CURVATURA Y COMPONENTES DE LA ACELERACION Introducción. Sea C una curva suave en el espacio bidimensional o tridimensional generada por la traza de una función vectorial r (t). En esta sección se considera con mayor detalle el vector de la aceleración a (t)=r’’ (t), introducido en la sección anterior. Pero antes de hacer esto, es preciso revisar una cantidad escalar denominada la curvatura de una curva. Una definición. Se sabe que r’ (t) es un vector tangente a la curva C y, en consecuencia, T=
r '(t ) ‖r '(t )‖
Es un vector unitario tangente. Pero recordando la parte final de la sección 3.1, si C se parametriza con la longitud del arco s, entonces dr/ds también proporciona un vector unitario tangente a la curva. La cantidad ‖r '(t )‖ se relaciona con la longitud de arco s por medio de ds/dt=
‖r '(t )‖ . Como la curva es suave, se sabe
de la página 162 que ds/dt >0. Asi por la regla de la cadena. dr dr ds = dt ds dt
y así
dr dr /dt r ' (t) = = =T ds ds /dt ‖r ' (t)‖
Ahora supóngase que C tiene la forma mostrada en la figura 3.16. Al incrementarse s, T se mueve a lo largo de C, cambiando de dirección pero no de magnitud (es siempre de magnitud unitaria); a lo largo del tramo de la curva comprendiendo entre P1 y P2 , el vector T varía un poco en dirección; a lo largo de la curva entre
P2
y
P3 , dónde C se dobla más notoriamente, el
cambio en la dirección en la tangente T es más pronunciado. Se utiliza la razón con la cual el vector unitario T cambia su dirección respecto a la longitud del arco como un indicador de la curvatura de una curva suave C. DEFINICION 3.4 Curvatura Sea r(t) una función vectorial que define a una curva suave C. si s es el parámetro de longitud de arco y T=dr/ds es el vector unitario tangente, entonces la curvatura de C en un punto es K=
‖dT‖ ‖ds‖
el símbolo K es la letra griega kappa. Puesto que las curvas no se parametrizan generalmente de la longitud de arco, es conveniente expresar en términos de un parámetro general t. Utilizando de nuevo la regla de la cadena, se escribe dT dT ds = dt ds dt
y consecuentemente
dT dT /dt = ds ds /dt
En otras palabras, la curvatura viene dada por K=
‖T ' (t)‖ ‖r ' (t )‖
Ejemplo 1. Curvatura de un círculo Encuentre la curvatura de un círculo de radio a. Solución. Un círculo puede describirse por medio de la función vectorial r(t)=acosti+asentj. Entonces, de r’(t)=- asenti+acostj y de ‖r '(t )‖ -a, se tiene T ( t )=
T ' (t ) ‖r ' (t )‖ = -senti+costj y T’(t)= -costi-sentj.
Entonces, la curvatura es
‖T ' (t)‖ √ cos 2 t +sen 2 t 1 K= = = a a ‖r ' (t )‖ El resultado muestra que la curvatura es un punto de un círculo es el reciproco del radio del círculo, e indica un hecho que está de acuerdo con nuestra intuición: un círculo con radio pequeño se curva más que otro con un radio grande. Componentes tangencial y normal de la aceleración. Supóngase que una partícula se mueve en el espacio bidimensional o tridimensional a lo largo de una curva suave C descrita por la función vectorial r’(t). Entonces, la velocidad de la partícula en C es v(t)= r’(t), mientras que su rapidez es ds/dt=v= ‖v (t)‖ . Así, implica v(t) =vT. Derivando esta última expresión con respecto a t se obtiene la aceleración a ( t )=v
dT dv + T dt dt
Además, se deduce que al aplicar el teorema 3.4 iii), la derivada de TT=1 conduce a que T•dT/dt-0. Por lo tanto, en un punto P de C los vectores T y dT/dt son ortogonales. Si ‖dT /dt‖≠ 0 , el vector
N=
dT /dt ‖dT /dt‖
Es un vector unitario en P a la curva C con la dirección dada por dT/dt. El vector N también se denomina vector normal principal. Pero como la curvatura es k =‖dT /dt ‖/ v , se deduce que dT/dt=kvN. Así, se convierte en a ( t )=k v2 N +
dv T dt a ( t )=a N N +aT T
Al reescribir como
Se observa que el vector de la aceleración a de la partícula en movimiento es la a N N Y a T T . Las funciones escalares suma de dos vectores ortogonales aT =dv /dt
y
a N =k v 2
se denominan componente tangencial y componente
normal de la aceleración, respectivamente. Nótese que la componente tangencial de la aceleración es resultado de un cambio en la magnitud de la velocidad v, mientras que la componente normal de la aceleración es consecuencia de un cambio en la dirección de v. Vector binormal. Un tercer vector unitario definido por medio de B=T × N Se denomina vector binormal. Los tres vectores unitarios T, N y B forman un conjunto de vectores ortogonales entre sí que siguen la regla de la mano derecha, y se denominan el triedro del movimiento. El plano de T y N se denomina plano osculador;* el plano N y B, plano normal; y el plano T y B, plano rectificador. Ejemplo 2. Vectores tangente, normal y binormal. La posición de una partícula en movimiento está dada por r(t)=2costi+2sentj+3tk. Encuentre los vectores T, N y B y la curvatura. Solución. Como r’(t)=-2senti+2costj+3k, entonces ve que un vector unitario tangente es T=
−2 2 3 sen t i + cos t j+ k √13 √ 13 √ 13
‖r '(t )‖= √13 y , por lo tanto, se
A continuación se tiene dT −2 2 = cost i− sent j dt √ 13 √13
Y
‖dTdt ‖= √213
Así pues, proporciona la normal principal N=- costi- sentj Ahora, el vector binormal es
|
B=T × N=
i
j
−2 sent √ 13 −cost
2 cos t √13 −sent
¿
k 3 √13 0
|
3 3 2 sent i+ cost j+ k √13 √13 √ 13
Finalmente, mediante
‖dT /dt‖=2/ √13
y
‖r '(t )‖= √13 , se obtiene a partir de
que la curvatura en cualquier punto es la contante k=
2 / √ 13 2 − √13 13
El hecho de que la curvatura del ejemplo 2 sea constante no es sorprendente, ya que la curva definida por r(t) es una hélice circular. Fórmulas para
aT ,
aN
y la curvatura. Realizando el producto punto o
producto cruz, el vector v=vT con, es posible obtener fórmulas explícitas para las componentes tangenciales y normal de la aceleración y para la curvatura que involucra a r, r’ y r’’. Obsérvese que v ∙ a=aN ( vT ∙ N )−a T ( vT ∙ T )=a T v 1 1 Conduce a la componente tangencial de la aceleración aT =
dv v ∙ a r '( t)∙ r ' ' (t ) = = dt ‖v‖ ‖r ' (t)‖
Por otro lado,
v ×a=a N ( vT × N ) + aT ( vT ×T )=a N vB . B
0
Como ‖B‖ =1, la componente normal de la aceleración es a N =k v 2=
‖v × a‖ ‖r ' (t)×r ' ' (t)‖ = ‖v‖ ‖r (t)‖
Despejando la curvatura se tiene ‖v ×a‖ ‖r ' ( t ) ×r ' ' ( t )‖ k= = 3 3 ‖v‖ ‖r ( t )‖ Ejemplo 3. Curvatura de una curva 3D Se dice que la curva trazada por
1 1 r ( t ) =t i+ t 2 j+ t 3 k 2 3
es una “curva 3D”. Si r(t)
es el vector de posición de una partícula en movimiento, encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración en cualquier instante t. Encuentra también la curvatura. ' 2 Solución. v ( t )=r ( t )=i+t j+ t k .
a ( t )=r ' ' ( t )= j +2 t k
3 2 4 Como v v ∙ a=t +2 t y ‖v‖=√ 1+t +t , se tiene de que
aT =
dv t+2 t 3 = dt √1+t 2+ t 4
| |
i j k v ×a= 1 t r 2 =r 2 i+ 2t j+k 0 1 2t
Ahora
4 2 Y ‖v × a‖=√ t + 4 t + 1 . Entonces, lleva a
t 4+ 4 t +1 √t 4 + 4 t 2+1 √ a N =kv= = √1+ t2 +t 4 √ t4 + t2 +1 De, se infiere que la curvatura de la curva 3D viene dada por 1
k=
(t 4 +4 t 2 +1)2 4
2
(t +t + 1)
3 2
Radio de curvatura. El reciproco de la curvatura,
1 ρ= , k
se denomina radio de
la curvatura. El radio de la curvatura en un punto P de una curva C en el radio de un círculo que en ese punto se “ajusta” a la curva mejor que cualquier otro círculo. El círculo en P denomina el círculo de la curvatura y su centro es el centro de curvatura. El círculo de curvatura tiene en P la misma línea tangente que la curva C, y su centro se halla del lado cóncavo de C. Reescribiendo como ds dT d 2 s a ( t )= + T dt dt d t 2 Se observa que la denominada aceleración escalar
2
d s /d t
2
, referida en la última observación, es la componente tangencial de la aceleración aT . DERIVADAS PARCIALES Introducción. En esta sección se consideran funciones de dos o más variables y se plantea como encontrar la rapidez instantánea con la que cambian tales funciones, esto es, la derivada, respecto a cada variable. Funciones de dos variables. Como vio en sus cursos de cálculo, una función de dod variables es una regla de correspondencia que asigna cada par ordenado de números reales (x, y) de un subconjunto del plano xy un único numero z del conjunto R de números reales. Dicho conjunto de pares ordenados (x, y) se denomina dominio de la función y al conjunto de valores correspondientes de z se le llama rango. En una función de dos variables se escribe usualmente como z=f (x , y ) . Las variables x y y se denominan variables independientes de la función, y a z se le llama variable dependiente. La grafica de una función z=f (x , y ) es una superficie en el espacio tridimensional. Curvas de nivel. Para una función
z=f (x , y ) , las curvas definidas por
f ( x , y ) =c , para un c adecuado, se denomina curvas de nivel de f. Se utiliza la palabra nivel debido a que se puede interpretar la ecuación
f ( x , y ) =c
proeccion sobre el plano xy de la curva de intersección, o traza, de el plano (horizontal o nivel) z=c; véase en la figura 3.22 Ejemplo 1. Curvas de nivel
como la
z=f ( x , y )
y
Las curvas de nivel de la función
2
f ( x , y ) = y −x
2
y 2−x 2=c .
se define por
Como se muestra en la figura 3.23, para c>0 o c<0, los miembros de esta familia de curvas son hipérbolas. Para c=0, se obtienen las líneas y=x y y=− y . Funciones de tres o más variables. Las funciones de tres o más variables se definen de forma análoga a las funciones de dos variables. Por ejemplo, una función de tres variables es una regla de correspondencia que asigna a cada tripleta ordenada de números reales ( x , y , z) de un subconjunto del espacio tridimensional un único numero w del conjunto R de números reales. Se escribe w=F( x , y , z ) Superficies de nivel. Aunque no se pueda dibujar una gráfica de una función de tres variables w=F( x , y , z ) , si es posible dibuja las superficies se denominan superficies de nivel. Dicha la expresión es un tanto desafortunada, ya que las superficies de nivel no están usualmente niveladas. Ejemplo 2. Superficies de nivel Describa las superficies de nivel para la función Solución. Para
c≠0
F ( x , y , z ) =( x 2 + y 2)/ z .
las superficies de nivel vienen dadas por 2
2
x +y =c z
O
x 2+ y 2 =cz
Algunos miembros de esta familia de paraboloides se muestran en la figura 3.24. Derivadas parciales. La derivada de una función de una variable
y=f ( x)
esta
dada por f ( x + ∆ x )−f (x ) dy =lim dx ∆ →0 ∆x Exactamente de la misma forma, se puede definir la derivada de una función de dos variables respecto a cada variable. Si z=f (x , y ) , entonces la derivada parcial respecto a x es f ( x+ ∆ x , y )−f (x , y) ∂z =lim ∂ x ∆→0 ∆x Y la derivada parcial respecto a y es
f ( x+ ∆ y )−f (x , y ) ∂z =lim ∂ x ∆→0 ∆y Siempre y cuando existan cada uno de los límites. En (1), la variable y no cambia durante el proceso de obtención del límite, esto es, y se mantiene constante. En fórmula similar, en (2) la variable x se mantiene contante. Las dos derivadas parciales (1) y (2) representan entonces la rapidez con la que cambia f respecto a x y y, respectivamente. En forma práctica: Para calcular ∂ z /∂ x , se utilizan las leyes de las leyes de la derivación ordinaria considerando a y constante. Para calcular ∂ z /∂ y , se utilizan las leyes de la derivación ordinaria considerando x constante. Ejemplo 3. Derivadas parciales Si
z=4 x3 y 2 +4 x 2 + y 6 +1 , encontrar
∂z ∂x
y
∂z ∂y .
Solución. Se mantiene fija y y se manipulan las constantes en forma acostumbrada. Así, ∂z =12 x2 y 2−8 x ∂x Considerando x constante, se obtiene ∂z =8 x 3 y +6 x 5 ∂x Símbolos alternativos. Las derivadas parciales dz/dx y dz/dy se representan comúnmente por medio de símbolos alternativos. Si z=f ( x , y ) , entonces ∂z ∂f = =z x =f x ∂x ∂x
y
∂z ∂ f = =z y =f x ∂y ∂y
Derivadas de orden superior y mixtas. Para una función de dos variables z=f (x , y ) , las derivadas parciales dz/dx y dz/dy son a su vez funciones de x y y. En consecuencia, se pueden calcular segundas derivadas y derivadas parciales de orden superior. De hecho, es posible encontrar la derivada parcial de dz/dx respecto a y, y la derivada parcial de dz/dx respecto a x. Estos últimos tipos de
derivadas parciales se denominan derivadas parciales mixtas. En resumen, para z=f ( x , y ) : Derivadas parciales de segundo orden:
∂2 z ∂ ∂ z = ∂ x2 ∂ x ∂ x
( )
y
∂2 z ∂ ∂z = 2 ∂ y ∂y ∂y
y
∂3 z ∂ ∂2 z = ∂ y3 ∂ y ∂ y2
( )
Derivadas parciales de tercer orden:
∂3 z ∂ ∂2 z = ∂ x3 ∂ x ∂ x2
( )
Derivadas parciales mixtas de segundo orden:
∂2 z ∂ ∂z ∂2 z ∂ ∂z = y − ∂x ∂ y ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x ∂ y ∂x
( )
( )
( )
