DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA EN UNA SECCIÓN DOBLE T Supongamos que tenemos la siguiente sección:
, de acero con las siguientes propiedades: Es = 2,1x106 [kgf/cm2] 2 f sy sy = 4200 [kgf/cm ] εsy = 0,002 Icg = 1,056x10 7 [cm4] (con respecto al centro de gravedad que está en el centro debido a la simetría) , suponiendo un comportamiento elástico-plástico del acero del siguiente tipo:
El estado del acero debe entonces ser medido con la deformación unitaria, ya que para valores de esfuerzo mayore mayoress que 4200, 4200, no se puede puede estab establec lecer er claram clarament entee cual cual es la deform deformaci ación ón corres correspon pondie diente nte.. En cambio cambio,, si especificamos la deformación unitaria, el esfuerzo queda definido (lineal bajo 0,002 y constante sobre 0,002). Sabiendo Sabiendo esto, podemos podemos establecer establecer la relación relación entre la curvatura de una sección (suponiendo (suponiendo secciones secciones planas) planas) y el momento momento simplement simplementee relacionan relacionando do deformacio deformaciones nes unitarias unitarias (curvatura) (curvatura) con los esfuerzos esfuerzos (momento). (momento). Debemos dividir el comportamiento de la curva en 3 partes:
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RANGO ELÁSTICO LINEAL (0 < ε < 0,002)
Mientras la sección presente esfuerzos internos que estén en el rango lineal, como sabemos de resistencia de materiales, la distribución de los esfuerzos normales y de las deformaciones unitarias será lineal pasando por cero en la fibra neutra, como muestra la siguiente figura:
, donde la zona más densa representa las deformaciones que se dan en el ala. Además sabemos que se mantiene la relación: f = E*ε Como vemos en la siguiente figura:
, la curvatura se puede calcular como (para pequeñas deformaciones, ds ≈ dx): Ψ ≈ ε / (h/2)
→
ε = (h/2)* Ψ
Ahora, para el rango lineal, la ecuación de Naviev nos entrega el momento en función del esfuerzo máximo:
Reemplazando las ecuaciones anteriores obtenemos que: M = EI*Ψ , donde EI = 2,2176x1013 [kgf*cm2] = 2,2176x108 [Tf*cm2]. Esta ecuación también podría ser encontrada si realizáramos el cálculo estricto del momento que genera tal distribución de esfuerzos considerando la sección doble T, como lo haremos cuando comience a fluir el ala. Ahora, si el esfuerzo al que fluye el acero es f sy = 4200 [kgf/cm 2], entonces si este se diera en alguna de las 2 fibras extremas (superior o inferior), es el instante que comienza a fluir la sección, y sería el límite de este tramo. Si calculamos la curvatura de primera fluencia: Ψsy = εsy/ (h/2) = 0,002/60 = 0,0000333 [1/cm] Ψsy = 0,00333 [1/m] Con lo cual, el momento de la primera fluencia es: Msy = EI* Ψsy = 7,391999x10 8 [kgf*cm] Msy = 7392 [Tf*m]
El gráfico del primer tramo queda así:
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RANGO CON EL ALA EN FLUENCIA: (0 < s < 20cm)
Para los 2 siguientes tramos definiremos una variable auxiliar “s”, que medirá la distancia fluida desde la fibra superior. La situación de este tramo se observa en la siguiente figura:
La zona más oscura es la zona en que las deformaciones unitarias superan la deformación de fluencia, por lo que los esfuerzos ya no pueden seguir aumentando y se quedan en el esfuerzo de fluencia. Luego los esfuerzos vuelven a una relación lineal pasando por cero en la fibra neutra. El momento generado por la distribución de esfuerzos ya no se puede calcular con la fórmula de Naviev, sin embargo se pueden obtener mediante el cálculo del momento total que genera la distribución de cargas dadas, ya que sabemos que: •
Para una fuerza puntual:
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Para varias fuerzas puntuales:
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Para una fuerza distribuida:
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Para varias fuerzas distribuidas:
M = F*b
Por lo tanto, en este caso, habría que separar en 3 partes los esfuerzos para poder calcular el momento total: • • •
La parte del ala que está fluida La parte del ala que está lineal El alma que está lineal
Cabe destacar que los esfuerzos son carga por unidad de superficie. Si multiplicamos cada tramo por el ancho en que actúan (ala o alma), tenemos una carga por unidad de largo (fuerza distribuida), y podemos aplicar las fórmulas descritas anteriormente. Si utilizamos el siguiente sistema de coordenadas, centrado en la fibra neutra:
, entonces el momento total se calcularía de la siguiente forma:
, mas, de la Figura Nº5, podemos obtener la siguiente relación:
, y el momento nos queda así:
, y obtenemos:
Si graficamos eso, obtenemos:
Podemos comprobar evaluando la función que para la curvatura inicial del tramo (s = 0, Ψ = 0,000033), hay continuidad entre esta función y la anterior, lo cual era de esperar, y en el límite final (s = 20cm, Ψ = 0,00005), obtenemos un momento de 8848 [Tf*m] evaluando.
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RANGO CON EL ALMA EN FLUENCIA: (20cm < s < 60cm)
Utilizando la misma variable auxiliar que en el caso anterior, vemos que ahora estamos en la siguiente situación:
Utilizando los mismos criterios, ejes y tramos de integración que en el caso anterior, obtenemos que el momento estará dado en este caso por la siguiente expresión:
, y relacionando s con la curvatura Ψ, obtenemos:
Y resolviendo las integrales, obtenemos la expresión para el momento en este tramo:
, función que es válida desde s = 20cm (Ψ = 0,00005), hasta que s = 60cm (Ψ → ∞). El gráfico en este caso sería el siguiente:
Nuevamente comprobamos que en el inicio del tramo, la función coincide con el valor de la función del momento cuando la fluencia está en el ala, evaluada en el final del tramo anterior. Como vemos, se estanca en un valor, obviamente el límite de la función cuando Ψ → ∞, que en la misma ecuación del momento podemos ver que es: Mmax = 15120 [Tf*m]
Finalmente, si unimos todos los tramos, obtenemos el siguiente gráfico:
Este último gráfico es el diagrama momento-curvatura de una sección doble T con las características dadas al inicio del ejercicio, sometida a flexión pura (sin tracción ni corte), y representa el comportamiento de la sección ante la flexión (resistencia, ductilidad, etc.).