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EJERCICIOS DE DIFRACCION DE RAYOS X 1.- Una muestra de metal BCC fue colocada en un difractómetro de Rayos X con una longitud de onda de 0,1541nm. La difracción de los planos {221} se obtuvo para un ángulo 2 = 88,838º. Calcular un valor para la constante reticular “a” para este metal elemental BCC, asumiendo que la difracción es de primer orden (n =1). SOLUCIÓN Para el cálculo de la constante o parámetro reticular necesitamos conocer cuál es la distancia interplanar “d” para el plano correspondiente, en este caso, el plano (221). El valor de esta distancia se expresa mediante la ley de Bragg → n. = 2.d.sen donde:  Ángulo de difracción → 2 = 88,838º  Ángulo de Bragg →  = 44,419º  Valor del sen = 0,699 1x0,1541 n.λ   0,1101nm Por lo tanto → d  2.senθ 2x0,699 Por otra parte, el valor de la distancia interplanar en función de la constante reticular es: a d(hkl)   a  d(hkl). h2  k 2  l2 2 2 2 h k l Sustituyendo los valores tenemos: a  d(hkl). h2  k 2  l2  0.1101. 2 2  2 2  12  0,3303nm

2.- Rayos X de una longitud de onda desconocida, se difractan para una muestra de oro, siendo el ángulo 2 = 64,582º para los planos {220}. ¿Cuál es la longitud de onda de los Rayos X utilizados si la constante reticular del oro es de 0,40788nm?. Dato: Suponer que la difracción es de primer orden (n = 1). SOLUCIÓN De las ecuaciones que disponemos, necesitamos para resolver este ejercicio la ecuación de Bragg y la relación entre distancia interplanar y constante reticular. Así tenemos que para el plano (220): d(hkl) 

a h k l 2

2

2

 d(220) 

0,40788nm 22  22  0 2

Ahora podemos aplicar la ley de Bragg → n. = 2.d.sen donde:  Ángulo de difracción → 2 = 64,582º  Ángulo de Bragg →  = 32,291º  Valor del sen = 0,5342

 0,1442nm

Así pues como: n. = 2.d.sen Valor de la longitud de onda: = 2 x 0,1441 x 0,5342 = 0,154nm

3.- Un difractómetro de Rayos X recoge un gráfico para un elemento dado que tiene una estructura BCC o FCC. Dicho gráfico muestra picos de difracción en los siguientes ángulos 2 : 41,069º; 47,782º; 69,879º y 84,396º. Sabiendo que la longitud de onda de la radiación incidente fue de 0,15405nm, determinar: a) La estructura cristalina del elemento. b) La constante de la celdilla elemental “a”. c) Identificar el elemento. SOLUCIÓN a) Estructura cristalina del elemento. Vamos a utilizar la regla de los senos cuadrados. Pero primero vamos a realizar una tabla con todos los datos necesarios. Ángulo 2 41,069 47,782 69,879 84,396

Ángulo  20,5345 23,8910 34,9395 42,1980

sen 0,3508 0,4050 0,5727 0,6717

sen2 0,1231 0,1640 0,3280 0,4512

Regla de los senos cuadrados: sen2 θ1  Si la relación →  0,75 → se trata de un sistema cúbico de caras centradas (FCC) sen2 θ2  Si la relación →

sen2 θ1  0,50 → se trata de un sistema cúbico de cuerpo centrado (BCC) sen2 θ2

Si sustituimos los dos primeros valores de sen2 tenemos que:

sen2 θ1 0,1231   0,75 → Por lo tanto de trata de un sistema FCC. sen2 θ2 0,1640 b) Constante de la celdilla elemental. Para resolver esta parte necesitamos las siguientes expresiones:

d(hkl) 

a

; a  d(hkl). h2  k 2  l2 ; n. = 2.d.sen → d(hkl)

n.λ para n = 1 2.senθ

h k l Por otra parte, en el sistema FCC son planos de difracción aquellos cuyos índices de Miller sean todos pares o impares: (111), (200), (220), (311), (222), (400), (331), (420),… 2

2

2

Como tenemos cuatro picos de difracción vamos tomamos los primeros cuatro planos que acabamos de señalar y calculamos su distancia interplanar:  Plano (111) → d(111) 

0,15405 λ   0,2196nm 2.senθ 2x0,3508

0,15405 λ   0,1902nm 2.senθ 2x0,4050 0,15405 λ  Plano (220) → d(220)    0,1345nm 2.senθ 2x0,5727 0,15405 λ   0,1147nm  Plano (311) → d(311)  2.senθ 2x0,6717

 Plano (200) → d(200) 

Calculamos a continuación el valor del parámetro reticular “a” para cada uno de los planos seleccionados:  Plano (111) → a  d(111). h2  k 2  l2  0,2196. 12  12  12  0,3804nm  Plano (200) → a  d(200). h2  k 2  l2  0,1902. 22  0 2  0 2  0,3804nm  Plano (220) → a  d(220). h2  k 2  l2  0,1345. 22  22  0 2  0,3804nm  Plano (311) → a  d(311). h2  k 2  l2  0,1147. 32  12  12  0,3804nm Valor de la constante de la celdilla elemental → a = 0,3804nm c) Identificar el elemento. Revisando los datos en la bibliografía se ha encontrado un metal que cristaliza en el sistema FCC y cuyo parámetro reticular es muy aproximado, concretamente 0,38044nm. Este metal es el RHODIO.

4.- Un difractómetro de Rayos X recoge un gráfico para un elemento dado que tiene una estructura BCC o FCC. Dicho gráfico muestra picos de difracción en los siguientes ángulos 2 : 38,60º; 55,71º; 69,70º; 82,55º; 95,00º y 107,67º. Sabiendo que la longitud de onda de la radiación incidente fue de 0,15405nm, determinar: a) La estructura cristalina del elemento. b) La constante de la celdilla elemental “a”. c) Identificar el elemento. SOLUCIÓN a) Estructura cristalina del elemento. Vamos a utilizar la regla de los senos cuadrados. Pero primero vamos a realizar una tabla con todos los datos necesarios. Ángulo 2 38,60 55,71 69,70 82,55 95,00 107,67

Ángulo  19,30 27,855 34,85 41,275 47,50 53,835

sen 0,3305 0,4672 0,5714 0,6597 0,7373 0,8073

sen2 0,1092 0,2183 0,3265 0,4352 0,5436 0,6517

Regla de los senos cuadrados → Si sustituimos los dos primeros valores de sen2 tenemos que:

sen2 θ1 0,1092   0,50 → Por lo tanto de trata de un sistema BCC. sen2 θ2 0,2133 b) Constante de la celdilla elemental. Para resolver esta parte necesitamos las siguientes expresiones:

d(hkl) 

a h k l 2

2

2

; a  d(hkl). h2  k 2  l2 ; n. = 2.d.sen → d(hkl)

n.λ para n = 1 2.senθ

Por otra parte, en el sistema BCC son planos de difracción aquellos cuyos índices de Miller sean pares o impares pero su suma debe ser par: (110), (200), (211), (220), (310), (222), (321), (400),… Como tenemos seis picos de difracción vamos tomamos los primeros seis planos que acabamos de señalar y calculamos su distancia interplanar: 0,15405 λ  2.senθ 2x0,3305 0,15405 λ d(200)   2.senθ 2x0,4672 0,15405 λ d(211)   2.senθ 2x0,5714 0,15405 λ d(220)   2.senθ 2x0,6597 0,15405 λ d(310)   2.senθ 2x0,7373 0,15405 λ d(222)   2.senθ 2x0,8073

 Plano (110) → d(110) 

 0,2331nm

 Plano (200) →

 0,1649nm

 Plano (211) →  Plano (220) →  Plano (310) →  Plano (222) →

 0,1348nm  0,1168nm  0,1045nm  0,0954nm

Calculamos a continuación el valor del parámetro reticular “a” para cada uno de los planos seleccionados:  Plano (110) → a  d(110). h2  k 2  l2  0,2331. 12  12  0 2  0,3297nm  Plano (200) → a  d(200). h2  k 2  l2  0,1649. 22  0 2  0 2  0,3298nm  Plano (211) → a  d(211). h2  k 2  l2  0,1348. 22  12  12  0,3302nm  Plano (220) → a  d(220). h2  k 2  l2  0,1168. 22  22  0 2  0,3304nm  Plano (310) → a  d(310). h2  k 2  l2  0,1045. 32  12  0 2  0,3304nm  Plano (222) → a  d(222). h2  k 2  l2  0,0954. 22  22  22  0,3291nm Valor medio de la constante de la celdilla elemental → a = 0,3299nm c) Identificar el elemento. Revisando los datos en la bibliografía se ha encontrado un metal que cristaliza en el sistema BCC y cuyo parámetro reticular es muy aproximado, concretamente 0,3307nm. Este metal es el NIOBIO.

5.- Un difractómetro de Rayos X recoge un gráfico para un elemento dado que tiene una estructura BCC o FCC. Dicho gráfico muestra picos de difracción en los siguientes ángulos 2 : 36,191º; 51,974º; 64,982º; y 76,663º. Sabiendo que la longitud de onda de la radiación incidente fue de 0,15405nm, determinar: a) La estructura cristalina del elemento. b) La constante de la celdilla elemental “a”. c) Identificar el elemento. SOLUCIÓN a) Estructura cristalina del elemento. Vamos a utilizar la regla de los senos cuadrados. Pero primero vamos a realizar una tabla con todos los datos necesarios. Ángulo 2 36,191 51,974 64,982 76,663

Ángulo  18,096 25,987 32,491 38,3315

sen 0,31060 0,43817 0,5372 0,6202

sen2 0,09647 0,19199 0,28854 0,38466

Regla de los senos cuadrados → Si sustituimos los dos primeros valores de sen2 tenemos que:

sen2 θ1 0,09647   0,50 → Por lo tanto de trata de un sistema BCC. sen2 θ2 0,19199 b) Constante de la celdilla elemental. Para resolver esta parte necesitamos las siguientes expresiones:

d(hkl) 

a h k l 2

2

2

; a  d(hkl). h2  k 2  l2 ; n. = 2.d.sen → d(hkl)

n.λ para n = 1 2.senθ

Por otra parte, en el sistema BCC son planos de difracción aquellos cuyos índices de Miller sean pares o impares pero su suma debe ser par: (110), (200), (211), (220), (310), (222), (321), (400),… Como tenemos cuatro picos de difracción vamos tomamos los primeros cuatro planos que acabamos de señalar y calculamos su distancia interplanar: 0,15405 λ   0,24799nm 2.senθ 2x0,31060 0,15405 λ   0,17579nm  Plano (200) → d(200)  2.senθ 2x0,43817 0,15405 λ   0,14338nm  Plano (211) → d(221)  2.senθ 2x0,5372 0,15405 λ   0,12419nm  Plano (220) → d(220)  2.senθ 2x0,6202

 Plano (110) → d(110) 

Calculamos a continuación el valor del parámetro reticular “a” para cada uno de los planos seleccionados:

 Plano (110) → a  d(110). h2  k 2  l2  0,24799. 12  12  0 2  0,35071nm  Plano (200) → a  d(200). h2  k 2  l2  0,17579. 22  0 2  0 2  0,35158nm  Plano (211) → a  d(211). h2  k 2  l2  0,14338. 22  12  12  0,35121nm  Plano (220) → a  d(220). h2  k 2  l2  0,12419. 22  22  0 2  0,35126nm Valor medio de la constante de la celdilla elemental → a = 0,35119nm c) Identificar el elemento. Revisando los datos en la bibliografía se ha encontrado un metal que cristaliza en el sistema BCC y cuyo parámetro reticular es muy aproximado, concretamente 0,35092nm. Este metal es el LITIO.

6.- Un difractómetro de Rayos X recoge un gráfico para un elemento dado que tiene una estructura BCC o FCC. Dicho gráfico muestra picos de difracción en los siguientes ángulos 2 : 40,663º; 47,314º; 69,144º; y 83,448º. Sabiendo que la longitud de onda de la radiación incidente fue de 0,15405nm, determinar: a) La estructura cristalina del elemento. b) La constante de la celdilla elemental “a”. c) Identificar el elemento.

SOLUCIÓN a) Estructura cristalina del elemento. Vamos a utilizar la regla de los senos cuadrados. Pero primero vamos a realizar una tabla con todos los datos necesarios. Ángulo 2 40,663 47,314 69,144 83,448

Ángulo  20,3315 23,657 34,572 41,724

sen 0,34745 0,40126 0,56744 0,66554

sen2 0,12072 0,16101 0,32199 0,44294

Regla de los senos cuadrados → Si sustituimos los dos primeros valores de sen2 tenemos que:

sen2 θ1 0,12072   0,75 → Por lo tanto de trata de un sistema FCC. sen2 θ2 0,16101 b) Constante de la celdilla elemental. Para resolver esta parte necesitamos las siguientes expresiones:

d(hkl) 

a h k l 2

2

2

; a  d(hkl). h2  k 2  l2 ; n. = 2.d.sen → d(hkl)

n.λ para n = 1 2.senθ

Por otra parte, en el sistema FCC son planos de difracción aquellos cuyos índices de Miller sean todos pares o impares: (111), (200), (220), (311), (222), (400), (331), (420),…

Como tenemos cuatro picos de difracción vamos tomamos los primeros cuatro planos que acabamos de señalar y calculamos su distancia interplanar: 0,15405 λ  2.senθ 2x0,34745 0,15405 λ   Plano (200) → d(200)  2.senθ 2x0,40126 0,15405 λ   Plano (220) → d(220)  2.senθ 2x0,56744 0,15405 λ   Plano (311) → d(311)  2.senθ 2x0,66554

 Plano (111) → d(111) 

 0,2217nm  0,1919nm  0,1357nm  0,1157nm

Calculamos a continuación el valor del parámetro reticular “a” para cada uno de los planos seleccionados:  Plano (111) → a  d(111). h2  k 2  l2  0,2217. 12  12  12  0,38399nm  Plano (200) → a  d(200). h2  k 2  l2  0,1919. 22  0 2  0 2  0,3838nm  Plano (220) → a  d(220). h2  k 2  l2  0,1357. 22  22  0 2  0,3838nm  Plano (311) → a  d(311). h2  k 2  l2  0,1157. 32  12  12  0,3837nm Valor medio de la constante de la celdilla elemental → a = 0,38382nm c) Identificar el elemento. Revisando los datos en la bibliografía se ha encontrado un metal que cristaliza en el sistema FCC y cuyo parámetro reticular es muy aproximado, concretamente 0,38389nm. Este metal es el IRIDIO.

7.- Para un experimento de difracción llevado a cabo sobre un acero de microestructura ferrítica, se utiliza una lámpara de emisión de cobre, cuya radiación tiene una longitud de onda de 1,54Ǻ. Sabiendo que la red de la celda unitaria del hierro-ferrita tiene 2,87Ǻ de parámetro reticular, determinar los tres primeros ángulos de giro del goniómetro del difractómetro para los que se producen líneas de difracción. SOLUCIÓN La ferrita presenta una estructura BCC y, por lo tanto, sólo producen difracción aquellos planos que verifiquen que la suma de sus índices de Miller sea un número par. Por lo tanto, serán planos de difracción los siguientes: (110), (200), (211), (220), (310), (222), (321), (400),… Para resolver este ejercicio necesitamos únicamente la ley de Bragg → n. = 2.d.sen 

Primer ángulo de difracción → se produce en el plano (110)

λ . 2.d Como desconocemos el valor de “d” pero si conocemos el valor del parámetro reticular “a” podemos utilizar la expresión: Para n = 1, la ley de Bragg queda:  = 2.d.sen y por lo tanto → senθ 

d(hkl) 

a h k l 2

2

2

y por lo tanto → senθ 

λ . h2  k 2  l2 2.a

1,54 λ . h2  k 2  l 2  . 12  12  0 2  0,3794 2.a 2.2,87 o Ángulo de Bragg:  = arc.sen 0,3794 →  = 22,29º o Ángulo de difracción → 2 = 44,58º

Sustituyendo los valores → senθ 



Segundo ángulo de difracción → se produce en el plano (200) senθ 

1,54 λ . h2  k 2  l 2  . 22  0 2  0 2  0,5365 2.a 2.2,87

o Ángulo de Bragg:  = arc.sen 0,5365 →  = 32,45º o Ángulo de difracción → 2 = 64,90º 

Tercer ángulo de difracción → se produce en el plano (211) senθ 

1,54 λ . h2  k 2  l 2  . 22  12  12  0,6571 2.a 2.2,87

o Ángulo de Bragg:  = arc.sen 0,6571 →  = 41,08º o Ángulo de difracción → 2 = 82,16º

8.- Se pretende determinar que tipo de pigmento blanco (tabla) se ha utilizado como colorante en un termoplástico. Para ello se examina una muestra pulverizada mediante difracción de Rayos X, empleando radiación Cu K de longitud de onda  = 1,541Ǻ. Se obtuvo un espectro de difracción con picos en los ángulos 231,72  57,73º y 39,12º. Se pide: a) Determinar el tipo de pigmento utilizado. b) ¿Sería posible resolver la cuestión mediante análisis químico?. PIGMENTO

d1 (Ǻ)

d2 (Ǻ)

d3 (Ǻ)

TiO2 (rutilo)

3,24

1,68

1,36

TiO2 (anatasa)

3,47

1,88

1,69

PbO.TiO2

2,82

1,69

2,30

Pb2O3

3,18

1,95

1,66

SOLUCIÓN a) Identificar el pigmento. A partir de los valores de ángulos 2 y de la ecuación de Bragg, vamos a determinar las distancias interplanares correspondientes y compararlas. n.λ n. = 2.d.sen → d(hkl) para n = 1 y  = 1,541 (Å) 2.senθ  Para 231,72º→ = 15,86º → sen = 0,27329 → d1 

1,541 n.λ   2,82 (Å) 2.senθ 2.0,27329

1,541 n.λ   1,596 (Å) 2.senθ 2.0,48282 1,541 n.λ  Para 239,12º→ = 19,56º → sen = 0,33479 → d3    2,30 (Å) 2.senθ 2.0,33479

 Para 257,73º → = 28,87º → sen = 0,48282 → d2 

Ángulo 2 31,72 57,73 39,12

Ángulo  15,86 28,87 19,56

sen 0,27329 0,48282 0,33479

d (Å) 2,82 1,596 2,30

Estos tres valores de distancias interplanares obtenidos, coinciden con los valores correspondientes al pigmento blanco de Pb2O.TiO2. b) Con un análisis químico si podríamos identificar la presencia de Plomo y Titanio, pero no puede discernir el tipo de óxido o la mezcla de óxidos. Por lo tanto, el análisis químico es insuficiente para la identificación.

9.- Una muestra de Aluminio finamente dividida se somete a un ensayo de difracción de Rayos X en un difractómetro. Se utilizó una radiación monocromática Cu K  de longitud de onda  = 1,541Ǻ. El espectro obtenido se muestra en la figura. Se pide determinar: a) Las distancias interplanares que producen difracción. b) El parámetro reticular, sabiendo que es una red cúbica. c) Si se trata de una red FCC o de una red BCC. d) El radio atómico del Aluminio.

SOLUCIÓN a) Distancias interplanares. Determinamos en primer lugar los ángulos 2 en los que aparece difracción. Para ello leemos en el gráfico y vemos que los valores de 2 son: 38,5º; 44,74º; 65,13º y 78,24º.

A partir de los valores de ángulos 2 y de la ecuación de Bragg, vamos a determinar las distancias interplanares: n. = 2.d.sen → d(hkl)

n.λ para n = 1 y  = 1,541 (Å) 2.senθ

1,541 n.λ   2,337 (Å) 2.senθ 2.0,32969 1,541 n.λ  Para 244,74º →  = 22,37º → sen = 0,38059 → d2    2,024 (Å) 2.senθ 2.0,38059 1,541 n.λ  Para 265,13º→ = 32,565º → sen = 0,53825 → d3    1,431 (Å) 2.senθ 2.0,53825 1,541 n.λ  Para 278,24º→ = 39,12º → sen = 0,63094 → d4    1,221 (Å) 2.senθ 2.0,63094

 Para 238,5º→  = 19,25º → sen = 0,32969 → d1 

b) Parámetro reticular. En las redes cúbicas (FCC o BCC), el segundo pico del espectro corresponde a la difracción sobre planos de índices (200). Así pues vamos a coger el segundo valor del ángulo 2que nos ha dado un valor de distancia interplanar de 2,024 (Å). Sabiendo que para las redes cúbicas, la distancia entre planos de índices “h,k,l” tiene la expresión: a → a  d(hkl). h2  k 2  l2  2,024. 2 2  0 2  0 2  4,048 (Å) d(hkl)  2 2 2 h k l c) Tipo de estructura. Vamos a aplicar la regla de los senos cuadrados. Ángulo 2 38,5 44,74 65,13 78,24

Ángulo  19,25 22,37 32,565 39,12

sen 0,32969 0,38059 0,53825 0,63094

sen2 0,10869 0,14485 0,28971 0,39808

Regla de los senos cuadrados → Si sustituimos los dos primeros valores de sen2 tenemos que:

sen2 θ1 0,10869   0,75 → Se trata de una red FCC. sen2 θ2 0,14485 d) Radio atómico del Aluminio. En la celda elemental correspondiente a la estructura FCC, en la diagonal de cualquiera de las caras del cubo se cumple que: 4.R  a. 2 . Por lo tanto: a. 2 4,048. 2 4.R  a. 2  R    1,431 (Å) 4 4

10.- En una muestra de cobre se aprecia mediante observación metalográfica la existencia de un precipitado. Para identificarlo, se somete la muestra a un ensayo de difracción de Rayos X. Se sabe que el cobre presenta una estructura FCC con parámetro reticular a = 3,616Ǻ. Determinar si un pico para d = 1,419Ǻ corresponde al cobre o al precipitado.

SOLUCIÓN Como el Cobre cristaliza en el sistema FCC, son planos de difracción aquellos cuyos índices de Miller sean o todos pares o todos impares: (111), (200), (220), (311), (222), (400), (331), (420),… Para cada uno de estos planos vamos a calcular su distancia interplanar y ver si coinciden o no con el valor d = 1,419(Å) del problema. 3,616 a  Plano (111) → d(hkl)   d(111)   2,088 (Å) > 1,419 (Å) h2  k 2  l 2 12  12  12 3,616 a  d(200)   1,808 (Å) > 1,419 (Å)  Plano (200) → d(hkl)  2 2 2 2 h k l 2  02  02 3,616 a  d(220)   1,278 (Å) < 1,419 (Å)  Plano (220) → d(hkl)  2 2 2 2 h k l 2  22  0 2 3,616 a  d(311)   1,090 (Å) < 1,419 (Å)  Plano (311) → d(hkl)  2 2 2 2 h k l 3  12  12 3,616 a  Plano (222) → d(hkl)   d(222)   1,049 (Å) < 1,419 (Å) 2 2 2 2 h k l 2  22  22 Conclusión → El valor d = 1,419 (Å) no se corresponde con ninguna de las distancias interplanares correspondientes al cobre por lo que se deduce que esta distancia interplanar corresponde al precipitado.

11.- Una muestra de material finamente dividido se somete a un ensayo de difracción de Rayos X en un difractómetro de polvos. Para ello se emplea una radiación monocromática Cu K de  = 1,541 Å. El espectro obtenido se muestra en la figura siguiente. A partir de los datos se pide: a) Calcular las distancias de los planos que producen difracción. b) Calcular el parámetro reticular sabiendo que es una red cúbica. c) Determinar si se trata de una red FCC o BCC. d) Sabiendo que la densidad de la muestra es de 8,01 g/cm3, calcular el peso atómico.

SOLUCIÓN a) Distancias interplanares. A partir de los valores de ángulos 2que se observan en el gráfico y de la ecuación de Bragg, vamos a determinar las distancias interplanares: n. = 2.d.sen → d(hkl)

n.λ para n = 1 y  = 1,541 (Å) 2.senθ

1,541 n.λ   2,112 (Å) 2.senθ 2.0,3649 1,541 n.λ   1,847 (Å)  Para 249,3º →  = 24,65º → sen = 0,4171 → d2  2.senθ 2.0,4171 1,541 n.λ   1,306 (Å)  Para 272,3º→ = 36,15º → sen = 0,5899 → d3  2.senθ 2.0,5899

 Para 242,8º→  = 21,4º → sen = 0,3649 → d1 

b) Parámetro reticular. Sabemos que se trata de un material con una red cúbica, vamos a suponer los planos de difracción para el caso de una red BCC y para el caso de una red FCC:  Red BCC: (110), (200), (211), (220), (310), (222), (321), (400),…  Red FCC: (111), (200), (220), (311), (222), (400), (331), (420),… Como observamos, el segundo plano de difracción (200) es común a los dos sistemas, así que vamos a trabajar con él: a a a  d(200)   Plano (200) → d(hkl)  2 2 2 2 2 2 2 h k l 2 0 0 Como este plano es el segundo plano de difracción en ambos sistemas, da lugar al segundo pico de difracción que tiene un valor de distancia interplanar → d2 = 1,847 (Å). Así pues: Parámetro reticular → a = 2 x d2 = 2 x 1,847 = 3,694 (Å) c) Estructura cristalina. Utilizamos la regla de los senos cuadrados. Sabemos que:  sen1 = 0,3649 → sen21 = 0,13315  Sen2 = 0,4171 → sen22 = 0,17397

sen2 θ1 0,13315   0,76  0,75 sen2 θ2 0,17397 Como se aproxima mucho al valor de 0,75, deducimos que se trata de una estructura FCC. d) Peso atómico.

n.Ma donde “n” es el número de Vc .NA átomos por celda, “Ma” es el peso atómico, “Vc” es el volumen de la celda y “NA” es el número de Avogadro. Como la muestra presenta una estructura FCC:  Número de átomos por celda: n = 8.1/8 + 6.1/2 = 4 átomos  Volumen de la celda: Vc = (a)3 = (3,694 Å)3 = (3,694.10-8cm)3 = 50,407.10-24cm3  NA = 6,023.1023 Densidad →  = 8,01g/cm3 De la teoría sabemos que ρ 

Por lo tanto el valor del peso atómico es: ρ.Vc .NA 8,01 x 50,407.10 24 x 6,023.10 23 Ma    60,796 g/mol n 4

12.- En una chapa de latón (Cu-30%Zn) se pretende depositar un recubrimiento de Sn-Ag, para lo cual se necesita proporcionar al metal base un recubrimiento previo de cobre. El análisis por difracción de Rayos X del conjunto, empleando una radiación monocromática Cu K de  = 1,541Ǻ, presenta picos en los siguientes ángulos 2: 37,4º; 39,4º; 42,1º; 43,0º; 49,0º; 50,1º; 51,6º; 72,0º y 73,9º. Los datos obtenidos se presentan en la tabla siguiente. Se pide: a) Identificar a que material (Cobre, Latón o Ag3Sn) corresponde cada uno de los picos detectados. Identificados los tres picos que corresponden al cobre, determinar: b) El parámetro reticular, sabiendo que su estructura es cúbica. c) Si se trata de una red FCC o BCC. d) Sabiendo que el latón presenta una estructura cristalina idéntica al cobre, calcular el aumento en el parámetro reticular que supone la adición del 30% de zinc al cobre. Material Latón (Cu-30%Zn) Cobre Ag3Sn

Pico 1 2,13 2,09 2,39

Distancias interplanares (Å) Pico 2 1,85 1,81 2,28

Pico 3 1,31 1,28 1,76

SOLUCION a) Identificar picos y material. A partir de los valores de ángulos 2y de la ecuación de Bragg, vamos a determinar las distancias interplanares:

n.λ para n = 1 y  = 1,541 (Å) 2.senθ 1,541 n.λ   2,4032 (Å) Para 237,4º→  = 18,7º → sen = 0,3206 → d1  2.senθ 2.0,3206 1,541 n.λ   2,2857 (Å) Para 239,4º→  = 19,7º → sen = 0,3370 → d1  2.senθ 2.0,3370 1,541 n.λ   2,1451 (Å) Para 242,1º→  = 21,05º → sen = 0,3592 → d1  2.senθ 2.0,3592 1,541 n.λ   2,1023 (Å) Para 243,0º→  = 21,5º → sen = 0,3665 → d1  2.senθ 2.0,3665 1,541 n.λ   1,8580 (Å) Para 249,0º→  = 24,5º → sen = 0,4146 → d1  2.senθ 2.0,4146 1,541 n.λ   1,8198 (Å) Para 250,1º→  = 25,05º → sen = 0,4235 → d1  2.senθ 2.0,4235 1,541 n.λ   1,7703 (Å) Para 251,6º→  = 25,8º → sen = 0,4352 → d1  2.senθ 2.0,4352 1,541 n.λ   1,3108 (Å) Para 272,0º→  = 36,0º → sen = 0,5878 → d1  2.senθ 2.0,5878 n. = 2.d.sen → d(hkl)

       

 Para 273,9º→  = 36,95º → sen = 0,6011 → d1 

1,541 n.λ   1,2818 (Å) 2.senθ 2.0,6011

Los diferentes valores obtenidos y la asignación de picos se recogen en la siguiente tabla:  18,7 19,7 21,05 21,5 24,5 25,05 25,8 36,0 36,95

2 37,4 39,4 42,1 43,0 49,0 50,1 51,6 72,0 73,9

dhkl 2,4032 2,2857 2,1451 2,1023 1,8580 1,8198 1,7703 1,3108 1,2818

sen 0,3206 0,3370 0,3592 0,3665 0,4146 0,4235 0,4352 0,5878 0,6011

Material Pico 1-Ag3Sn Pico 2- Ag3Sn Pico 1- Latón Pico 1- Cobre Pico 2- Latón Pico 2-Cobre Pico 3- Ag3Sn Pico 3- Latón Pico 3- Cobre

b) Parámetro reticular del Cobre. Como sabemos que su estructura debe ser o BCC o FCC:  BCC: planos de difracción (h + k + l) suma par: (110), (200), (211),……  FCC: planos de difracción (h, k, l) todos pares o impares: (111), (200), (220),…. En ambos sistemas coinciden el segundo plano de difracción (200) que se corresponde al segundo pico de difracción del cobre cuya distancia interplanar es de: 1,8198 d(200) 

a h k l 2

2

 d(200)  1,8198 

2

a 2 00 2



a → a = 1,8198 x 2 = 3,6396Å 2

c) Determinar la estructura cristalina. Aplicamos la regla de los senos cuadrados para lo cual tomamos los senos de los picos 1 y 2 del cobre:

sen2 θ1 sen2 21,5 0,3665 2 0,1343     0,7490  0,75 → Por lo tanto el Cobre es FCC sen2 θ2 sen2 25,05 0,4235 2 0,1793 d) Aumento del parámetro reticular. Supongamos que la premisa de partida sea que el latón tiene la misma estructura que el cobre, por lo que su parámetro cristalino será, utilizando el segundo pico de difracción al igual que en el cobre: dhkl 

a h k l 2

2

2

 d(200)  1,8580 

a 2 00 2



a → a = 1,8580 x 2 = 3,7160Å 2

El aumento del parámetro cristalino debido a la adición del zinc, vendrá dado por: % aumento 

3,7160  3,6396 .100  2,099%  2,10% 3,6396

13.- En el espectro de difracción de Rayos X de la figura, aparecen los picos correspondientes a una mezcla de dos materiales metálicos que se sabe presentan el mismo sistema cristalino cúbico. Para la realización del ensayo se ha utilizado una radiación monocromática Cu K  de  = 1,541Ǻ. Calcular: a) Las distancias interplanares correspondientes a cada material. b) El parámetro reticular de cada metal e identificar cada uno de ellos. c) El tipo de red cúbica que se trata.

SOLUCIÓN a) Distancias interplanares de cada material. A partir de los valores de ángulos 2del diagrama y de la ecuación de Bragg, vamos a determinar las distancias interplanares: n. = 2.d.sen → d(hkl)

n.λ para n = 1 y  = 1,541 (Å) 2.senθ 1,541 n.λ  2.senθ 2.0,3608 1,541 n.λ   2.senθ 2.0,3730 1,541 n.λ   2.senθ 2.0,4171 1,541 n.λ   2.senθ 2.0,4266 1,541 n.λ   2.senθ 2.0,5899 1,541 n.λ   2.senθ 2.0,6032

 Para 242,3º→  = 21,15º → sen = 0,3608 → d1 

 2,1355 (Å)

 Para 243,8º→  = 21,90º → sen = 0,3730 → d1

 2,066 (Å)

 Para 249,3º→  = 24,65º → sen = 0,4171 → d1  Para 250,5º→  = 25,25º → sen = 0,4266 → d1  Para 272,3º→  = 36,15º → sen = 0,5899 → d1  Para 274,2º→  = 37,10º → sen = 0,6032 → d1

 1,847 (Å)  1,806 (Å)  1,306 (Å)  1,277 (Å)

Se debe tener en cuenta que en el caso de tener dos materiales, los picos del difractograma se corresponden alternadamente con cada uno de esos materiales, es decir: pico 1 (material A), pico 2 (material B), pico 3 (material A),…… En conclusión Tenemos que:  Las distancias interplanares del material A son : 2,1355; 1,847 y 1,306 (Å)  Las distancias interplanares del material B son: 2,066; 1,806 y 1,277 (Å) b) Parámetro reticular de cada elemento. Como sabemos que ambos materiales son cúbicos, deben ser BCC o FCC:  BCC: planos de difracción (h + k + l) suma par: (110), (200), (211),……  FCC: planos de difracción (h, k, l) todos pares o impares: (111), (200), (220),…. En ambos sistemas coinciden el segundo plano de difracción (200) que se corresponde al segundo pico de difracción de cada uno de los materiales: d(200) 

a h k l 2

2

2

 d(200) 

a 2 00 2



a 2

 Para el material A → a = 1,847 x 2 = 3,694 Å  Para el material B → a = 1,806 x 2 = 3,612 Å c) Tipo de red cúbica. En ambos casos, al ser del sistema cúbico, podemos utilizar la regla de los senos cuadrados para el primer y segundo pico de difracción. Así tenemos que:

sen2 θ1 0,3608 2 Material A →   0,7480  0,75 → Por lo tanto es FCC. sen2 θ2 0,4171 2 Material B →

sen2 θ1 0,3730 2   0,764  0,75 → Por lo tanto es FCC. sen2 θ2 0,4266 2

14.- En la figura siguiente se muestran los tres primeros planos que proporcionan picos de difracción de Rayos X para el aluminio con radiación Cu K  de  = 0,1542nm. Se pide:

a) Dibujar cada plano contenido en una celda unitaria de estructura FCC. b) Calcular los ángulos de difracción (2) para estos picos, sabiendo que el parámetro reticular de la celdilla unidad es a = 0,404nm. SOLUCIÓN a) Dibujar los planos. El aluminio cristaliza en el sistema cúbico FCC: Plano (111) Índice h = 1 → x = 1/1 = 1 Índice k = 1 → x = 1/1 = 1 Índice l = 1 → x = 1/1 = 1

Plano (200) Índice h = 2 → x = 1/2 = 1/2 Índice k = 0 → x = 1/0 = ∞ Índice l = 0 → x = 1/0 = ∞

Plano (220) Índice h = 2 → x = 1/2 = 1/2 Índice k = 2 → x = 1/2 = 1/2 Índice l = 0 → x = 1/0 = ∞

b) Ángulos de difracción.  Primer ángulo de difracción → se produce en el plano (111) Para n = 1, la ley de Bragg queda:  = 2.d.sen y por lo tanto → senθ 

d(hkl) 

a h k l 2

2

2

y por lo tanto → senθ 

λ . 2.d

λ . h2  k 2  l2 2.a

0,1542 λ . h2  k 2  l 2  . 12  12  12  0,3305 2.a 2x0,404 a. Ángulo de Bragg:  = arc.sen 0,3305 →  = 19,30º b. Ángulo de difracción → 2 = 38,60º

Sustituyendo los valores → senθ 

c) Segundo ángulo de difracción → se produce en el plano (200) senθ 

0,1542 λ . h2  k 2  l 2  . 22  0 2  0 2  0,3817 2.a 2x0,404

a. Ángulo de Bragg:  = arc.sen 0,3817 →  = 22,44º b. Ángulo de difracción → 2 = 44,88º d) Tercer ángulo de difracción → se produce en el plano (220) senθ 

0,1542 λ . h2  k 2  l2  . 22  22  0 2  0,5398 2.a 2x0,404

a. Ángulo de Bragg:  = arc.sen 0,5398 →  = 32,67º b. Ángulo de difracción → 2 = 65,34º

15.- Una radiación monocromática de una longitud de onda de 0,1542nm, incide sobre el Cromo (BCC) que tiene un radio atómico de 0,1249nm. Calcular para el conjunto de planos (211): a) La distancia interplanar. b) El ángulo de difracción. SOLUCIÓN a) Distancia interplanar.

a

Como sabemos la expresión de la distancia interplanar es: d(hkl) 

h2  k 2  l 2 Pero desconocemos cual es el valor de la constante reticular “a”. Sin embargo, nos dice el enunciado que el Cromo cristaliza en el sistema BCC y en este sistema la relación entre la constante reticular “a” y el radio atómico “R” es:

4.R  a. 3  a 

4.R 3

4x0,1249  0,2884 nm. 3 Por lo tanto, para el plano (211) la distancia interplanar es: Así pues → a 

d(211) 

a h k l 2

2

2



0,2884 2  12  12 2

 0,1177 nm

b) Ángulo de difracción. Para n = 1, la ley de Bragg queda:  = 2.d.sen y por lo tanto → senθ  senθ 

λ 2.d

0,1542 λ   0,6551 2.d 2x0,1177

 Ángulo de Bragg:  = arc.sen 0,6551 →  = 40,93º  Ángulo de difracción → 2 = 81,86º

16.- En un ensayo de difracción de Rayos X, se ha determinado, para el Níquel, las distancias interplanares, de su espectro de difracción: 1er pico, d = 2,034Ǻ; 2º pico, d = 1,762Ǻ; 3er pico, d = 1,246Ǻ. Calcular: a) Si cristaliza en un sistema cúbico, su parámetro reticular. b) ¿De qué sistema cristalino se trata? SOLUCIÓN a) Parámetro reticular. Sabemos que se corresponde con una estructura cúbica. Por lo tanto:

 BCC: planos de difracción (h + k + l) suma par: (110), (200), (211),……  FCC: planos de difracción (h, k, l) todos pares o impares: (111), (200), (220),…. En ambos sistemas coinciden el segundo plano de difracción (200) que se corresponde al segundo pico de difracción, así que este es el plano que vamos a utilizar para obtener el parámetro reticular. Como al segundo pico de difracción le corresponde una distancia interplanar d = 1,762 (Å), tenemos que para ese plano (200):

d(hkl) 

a h k l 2

2

2

 a  d(hkl). h2  k 2  l2  1,762. 22  0 2  0 2  3,524 (Å)

b) Sistema cristalino. En este caso no podemos utilizar la regla de los senos cuadrados porque desconocemos los valores de los ángulos de Bragg, pero si podemos utilizar la regla de las distancias interplanares: d(2º pico)  0,707 → Se trata de un sistema cúbico BCC. d(1er pico) d(2º pico)  0,860 → Se trata de un sistema cúbico FCC.  Si la relación: d(1er pico)

 Si la relación:

Por lo tanto →

d(2º pico) 1,762   0,866  0,860 → Se trata de un sistema cúbico FCC. d(1er pico) 2,034

17.- El litio es un metal que cristaliza en el sistema BCC. Su parámetro de red es de 0,35092nm. Calcular los ángulos de difracción en los que aparecerán sus dos primeros picos, sabiendo que la longitud de onda de los Rayos X emitidos es de 0,1542nm. SOLUCIÓN Al tratarse de un sistema cúbico BCC, sabemos que los dos primeros picos de difracción corresponden a los planos de difracción: (110) y (200), planos en los que la suma de sus índices de Miller es un número par. 

Primer ángulo de difracción → se produce en el plano (110)

λ . 2.d 0,35092 0,1542 a λ d(110)    0,24814 nm → senθ    0,3107 2 2 2 2 2 2 2.d 2x0,24814 h k l 1 1  0 Para n = 1, la ley de Bragg queda:  = 2.d.sen y por lo tanto → senθ 

o Ángulo de Bragg:  = arc.sen 0,3107 →  = 18,10º o Ángulo de difracción → 2 = 36,20º 

Segundo ángulo de difracción → se produce en el plano (200)

d(200) 

a h k l 2

2

2



0,35092 2 0 0 2

2

2

 0,17546 nm → senθ 

o Ángulo de Bragg:  = arc.sen 0,4394 →  = 26,07º o Ángulo de difracción → 2 = 52,14º

0,1542 λ   0,4394 2.d 2x0,17546