Capítulo 37. Interferencia, difracción y polarización Experimento de Young; interferencia 37-1. La luz de un láser tiene una longitud de onda de 632 nm. Dos rayos de esta fuente siguen
trayectorias de diferente longitud. ¿Cuál es la diferencia mínima requerida en las trayectorias para provocar (a) una interferencia constructiva y (b) interferencia destructiva? (a) Constructiva: Δ p = nλ nλ = = (1)(632 nm);
Δ p = 632 nm (b) Destructiva (b) Destructiva:: Δ p = nλ /2 = ½(632 nm);
Δ p = 316 nm 37-2. Encuentre la diferencia necesaria en la longitud de las trayectorias del problema 37-1 para
dar lugar a los casos inmediatamente subsiguientes de interferencia constructiva y destructiva. (a) 2a. Constructiva: Δ p = nλ = (2)(632 nm);
Δ p = 1264 nm. (b) 2a. Destructiva: Δ p = nλ /2 =
3λ 2
=
3(632 nm) 2
;
Δ p = 948 nm 37-3. Dos ranuras paralelas separadas entre sí 0.2 mm e stán iluminadas por luz monocromática.
En una pantalla colocada a 1.0 m de las ranuras, existe una separación de 2.50 mm entre la primera franja clara y la franja central. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz? yd x
= nλ ;
λ =
yd nx
=
(2.5 mm)(0.2 mm) (1)(1000 mm)
;
λ = λ = 500 nm
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37-4. La luz monocromática procedente de una llama de sodio ilumina dos ranuras separadas
entre sí por una distancia de 1.0 mm. Una pantalla de observación se encuentra a 1.0 m de las ranuras y la distancia entre la franja clara central y la franja clara más próxima es de 0.589 mm. ¿Cuál es la frecuencia de la luz? yd x
= (1)λ =
c f
; f =
× 108 m/s)(1 m) ; −4 yd (5.89 × 10 m)(0.001 m) cx
=
(3
f = 5.09 × 10 Hz 14
37-5. Dos ranuras separadas por una distancia de 0.05 mm están iluminadas con luz verde, cuya
longitud de onda es 520 nm. Un patrón de difracción se forma en una pantalla de observación colocada a 2.0 m de distancia. ¿Cuál es la distancia entre el centro de la pantalla y la primera franja clara? ¿Cuál es la distancia hasta la tercera franja oscura? La primera franja brillante se da cuando n = 1: y =
(1)λ x d
=
(5.2
× 10−4 mm)(2000 mm) (0.05 mm)
yd x
= nλ
( n = 1, 2, 3, . . .)
;
y = 20.8 mm La tercera franja brillante se da cuando n = 5: y =
5λ x 2d
=
5(5.2
yd x
=n
λ 2
( n = 1, 3, 5, . . .)
× 10−4 mm)(2000 mm) (2)(0.05 mm) y = 52.0 mm
*37-6. En la situación descrita en el problema 37-5, ¿cuál es la separación de las dos franjas
claras del primer orden localizadas a cada lado de la banda central? y =
(1)λ x d
= 20.8 mm;
Δ y = 2(20.8 mm); Δ y = 41.6 mm
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*37-7. Se realiza el experimento de Young con luz monocromática de 500 nm de longitud de
onda. La separación de las ranuras es de 1.20 mm y la pantalla está a 5.00 m de distancia. ¿Cuál es la separación entre las franjas claras? La separación de cada franja es la misma para n= 1. y =
(1)λ x d
=
× 10−7 m)(5.00 m) ; 3 (1.2 × 10− m)
(5.00
y = 2.08 mm
*37-8. En el experimento de Young se observa que la segunda franja oscura aparece a una
distancia de 2.5 cm de la franja clara central. Suponga que la separación entre las ranuras es de 60 μ m y que la pantalla está a 2.0 m de distancia. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz incidente? ( Note que n = 3) yd x
λ
2 yd
2
3x
= (3) ; λ =
=
2(0.025 m)(60
× 10−6 m)
(3)(2.0 m)
;
λ = 500 nm
La red de difracción 37-9. Una red de difracción que tiene 300 líneas por milímetro es iluminada con luz cuya
longitud de onda es de 589 nm. ¿A qué ángulos se forman las franjas claras de primero y segundo orden? d
=
1 300 lines/mm
dsenθ
= nλ ;
= 3.33 ×
senθ =
nλ d
=
10−3 mm o d = 3.33
(1)(589 3.33
×
10−6 m ;
× 10−9 m) ; × 10−6 m θ = 10.2º
dsenθ
= nλ ;
senθ =
nλ d
=
× 10−9 m) ; × 10−6 m
(2)(589 3.33
θ = 20.7º
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37-10. Una red de difracción tiene 250 000 líneas por metro. ¿Cuál es la longitud de onda de la
luz incidente si la franja clara de segundo orden se forma a 12.6º? d
=
λ =
1 2.50
×
(4.00
5
10 líneas/m
×
= 4.00 ×
10−6 m; d senθ
= nλ ;
λ =
d senθ n
10−6 m)sen12.6º 2 λ = 436 nm
37-11. Una lámpara de sodio pequeña emite luz con una longitud de onda de 589 nm que ilumina
una red marcada de 6000 líneas por centímetro. Calcule la desviación angular de las franjas claras de primero y segundo orden. d
=
1 6000 líneas/cm
dsenθ
= nλ ;
senθ =
= 1.67 × nλ d
=
10−4 cm o d = 1.67
×
10−6 m ;
× 10−9 m) ; × 10−6 m
(1)(589 1.67
θ = 20.7º dsenθ
= nλ ;
senθ =
nλ d
=
× 10−9 m) ; × 10−6 m
(2)(589 1.67
θ = 45.0º
37-12. Un haz de luz paralela ilumina una red de difracción que tiene 6000 líneas por centímetro.
La franja clara de segundo orden se localiza a 32.0 cm de la imagen central en una pantalla colocada a 50 cm de la red. Calcule la longitud de onda de esa luz. d
=
1 6000 líneas/cm
tan θ
=
32 cm 50 cm
; θ
= 1.67 ×
= 32.6º ;
10−6 m; d senθ λ =
d senθ 2
=
= nλ
(1.67
×
(n = 1, 2, 3, . . .) ; 10−6 m)sen32.6º 2
;
λ = 449 nm
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*37-13. El espectro de la luz visible abarca longitudes de onda desde 400 hasta 700 nm.
Encuentre la amplitud angular del espectro de primer orden producido al hacer pasar luz blanca por una red marcada con 20 000 líneas por pulgada. ( Amplitud angular = θ 700 – θ4 00) d
=
1m ⎞ = 5.00 × 10−5 in; d = (5 × 10−5 in) ⎛⎜ = 1.27 × 10−6 m ⎟ 20 000 líneas/in ⎝ 39.37 in ⎠ 1
dsenθ
dsenθ
= nλ ; = nλ ;
=
nλ 4
=
nλ 7
senθ 4 senθ 7
θ 4 = 18.4º
× 10−9 m) ; × 10−6 m
θ 7 = 33.4
= =
(1)(700
d
d
× 10−9 m) ; × 10−6 m
(1)(400 1.27
1.27
0
Amplitud angular = 33.4º – 18.4º;
Δθ = 15.0º *37-14. Un espectrofotómetro infrarrojo utiliza redes de difracción para dispersar luz infrarroja.
Una de esas redes está marcada con 240 líneas por milímetro. ¿Cuál es la máxima longitud de onda que se puede estudiar con esa red? ( La dispersión máxima ocurre cuando θ = 90° y sen θ = 1) d
=
λ =
1 240 líneas/mm d senθ 1
=
(4.17
= 4.17 × ×
10−3 mm o d = 4.17
×
10−6 m
10−6 m)(1) 1 λ máx = 4.17 μm
Poder de resolución de los instrumentos 37-15. Una luz con longitud de onda de 600 nm incide sobre una abertura circular de 0.32 mm de
diámetro. Así se forma un patrón de difracción en una pantalla colocada a 80 cm de distancia. ¿A qué distancia del centro del patrón se forma la primera franja oscura? θ 0
=
R f
=
1.22λ D
; R =
1.22λ f D
=
× 10−9 m)(0.80 m) ; 0.32 × 10−3 m
1.22(600
R = 1.83 mm
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37-16. El ángulo de resolución limitante para una lente usada como objetivo en un instrumento
óptico es de 3 × 10− rad para una fuente luminosa de 650 nm. ¿Cuál es el diámetro de la 4
abertura circular? θ 0
=
1.22λ D
; D =
×
1.22(650 3
×
10−9 m)
10−4 rad
; D = 2.64 mm
37-17. Cierto radiotelescopio tiene un reflector parabólico de 70 m de diámetro. Las ondas de
radio procedentes del espacio exterior tienen una longitud de onda de 21 cm. Calcule el límite teórico de resolución para este telescopio. θ 0
=
1.22λ D
=
1.22(0.21 m) 70 m
; – 3
θ o = 3.66 × 10 rad
37-18. Mediante un telescopio con una lente de 60 m de diámetro, encuentre a qué distancia
permite su resolución distinguir a dos objetos localizados en el espacio a una distancia igual a la que existe entre la Tierra y el Sol (93 millones de millas). Asuma que la luz está en la longitud de onda central de 500 nm. θ 0
=
1.22λ D
=
s0 p
; s0
1.22λ p
=
D
=
1.22(500
× 10−9 m)(9.3 × 107 mi) 60 m
;
so = 0.946 mi o 4990 ft
37-19. ¿Cuál es el límite angular de resolución del ojo humano cuando el diámetro de la abertura
es de 3 mm? Suponga que la longitud de onda de la luz es 500 nm. θ 0
=
1.22λ D
=
1.22(500 3
×
×
10−9 m)
10−3 m
; – 4
θ o = 2.03 × 10 rad
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37-20. ¿A qué distancia la resolución del ojo descrito en el problema 37-19 puede distinguir los
alambres de un mosquitero para puerta instalados con un espaciamiento de 2.5 mm?
=
θ 0
s0 p
;
p =
s0 θ 0
=
2.5 2.03
× ×
10−3 m 10−4 rad
; p = 12.3 m
Problemas suplementarios 37-21. En el experimento de Young, una luz de 600 nm ilumina una ranura colocada a 2.0 m de
una pantalla. La segunda franja clara que se forma en la pantalla está a 5 mm del máximo que aparece en el centro. ¿Cuál es el ancho de la ranura? yd x
= nλ ; d =
nλ x y
=
2(600
× 10−9 m)(2.0 m) ; 5 × 10−3 m d = 480 μm
37-22. Una reja de transmisión está marcada con 5000 líneas por centímetro. Para la luz con
longitud de onda de 550 nm, ¿cuál es la desviación angular de la franja clara de tercer orden? d
=
1 5000 líneas/cm
dsenθ
= nλ ;
senθ =
= 2.00 × nλ d
=
10−4 cm o d = 2.00
×
10−6 m ;
× 10−9 m) ; × 10−6 m
(3)(550 2.00
θ = 55.6º
568
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37-23. A través de dos ranuras separadas entre sí 0.24 mm pasa luz monocromática. En el patrón
que se forma en una pantalla colocada a 50 cm, la distancia entre la primera franja clara a la izquierda del máximo central y la primera franja de la derecha es de 2.04 mm. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz? ( La desviación de la primera banda brillante es la mitad de 2.04 mm o sea 1.02 mm.) yd x
yd
= nλ ; λ =
nx
(1.02
=
× 10−3 m)(0.24 × 10−3 m) (1)(0.50 m)
;
λ = 490 nm
37-24. Una red de transmisión que incluye 6000 líneas por centímetro forma una franja clara de
segundo orden a un ángulo de 53º de la franja central. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz incidente? d
=
1 6000 líneas/cm
dsenθ
= nλ ;
λ =
= 1.67 ×
d senθ n
=
10−4 cm o d = 1.67
(1.67
×
10−6 m)sen53º 2
10−6 m ;
× ;
λ = 667 nm
*37-25. Si la separación de las dos ranuras utilizadas en el experimento de Young es de 0.10 mm
y la distancia a la pantalla es de 50 cm, halle la distancia entre la primera franja oscura y la tercera franja clara cuando las ranuras se iluminan con una luz cuya longitud de onda es de 600 nm. Clara :
yd x
= nλ
Δ y = y B3 − yD1 = Δ y =
2.5(600
×
0.10
(n = 1, 2, 3, . . .) Oscura :
(3)λ d
−
(1)λ x 2d
10−9 m)(0.5 m)
×
10−3 m
yd x
=n
λ 2
(n = 1, 3, 5, . . .) ;
λ x = (2.5) ⎛⎜ ⎞⎟ ; ⎝ d ⎠
; Δ y = 7.50 mm
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*37-26. La luz de una lámpara de arco de mercurio incide en una red de difracción de 7000 líneas
por pulgada. El espectro consiste en una línea amarilla (579 nm) y una línea azul (436 nm). Calcule la separación angular (en radianes) de esas líneas en el espectro de tercer orden. d
=
1 7000 líneas/in.
dsenθ
dsenθ
= nλ ; = nλ ;
senθ y senθ b
= 1.43 × = =
nλ y d nλ b d
10−4 in; d = (1.43
⎛ 1 m ⎞ = 3.63 × ⎟ ⎝ 39.37 in ⎠
10−4 in) ⎜
× 10−9 m) ; × 10−6 m
θ 4 = 28.6º
× 10−9 m) ; × 10−6 m
θ 7 = 21.1º
=
(3)(579
=
(3)(436
3.63
3.63
×
10−6 m ;
Δθ = 28.6º – 21.1º; Δθ = 7.50º *37-27. Un telescopio será utilizado para distinguir dos puntos en una montaña que se localiza a
160 km de distancia. Si la separación de los puntos es de 2.0 m, ¿cuál es el diámetro mínimo que deberá tener la lente usada como objetivo? Suponga que la luz tiene una longitud de onda promedio de 500 nm. θ 0
=
1.22λ D
=
s0 p
; D
=
1.22λ p s0
=
1.22(500
×
10−9 m)(1.6
×
105 m)
2m D = 4.88 cm
570
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Preguntas para la reflexión crítica 37-28. Un interferómetro de Michelson como el que muestra la figura 37-18 se puede usar para
medir pequeñas distancias. La luz monocromática de longitud de onda λ que proviene de la fuente S se refleja en parte y se transmite en parte por el divisor del haz. Un espejo M 1 está fijo y otro espejo M 2 es móvil. Los rayos de luz que llegan al ojo desde cada espejo son diferentes, por lo cual patrones de interferencia constructiva y destructiva se mueven a través del visor cuando el espejo M 2 se desplaza una distancia x. Demuestre que esa distancia está dada por x = m ( λ 2 ) donde m es el número de franjas oscuras que cruzan una línea indicadora del visor cuando el espejo se mueve una distancia x. M 2 x
La diferencia en las longitudes de trayectoria para cada rayo de luz será la distancia x y regreso, o 2x. Así, hay una interferencia
Fuente S M 1
constructiva cuando: 2 x = mλ
Espejo fijo
m = 0, 1, 2, . . .
Así, x = m
λ 2
m = 0, 1, 2, . . .
Observador
37-29. Un interferómetro de Michelson (véase el problema 37-28) se usa para medir el avance de
un pequeño tornillo. ¿Cuánto ha avanzado el tornillo si se usa la luz de criptón 86 (λ = 606 nm) y se mueven 4000 franjas a través del campo visual a medida que avanza el tornillo? x =
mλ 2
=
(4000)(606 2
×
10−9 m)
; x = 1.21 mm
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*37-30. Una red de difracción tiene 500 líneas por milímetro marcadas en su superficie de v idrio.
A través de esa red pasa luz blanca que forma varios espectros en una pantalla colocada a 1.0 m de distancia. ¿La desviación de colores por efecto de una red es diferente de la que se obtiene con un prisma? En la pantalla, ¿cuál es la distancia entre la línea azul de primer orden (400 nm) y la línea roja de primer orden (680 nm)? ¿Cuántos espectros completos (de 400-700 nm) son factibles en estas condiciones? (a) Cuando la luz blanca atraviesa un prisma, la luz azul se flexiona más que la luz roja ya que el ángulo de refracción es menor para longitudes de onda mayores. (Véase la figura 35-8 en el texto.) Lo inverso es cierto para las rejillas. Las longitudes de onda más grandes se desvían más. (b) d
=
1 500 líneas/mm
dsenθ
dsenθ tan θ
= nλ ; = nλ ;
=
y x
= 2.00 ×
senθ r =
nλ r
=
nλ b
senθ b
d
d
; y = x tan θ ;
10−3 mm; d = 2.00
θ r = 19.9º
× 10−9 m) ; × 10−6 m
θ 7 = 11.5º
= =
(1)(400 2.00
10−6 m
× 10−9 m) ; × 10−6 m
(1)(680 2.00
×
θ
1m
Roja Azul
Δy = yr − yb = x tan θ r − x tanθ b
Δ y = (1 m) tan 19.9º – (1 m) tan 11.5º; Δ y = 15.9 cm (c) El número máximo de espectros completos se encuentra ajustando θ = 90° para la línea roja. dsenθ
= nλ ;
n=
d sen90º λ
=
2.00 700
× 10−6 m ; × 10−9 m n = 2.86
Por lo tanto, sólo son posibles dos espectros completos para esta rejilla.
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*37-31. Las luces posteriores de un automóvil están a 1.25 m una de otra. Suponga que las
pupilas de los ojos de una persona tienen 5 mm de diámetro y que la luz tiene una longitud de onda promedio de 604 nm. Por la noche, en una carretera recta y larga, ¿a qué distancia la resolución del ojo permite distinguir las dos luces? Suponga que usted frunce los ojos, formando una ranura en la cual el ángulo limitante cambia de θ 0 = 1.22 λ / D a θ 0 = λ /d. ¿Cuál es la nueva distancia para la resolución de las imágenes? θ 0
=
1.22λ s0
=
D
p
; p =
s0 D 1.22λ
=
(1.25 m)(0.005 m) 1.22(640
×
10−9 m)
;
p = 8000 m θ 0
=
λ s0 d
=
p
; p =
s0 D λ
=
(1.25 m)(0.005 m) (640
×
10−9 m)
;
p = 9765 m
*37-32. La intensidad de una luz no polarizada se reduce a la mitad cuando pasa por un
polarizador. En el caso de la luz polarizada en un plano que llega al ana lizador, la intensidad I del haz transmitido está dada por I
= I 0 cos2 θ
donde I 0 es la intensidad
máxima transmitida y θ es el ángulo al cual se ha hecho girar el analizador. Supongamos que tres placas Polaroid están apiladas de manera que el eje de cada una de ellas está girado 30º con respecto a la placa precedente. ¿En qué porcentaje se reducirá la intensidad de la luz incidente cuando pase a través de las tres placas? La primera placa transmite ½ de la intensidad de la luz incidente. Cada placa sucesiva transmite una resolución vector al ángulo de 30° y transmite una fracción, cos 30º = 0.866, de la amplitud, o (cos 30°) de la intensidad. Como 2
cos 30° = 0.866, (cos 30°) = 0.75. Así, la intensidad del primero es: (0.5)(0.75)(0.75) = 0.281 o 28.1%
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