Ejercicio 2_1: Dibujar el diagrama Momento curvatura de la viga mostrada en la figura inferior. Utilice la curva tension-deformacion del hormigon comprimido propuesta por Todeschini, y la curva tension-deformacion elasto plastica perfecta para el acero traccionado.
Definicion del problema
Datos relevantes: geometria, cuantias de acero, propiedades mecanicas. Datos irrelevantes: No hay. Datos faltantes: Curvas tension-deformacion de los materiales. No se indican la cantidad de puntos mas alla de la fluencia a encontrar Variables a calcular: La capacidad capacidad de momento nominal (Mn) y su curvatura asocia asociada da ( Φ ) para para al al menos menos 3 fases fases del hormig hormigon. on. Planificacion del problema
Paso 1: Calcular Mn y Φ asociado al punto de primer agrietamiento, utilizando seccion transformada y teoria de flexion elastica. Paso 2: Calcular Mn y Φ asociado al punto de primera fluencia, asumiendo en principio una distribucion lineal de tensiones en el hormigon comprimido (se debe comprobar) y despreciando la resistencia a traccion del hormigon. Paso 3: Calcular Mn y Φ asociado a un punto mas alla de la fluencia, utilizando el metodo propuesto por Park y Paulay (se asumira εcm igual a 0.003). Ejecucion del problema (unidades en kgf y cm) Paso1: (punto primer agrietamiento) bw ≔ 30
As ≔ 3 ⋅
h ≔ 60 diam
2
⋅ ―― = 14.726 4
2100000 Es ≔
2
d ≔ 55
2
f' c ≔ 250 ― 2
modulo de elasticidad del acero
diam ≔ 2.5
4200 ― 2 f y ≔
0.5
2
‾‾c ⋅ 1 ―― = 238751.963 ― Ec ≔ 15100 ⋅ f' 2 Es n ≔ ― = 8.796 Ec
modulo de elasticidad del hormigon
Se trabaja como seccion equivalente de hormigon en rango elastico El centroide corresponde al eje neutro y se utilizan ecuaciones de flexion de Navier. Debemos calcular centroides, inercias, deformaciones unitarias, tensiones, fuerzas, momentos, curvaturas. 2
1800 Ag ≔ bw ⋅ h =
area de hormigon 2
As_equiv ≔ n − 1 ⋅ As = 114.802
⎛ ⎞ h Ag ⋅ + As_equiv ⋅ d 2 ⎝ ⎠ = 31.499 yg ≔ Ag + As_equiv
area de acero equivalente, transformado en hormigon
eje neutro medido desde arriba
2
2 ⎛h ⎞ 3 1 I g ≔ ⋅ bw ⋅ h + Ag ⋅ − yg + As_equiv ⋅ d − yg = 607449.256 12 ⎝2 ⎠
4
inercia de la seccion transformada de hormigon equivalente f r ≔ 2 ⋅
εct ≔
2
f r Ec
0.5
‾‾c ⋅ 1 ―― = 31.623 ― f' 2 = 1.32 ⋅ 10
tension de rotura del hormigon en traccion (segun ACI) deformacion en fibra de hormigon mas traccionada (ley de Hooke)
−4
yg −4 εc ≔ εct ⋅ ― = 1.46 ⋅ 10 h − yg
34.949 ― 2 f c ≔ Ec ⋅ εc = εs ≔ εc ⋅
d − yg yg
= 1.09 ⋅ 10
deformacion en fibra de hormigon mas comprimida (semejanza de triangulos en diagrama de deformaciones) tension en el hormigon comprimido (ley de Hooke)
−4
deformacion del acero traccionado (semejanza triangulos en diagrama de deformaciones)
f s ≔ Es ⋅ εs = 229.35 ―
tension en el acero traccionado (ley de Hooke)
2
Cc ≔
1 ⋅ f c ⋅ yg ⋅ bw = 16512.743 2
T c ≔
f 1 ⋅ f r ⋅ h − yg ⋅ bw − As ⋅ s = 13135.284 2 n
fuerza de compresion en el hormigon fuerza de traccion en el hormigon
T s ≔ As ⋅ f s = 3377.46
fuerza de traccion en el acero
T c + T s = 16512.743
se comprueba el equilibrio de fuerzas horizontales Cc = Tc+Ts
I g ⋅ f r M cr ≔ ―― = 673981.478 h − yg
Φcr ≔
M cr Ec ⋅ I g
= 4.65 ⋅ 10
−6
⋅
1
momento de agrietamiento, con respecto al centroide, de la fibra de hormigon mas traccionada, utilizando ecuacion Navier curvatura de agrietamiento, sabiendo que para el rango elastico, Ec*Ig es la pendiente del diagrama momento-curvatura
Es conveniente representar graficamente el estado de deformaciones , tensiones y fuerzas en esta fase de primer agrietamiento, para comparar con otras fases posteriormente, y entender el concepto fisico del problema
Profundizacion: Revisar en que puntos del diagrama tensiondeformacion estaria trabajando tanto el hormigon como el acero
Paso 2: (punto primera fluencia)
εy ≔
f y Es
= 0.002
0.002 εs ≔ εy =
deformacion de fluencia (ley de Hooke) deformacion en el acero traccionado (justo fluencia)
f s ≔ f y = 4200 ― 2
tension en el acero (justo la fluencia)
Se debe calcular la posicion del eje neutro (ahora se denomina k*d), a traves del equilibrio de fuerzas horizontales. Se asumira que la distribucion de tensiones de compresion en el hormigon aun es lineal y que las tensiones de traccion en el hormigon son despreciables (debido al agrietamiento). Se dejan las deformaciones y tensiones del hormigon en funcion de k k⋅d εc k ≔ εs ⋅ ―― d−k⋅d
deformacion en el hormigon mas comprimido en funcion de k (semejanza de triangulos en diagrama de deformaciones unitarias) tension en el hormigon mas comprimido en funcion de k (asumiendo comportamiento lineal, ley de Hooke)
f c k ≔ Ec ⋅ εc k
Cc k ≔
1 ⋅ f c k ⋅ k ⋅ d ⋅ bw 2
T s ≔ As ⋅ f s = 61850.105 a b e u r p e d s e r o l a V s e n o i c c i r t s e R r e v l o S
Fuerza en el hormigon comprimido en funcion de k (asumiendo comportamiento lineal) Fuerza en el acero traccionado
k ≔ 0.5
valor para inicializar iteracion de la incognita
Cc k ＝ T s
ecuacion de equilibrio para despejar k
k≔
comando para encontrar k
k = 0.325
k
k ⋅ d = 17.899
valor de k y del eje neutro (medido desde arriba)
εc ≔ εc k = 9.65 ⋅ 10
−4
deformacion en hormigon mas comprimido
230.367 ― 2 f c ≔ f c k =
tension en el hormigon mas comprimido (ley de Hooke)
Nota: En esta fase se habia supuesto que el hormigon en compresion aun estaba en su rango lineal, por lo que era valida la ley de Hooke y se asumia una distribucion lineal de tensiones. Sin embargo, estos supuestos solo son validos cuando fc < 0.5*f 'c Como en este caso
f c f' c
= 0.921
los supuestos pierden validez
No obstante, se terminara este ejercicio suponiendo que los errores asociados no son tan grandes. Al final de este documento, se hara un recalculo de este punto del diagrama momento-curvatura
61850.105 Cc ≔ Cc k = 61850.105 T s =
fuerza de compresion en el hormigon fuerza de traccion en el acero
Nota: Observe que hay equilibrio de fuerzas horizontales, Cc=Ts El momento de primera fluencia se puede calcular a traves de la ecuacion de equilibrio de momento, con respecto a cualquier punto.
⎛ ⎝
M y ≔ Cc ⋅ d − k ⋅
d⎞
= 3032737.341
⋅
momento de primera fluencia, c/r a posicion de enfierradura traccionada εy −5 1 Φy ≔ ―― = 5.39 ⋅ 10 curvatura de primera ― d−k⋅d fluencia (angulo de diagrama de deformaciones) Resumiendo los resultados de manera grafica, se tiene:
3⎠
Profundizacion: Revisar en que puntos del diagrama tension-deformacion estaria trabajando tanto el hormigon como el acero (recordar que este punto se recalculara al final)
Paso 3: (punto mas alla de la fluencia, para εcm =0.003)
Se utiliza la curva tension-deformacion para el hormigon en compresion propuesta por Todeschini
Parametros de la curva
εc
f'' c ≔ 0.9 ⋅ f' c = 225 ― 2 ε0 ≔ 1.71 ⋅
f' c Ec
maxima tension de compresion (curva Todeschini)
= 0.002
deformacion en el hormigon comprimido, asociado a maxima tension de compresion (curva Todeschini)
⎛ εc ⎞ ⎝ ε0 ⎠ f c εc ≔ 2 ⋅ f'' c ⋅ ――― ⎛ εc ⎞ 2 1+
ecuacion de curva tension-deformacion hormigon comprimido (Todeschini)
⎝ ε0 ⎠
240 220 200 180 160 140 120
f c εc
100 80 60 40 20 0
0
0.001
0.002
⎛ ⎝
εc ―
0.003
⎞ ⎠
0.004
⎛ ⎞ ―2 ⎝ ⎠
εcm ≔ 0.003
deformacion en el hormigon mas comprimido, mas alla de la fluencia, a evaluar
εcm
f c εc d εc 0
α ≔ ――― f'' c ⋅ εcm
= 0.798
parametro para fuerza resultante en el hormigon comprimido (Park-Paulay)
εcm
⌠ ε ⋅ f ε d ε c c c c 0
γ ≔ 1 − ――――― = 0.426 εcm
εcm ⋅ ⌠ f c εc d εc
parametro para posicion de fuerza resultante en hormigon comprimido (Park-Paulay)
0
k
Cc k ≔ α ⋅ f'' c ⋅ k ⋅ d ⋅ bw d−k⋅d εs k ≔ εcm ⋅ ――― k⋅d f s k ≔ if εs k < εy Es ⋅ εs k
else
f s
fuerza en el hormigon comprimido en funcion de k (Park-Paulay) deformacion en el acero traccionado en funcion de k (Park-Paulay) tension en el acero traccionado en funcion de k. Debe respetar al modelo elasto-plastico
f y T s k ≔ As ⋅ f s k a b e u r p e d s e r o l a V s e n o i c c i r t s e R r e v l o S
k ≔ 0.1
Fuerza en el acero traccionado en funcion de k valor para inicializar la iteracion de la incognita
Cc k ＝ T s k
ecuacion de equilibrio para despejar k
k≔
comando para encontrar k
k = 0.209
k ⋅ d = 11.484
profundidad del eje neutro (medido desde arriba)
εs k = 0.01137
deformacion en el acero traccionado
4200 ― 2 f s k =
tension de traccion en el acero traccionado
f c εcm = 198.037 ―
tension de compresion en el hormigon en fibra mas comprimida
2
61850.105 Cc ≔ Cc k =
fuerza de compresion en el hormigon
T s ≔ As ⋅ f s k = 61850.105
fuerza de traccion en el acero
M n ≔ Cc ⋅ d − γ ⋅ k ⋅ d = 3099130.83 εcm −4 1 Φult ≔ ― = 2.612 ⋅ 10 ― k⋅d
⋅
momento resistente nominal de la seccion, c/r a la enfierradura en traccion
curvatura ultima de la seccion
Graficando el estado de deformaciones, tensiones y fuerzas en esta fase, se tiene:
Respuesta al problema:
⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ M cr ⎥ ⎢ 7.429 ⎥ = M ≔ ⎢ M ⎥ ⎢ 33.43 ⎥
⋅
y
⎣ M n ⎦ ⎣ 34.162 ⎦ ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0 −4 ⎢ Φcr ⎥ ⎢ 4.647 ⋅ 10 ⎥ 1 =⎢ Φ≔⎢ −3 ⎥ Φy ⎥ 5.391 ⋅ 10 ⎢ ⎥ ⎣ Φult ⎦ ⎣ 2.612 ⋅ 10 −2 ⎦
A continuacion se muestra el diagrama momento curvatura resumido de la viga
35 31.5 28 24.5 21 17.5
M
14
⋅
10.5 7 3.5 0
0
5⋅10⁻³
1⋅10⁻²
1.5⋅10⁻²
Φ
2⋅10⁻²
2.5⋅10⁻²
3⋅10⁻²
⎛1⎞ ⎝ ⎠
CALCULOS ADICIONALES DE PROFUNDIZACION Caso 1: Calculo exacto de punto de primera fluencia
Como se menciono anteriormente, en el punto de primera fluencia se asumio que la distribucion de tensiones en el hormigon comprimido era lineal. Esto es valido para valores de fc < 0.5 f 'c, lo cual no se cumplio en el ejercicio. Una manera mas exacta de calcular este punto es utilizar la curva teorica de tension-deformacion en el hormigon, utilizando el metodo de Park-Paulay εs ≔ εy = 0.002
deformacion en el acero traccionado
εcm k ≔ εs ⋅ k ⋅
d d−k⋅d
deformacion en el hormigon mas comprimido en funcion de k (semejanza de triangulos)
εcm k
f c εc d εc α k ≔
0
parametro α en funcion de k
f'' c ⋅ εcm k εcm k
εc ⋅ f c εc d εc γ k ≔ 1 −
0 εcm k
εcm k ⋅
f c εc d εc 0
parametro γ en funcion de k
Cc k ≔ α k ⋅ f''c ⋅ k ⋅ d ⋅ bw
61850.105 T s ≔ As ⋅ f y = a b e u r p e d s e r o l a V s e n o i c c i r t s e R r e v l o S
fuerza de compresion en el hormigon en funcion de k fuerza de traccion en el acero en funcion de k
k ≔ 0.1
Cc k ＝ T s
k≔
profundidad del eje neutro (medida desde k = 0.338 k ⋅ d = 18.575 arriba) −3 εcm ≔ εcm k = 1.02 ⋅ 10 deformacion en fibra de hormigon mas comprimida f c εcm = 193.527 ― 2 tension en fibra de hormigon mas comprimida α≔α k = 0.493 parametro α para estimar la fuerza de compresion resultante 0.352 γ ≔ γ k = parametro γ para estimar la posicion de la fuerza de compresion
61850.105 Cc ≔ Cc k = ⎛ ⎝
M y ≔ Cc ⋅ d − k ⋅
d⎞
3⎠
fuerza de compresion en el hormigon
= 3018807.85
εcm −5 1 Φy ≔ ― = 5.491 ⋅ 10 ― k⋅d
⋅
momento de primera fluencia
curvatura de fluencia
Como se puede observar, los resultados cambian levemente ya que : k ⋅ d y εcm son un poco mas grandes, mientras que f c es mas pequeño. De esta forma, se obtienen valores de M y mas pequeños y de Φy mas grandes
Caso 2: Punto del diagrama momento-curvatura cuando la curva del hormigon en compresion pierde su linealidad
De manera aproximada se puede decir que el hormigon pierde su linealidad cuando f c ＝ 0.5 ⋅ f' c . Esta condicion tambien se denomina tension admisible del hormigon en compresion f c ≔ 0.5 ⋅ f' c = 125 ― 2 εc ≔
f c Ec
= 5.24 ⋅ 10
tension de compresion en fibra mas comprimida
−4
deformacion en fibra de hormigon mas comprimida (ley de Hooke)
d−k⋅d εs k ≔ εc ⋅ ――― k⋅d
deformacion en el acero traccionado en funcion de k tension en el acero traccionado en funcion de k fuerza de compresion en el hormigon en funcion de k
f s k ≔ Es ⋅ εs k Cc k ≔
1 ⋅ f c ⋅ k ⋅ d ⋅ bw 2
T s k ≔ As ⋅ f s k a b e u r p e d s e r o l a V s e n o i c c i r t s e R r e v l o S
fuerza de traccion en el acero en funcion de k
k ≔ 0.1
Cc k ＝ T s k
k≔
k = 0.325
k ⋅ d = 17.899
εs ≔ εs k = 1.09 ⋅ 10
−3
2278.972 ― f s ≔ f s k =
2
profundidad del eje neutro (medido desde arriba) deformacion en acero traccionado tension en acero traccionado
Cc ≔ Cc k = 33560.635
fuerza de compresion en hormigon
33560.635 T s ≔ T s k =
fuerza de traccion en acero
⎛ ⎝
M adm ≔ Cc ⋅ d − k ⋅
d⎞
3⎠
= 1645600.924
⋅
εc −5 1 Φadm ≔ ― = 2.93 ⋅ 10 ― k⋅d
curvatura admisible
momento admisible de la seccion, para el cual ambos materiales estan en rango lineal y elastico
El diagrama momento curvatura de la viga, que toma en cuenta los 2 ultimos casos, tiene la siguiente forma:
⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0 −4 ⎢ Φcr ⎥ ⎢ 4.65 ⋅ 10 ⎥ ⎢ −3 ⎥ 1 Φ ≔ ⎢ Φadm ⎥ = ⎢ 2.93 ⋅ 10 ⎥ ⎢ ⎥ −3 Φy ⎢ ⎥ 5.49 ⋅ 10 ⎢ ⎥ −2 ⎣ Φult ⎦ ⎣ 2.61 ⋅ 10 ⎦
⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ M cr ⎥ ⎢ 7.429 ⎥ M ≔ ⎢ M adm ⎥ = ⎢ 18.14 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 33.277 ⎥ M y ⎢ ⎥ ⎣ M n ⎦ ⎣ 34.162 ⎦
⋅
35 31.5 28 24.5 21 17.5
M
14 10.5 7 3.5 0
0
0.003
0.005
0.008
0.01
0.013
Φ
0.015
0.018
0.02
0.023
0.025
0.028
⎛1⎞ ⎝ ⎠
Un parametro interesante de calcular es la ductilidad de curvatura, definida por : es conveniente que las vigas tengan Φult ductilidades de curvatura lo mas grandes = 4.758 μΦ ≔ Φy posibles, para evitar fallas fragiles
⋅
TAREA: REPETIR EL EJERCICIO PARA LAS SIGUIENTES VIGAS
