EFECTO DE LA CURVATURA TERRESTRE. LÍMITE DE LA TOPOGRAFÍA
La medición de la distancia entre dos puntos constituye una operación común en todos los trabajos de topografía. El método y los instrumentos seleccionados en la medición de distancias dependerá de la importancia y precisión requeridas. En estudios de reconocimientos previos, en algunos trabajos geológicos, de agricultura, en localización de puntos o marcas sobre el terreno para operaciones de replanteo, etc., es común medir la distancia con telémetro o por conteo de pasos. En el proceso de control de demarcaciones sobre el pavimento, determinación de la longitud de una vía construida, etc., es común el uso del odómetro. En levantamientos que requieran mayor precisión, se emplean cintas de acero y distanciómetros electrónicos. En algunos casos especiales, donde se requiere de cierta precisión y rapidez, se utilizan el teodolito y las miras verticales u horizontales como métodos indirectos para la medida de distancias. Todos los levantamientos topográficos son representados a escala sobre el plano horizontal, por lo que cuando se mide una distancia entre dos puntos sobre la superficie terrestre, ésta debe ser en proyección horizontal. Para conocer hasta que punto la superficie de la tierra puede ser considerada como plana, para la realización de trabajos topográficos, veamos los siguientes ejemplos: a) Suponer de acuerdo a la figura, que se conoce la distancia real entre los puntos AB (arco); la distancia en proyección sobre el plano horizontal tangente en el punto A es la distancia AB’ (recta); la diferencia entre la distancia en proyección ( AB’) y la distancia real AB es el error E que se comete al considerar la Tierra como plana.
De la figura se aprecia que AB’= Rtana (Eq. 1)
El radio promedio de la Tierra se halla igualando el área de la elipse y el área del círculo: p x a x b = p x R Despejando R tenemos que: R= (6378 x 6356)1/2 = 6367 km De la definición de radián: 𝛼=180/𝜋×𝐴𝐵/𝑅 (Eq. 2) El error que se comete al considerar la tierra como plana queda definido como: E= AB´- AB (Eq. 3) Empleando las ecuaciones 1, 2 y 3, se obtiene la siguiente tabla (Sencico 2010):
Considerando que los modernos instrumentos para la medición de distancias nos pueden dar precisiones de hasta 5 mm/km, podríamos tomar 25 km como límite del campo topográfico para la medición de distancias, ya que el error relativo que se comete al considerar al Tierra como plana, es aproximadamente igual a la máxima precisión obtenida. En la medición de distancias con cinta métrica, en donde la máxima precisión que se puede obtener el alrededor de 1/10.000, se podría aumentar el límite de campo topográfico hasta 30 km. Esto debido a que en las mediciones angulares, el límite del campo topográfico angular es de 30 km. b) Como los ángulos horizontales se miden sobre el plano horizontal, es necesario determinar hasta que punto la Tierra puede ser considerada como plana, sin que el error que se cometa en la medición del ángulo sea mayor que la precisión del equipo utilizado para la medición del ángulo. Según el teorema de Legendre, un triángulo esférico cuyos lados no superan los 120 km, puede ser sustituido por un triángulo plano cuyos lados tengan la misma longitud que los del triángulo esférico y cuyos ángulos se obtienen disminuyendo cada ángulo del triángulo esférico de un tercio del exceso esférico.
En un triángulo esférico, la suma de los ángulos internos es mayor de 180º, en una cantidad que llamamos exceso esférico (EE). αE + βE + γE = 180º +EE (Eq. 4) El error esférico está dado por la expresión: 𝐸𝐸´´ =( 206.265´´𝐴𝐸/𝑅 2) (Eq. 5) Donde AE corresponde al área del triángulo esférico y R al radio promedio de la Tierra.
Un triángulo plano equivalente al triángulo esférico, esto es AE = AP, se puede obtener corrigiendo los ángulos del triángulo esférico con un valor igual a:
De esta manera se puede obtener la siguiente tabla de valores (Sencico2010)
Considerando que los ángulos horizontales pueden ser medidos con equipos con apreciaciones de 1”, y recordando el límite del campo topográfico para la medición de distancias podemos establecer un campo topográfico planimétrico de 25 km a 30 km. Habiendo establecido los límites del campo topográfico, tanto planimétrico como para la medición de distancias, podemos definir a la topografía que se realiza dentro de estos límites, considerando la Tierra como plana, como topografía
plana.
