de 2 mm de d iámetro en la salida del tubo de rayos X y montar e l monocristal de LiF en el soporte d el goniómetro. Cerra y asegurar la puerta. 2. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure. Seleccionar del menú Archivo/Nueva medida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. 3. En el cuadro de diálogo introduci r los siguientes va lores: Tipo de medida :espectro Corrientedelánodo :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración : 100 s
4. 5.
6.
7.
Tensiónconstante :35 Modo rotación :acoplado Cristal LiF : kV Ángulo dearranque : 7.5º 2:1 Absorbedor :sin absorbedor Ángulo de parada : 9.5º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo : 0,1º Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciar medi da para determinar la tasa de pulsos N 1 ( θ) . Cuando termine el registro, archivar el espectro obtenido y apagar el equipo de rayos X. Insertar el absorbedor de aluminio entre la salida de rayos X y el monocristal de LiF y repetir el paso 3 considerando en el cuadro de Tubo GM diálogo: Absorbedor: aluminio. Seleccionar Continuar y en el cuadro de Absorbedor posición 2 diálogo que aparece seleccionar iniciar medida para determinar la tasa de pulsos N 2 (θ) . Cuando termine e l registro, archivar el e spectro obtenido y apagar el equipo de rayos X. Retirar el monocristal de LiF y en su lugar Dispersor ubicar el dispersor plástico a un ángulo de Absorbedor posición 1 135°, como se muestra en la Figura 2, que Figura 2.-Esquema del arreglo de dispersión representa esquemáticamente el montaje Compton de 90° experimental de la dispersión Compton de 90° mostrada en la Figura 3. 100
8. Reemplazar el diafragma tubular de 2 mm de diámetro por un diafragma tubular de 5mm de diámetro. Girar el tubo contador a la posición 90°, como se muestra en la Figura 3. Cerrar y asegurar la puerta.
Figura 3.-Montaje experimental para dispersión Compton de 90°
9. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programameasure . Seleccionar del menú Archivo/Nueva medida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. 10. En el cuadro de diálogo introduci r los siguientes va lores: Tipo de medida :espectro Corrientede l ánodo :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración : 100 s Tensiónconstante :35kV Modorotación :acoplado2:1 Cristal : ninguno Ángulodearranque : 7.5º Absorbedor : sin absorbedor Ángulo de parada : 9.5º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo : 0,1º 11. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciar medida para determinar la tasa de pulsos N 3 . Cuando termine el registro, archivar el espectro obtenido y apagar el equipo de rayos X. 12. Ubique el absorbedor de a luminio en la posición 1, entre el tubo de ra yos X y e l dispersor, ver Figura 2, y repita los pasos 9 y 10 considerando en el cuadro de diálogo: Absorbedor: aluminio. 13. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciar medida para determinar la tasa de pulsos N 4 . Cuando termine el registro, archivar el espectro obtenido y apagar el equipo de rayos X. 101
14. Ubique ahora el absorbedor de aluminio en la posición 2, entre el dispersor y el tubo contador y repita los pasos 9 y 10 considerando en el dro de diálogo: Absorbedor: aluminio. 15. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionariniciarmedida para determinar la tasa de pulsos N 5 . Cuando termine el registro, archivar el espectro obtenido y apagar el equipo de rayos X. CUESTIONARIO .-
1. Determinar el error relativo en la determinación de la tasa de pulsos N1 y N 2 . 2. Considerando que el tiempo muerto del tubo contador es τ ≈ 90 µs , determinar la tasa de pulsos verdadera N 1* y N *2 . 3. Usando la ecuación 3, calcular el coeficiente de transmisión del aluminio. 4. Graficar la transmisión del absorbedor de aluminio como u función de la longitud de onda de los rayos X. 5. Con los valores determinados para las tasas de pulsos los pasos 11 y 13, calcular el coeficiente de transmisión T1 para el al uminio. 6. Con los valores determinados para las tasas de pulsos los pasos 11 y 15, calcular el coeficiente de transmisión T2 para el aluminio. 7. En la gráfica de transmisión del aluminio, identificar los valores calculados de T1 y T2 para determinar sus correspondientes longitudes de onda. Ha lar el valor de ∆λ . 8. Comparar el valor experimental de la longitud de onda ompton ∆λ con el valor teórico. Determine e l error.
102
LABORATORIO 15
INTENSIDAD DE LOS RAYOS X CARACTERÍSTICOS OBJETIVOS.• Registrar espectros de intensidad de la radiación policromática de un tub de rayos X
usando un monocr istal de L iF. • Determinar la intensidad de las radiaciones características K α y K β como una función de la
corriente del ánodo. • Determinar la intensidad de las radiaciones características K α y K β como una función del
voltaje del ánodo. TEO R A.Los electrones que son emitidos desde el cátodo y acelerados hacia el ánodo son capaces de ionizar los átomos del material del ánodo en las capas electrónicas más internas. Cuando esto ocurre en la capa K, la vacancia resultante puede llenarse, por ejemplo, por electrones de la capa L o M. La energía ganada de esto es emitida como rayos X característicos K αy K β. La inte nsidad de la radiación característi ca K es dada por: (1) I K = B I A ( U A − U K )1.5 Donde: B = constante I A = corriente en el ánodo U A = voltaje de l ánodo U K = potencial de ionización del nivel K. La profundidad de penetración de los electrones de ionización en el material del ánodo y la profundidad de surgimiento de los rayos X generados son limitados. Cuando han alcanzado su máximo, entonces la relación empíri ca dada en (1) pierde su va lidez. La intensidad verdadera (tasa de pulsos N) puede obten de la intensidad medida (tasa de pulsos N 0 ) tomando en cuenta el tiempo muerto de l contador τ ≈ 90 µs de a cuerdo a: N0 N= ( 2) 1− τ N0
EQUIPOS Y MA TERIALES .UnidadderayosX Goniómetro Tubo de rayos X con ánodo de Cu
TubocontadortipoB CristaldeLiF(100) d=2.0 Computador personal
41×10 -10 m
PROCED IMIENTO.-
1. Instalar el tubo de rayos X con ánodo de co bre y montar e l experimento como se muestra en la Figu ra 1 . 2. Fijar el diafragma tubular de 1 mm de d iámetro en la salida del tubo de rayo s X y montar e l monocristal de LiF en el soporte del goniómetro. Cerrar y asegurar la puerta. 103
3. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure. Seleccionar del menú Archivo/Nueva medida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones.
Figura 1.- Montaje experimental para el análisis de rayos X
4. En el c uadro de diálogo introducir los siguientes valores: Tipo de medida :espectro Corrientedeemisión :1mA : ángulo del cristal Registro de datos Tiempo de integración : 2 s Tensión :35kV Modorotación :acoplado2:1 : 3º Cristal LiF : ngulodearranque Absorbedor : sin absorbedor ngulo de parada : 55º Filtro :sinyfiltro Incremento ánguloseleccionar : 0,1º iniciar Continuar medida . 5. Seleccionar en el cuadro de diálogo que del aparece Cuando termine e l registro, archivar e l espectro obteni do y apagar el equipo de ra yos X. 6. Encender la unidad de rayos X y la computadora y abrir el programa measure. Seleccionar del menú Archivo/Nueva medida o presionar el botón de registro rojo en el panel de botones. 7. En el c uadro de diálogo introducir los siguientes valores: Tipo de medida :espectro Corrientedeemisión :1mA Registro de datos : ángulo del cristal Tiempo de integración : 2 s Tensión :35kV Modorotación :acoplado2:1 Cristal LiF : Ángulodearranque : 19º Absorbedor :sin absorbedor Ángulo de parada : 24º Filtro :sinfiltro Incrementodelángulo : 0,1º 8. Seleccionar Continuar y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar iniciar medida . Cuando termine e l registro, archivar e l espectro obteni do y apagar el equipo de ra yos X. 9. Repetir los pasos 6, 7 y 8 considerando en el cuadro de diálogo: Corriente de emisión: 0.9 mA. pasomA 9 cambiando sucesivamente la corriente de emisión a 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 10. Repetir 0.3, 0.2 yel 0.1 . 11. Identificar en cada caso la tasa de pulsos N 0 para las líneas K α y usando la ecuaci ón ( 2) determinar la ta sa de pulsos N , re gistrando los valores en la Tabla N° 1 104
Tabla N° 1
N0 ( imp/s) N (imp/s) IA(
mA)
1.0
0.9
.8 0
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
12. Identificar en cada caso la tasa de pulsos N 0 para las líneas K β y usando la ecuación (2) determinar la tasa de p ulsos N, registrando los valores en la Tabla N° 2. Tabla N° 2 N0 ( imp/s) N (imp/s) IA( mA)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
13. Repetir los pasos 6 , 7 y 8 c onsiderando en e l cuadro de d iálogo: Tensión: 32 kV. 14. Repetir el paso 13 c ambiando sucesiv amente la tensión a 29, 26 , 23 , 20, 17 , 14, 11 y 8 kV . 15. Identificar en cada caso la tasa de pulsos N 0 para las l íneas K α y usan do la ecuaci ón (2) determinar la tasa de p ulsos N, registrando los valores en la Tabla N° 3 . Tabla N° 3 N0 ( imp/s) N (imp/s)
UA (kV)
35
32
29
26
23
20
17
14
11
8
16. Identificar en cada caso la tasa de pulsos N 0 para las líneas K β y usando la ecuación (2) determinar la tasa de pulsos N, regi strando los valore en la Tabla N° 4. Tabla N° 4
N0 ( imp/s) N (imp/s)
UA (kV)
35
32
29
26
23
20
17
14
11
8
CUESTIONARIO .-
1. Usando la ley de Bragg, determinar las longitudes de onda de las líneas K αy K βdel espectro característico del Cobre considerando los dos primeros órdenes de difracción . 2. A partir de las longitudes de onda halladas en la pregunta anterior, calcular las ecuencias correspondientes a las líneas Kα y Kβ del es pectro car acterístico de l cobre . 3. Usando los valores de las frecuencias calcular las e ne gías correspondientes a las líneas Kα y Kβ del espec tro ca racterístico de l cobre . 4. Graficar la tasa de pulsos N en función de la corriente del ánodo I A para las líneas Kα y Kβ considerando los va lores de las T ablas N° 1 y N° 2. 5. Interpretar la gráfica anterior y hallar la ecuación que relaciona a las variables N e I A para las líneas Kα y Kβ . 6. Graficar la tasa de pulsos N en función del voltaje de ánodo U A pa ra las líneas K α y K β considerando los va lores de las T ablas N° 3 y N° 4. 105
7. Interpretar la gráfica anterior y hallar la ecuación que relaciona a las variables N y U A para las líneas Kα y Kβ . 8. Considerando que para el cobre el potencial de ionización del nivel K es U K = 8.979 keV , graficar la tasa de pulsos N en función de ( U A − U K )1.5 para las líneas K α y K β , tomando en cuenta los valores de la s Tablas N° 3 y N° 4. 9. Interpretar la gráfica anterior y hallar la ecuación q e relaciona a las variables N y ( U A − U K )1.5 para las líneas K α y Kβ . 10. Haciendo uso de las técnicas del análisis gráfico , determinar la ecuación experimental que relaciona las variables N, I A y UA. Comparar la ecuación obtenida con la dada en (1) y hallar el valor experimental de B.
106
DISCUSION
Muchos autores, Klug y Alexander (1974), Peiser, Rooksby y Wilson (1960), Jeffery (1971), Hammond (1997), Warren (1990), Dinnebier y Billinge (2 008), en tre otros, han escrito textos relacionados a la asignatura Difracción de rayos X I , dirigidos generalmente a estudiantes de ciencias e ingenierías química, mineralógica y metalúrgica ; en los que se
exponen, de manera muy extensa, los temas relacionados a las propiedades de los rayos X, los fundamentos de la difracción y los principales métodos exp erimentales para su aplicac ión en e l análisis de las sustancias pol icristalinas. En estos textos, la inserción de tablas, gr áficos y fotografías limitan la presentación de problemas resueltos y prácticas experimentales. Otros, Azaroff (1968), Cullity (1978), Bloss (1971), Woolfson (1997), presentan una teoría más moderada que aco mpañan con pocos e jemp los y presen tan al final de cada capítulo una lista de problemas propuestos. Muy pocos, Barret (1967), Clark (1955), Azaroff y Buerger (1958), Henry, Lipson y Wooster (1961), orientan sus textos a aplicaciones específicas de los rayos X con muy pocos ejemplos. Sólo Azároff y Donahue (1969) han enfocado en su obra el estudio de la difracción de los rayos X desde el punto de vista del experimento de laboratorio, e n un texto escrito en idioma inglés, donde se presentan exp
entos haciendo uso de cámaras de
difracción y un difractómetro convencional de rayos X
ome tría θ - 2 θ.
En la actualidad, los difractómetros de rayos X han ev
ionado y su operación, el
registro y el análisis de los datos se realizan por med o de software, lo cual es e xplica do en los respectivos manuales de operación de los equipos y no en textos, como lo hace Hermbecker (2005) específic amente para e l equipo de rayos X de PHYWE c on el que cuenta el Laboratorio de Difractometría de nuestra Fa cultad. Asimismo, los textos no e xplican el uso de los diversos programas informáticos especializados que han sido desarrollados recientementepara simular la creación de estructuras cristali nas y la ejecución de diversas situaciones experimental es . 107
El texto “DIFRACCIÓN D E RAYOS X I: UN ENFOQU E EXPERIMENTAL ”, a diferencia de los citados, presenta en forma detal lada, clara y preci sa las pautas para la
ejecución y s imulación de una diversidad de experimentos re lacionados con las propiedades de los rayos X y los fundamentos, leyes y métodos experimentales de la Difracción que se aplican en el análisis de las sustancias policristalinas; con un enfoque teórico -experimental, que le
permitirá ser usado para el desarrollo sistemático y concreto de la asignatura
Difracción de
rayos X I que se imparte a los estudiantes de ciencias e ingenierías . El detalle en el diseño, el montaje y las pautas para la ejecución de los experime os , también marca una sustancial
diferencia con el enfoque propuesto en otros textos . Por lo expuesto, se puede concluir que mediante el uso del texto “DIFRACCIÓN DE
RAYOS X I: UN ENFOQ UE EXPERIMENTAL” es posible: 1. Conseguir una introducción equilibrada de los conceptos relacionados a las propiedades de los rayos X y a los fundamentos, leyes y métodos experimentales de la difracción.
2. Desarrollar habilidades, destrezas y análisis crítico e los estudiantes y , asimismo, su capacidad de trabajar en equipo .
3. Ejecutar experimentos que permiten observar el comportamiento de los rayos X y sus prop iedades .
4. Realizar el análisis cualitativo de ciertas sustancias cristalinas por difracción de rayos X a nivel introductorio . 5. Proporciona r a los estudiantes de ciencias e ingenierías química y metalúrgi ca una bas e experimental sólida para el trabajo posterior en el laboratorio de otras asignaturas relacionadas con este tema .
6. Iniciar a los estudiantes de ciencias e ingenierías química, mineralógica y metalurgia en el método científico de comprobación de hipótesis a través de los experimentos presentados .
7. En contraste con los textos elaborados por otros autores, hac er más dinámico y fácil el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Difracción de rayos X I . 108
REFERENCIALES
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Azaroff, Leonid V. Elements of x- ray Crystallography, New York: McGra w- Hill Book Company, 1968.
2.
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3.
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4.
Buerger, M. J.; X Ray Crys tallography ; New York: John Willey & Sons, 1952.
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Barret, Char les S. Estructura de los Metales, Madrid: Aguilar, S.A., 1967.
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Bloss, F. Dona ld. Crystallography and Crystal Chemistry , New York: Holt, Rinehart and Winston, Inc ., 1971
7.
Clark, George L. Applied X-rays, New York: Mc Graw-Hill Book Company, Inc., 1955.
8.
Cullity, B.D. Elements of x-ray Diffraction, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, Inc ., 1978 .
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Woolfson M.M.; An Introduction to X-Ray Crystallography; Cambridge: Cambridge University Press, 1997.
Laboratory experi ments in x-ray
109
AP ND ICE
Contiene Tablas, Cuadros y Sílabo de la asignatura que han sido elaborados po r el autor del proyecto, según se indica: •
Tabla N° 1. - Constantes Físicas
•
Tabla N° 2.- Filtros para la supresión de radiación K β
•
Tabla N° 3.- Ecuaciones para de terminar la distancia en tre planos
•
Cuadro N° 1 .- Ca rgado de la películ a
•
Cuadro N° 2 .- Re velado de la película
•
Sílabo de la asignatura Difracción de rayos X I .
110
Tab la N° 1.- CON STANTES F SIC AS
Notación
Denominación Cargaelemental
e
4,80 × 10 −10 esu
Constante de Boltzmann’s
1 4πε0 k
Constante de Planck
h
k=
Constante de Coulomb
mB =
Magnetón de Bohr
Valor 1,602177 × 10 −19 C
8,987551×109 Nm 2 / C 2 1,38 × 10 −23 J/º K
6,626076× 10−34 Js 4,135 × 10 −15 eV.s e 2m e
9, 274015×10 −24 J / T 9,109390× 10 −31 Kg 1,674929 × 10 −27 Kg
Masa del protón
me mn mp
Número de Avogadro
NA
6,022137 × 10 23 particulas / mol
Permeabilidad del espacio libre
µ0
Permitividad del es pacio libre
ε0
Velocidad de la luz
c
4π ×10 −7 N / A 2 8,9 × 10 −12 C 2 / N m 2 2,997924 ×10 8 m / s
Masa del electrón Masa del neutrón
1,672623× 10 −27 Kg
Cuadro elaborado por el autor del proyec to en base a recopilac ión bibliográfica.
Tabla N° 2 .- Filtros para la supresión de radiación K b Espesor del filtro par a Haz incidente I ( Kα ) 500 I (Kα ) trans = I ( Kβ) 1 Blanco Filtro I (K α ) I ( Kα) incident I ( Kβ) en e l haz transmitido Zr
5,4
mg/cm2 70
Cu
Ni
7,5
18
0,0008
0,42
Co
Fe
9,4
13
0,0006
0,47
Fe
Mn V
9,0
12 9
0,0006 0,0006
0,47
8,5
Mo
Cr
Pulg. 0,0043
0,30
0,48
Cua dro elaborado por el autor del proye o en base a recopilac ión bibliográfica. 111
Tabla N° 3.- Ecuaci ones para determi nar la distancia entre planos
Sistema
Cúbico Tetragonal
Hexagonal
Ecuación
1 = d2
(h 2
+ k2
+l 2)
a2
1 h2 + k2 l 2 = + 2 d2 a2 c 2 1 4 h2 + h k + k 2 l d 2 = 3 a2 + c2
Romboé drico
1 (h 2 + k 2 + l 2 ) sen 2 α + 2 ( h k + k l + h l ) (cos 2 α − cos α) = d2 a 2 (1 − 3 cos 2 α + 2 cos 3 α )
Ortorrómbico
1 h2 k2 l 2 = + + d2 a 2 b 2 c2
Mon oclínico
1 1 h 2 k 2 sen 2 β l 2 2 h l cos β + = + 2− ac d 2 sen 2β a 2 b2 c
1 1 = (S h 2 + S22 k 2 + S33l 2 + 2 S12 hk + 2 S23kl + 2 S13hl ) d 2 V 11 Donde: V = abc 1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α cos β cos )
S11 = b 2 c 2 sen 2 α Triclínico
S 22 = a 2 c 2 sen 2β S 33 = a 2 b 2 sen 2 γ S12 = abc2 (cos α cosβ − cos γ ) S 23 = a 2 bc (cos β cos γ − cos α) S13 = ab 2 c (cos γ cos α − cos β)
Cuadro elaborado por el autor del proyec to en base a recopilac ión bibliográfica.
112
Cuadro N° 1.- CARGADODE LA PELICULA
En el porta películas, llevar la palanca de control a la posición L. 1
Sujetar el sobre que contiene la película e
2
el extremo del borde de metálico el insertarpelículas. porta Asegurarse que elenlado que lleva las indicaciones THIS SIDE TOWARD LENS mire hacia el objetivo. No presionar la zona que lleva la indicación DO NOT PRESS HERE, porque aquí se encuentra la ampolla que tienen los compuestos reveladores. Empujar el sobre hasta la mitad, d esplazar la mano que lo sujeta hacia el extremo y luego empujar el sobre hasta el fondo del porta películas.
3
Cuando el sobre está insertado por completo, las lengüetas (j) quedan alineadas con el borde del porta películas y se ven en la entrada. 4
113
Cuad ro N° 2.- REVELADO DE LA PELICULA
Llevar la palanca de control del porta películas hacia la posición P.
1
2
3
Sujetar firmemente el sobre y tirar de una sola vez hasta sacarlo del porta películas. Tirar continuamente, a velocidad media, sin detenerse. Debe percibir una ligera resistencia en el momento en que el borde metálico del sobre llega a los rodillos del porta películas, pero continuar tirando sin vacilar. Los rodillos se separarán dejando pasar el borde del sobre. Esperar a que pase el tiempo de revelado recomendado, según las instrucciones de la película. En nuestro caso, el tiempo de procesado es aproximadame nte unos 20 segundos a 21ºC . Sacar la imagen del sobre, sujetando las dos lengüetas (k) con los pulgares y curvando ligera mente hacia atrás las dos aletas. Ejerciendo una presión moderada, rasgar el sobre y abrirlo hasta el borde metálico.
4
5
Sujetar c on el pulgar izquierdo el nega tivo y la cubierta delgada de papel y levantar rápidamente con la mano derecha la fotografía que saldrá del sobre. Tener cuidado con los ácidos que existen en el sobre, si hubiera algún contacto lavarse con abundante agua. Para conservar mejor la película pintar está con el ácido que vienen dentro del empaque de la película Polaroid.
114
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO F ACULTAD DE CIENCIAS NAT URALES Y MATEM ATICA ESCUELA PROFESIONAL D E F SICA SILABO I.
II.
DATOS GENERALES DE LA ASIGNATURA
1.1 1.2 1.3 1.4
Nombre del curso Código y Grupo Horario Carácter Requerimiento
: DIFRACCION DE RAYOS X I : FI 509 - 01F Electivo : :FI 402– FI410
1.5 1.6 1.7 1.8
Horas de clase Créditos Semestre Académico Profesor
:Teoría (02),Laboratorio (03) : 03 : 20 11-A : Lic. Carlos Quiñones Monteverde
OBJETIVOS
2.1 OBJETIVO GENERAL Describir las propiedades de los rayos X, la geometría de los cristales y las leyes y métodos de análisis relacionados con la difracción de s rayos X y su uso en el estudio de las sustancias cristalinas.
2.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS 2.2.1 Introducir en forma equilibra da los conceptos relacion a las propiedades de los rayos X, la geometría de los cristal es, los fundamentos de la d ifracción de los rayos X y sus métodos experiment ales. 2.2.2 Procurar que los alumnos ganen confianza en la compren de los conceptos estudiados y el desarrollo de la destreza para la resolución de los ejercicios de a plicación. 2.2.3 Estimular a los alumnos mediante la exposición de las conceptos estudiados en la tecnología ac tual.
licaciones de los
2.2.4 Realizar experimentos para mostrar la producción, dete ión, propiedades y métodos de difracción de los rayos X.
III.
SUMILLA Propiedades de los rayos X. Geometría de los cristales. Dirección e intensidad de los haces difractados. Fotografías de Laue. Fotografías de polvo. Medidas Difractométricas.
IV. CRONOGRAMA Semana 01. Sesión 01:
PROPIEDADES DE LOS RAYOS X I
Introducción. Radiación electromagnética. Producción d los rayos X. El espectro continuo. El espectro característico. Ejercicios. 115
Sesión 02: Laboratorio N° 1: Introducción al software Measure. Semana 02. PROPIEDADES DE LOS RAYOS X II
Absorción. Filtros. Detección de los rayos X. Precauciones de seguridad. Ejercicios. Sesión 04: Laboratorio Nº 2: La unidad de rayos x: Descripción de componentes. Sesión 03:
Semana 03. GEOMETRIA DE LOS CRISTALES I Sesión 05:
Introducción. Redes. Sistemas cristalinos. Simetría. C primitivas. Ejercicios.
as primitivas y no
Sesión 06: Laboratorio Nº 3: Espectro característico del cobre. Semana 04. GEOMETRIA DE L OS CRISTALES II
Direcciones y planos de la red. Estructura cristalina. Tamaño de los átomos y coordinación. Ejercicios. Sesión 08: Laboratorio Nº 4: Espectro característico del molibdeno .
Sesión 07:
Semana 05. GEOMETRIA DE LOS CRISTALES III
Proyección esférica. Proyección gnomónica. Proyección Ejercicios. Sesión 10: Laboratorio Nº 5: Espectro característico del fierro. Sesión 09:
ereográfica.
Semana 06. DIRECCION DE HACES DIFRACTADOS I Sesión 11:
Introducción. Difracción. Ley de Bragg. Espectroscopia de rayos X. Direcciones de difracción. Ejercicios.
Sesión 12:
Laboratorio Nº 6: Ley de Duane-Hunt . Semana 07. DIRECCION DE HACES DIFRACTADOS II
Métodos de difracción: Método de Laue, Método del cristal giratorio y Método del polvo. Difracción bajo condiciones no ideales. Eje cios. Sesión 14: Laboratorio Nº 7: Ley de Moseley . Sesión 13:
Semana 08. Sesión 15: EXAMEN PARCIAL (EP) Sesión 16: Examen Parcial de Laboratorio (P L) Semana 09. INTENSIDAD DE HACES DIFRACTADOS I
Dispersión por un electrón. Dispersión por un átomo. Dispersión por una celda unitaria. Algunas relaciones útiles. Cálculos del fact r de estructura. Ejercicios. Sesión 18: Laboratorio Nº 8: Absorción de rayos X.
Sesión 17:
Semana 10. INTENSIDAD DE HACES DIFRACTADOS II Sesión 19:
Aplicación al método del polvo. Factor de multiplicida . Factor de Lorentz. Factor de absorción. Factor de temperatura. Intensidad s de las líneas en los patrones de polvo. Medida de la intensidad de los rayos X. Ejercicios. 116
Sesión 20: Laboratorio Nº 9: Introducción al software Carine Crys Semana 11. FOTOGRAFIAS Sesión 21:
llography.
DE LAUE
Cámaras: transmisión y retroreflexión. Portamuestras. formas de las manchas de Laue. Ejercicios.
olimadores. Las
Sesión 22: Laboratorio N° 10: Celda unitaria y planos cristalográficos . Semana 12.FOTOGRAF IAS Sesión 23:
DE POLVO I
Método Debye-Scherrer. Preparación de la muestra. Cargado de la película. Cámaras de altas y bajas temperaturas. Cámaras de focalización. Cámara de Seemann-Bohlin. Cámaras focalizadoras de retroreflexión. Fotografía pinhole. Ejercicios.
Sesión 24: Laboratorio Nº 11: Cálculos cristalográficos y proyección estereográf ica. Semana 13. FOTOGRAFIAS DE POLVO II Sesión 25:
Elección de la radiación. Radiación del ruido de fondo. Monocromadores. Medida de la posición de la línea. Medida de la intensidad de la línea. Ejercicios.
Sesión 26: Laboratorio Nº 12: Método de Laue. Semana 14. Sesión 27:
MEDIDAS DIFRACTOMETRICAS
Aspectos generales del difractómetro de rayos X. Optic e rayos X. Cálculos de intensidad. Contadores proporcionales. Contadores Geiger. Contadores de centelleo. Medidores de tasa de conteo.. Ejercicios.
Sesión 28: Laboratorio Nº 13: Método de Debye-Scherrer. Semana 15.ORIEN TACI Sesión 29:
N DE MONO CRIS TALES
Introducción. Método de Laue de retroreflexión. Método de Laue de transmisión. Método difractométrico. Ejercicios.
Sesión 30: Laboratorio N° 14: Dispersión Compton de los rayos X. Semana 16. Sesión 31:
EXAMEN FINAL (EF) .
Sesión 32: Examen Final de Laboratorio (FL). Semana 17. Sesión 33:
EXAMEN SUSTITUTORIO (ES)
Sesión 34: Entrega de notas finales
V.
METODOS Y TECNI CAS DE ENSEÑANZA Exposiciones de clases magistrales teórico -prácticas utilizando pizarra y medios audiovisuales dentro de la concepción moderna del proc ENSEÑANZA 117
APRENDIZAJE por objetivos; complementadas con sesiones experimentales en el laboratorio y el uso de un software de simulación medi nte un computador personal. Se u sará, pizarra, tizas, mota, diapositi vas, proyector, plumon es, libros , apuntes de clases y manuales, materiales y equipos de laboratorio, computadora personal y software especializado. VI.
METODO DE EVALU ACION
El sistema de calificación usado en cada una de las evaluaciones es vigesimal, de a erdo a lo indicado: 1.
Se tomarán dos (02) exámenes parciales (E P y EF) de naturaleza teórico -práctico y un (01) examen sustitutorio (ES) cuya nota reemplazará a la más baja calificación obtenida en los e xámenes parciales o al examen parcial no rendido.
2.
Se considerará una (01) nota de Ex posición Oral ( EO) obtenida de pro mediar la nota asignada a la presentación de los temas desarrollados y las notas correspondientes a las sustentaciones orales.
3.
Se co nsiderará una (01) not a de Laboratorio ( NL) obtenida de promediar los dos (02) exámenes parciales de Laboratorio ( PL y FL) y el promedio de notas de Informes (PI ) de las ex periencias realizadas con a sistencias acreditadas, de acuerdo a la siguiente fórmula:
NL =
PL + FL + PI 3
4.
La nota final del curso ( NF) se obtendrá de acuerdo a la fórmula: EP + EF + EO + NL NF = 4
5.
Para aprobar la asignatura el estudiante deberá alcanz r e l promedio mínimo de 10.5 en la nota final del curso y acreditar como mínimo el 70% de asistencias a clases.
VII. BIBLIOGRAFIA 7.1 Bibliografía Básica
Cullity B. D.; X-ray Diffraction; Massachusetts: Addison Wesley Publishing Company, Inc., 1978. 7.2 Bibliografía Complementaria
Azaroff, Leonid 1968. V. Eleme nts of x-ray Crystallography , New York: McGraw-Hill Book Company, Barret Charles; Estructura de los metales; Madrid: Editorial Aguilar, 1957. 118
Bloss F. Donald; Crystallography and Crystal Chemistry; New York: Holt, Rinehart and W inston, Inc. , 1971.
Dinnebier, Robert and Billinge, Simon. P owder Diffraction: T heory and Practice , Cambridge: RSC Publishing, 2008. Hammond, C., The Basics of Crystallography and Diffraction , Oxford: Oxford Univer sity Pre ss, 1997. Hermbecker K. Handboo k Physics - X- Ray Experiments, Göttingen: PHYWE Series of Publication, 2005. Jeffery, J.W.; Methods in X-Ray Crystallography , London: Academic Press Inc. Ltd., 1971. Klug, Harold P., Alexander Leroy E.; X-Ray Diffraction Proced ures fo r Polycrystal line and Amorphous Materials , New York: John Wiley and sons, Inc.,
1954.
Peiser, H.S., Rooksby, H.P. and Wilson J.C.; X-ray diffraction by polycrystalline materials, London: Chapman & Hall, Lt d., 1960. Warren, Bertram. X-ray Diffract ion, New York: Dover Publications, Inc, 1990. Bellavista, Febrero 2011 Lic. Carlos Quiñones Monteverde
119
ANEXOS
Contiene Tablas de valores usados en el desarrollo del presente proyecto de investigación,
según se indica: •
Tabla Nº 1 .- Longitudes de onda de alguna s líneas característica s d emisión y bordes de
absorción. •
Tabla Nº 2 .- Coeficientes de absorción másico
•
Tabla Nº 3 .- ngulos interplanares en c ristales cúbicos
•
Tabla N° 4.- Números y P esos Atómicos intern acionales
•
Tabla Nº 5.- Conjunto de cocientes d 12 para e l inde xado de cristales isométri cos.
120
Longitudes de onda (en Angstroms) de algunas líneas c acterísticas de emisión y bordes de a bsorción TABLA N° 1 .-
Ele
Z
men to
Ka
Promedio
Ka 2
a
Fuerte
Na Mg Al Si P
11 12 13 14 15
11,90900 9,88890 8,33916
S Cl A K Ca
b
K
1
muy fuerte
K
1a
Débil
K
Borde
L
1
Muy fuerte
LIII
Borde
6,15490
11,90900 9,88890 8,33669 7,12528 6,15490
11,61700 9,55800 7,98100 6,76810 5,80380
16 17 18 19 20
5,37471 4,73050 4,19456 3,74462 3,36159
6 5,3719 4,72760 4,19162 3,74122 3,35825
5,03169 4,40310 3,45380 3,08960
5,01820 4,39690 3,87070 3,43645 3,07016
Sc Ti V Cr Mn
21 22 23 24 25
3,03452 2,75207 2,50729 2,29351 2,10568
3,03114 2,74841 2,50348 2,28962 2,10175
2,77950 2,51381 2,28434 2,08480 1,91015
2,75730 2,49730 2,26902 2,07012 1,89636
Fe Co Ni Cu Zn
26 27 28 29 30
1,93991 1,79278 1,66169 1,54433 1,43894
1,93597 1,78892 1,65784 1,54051 1,43511
1,75653 1,62075 1,50010 1,39217 1,29522
1,74334 1,60811 1,48802 1,38043 1,28329
13,3570 12,2820
13,28870 12,13090
Ga Ge As
31 32 33
1,34394 1,25797 1,17981
1,34003 1,25401 1,17581
1,20784 1,12589 1,05726
1,19567 1,11652 1,04497
11,3130 10,4560 9,6710
9,36710
Se Br
34 35
1,10875 1,04376
1,10471 1,03969
0,99212 0,93273
0,97977 0,91994
8,9900 8,3750
8,64560
Kr Rb Sr Y Zr
36 37 38 39 40
0,98410 0,92963 0,87938 0,83300 0,79010
0,98010 0,92551 0,87521 0,82879 0,78588
0,87845 0,82863 0,78288 0,74068 0,70169
0,86546 0,81549 0,76969 0,72762 0,68877
7,31810 6,86250 6,44850 6,07020
6,86330 6,38680 5,96180 5,58290
Nb Mo Tc Ru Rh
41 42 43 44 45
0,75040 0,71354 0,67600 0,64736 0,61761
0,74615 0,70926 0,67300 0,64304 0,61324
0,66572 0,63225 0,60200 0,57246 0,54559
0 ,65291
0,61977
5,72400 5,40625
5,22260 4,91250
0,56047 0,53378
4,84552 4,59727
4,36890 4,12960
Pd Ag Cd In Sn
46 47 48 49 50
0,58980 0,56377 0,53941 0,51652 0,49502
0,58541 0,55936 0,53498 0,51209 0,49056
0,52052 0,49701 0,47507 0,45451 0,43216
0,50915 0,48582 0,46409 0,44387 0,42468
4,36760 4,15412 3,95628 3,77191 3,59987
3,90810 3,69830 3,50380 3,32440 3,15590
Sb Te I Xe Cs
51 52 53 54 55
0,47479 0,45575 0,43780 0,42043
0,47032 0,45126 0,43329 0,41596
0,41706 0,39997 0,38388 0,36846
0,40663 0,38972 0,37379 0,35849
3,43915 3,28909 3,14849
2,99990 2,85540 2,71940 2,59240
0,40481
0,40026
0,35434
0,34473
7,12773
2,29092 1,93728 1,79021 1,54178
0,71069
9,51170 7,95110 6,74460 5,78660
0,00000 2,89200
2,47390
121
Longitudes de onda (en Angstroms) de algunas líneas c acterísticas de emisión y bordes de absorción (Continuación) TABLA N° 1 .-
Ele
Z
men to
Ka
Promedio
Ka 2
a
Fuerte
Ba La Ce Pr Nd
56 57 58 59 60
0,38964 0,37527 0,36165
Il Sm Eu Gd Tb
b
K
1
Muy fuerte
K
1a
Débil
K
Borde
L
1
Muy fuerte
LIII
Borde
0,34078 0,32795 0,31579 0,30423 0,29327
0,33137 0,31842 0,30647 0,29516 0,28451
2,77520 2,66510 2,56120 2,46270
2,36280 2,25830 2,16390 2,07700
0,35648
0,38508 0,37070 0,35707 0 ,34402 0,33182
2,37010
1,99467
61 62 63 64 65
0,32490 0,31365 0,30326 0,29320 0,28343
0,32070 0,30895 0,29850 0,28840 0,27876
0,28209 0,27305 0,26360 0,25445 0,24601
0,00000 0,26462 0,25551 0,24680 0,23840
2,28270 2,19940 2,12060 2,04600
0,00000 1,84450
1,97550
1,64860
Dy Ho Er Tm Yb
66 67 68 69 70
0,27430 0,26552 0,25716 0,24911 0,27147
0,26957 0,26083 0,25248 0,24436 0,23676
0,23758 0,00000 0,22260 0,21530 0,20876
0,23046 0,22290 0,21565 0,20890 0,20223
1,90875 1,84470 1,78428 1,72630
1,57900 1,53530 1,48218 1,43280
1,67190
1,38608
Lu Hf Ta W Re
71 72 73 74 75
0,23405 0,22699 0,22029 0,21381 0,20759
0,22928 0,22218 0,21548 0,20899 0,20277
0,20212 0,19554 0,19007 0,18436 0,17887
0,19583 0,18981 0,18393 0,17837 0,17311
1,61943 1,56955 1,52187 1,47635
1,34135 1,29712 1,25511 1,21546
Os Ir Pt
76 77 78
0,20162 0,19588 0,19037
0,19678 0,19103 0,18550
0,17360 0,16853 0,16366
0,16780 0,16286 0,15816
1 ,39113 1,35130 1,31298
1,14043 1,10565
Au Hg
79 80
0,18506 0,00000
0,18018 0,00000
0,15897 0,00000
0,15344 0,14923
1,27639 1,24114
1,03994 1,00898
Tl Pb Bi Th U
81 82 83 90 92
0,17502 0,17028 0,16570 0,13782 0,13096
0,17013 0,16536 0,16077 0,13280 0,12594
0,15013 0,14598 0,14194 0,11738 0,11138
0,14470 0,14077 0,13706 0,11293 0,10680
1,20735 1,17504 1,14385 0,95598 0,91053
0,97930 0,95029 0,92336 0,76062 0,72216
0,34872
1,43286
1,77530 1,70940
1,17700
1,07239
Tomada de CULLITY, B.D. Elements of x-ray Diffraction, Massachusetts: Addison -Wesley Publishing Compa ny, Inc., 1978 .
122
TABLA N° 2.- Coeficientes de absorción másico ( µ/ρ,cm 2/g) Elem ento
Z
MoK
a
λ=λ 0,711
Zn a Ka a
=λ1,436 λ
Cu K
Na K ia
Co K
=1,542 λ λ λ λ =1,659
He Li Be B
2 3 4 5
0,18 0,22 0,30 0,45
0,31 0,54 1,02 2,51
0,37 0,68 1,35 3,06
C N O
6 7 8
0,70 1,10 1,50
4,43 6,85
5,50 8,51
11,40
F Ne
910
1,93 2,67
14,40 20,20
Na Mg Al Si P
11 12 13 14 15
3,36 4,38 5,30 6,70 7,98
25,60 33,00 40,00 49,50 59,40
S Cl A K Ca
16 17 18 19 20
10,00 11,60 12,60 16,70 19,80
75,00 85,00 93,00
Sc Ti V Cr Mn
21 22 23 24 25
Fe Co Ni Cu Zn
FaeK
a
=1,790
0,43 0,87 1,80 3,79
=1,937
Mn K
=2,103
CK r
=2,291
0,52 1,13 2,42 4,67
0,64 1,48 3,24 5,80
0,74
1,76 3,90 7,36
0,86 2,11 4,74 9,37
6,76
8,50
12,70
10,70 16,20
13,60 20,20
10,70 17,30 25,20
13,80 21,80 32,20
17,90 27,70 40,10
17,50 24,60
21,50 30,20
26,60 37,20
33,00 46,00
41,10 57 ,60
51,60 72,70
30,90 40,60 48,70 60,30 73,00
37,90 47,90 58,40 75,80 90,50
46,20 60,00 73,40 94,10
56,90 75,70 92,80
72,30 95,20
113,00
116,00 141,00
117,00 146,00 177,00
120,00 149,00 192,00 223,00
91,30
119,00 142,00
103,00 113,00 143,00 172,00
112,00 126,00 141,00 179,00 210,00
139,00 158,00 174,00 218,00 257,00
175,00 199,00 217,00 269,00 317,00
217,00 245,00 270,00 330,00 400,00
273,00 308,00 341,00 425,00 508,00
21,10 23,70 26,50 30,40 33,50
153,00 167,00 186,00 213,00 234,00
185,00 204,00 227,00 259,00 284,00
222,00 247,00 275,00 316,00 348,00
273,00 247,00 275,00 316,00 348,00
338,00 377,00 422,00 490,00
428,00 475,00 530,00
545,00 603,00
26
38,30
270,00
324,00
397,00
59,50
27 28 29 30
41,60 47,40 49,70 54,80
292,00 325,00
354,00 49,30 52,70
54,40 61,00 65,00 72,10
65,90 75,10 79,80 88,50
Ga Ge As Se Br
31 32 33 34 35
57,30 63,40 69,50 74,00 82,20
52,40 57,60 63,50 69,40 77,00
63,30 69,40 76,50 82,80 92,60
76,90 84,20 93,80
94,30
Kr Rb Sr Y Zr
36 37 38 39 40
88,10 94,40
83,00 91,50
Nb Mo Ru Rh
41 42 44 45
Pd Ag Cd In Sn
46 47 48 49 50
92,50
63,60
70,50 79,60
77,30 89,90 99,40
72,80
90,90
115,00
80,60 93,10 98,80
109,00
102,00 116,00 123,00 135,00
126,00 145,00 154,00 169,00
101,00 112,00
104,00 115,00 125,00 137,00
116,00 128,00 142,00 152,00 169,00
144,00 158,00 175,00 188,00 206,00
179,00 196,00 218,00 235,00 264,00
100,00 107,00 118,00
100,00 109,00 119,00 129,00 143,00
122,00 133,00 145,00 158,00 173,00
148,00 161,00 176,00 192,00 211,00
182,00 197,00 214,00 235,00 260,00
226,00 246,00 266,00 289,00 317,00
285,00 309,00 334,00 360,00 391,00
10,20 12,20 12,44
18,70 20,20 23,40 25,30
126,00 136,00 153,00 165,00
153,00 164,00 185,00 198,00
183,00 197,00 221,00 240,00
225,00 242,00 272,00 293,00
279,00 299,00 337,00 361,00
338,00 360,00 404,00 432,00
26,70 28,60 29,90 31,80 33,30
173,00 192,00 202,00 214,00 230,00
207,00 223,00 234,00 252,00 265,00
254,00 276,00 289,00 307,00 322,00
308,00 332,00 352,00 366,00 382,00
376,00 402,00 417,00 440,00 457,00
450,00 483,00 500,00 531,00 555,00
545,00 585,00 608,00 648,00 681,00
101,20 1 08,90 17,20
8,57
42,00 49,30
59,00
123
TABLA N° 2.- Coeficientes de absorción másico ( µ/ρ,cm 2/g) (Continuación) Elem ento
Z
MoK
a
λ=λ 0,711
Zn a Ka
=λ1,436 λ
Cu K
a
Na K ia
=1,542 λλλ
C oK
=1,659
FaeK
a
=1,790 λ
Mn K
=1,937
CK r
=2,103
=2,291
Sb Te I Xe Cs
51 52 53 54 55
35,30 36,10 39,20 41,30 43,30
245,00 248,00 269,00 283,00 298,00
284,00 289,00 314,00 330,00 347,00
342,00 347,00 375,00 392,00 410,00
404,00 410,00 442,00 463,00 486,00
482,00 488,00 527,00 552,00 579,00
589,00 598,00 650,00 680,00 715,00
727,00 742,00 808,00 852,00 844,00
Ba Ce
56 58
45,20 52,00
307,00 358,00
359,00 404,00
423,00 476,00
501,00 549,00
599,00 636,00
677,00 670,00
819,00 235,00
Ta W
73 74
101,00 105,00
136,00 143,00
164,00 171,00
200,00 209,00
246,00 258,00
305,00 320,00
364,00 380,00
440,00 456,00
Os Ir Pt Au Hg
76 77 78 79 80
113,00 118,00 123,00 128,00 132,00
152,00 160,00 172,00 179,00 186,00
186,00 194,00 205,00 214,00 223,00
226,00 237,00 248,00 260,00 272,00
278,00 292,00 304,00 317,00 330,00
346,00 362,00 376 ,00 390,00 404,00
406,00 422,00 436,00 456,00 471,00
480,00 498,00 518,00 537,00 552,00
Tl Pb Bi
81 82 83
136,00 141,00 145,00
194,00 202,00 214,00
231,00 241,00 253,00
582,00 294,00 310,00
341,00 354,00 372,00
416,00 429,00 448,00
484,00 499,00 522,00
568,00 585,00 612,00
Ra Th U
88 90 92
172,00 143,00 153,00
258,00 286,00 310,00
304,00 327,00 352,00
371,00 399,00 423,00
433,00 460,00 488,00
509,00 536,00 566,00
598,00 633,00 672,00
708,00 755,00 805,00
Tomada de PEISER, H.S., ROOKSBY, H.P. and WILSON J.C. polycrystalline mater ials, London: Chapman & Hall, Ltd., 19 60.
X-ray diffraction by
124
- Ángulos TABLA N° 3.
interplanares en cristales cúbicos entre planos de la for ma { h1k 1l 1 } y
{ h 2k 2l 2 } { h 2 k 2l 2 } 100 110
100 0 .0 90 .0 45 .0 90 .0
110
54.7
35.3 90 .0
210
26.6 63.4 90 .0 35.3 65.9
18.4 50.8 71.6 30 .0 54.7 73.2 90 .0 19.5 45 .0 76.4 90 .0 26.6 47.9 63.4
221
48.2 70.5
310
18.4 71.6 90 .0
311
25.2 72.5
320
33.7 56.3 90 .0 36.7 57.7 74.5
321
331 510 511 711
46.5 11.4 15.6 11.3
{ h 1k 1l 1 } 210
211
221
310
0.0 60 .0 90 .0
111
211
111
77.1 31.5 64.8 90 .0 11.3 54.0 66.9 19.1 40.9 55.5 13.1
0.0 70.5 109.5 39.2 75 .0 19.5 61.9 90 .0
0.0 36.9 53.1 74.1 43.1 56.8
0.0 33.6 48.2
15.8 54.7 78.9
26.6 41.8 53.4
17.7 35.3 47.1
0.0 27.3 39.0
43.1 68.6
8.1 58.1 45.0
25.4 49.8 58.9
32.5 42.5 58.2
0.0 25.9 36.9
29.5 58 .5 90 .0 61.3 71.3
19.3 47.6 66.1 7.1 29.8 41.9 17.0 33.2 53.3
10.0 42.4 60.5 25.2 37.6 55.6 10.9 29.2 40.2
25.2 45.3 59.8 22.4 42.3 49.7 11.5 27.0 36.7
17.6 40.3 55.1 15.3 37.9 52.1 21.6 32.3 40.5
22.2 51.9 72.0 90 .0 22.0
Tomada de CULLITY, B.D. Elements of x-ray Diffraction, Massachusetts: Addison -Wesley Publishing Compa ny, Inc., 1978 .
125
- Números TABLA N° 4. Símbo l o
y Pesos atómicos internacionales N° At.
Peso At.
Símbolo
N° At.
Peso At.
Actinium Aluminum Americium Antimony Argon Arsenic Astatine Barium Berkelium Beryllium Bismuth Boron Bromine Cadmium Calcium Californium Carbon Cerium Caesium Chlorine Chromium Cobalt Copper Curium Dysprosium Erbium Europlum Fluorine
Ac Al Am Sb A As At Ba Bk Be Bi B Br Cd Ca Cf C Ce Cs Cl Cr Co Cu Cm Dy Er Eu F
89 13 95 51 18 33 85 56 97 4 83 5 35 48 20 98 6 58 55 17 24 27 29 96 66 68 63 9
227 26 ,98 [243] 121,76 39,944 74,91 [210] 137,36 [245] 9 ,013 209,00 10 ,82 79,916 112,41 40,08 [246] 12,011 140,13 132,91 35,457 52,01 58,94 63,54 [243] 162,46 167,2 152,0 19,00
Molybdenum Neodymium Neptunium Neon Nickel Niob ium Nitrogen Osmium Oxygen Palladium Phosphorus Platinum Plutonium Polonium Potassium Praseodymium Promethium Protactinum Radium Radon Rhenium Rhodium Rubidium Ruthenium Samarium Scandium Selenium Silicon
Ma Nd Np Ne Ni Nb N Os O Pd P Pt Pu Po K Pr Pm Pa Ra Rn Re Rh Rb Ru Sm Sc Se Sl
42 60 93 10 28 41 7 76 8 46 15 78 94 84 19 59 61 91 88 86 75 45 37 44 62 21 34 14
95,95 144,27 [237] 20,183 58,69 92,91 14,008 190,2 16 106,7 30,975 195,23 [242] 210 39,100 140,92 [145] 231 226,05 2 22 186,31 102,91 85,48 101,1 150,43 44,96 78,96 28,09
Francium Godolnium Gallium Germanium Gold Hafnium Helium Holmium Hydrogen Indium Iodine Iridium Iron Krypton Lanthanum Lead Lithium Lutetium Magnesium Manganese Mercury
Fr Gd Ga Ge Au Hf He Ho H In I Ir Fe Kr La Pb Lt Lu Mg Mn Hg
87 64 31 32 79 72 2 67 1 49 53 77 26 36 57 82 3 71 12 25 80
[223] 156,9 69,72 72,60 197,0 178,6 4,003 164,94 1,0080 114,76 126,91 192,2 55,85 83,80 138,92 207,21 6,940 174,99 24,32 54,94 200,61
Silver Sodium Strontium Sulfur Tantalum Technetium Tellerium Terbium Thalium Thorium Thulium Tin Titanium Tungsten Uranium Vanadium Xenon Ytterbium Yttrium Zinc Zirconium
Ag Na Sr S Ta Tc Te Tb Tl Th Tm Sn Tl W U V Xe Yb Y Zn Zr
47 11 38 16 73 43 52 65 81 90 69 50 22 74 92 23 54 70 39 30 40
880 107, 22,991 87,63 32,066 180,95 [ 99] 127,61 158,93 204,39 232,05 168,94 118,70 47,90 183,92 238,07 50,95 131,3 173,04 88,92 65,38 91,22
Tomada de CULLITY, B.D. Elements of x-ray Diffraction, Massachusetts: Addison -Wesley Publishing Compa ny, Inc., 1978 . 126
Tabla Nº5.- Conjunto de cocientes d 1
hkl
para d
100 110 I 111F 200 I-F 210
100 (1)
2
para e l inde xado de cristales isométricos
Indice de Reflexiones correspondientes a d 1 110 111 200 210 211 (2) (3) (4) (5) (6)
220 (7)
1 2 3 4 5
1 1.5 2 2.5
1 1.33 1.67
1 1.25
1
211 I-F 220 300,221 310 I 311F
68 9 10 11
34 4.5 5 5.5
2.67 3 3.33 3.67
1.5 4 2.25 2.5 2.75
1.2 1.6 1.8 2 2.2
1.33 1.5 1.67 1.83
1 1.12 1.25 1.37
222 I-F 320 321 I 400 I-F 410,322
12 13 14 16 17
6 6.5 7 8 8.5
4 4.33 4.67 5.33 5.67
3 3.25 3.5 4 4.25
2.4 2.6 2.8 3.2 3.4
2 2.17 2.33 2.67 2.83
1.5 1.62 1.75 2 2.12
411,330I 331F 420 I-F 421 332 I
18 19 20 21 22
9 9.5 10 10.5 11
6 6.33 6.67 7 7.33
4.5 4.75 5 5.25 5.5
3.6 3.8 4 4.2 4.4
3 3.17 3.33 3.5 3.67
2.25 2.37 2.54 2.62 2.75
422 500,430 510,431I 511,333F 520,432
24 25 26 27 29
12 12.5 13 13.5 14.5
8.33 8.67 9 9.67
6.25 6.5 6.75 7.25
4.8 5 5.2 5.4 5.8
4.17 4.33 4.5 4.83
312 3.25 3.37 3.62
521 I 440 I-F 522,441 530,443I 531F
30 32 33 34 35
15 16 16.5 17 17.5
10 10.67 3 11.33 11.67
7.5 8 8.25 8.5 8.65
6 6.4 6.6 6.8 7
5 6.33 5.5 5.67 5.83
3.75 4 4.12 4.25 4.37
600,442I-F 610 611,532I 620 I-F 443,621,540
36 37 38 40 41
18 18.5 19 20 20.5
12 12.33 12.67 13.33 13.67
9 9.25 9.5 10 10.25
7.2 7.4 7.6 8 8.2
6 6.17 6.33 6.67 6.83
4.5 4.62 4.75 5 5.12
541 I 533F 622 I-F 630,542
42 43 44 45
21 21.5 22 22.5
14 14.33 14.67 15
10.5 10.75 11 11.25
8.4 8.6 8.8 9
7 7.17 7.33 7.5
5.25 5.37 5.5 5.62
I
I-F
127
Tabla Nº5.- Conjunto de cocientes d 1
2
para e l inde xado de cristales isométricos (Cont.)
631 I 444 IF 700,632 710,550,543 I 711,551F 640 I-F
46 48 49 50 51 52
Indice de Reflexiones correspondientes a d 1 110 111 200 210 211 (2) (3) (4) (5) (6) 23 15.33 11.50 9.2 7.67 24 16 12 9.6 8 24.5 16.33 12.25 9.8 8.17 16.67 12.50 25 10 8.33 25.5 17 12.75 10.2 8.5 17.33 26 13 10.4 8.67
720,641 721,633,552 I 642 I-F 722,544 730 I
53 54 56 57 58
26.5 27 28 28.5 29
17.67 18 18.67 19 19.33
13.25 13.50 14 14.25 14.5
10.6 10.8 11.2 11.4 11.6
8.83 9 9.33 9.5 9.67
6.62 6.75 7 7.12 7.25
731,553F 650,643 732,651I 800 I-F 810,740,652
59 61 62 64 65
29.5 30.5 31 32 32.5
19.67 20.33 20.67 21.33 21.67
14.76 15.25 15.5 16 16.25
11.8 12.2 12.4 12.8 13
9.83 10.17 10.33 10.67 10.83
7.37 7.72 7.75 8 8.12
811,741,554 I 733 820,644I-F 821,742 653 I
66 67 68 69 70
33 33.5 34 34.5 35
22 22.33 22.67 23 23.33
16.50 16.75 17 17.25 17.5
13.2 13.4 13.6 13.8 14
11 11.17 11.33 11.5 11.67
8.25 8.37 8.5 8.62 8.75
822,660I-F 830,661 831,750,743 I 751,555F 662 I-F
72 73 74 75 76
36 36.5 37 37.5 38
24 24.33 24.67 25 27.33
18 18.25 18.5 18.75 19
14.4 14.6 14.8 15 15.2
12 12.17 12.33 12.5 12.67
9 9.12 9.25 9.37 9.5
832,654 752 I 840 I,F 900,841,744, 663 910,833I
77 78 80
38.5 39 40
25.67 26 26.67
19.25 19.5 20
15.4 15.6 16
12.83 13 13.33
9.62 9.75 10
81 82
40.5 41
27 27.33
20.25 20.5
16.2 16.4
13.5 13.67
10.12 10.25
911,753F 842 I-F 920,760 921,761,655 I
83 84 85 86
41.5 42 42.5 43
27.67 28 28.33 28.67
20.75 21 21.25 21.50
16.6 16.8 17 17.2
3.83 14 14.17 14.33
10.37 10.5 10.62 10.75
664
88
44
29.33
22
17.6
14.67
11
hkl
I-F
para d
100 (1)
220 (7) 5.75 6 6.12 6.25 6.37 6.5
Tomada de Bloss, F. Donald. Crystallography and Crystal Chemistry , New York: Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1971 128
