EJERCICIOS Y APLICACIONES DE AJUSTE DE CURVAS
1.- Ajuste polinomios de orden uno y dos por mínimos cuadrados cuadrados al conjunto de datos dados. Calcule el error estándar y el coeficiente de correlación. Grafique los datos datos de la muestra y los ajustes obtenidos. X 0.0129 0.0247 0.0530 0.1550 0.3010 0.4710 0.8020 1.2700 1.4300 2.4600 Y 9.5600 8.1845 5.2616 2.7917 2.2611 1.7340 1.2370 1.0674 1.1171 0.7620 2.- Dada la tabla con los siguientes siguientes datos: X F(x)
1.20 0.1823
1.25 0.2231
1.30 0.2624
1.35 0.3001
1.40 0.3365
¿Cuál de los polinomios interpolantes de Newton de orden 1, 2 y 3, ajustan más exactamente el valor de X = 1.40? 3.- Aplique la fórmula fórmula de Lagrange Lagrange para interpolar en Y(1.50) Y(1.50) empleando el polinomio de orden tres coln los siguientes valores: Xk Yk
1.20 0.1942
1.40 0.1497
1.60 0.1109
1.80 0.0790
2.00 0.0540
4.- Deduzca las ecuaciones ecuaciones normales para el ajuste cúbico por mínimos cuadrados. cuadrados. 5.- Obtenga los polinomios de mínimos cuadrados cuadrados de primer, segundo y tercer orden para los datos de la tabla adjunta. En cada caso calcule calcule el error estándar del estimado y el coeficiente de correlación. correlación. Grafique los datos y los polinomios. Xi 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1 Yi 102.56 113.18 130.11 142.05 167.53 195.14 224.87 256.73 299.50 326.72 6.- Realice el mismo procedimiento del ejercicio 5 para la siguiente tabla de valores. Xi 0.05 0.11 0.15 0.31 0.46 0.52 0.70 0.74 0.82 0.98 1.17 Yi 0.956 0.890 0.832 0.717 0.571 0.539 0.378 0.370 0.306 0.242 0.104 7.- Use la fórmula de diferencias divididas divididas finitas de de Newton para construir construir polinomios interpolantes de grado uno, dos y tres con los siguientes datos. Utilice cada uno de los polinomios para aproximar el valor especificado. f (0.9) si f (0.6) (0.6) = - 0.17694460, f (0.7) = 0.01375227, 0.01375227, f (0.8) = 0.22363362, f (1.0) = 0.65809197.
8.- Use el polinomio interpolante de Lagrange de grado tres y aritmética de redondeo a cuatro dígitos para aproximar cos ( 0.750 ) por medio de los siguientes valores. Si el valor real de cos ( 0.750 ) = 0.7317; calcule e v %. Cos ( 0.698 ) = 0.7661, cos( 0.733) = 0.7432, cos( 0.768 ) = 0.7193, cos ( 0.803 ) = 0.6946. 9.- Obtenga los polinomios de mínimos cuadrados de primer y segundo orden para los datos de la tabla adjunta. En cada caso calcule el error estándar y el coeficiente de correlación. Grafique los datos y los polinomios. Xi Yi
0 1.0
0.15 1.004
0.31 1.031
0.5 1.117
0.6 1.223
0.75 1.422
10.- Dada la función f ( x ) = sen ( ln x ) y los valores: x0 = 1.2, x 1 = 1.6, x2 = 2.0, x 3 = 2.6, x4 = 3.2, x5 = 3.6, x 6 = 3.8, x 7 = 4.0. ( a ) Construya el ajuste cuadrático para x = 3.5. Calcule el coeficiente de correlación. ( b ) Obtenga el polinomio interpolante de Newton de orden tres para estimar el mismo valor de x. Compare el resultado con la parte (a). ¿ Cuál es el error verdadero porcentual? ( c ) Grafique los datos dados y el ajuste. 11.- Dada la siguiente tabla de valores: T u
0 1.792
10 1.308
30 0.801
50 0.549 2
70 0.406
90 0.317
100 0.284
-3
Que representa la Viscosidad del agua u ( Ns / m . 10 ) a la temperatura T. Estime u para T = 65ºC. Mediante los siguientes procedimientos: ( a ) Un polinomio interpolante de Newton de grado tres. ( b ) Un polinomio interpolante de Lagrange de grado tres. ( c ) Un polinomio de mínimos cuadrados de grado dos. Calcule el coeficiente de correlación. ( d ) Grafique los valores dados y el ajuste cuadrático. 12.La concentración saturada de oxigeno disuelto en agua como función de la temperatura y de la concentración de cloro se enlista en la tabla adjunta. Use el mejor ajuste del polinomio interpolante de Newton de tercer orden para estimar el nivel de oxigeno disuelto para T = 18ºC con cloro = 10000mg/L. T Nivel O.
5 11.6
10 10.3
15 9.1
20 8.2
25 7.4
30 6.8
13.- Se realiza un experimento y de determina los siguientes valores de capacidad calorífica c para varias temperaturas T de un gas: T c
-40 1250
-20 1280
10 1350
70 1480
100 1580
120 1700
( a ) Use regresión por mínimos cuadrados de segundo orden para predecir c como una función de T. Estime c para T = 40º. ( b ) Calcule el coeficiente de correlación. Grafique los datos de la muestra y el ajuste encontrado. 14.- En estudios de polimerización inducida por radiación se usó una fuente de rayos gamma para obtener dosis medidas de radiación. No obstante, la dosificación varió con la posición en el aparato, donde se registraron las siguientes cifras: Posición, pulgadas 5 Dosificación,10
0 1.9
0.5 2.39
1.5 2.98
2.0 3.20
3.0 3.20
3.5 2.98
4.0 2.74
Por alguna razón no se informó la lectura en 2.5 pulgadas, pero se requiere el valor de la radiación ahí. Ajuste polinomios de primer y segundo orden de mínimos cuadrados a los datos para obtener la información faltante. ¿Cuál considera que es la mejor estimación para el nivel de dosificación a 2.5 pulgadas? 15.- El volumen específico de un vapor sobrecalentado es enlistado en tablas de vapor 2 para diferentes temperaturas. Por ejemplo, a una presión de 2950 lb/pulg absolutas: T, ºF v
700 0.1058
720 0.1280
740 0.1462
760 0.1603
780 0.1703
Determine v para T = 750ªF. ( Utilice cualquiera de los métodos de ajuste estudiados) 16.- La corriente en un alambre se mide con gran precisión como función del tiempo: t i
0 0
0.1250 6.2402
0.2500 7.7880
0.3750 4.8599
0.500 0
Determine i en t = 0.22. 17.- Se mide la caída de voltaje V a través de una resistencia para un número de diferentes valores de corriente i. Los resultados son : i v
0.25 -0.45
0.75 -0.6
1.25 0.70
1.5 1.88
Use interpolación polinomial para estimar la caída de voltaje para i = 1.1.
2.0 6.0
