Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Trigonométricas (2)

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS – Ejercicios resueltos.

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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Apunte Nº 1: Una ecuac ecuación ión trigono trigonomé métric tricaa e !a "ue con contie tiene ne e#pre e#preio ione ne trigon trigonom ométr étrica ica$ $ Si una ecuación trigonométrica no e una i%enti%a%& a menu%o e 'a!!an o!ucione ap!ican%o técnica eme(ante a !a ua%a para ecuacione a!ge)raica$ *a %i+erencia principa! e "ue primero e reue!,e reue!,e !a ecuación ecuación trigonométri trigonométrica ca para - a. ucei,amente& - !uego e 'a!!an !o ,a!ore ,a!ore %e "ue !a ati ati+ag +agan$ an$ *a *a o!uc o!ucion ione e pue pue%en %en e#pre e#prear are e como como n/mero n/mero rea!e rea!e o 0ngu!o$ E(emp!o: a!!ar !a o!ucione %e !a ecuación θ 2 3 i: a4 et0 et0 en e! inte inter, r,a! a!oo )4 e cua!"uier n/mero n/mero rea!$ a4 Si θ 2 3& entonce entonce e! 0ngu 0ngu!o !o %e re+erenci re+erenciaa para $ Si e coni%era coni%era como como 0ngu!o en poición et0n%ar& entonce& como & e! !a%o termina! et0 en e! primero o en e! egun%o cua%rante& eg/n e i!utra en !a +igura 56 por !o tanto& 'a- %o o!ucione para :

)4 7a%o "ue !a +unción eno tiene perio%o uman%o m/!tip!o %e

$ Eto %ar0:

& to%a !a o!ucione e pue%en o)tener


5

Una o!ución a!ternati,a 8gr0+ica4 compren%e !a %eterminación %e %ón%e !a gr0+ica %e corta !a !.nea 'ori9onta! y = 3& como e i!utra en !a +igura $ RESO*;ER UNA ECUACION TRIGONOMETRICA ACION E(emp!o: Reo!,er !a ecuación en gra%o$

- e#prear !a o!ucione en ra%iane -

E#prearemo primero !a ecuación ó!o en término %e +actori9ación$

- !uego reo!,eremo por

En ,irtu% %e "ue !a +unción coeno tiene un perio%o %e & e pue%en encontrar to%a !a o!ucione %e eta ecuacione uman%o m/!tip!o %e a !a o!ucione "ue et0n en e! inter,a!o $ Si co t = ½& e! 0ngu!o %e re+erencia e $ 7a%o "ue e poiti,o& e! 0ngu!o t %e me%i%a en ra%iane et0 en e! primer o cuarto cua%rante$ En conecuencia& en e! inter,a!o & a%,ertimo "ue

Con re+erencia a !a gr0+ica %e !a +unción coeno& ,emo "ue

Con me%i%a en gra%o& e tiene:




Apunte Nº 2: Una ecuación trigonométrica e a"ue!!a ecuación en !a "ue aparecen una o m0 +uncione trigonométrica$ En !a ecuacione trigonométrica !a incógnita e e! 0ngu!o com/n %e !a +uncione trigonométrica$ No pue%e epeci+icare un méto%o genera! "ue permita reo!,er cua!"uier ecuación trigonométrica6 in em)argo& un proce%imiento e+ecti,o para o!ucionar un gran n/mero %e éta conite en tran+ormar& uan%o principa!mente !a i%enti%a%e trigonométrica& to%a !a +uncione "ue aparecen a!!. en una o!a +unción 8e recomen%a)!e paar!a to%a a eno o coeno4$ Una ,e9 e#prea%a !a ecuación en término %e una o!a +unción trigonométrica& e ap!ican !o pao uua!e en !a o!ución %e ecuacione a!ge)raica para %epe(ar !a +unción6 por /!timo& e reue!,e !a parte trigonométrica& e %ecir& conocien%o e! ,a!or %e !a +unción trigonométrica %e un 0ngu!o 'a- "ue paar a %eterminar cu0! e ee 0ngu!o$ Nota: en !a o!ucione pue%en aparecer ,a!ore e#tra?o 8%e)i%o a !a manipu!ación %e !a ecuacione a! tratar %e re%ucir!a4& por e(emp!o: no pue%e reu!tar un co x 2 5& e! "ue %e)emo %ecartar& o),iamente& pue e! co%ominio %e! coeno e !imita a @1& 1B$ Tam)ién& %e)emo ,eri+icar to%a !a repueta o)teni%a - aceptar ó!o a"ue!!a "ue ati+acen !a ecuación origina!$ Como !a +uncione trigonométrica repiten u ,a!or - igno en %o %e !o cua%rante& 'a"ue tener preente "ue iempre 'a)r0 por !o meno %o 0ngu!o %itinto en !a o!ución %e una ecuación trigonométrica %e !a +orma tri x 2 a 8%on%e tri: e una %e !a ei +uncione trigonométrica - a: n/mero cua!"uiera en e! co%ominio %e !a +unción4$ A%em0& %e)i%o a "ue cuan%o e! !a%o termina! %e un 0ngu!o rea!i9a un giro comp!eto e genera otro 0ngu!o e"ui,a!ente& e neceario a?a%ir a !a o!ucione o)teni%a un m/!tip!o %e D& eto e& FD& - F e un entero$

Ejeplo ilustr!ti"o #:

Ejeplo ilustr!ti"o 2:


Ejeplo ilustr!ti"o $:

Apunte Nº $: Reo!,er !a iguiente ecuacione trigonométrica:




1$ 5$ $ $ H$ $ $ J$ K$ 1D$ 11$ 1$ SO*UCILN:
H


5$ SO*UCILN: Reagrupan%o - acan%o +actor com/n:
Sacan%o ra.ce:
a4 8
)4 8





$ SO*UCILN:

Ap!ican%o %e+inicione: uitan%o %enomina%ore: 8En e! reu!ta%o& 'a)r0 "ue contro!ar i e 'an intro%uci%o o!ucione e#tra?a a !a ecuación& pueto "ue 'emo mu!tip!ica%o por una +unción en am)o miem)ro4 Ecuación +un%$ trigon$ Reagrupan%o:

7epe(an%o: *a o!ucione& como en e! cao anterior 8e pue%e compro)ar4 correpon%en& una ,e9 agrupa%a& a

Igua!mente e pue%e compro)ar "ue no e 'an intro%uci%o o!ucione e#tra?a$ Otra +orma %e reo!,er !a mima ecuación:

Suman%o - retan%o : Sacan%o +actor com/n: Ap!ican%o otra +órm$ +un%amenta!: Reagrupan%o: 7epe(an%o: Ca!cu!an%o in,ero en am)o miem)ro:

7epe(an%o:


J

E e,i%ente "ue eta ecuación tiene !a mima o!ucione "ue uan%o e! otro camino 8,er pro)!ema anterior4 H$ SO*UCILN: ;a!or %e! coeno %e 5#: Reagrupan%o - a)rien%o e! en: Reagrupan%o:

7epe(an%o: So!ución 1: So!ución 5: So!ución : So!ución : $ SO*UCILN:
Simp!i+ican%o: 8En ete punto con,iene "ue tengamo en cuenta "ue 'emo po%i%o e!iminar !a o!ucione "ue ean co # 2 D4 7epe(an%o: sen 2x = ½ Eta ecuación tiene por o!ucione:


K

So!ución 1: So!ución 5: So!ución : A'ora %e)emo compro)ar i !a o!ucione %e co # 2 D on tam)ién o!ucione %e nuetra ecuación$ 14 Si coni%eramo

tenemo:

8!o cua! e cierto4 54 Si coni%eramo

tenemo:

8!o cua! e tam)ién e cierto4
7epe(an%o: So!ución 1:


So!ución 5:

1D

8ngu!o up!ementario4

So!ución : So!ución :

8ngu!o up!ementario4

8No 'ace +a!ta poner !o 0ngu!o "ue %i+ieran ,ue!ta comp!eta pueto "ue e! enuncia%o& preciamente& 'ace re+erencia a "ue !a o!ucione pertene9can a !a primera ,ue!ta4

J$ SO*UCILN: Ap!ican%o eno %e! 0ngu!o mita%: uitan%o %enomina%ore: Operan%o: So!ución /nica: K$ SO*UCILN: Ap!ican%o eno %e! 0ngu!o %o)!e: Sacan%o +actor com/n: Tenemo a'ora %o n/mero cu-o pro%ucto e D$ Uno %e e!!o& a! meno& %e)e er cero& e %ecir: So!ución 1: So!ución 5:

1D$


11

SO*UCILN: Un poi)!e camino para eta ecuación conite en ap!icar %e una manera ingenioa !a +órmu!a %e con,erión a pro%ucto$ 8
7i,i%imo por en# - tenemo 5$co 5# 2 1 8a)r0 "ue tener en cuenta !a o!ucione %e en # 2 D4 So!ución 1:

cos 2 x =

1 2

→ 2 x =

π

± 2 k π

∨

3

2 x =

5 π

± 2 k π

⇒

3

x =

π

± k π

∨

x =

6

5 π

± k π

6

So!ución 5:

11$
,amo a %i,i%ir iempre por

8E#preión

7e eta +orma o)ten%remo Uti!i9aremo en ete punto un 0ngu!o au#i!iar %e mo%o "ue

8E,i%entemente& ete 0ngu!o au#i!iar iempre ,a a e#itir& pueto "ue )ata ap!icar!e !a ecuación +un%amenta! %e !a trigonometr.a para compro)ar "ue !a cump!e con !o ,a!ore propueto4$ Sutitu-en%o en !a ecuación anterior& e tiene:

E %ecir:


15

P eta /!tima ecuación e mu- +0ci! %e reo!,er$ SO*UCILN: En nuetro cao&

6 'emo %e %i,i%ir por

7i,i%ien%o por e! mó%u!o:

E! 0ngu!o au#i!iar en nuetro cao e a"ue! "ue cump!e

Sutitu-en%o en !a ecuación

Ap!ican%o e! eno %e !a uma: 7e a"u. tenemo "ue: So!ución 1: So!ución 5:

Reo!,er !o iguiente itema %e ecuacione trigonométrica:

1$

5$

$

& e %ecir&


1

So!ucione:

1$ SO*UCILN: Suman%o !a %o ecuacione o)tenemo: Retan%o !a %o ecuacione: 8Eta %o ecuacione +orman un itema e"ui,a!ente a! anterior4$ Ap!ican%o coeno %e !a %i+erencia: Ap!ican%o coeno %e !a uma: 7e %on%e A%em0 Reo!,ien%o ete itema: # 2 H$Hº 6 - 2 5D$Kº& e %ecir: # 2 Hº KQ HK 6 - 2 5Dº Q J

5$ SO*UCILN: 7epe(amo en !a egun%a ecuación:

Sutituimo en !a primera: 7earro!!amo en !a ecuación anterior: E %ecir: en#  co# 2 1

Tran+orman%o en pro%ucto !a uma %e eno:

acien%o operacione: Con eto tenemo:

Tam)ién tenemo: 8Como e %e%uc.a !ógicamente %e !a imetr.a %e! itema origina!4

1

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Trigonométricas (2)

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