ti ene que transmitir una 1.-Este árbol macizo de un tren de laminación tiene potencia de 20kW a 2r/s. Determine su diámetro de manera que el esfuerzo cortante máximo no exceda exceda de 40 MN/m² y que el ángulo de torsión, en una longitud de 3m., sea s ea como máximo de 6°.Emplee un valor de G de 83 GN/m.² SOLUCION: Este problema es un ejemplo de diseño de un u n elemento de máquina en el que se ha de tener en cuenta tanto la resistencia como la rigidez . Se comienza por determinar, determinar, el momento torsionante a que esta sometido el árbol.
Para satisfacer la condición de resistencia se aplica el esfuerzo cortante máximo.
Ahora de la la expresión expresión del ángulo de torsión torsión , se reduce el diámetro diámetro necesario que satisface la condición de rigidez,
Por lo tanto,
El diámetro mayor de 58.7mm satisface, pues, pu es, a las dos condiciones de resistencia y de rigidez.
2.-La figura muestra un árbol macizo de dos 2.-La do s materiales y distintos diámetros, firmemente firmemente unidos y perfectamente empotrado en sus extremos. La parte de aluminio tiene 75mm de diámetro y G Al vale 28 x 10^9 N/m2 y la de acero tiene 50 mm de diámetro y G a = 83 x 10^9 N/m2 . El par torsor aplicado es es de 1000 N.m, y como se observa observa en la figura, se aplica en la unión de las dos partes. Calcular el máximo esfuerzo cortante en el acero y en el aluminio.
SOLUCION: Se trata de un problema problema estáticamente estáticamente indeterminado indeterminado en el que se desconoce en que proporción se reparte el par torsor aplicado entre las dos partes , derecha e izquierda, del árbol. Aplicando Aplicando en primer lugar las condiciones de equilibrio estático se tiene:
La otra relación entre T a y TAl se obtiene por las condiciones geométricas de la deformación que, en este caso, se expresa por la igualdad del ángulo de torsión desde la sección en que se aplica el par torsor, a los dos extremos del eje. Es decir .
De donde Resolviendo el sistema formado por (a) y (b) resulta:
Teniendo ahora en cuenta la fórmula de la torsión, los esfuerzos respectivos vienen dados por:
TORSION DE TUBOS DE PARED DELGADA
•
3.- Un tubo de pared delgada tiene la forma semicircular de la figura. Prescindiendo de la concentración de esfuerzos que se produce en las esquinas, calcular el momento torsionante que producirá un esfuerzo cortante de 40 MN/m2.
SOLUCION: Teniendo en cuenta que A es el área encerrada por la línea media del tubo resulta:
Un árbol de sección constante, de 50 mm de diámetro está sometido a los pares torsores que se indican en la figura f igura a través través de engranes montados montad os sobre él. Si G = 83 x 103 MN/m2, determinar determina r, en grados, el ángulo áng ulo total de torsión entre A y D. (Material: acero.) Solución: Solució n: El empleo e mpleo de vectores vectores para indicar el sentido sentid o de los pares aplicados, como se ve en la parte inferior de la figura facilita la determinación determinac ión del momento mome nto torsionante resultante sobre cada parte del árbol. Para ello, apliquemos las condiciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre li bre entre una sección cualquiera cualq uiera y un extremo del eje, por ejemplo, D. Entonces, con respecto a D, los pares trasmitidos por cada porción y, y, por tanto, los momentos torsionantes a que están sometidos, someti dos, son: T AB =700 N.m en sentido sentid o del reloj, T BC = 500 N.m en sentido contrario al del reloj y T BC =800 N.m en sentido del reloj. El ángulo ángul o de torsión torsión total es la suma algebraica algebraic a de los ángulos parciales parciale s en cada porción. Tomando arbitrariamente arbitrariam ente la deformación deformaci ón en sentido del reloj relo j como positiva, y aplicando la expresión (3-1) con el factor 57.3 para obtener el ángulo en grados, se obtiene:
TL / JG A D
A / D
1
TL 57.3 JG
57,3 4
(0,050)
32 A / D
3,32
700(3) 500(1,5) 800(2)
(83 10 9 ) resp.
PROBLEMA ILUSTRA ILUSTRATIVO TIVO
Dos resortes de acero dispuestos en serie soportan una carga P, como se indica en la figura. f igura. El resorte superior tiene 20 espiras de alambre de 20 mm, y un diámetro medio de 150 mm. El E l resorte inferior tiene 15 espiras de alambre de 10 mm y un radio medio de 130 mm. Calcular C alcular el máximo esfuerzo cortante en cada resorte si la deformación deformaci ón total, alargamiento en este caso, es de 80 mm y G = 83 GN/m 2.
Solución : La deformación
total es la suma de las las deformaciones de ambos resortes,ya que están
sometidos a la tracción P. Teniendo en cuenta (3 - 11) se obtiene para P el valor : 3 64PR n 4 Gd
(0,075) 3 (20) (0,065) 3 (15) 0,080 P 233N 9 4 4 83x10 (0,020) (0,010) Conocida P s e pueden determinar los esfuerzos.Para el resortesuperior, m 2R/d 2(0,075)/0,020 7,5 7, 5 y 4m 30, por lo que aplicando la fórmula de wahl(3,10) resulta : m ax
m ax m ax
64P
16 PR 4m 1
0,615 3 m d 4 m 4 16(223)(0,075 30 1 0,615 3 30 4 7 , 5 (0,020)
12,7 MN / m 2
Resp.
Análogamen te, para el resorteinferior en el que m 2(0,065)/0,010 13
y
4m 52 s e tiene :
16(223)(0,065) 52 1
m ax
m ax
81,9 MN / m 2
(0,010)
3
0,615 13 52 4
s i s e hubiera aplicado la expresión (3 - 9) para obtener los valores de los esfuerzoscortantes,los resultados 2
hubieran sido 11,4 y 76,7 MN/m en el resortesuperior e inferior, respectivamente.Se deduce que en este caso la fórmula aproximada de unos errores relativos de 10,2 y 6,35% por abajo de los valores más exactos de la formula de wahl.
