Ecuaciones Diferenciales Ejercicios Resueltos.

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.

ECUACIONES DIFERENCIALES Una Una ecua ecuaci ción ón dife difere renc ncia iall es una una ecua ecuaci ción ón que que rela relaci cion ona a la vari variab able le independiente con la variable dependiente y sus derivadas. Por ejemplo: 2

d y dy xy + 2 + =0 ( Ec . de 2 do.orden ) dx dx El orden de la ecuación diferencial es el orden de la máxima derivada. El orden de las ecuaciones nos indica el número de constantes y constantes arbitrarias en la solución. Por ejemplo, para la ecuación anterior: y =C 1 y1 + C 2 y2 Ecuaciones diferenciales de Primer Orden, Separación de Variales! ada una ecuación diferencial: M ( x x , y ) dx + N ( ( x x , y ) dy =0 !i la ecuación diferencial se puede colocar de la forma: M ( x x ) dx + N ( ( y ) dy = 0 Es de variables separables, separables, y la solución está dada dada por la inte"ral directa. directa. # continuación se muestran una serie de ejemplos. #ntes de comen$ar a anal anali$ i$ar arlo los s se debe debe consi conside dera rarr que que una const constan ante te %mar %marca cada da con con a$ul a$ul&& al momento de ser multiplicada por un número nú mero cualquiera, su valor cambia, y por tanto tanto se conv convie iert rte e en una nuev nueva a cons consta tant nte. e. 'a const constan ante te indic indica a que que la ecuación pertenece a una familia de curvas, cuyo valor debe ser determinado dada las condiciones de la misma ecuación, por lo pronto no se determinaran los valores de dic(as constantes. )tra cosa que debe tomarse en cuenta es que, la expresión *nal de una ecuación diferencial, puede representarse en vari varias as forma formas, s, y por por tant tanto, o, la expr expres esió ión n *nal *nal será será aque aquell lla a que que sea sea más más conveniente trabajar para nosotros %+ase %+ase ejemplo -&.

I.Q. Juan Antonio García Aalos


3 ' ( ) x y y 4 + = "!#

Solución!

( 4 + x ) dy = y 3 → ( 4 + x ) dy = y 3 dx → dx − y−3 dy =0 4 + x dx

∫ 4dx+ x −∫ y− dy = 0 → ln (4 + x )+ 2 y1 3

∴ 2 y

2

2 2 = C multiplicando por y 2

ln ( 4 + x ) + 1 =C

Otra posible solución! ln ( 4 + x )=C −

∴e

$!#

1 2 2 y

1 2 y

−1 C 2 y 2

→ 4 + x =e e

2

=C 1 e

−1 2 2 y

( 4 + x )=C 1

y (¿¿ 2 ) dx + x 2 ydy =0 exp ¿

Solución! −2

− y2

x dx + y e

∫

−2

∫

− y 2

dy = 0 → x dx + e

∫

−2

ydy = x dx −

1 2

∫ e−

−1 1 − y − e =C multiplicando por −2 x → 2+ x e− y =−2 C x 2

x

2

− y2 ∴ x e

+ 2 =C 1 x


2

y 2

(−2 y ) dy =0

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables. cosxcosydx + senxsenydy =0

%!#

Solución! cosx seny dx + dy = ctgxdx + tgydy =0 senx cosy

∫

ctgxdx + tgydy =0 →lnsenx− lncosy= ln

∫¿ ∴ senx

senx senx =C → =¿ eC cosy cosy

=C 1 cosx

3 ydx =2 xdy

&!#

Solución! 1 dx dy 3 ydx −2 xdy =0 → − =0 → 2 x 3 y 2

1 dy − ∫ =0 ∫ dx x 3 y 1/ 2

1 1 x − 1/ 3 1/ 2 C lnx− lny =ln x + ln y =C → 1 /3 =e =C 1 2 3 y

Eleando a la se"ta potencia ambos t#rminos! 3

x =C 61=C 2 2 y ∴ x

'!#

3

=C 2 y2

mydx = nxdy

Solución! 1 dx dy mydx −nxdy =0 → − =0 → nx my n

ln x

1/ n

+ ln y

1/ n

x =C → 1 /m = eC =C 1 y

− 1/ m


1 dy 1 1 − ∫ =0 → lnx− lny =C ∫ dx x m y n m

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables. Eleando a la mn potencia ambos t#rminos! m

x =C mn 1 =C 2 n y ∴ x

m

=C 2 y n '

(!# y = x y

2

2

dy dy x − x y 2=0 → 2 − xdx =0 → y −2 dy − xdx =0 → − y−1− = C 2 dx y

∫

$ultiplicando por 2

∫

−2 y

2

x y + 2=C 1 y → x y −C 1 y + 2 = 0 ∴ y

7.-

( x +C ) +2=0 2

2

dV −V = dP P

dV V dV dP + =0 → + =0 → dP P V P

dP +∫ =0 → ln V + ln P =C → P V =e ∫ dV V P

=C 2

∴ PV

)!#

e ( y−1 ) dx + 2 ( e + 4 ) dy =0 x

x

x

1 1 e dx+ dy =0 → x 2 y −1 2( e + 4)

x

e

∫ ( e + 4 ) dx+∫ y −1 1 dy=0


x

C 1

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables. e e 1 2

(¿¿ x + 4 ) ( y −1) ¿ ¿ ¿ ¿ (¿¿ x + 4 )+ ln ( y −1 )=C → ln ¿ 1 ln ¿ 2 e 1 2

(¿¿ x + 4 ) ( y −1 )= eC = C 1 ¿ Eleando al cuadrado ambos t#rminos! e 2 (¿¿ x + 4 ) ( y−1 ) =C 21 ∴

¿

dr = e ( rsenθdθ −cosθdr )

*!#

dr − ersenθdθ + ecosθdr =0 → ( 1 + ecosθ ) dr −ersenθdθ =0 dθ=0 → ln r + ln ( 1 + ecosθ )=C → r ( ecosθ + 1 )=e ∫ drr +∫ (1−+esenθ ecosθ ) ∴r

"+!#

C

( ecosθ +1 )=C 1 ( xy − x ) dx + ( xy + y ) dy =0

x ( y− 1 ) dx + y ( x + 1 ) dy =0 →

x  x /x/

x x + 1

dx +

- / x 


y y −1

dy = 0

y / - y /y

-  y / -


∫ (1− x +1 1 )dx +∫ (1 + y −1 1 ) dy=0 x −ln ( x + 1 )+ y + ln ( y−1 )=C

( y −1 ) ( y−1 ) y −1 + y + x =C → ln =C [−( y + x ) ] → =C 1 e−( y + x ) ( x + 1) ( x + 1 ) x + 1

ln

∴

( y −1 ) exp ( y + x )=C 1 ( x + 1)

( y + 1 ) dx =2 xydy

11.-

1 dx y − dy =0 → 2 x y + 1 2 ln x

1/ 2

1 −∫ ( 1− dy =0 ∫ dx x y + 1 )

− y + ln ( y + 1 )=C → ( x 1 /2 )( y + 1)= C 1 e y

Eleando a la se%unda potencia ambos t#rminos! 2

2

2 y

2 y

x ( y + 1) =C 1 e →e =

2 y

∴e

12.-

1 2 1

C

2

x ( y + 1 )

=C 2 x ( y + 1 )2

x dx + y ( x −1 ) dy =0 2

2

x dx + ydy =0 x − 1 x  x 0 x  -  x / x / 0/ x  / x  x

∫(

1

)

2

2

x y x + 1 + dx + ydy =0 → + x + ln ( x −1 )+ =C 2 2 x −1

∫


Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables. $ultiplicando ambos t#rminos por &! ∴ x

2

13.-

+ 2 x + y 2 + ln ( x −1 )2=C 1

( xy + x ) dx = ( x2 y 2+ x2 + y 2 +1 ) dy

x ( y + 1 ) dx −( x y + x + y + 1 ) dy =0 2

2

2

2

x ( y + 1 ) dx −( x y + x ) dy −( y + 1 ) dy =0 2

2

2

2

x ( y + 1 ) dx − x ( y +1 ) dy −( y + 1 ) dy =0 2

2

2

x ( y + 1 ) dx −( y + 1 ) ( x + 1 ) dy =0 2

2

2

y + 1 dx − dy = 0 2 y + 1 x + 1 x

y / y - y 0 /y 0 - / -  y 0 1 2

∫ x2 x+1 dx −∫ ( y −1 + y 2+1 ) dy =0 2

2

1 y 2 ln ( x + 1 ) − + y −2 ln ( y + 1 )=C 2 2

$ultiplicando ambos lados de la ecuación por &! ∴ ln

14.-

( x2 + 1 ) = y 2−2 y + 4 ln ( y +1 ) +C 1

2

x cos ydx + tanydy =0


0 y 1 - y 

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables. xdx +

tany 2

cos y

2

dy =0 → xdx+tany sec ydy =0

2

2

x tan y xdx + tany sec ydy =0 → + =C 2 2

∫

∫

2

$ultiplicando ambos lados de la ecuación por &! ∴ x

15.-

2

+ tan2 y =C 1 2

'

y

x y y =e 2

x y

dy y dx = e → x 2 ydy =e y dx→x2 ydy − e y dx =0 → y e− y dy − 2 =0 dx u dv x − y

du =dy;v =−e

Inte%ral por partes! 1 x

( )

1 x

1 x

− y e− y −e− y + =C → −e− y ( y + 1 )=C − → ( y + 1 ) = C −

( −e y )

$ultiplicando ambos lados de la ecuación por "! x ( y + 1 )= (C x −1 ) ( −e

y

∴ x

16.-

)

( y+ 1 )=( 1 +C 1 x ) e y 2

3

tan ydy = sen xdx

tan ydy − sen xdx =0 → ( sec y −1 ) dy −sen xsenxdx =0 2

3

2

2

( sec2 y −1 ) dy −( 1−cos 2 x ) senxdx=0 → ( sec2 y −1 ) dy +( cos 2 x −1 ) senxdx= 0

∫ ( sec y −1 ) dy +∫ cos x senxdx−∫ senxdx =0 2

2

3

cos x tany − y − + cosx =C 3


Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables. $ultiplicando ambos lados de la ecuación por '(! 3

∴ cos x

'

−3 cosx =3 ( tany − y + C 1) 2

y =cos xcosy

17.-

(

)

1 1 dy dy −cos2 xcosy=0 → −cos2 xdx= secydy − + cos2 x dx = 0 2 2 dx cosy

∫ secydy −∫ ( 12 + 12 cos2 x) dx =0 1 1 ln ( secy + tany )− x − sen 2 x =C 2 4

$ultiplicando ambos lados de la ecuación por )! 4 ln ( secy +tany )−2 x −sen 2 x =C 1 ∴ 4 ln

( secy + tany ) =2 x + sen 2 x +C 1

'

y = ysecx

18.-

dy dy − ysecx=0 → − secxdx =0 → dx y

−∫ secxdx =0 ∫ dy y

lny− ln ( secx + tgx )=C →

∴ y

y =e C secx + tgx

=C 1 ( secx + tgx ) dx =t ( 1+ t ) sec xdt 2

19.-

dx 2

sec x

2

−t ( 1+ t 2 ) dt =0 → cos2 xdx −( 1 +t 2 ) tdt =0



∫ ( 12 + 12 cos2 x ) dx − 12 ∫ ( 1 +t ) 2 tdt =0 2

1 1 1 2 2 x + sen 2 x − ( 1+ t ) =C 2 4 4

$ultiplicando ambos lados de la ecuación por )! ∴ 2 x

20.-

+ sen 2 x =C 1+ ( 1+ t 2 )

2

d! + !d + ! ( 3 d + d! )= 0

d! + !d + ! 3 d + !d! =0 → ! ( 1+ 3  ) d +  ( 1 + ! ) d! =0

∫ (1 + 3  ) d +∫ (1 !+ ! ) d! =0 →ln + 3  +ln! + ! =C C

−3  − !

! =e e

∴ C 1 !

21.-

→

1

e

! =exp (−3  − ! )

C

=exp (−3  − ! )

( 1 +lnx ) dx + (1 +lny ) dy =0

∫ ( 1 +lnx ) dx +∫ ( 1+ lny ) dy=0 → x + xlnx − x + y + ylny − y =C ∴ xlnx

22.-

+ ylny=C

xdx −√ a − x dy =0 2

2

a

∫

x

√ a − x 2

2

∫ dy=0

dx −

x =asent ; dx =acostdt


t

"

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables. asent

√ a 2−a2 sen 2 t

acostdt =¿

asentacost acostdt =∫ dt =−acost ∫ √ a −aasent acost + a cos t 2

2

2

x

√ a2− x 2

2

dx =¿

∫¿

∫¿

2 2 a − x 2 2 √ cost = →− √ a − x − y = C

a

$ultiplicando ambos lados de la ecuación por '*

√ a2− x 2 + y =C 1 ∴ y

−C 1=−√ a 2− x2 xdx + √ a − x dy =0 2

23.-

∫

2

a t

x

√ a2− x 2

∫

dx + dy = 0

Del problema anterior se tiene +ue! x

√ a 2− x

dx =¿−acost ;cost = 2

√ a2− x 2 →−√ a2 − x2 + y =C a

∫¿ ∴ y

24.-

∫ x

a dx = x √ x − a dy 2

2

2

a

√ x −a 2

2

−C =√ a2− x 2 "

2

∫

dx − dy =0

x =asect ;dx =asecttantdt


t

"


∫

2

a

2

a a secttant dx = dt = adt =at 2 2 a sect a tant x √ x −a

∫

∫

2 2 2 2 2 2 √ (asect ) −a =√ a + a tan t −a =atant

t =sec

∴ x

25.-

−1 x

a

− 1 x

;asec

a

c + y a

= asec

ylnxlnydx + dy =0

dy =0 ∫ lnxdx +∫ ylny ∴ xlnx

x a

− y =C→sec−1 =

− x + ln ( lny )=C


c + y x c + y → =sec a a a


ANEXOS




Ecuaciones Diferenciales Ejercicios Resueltos.

Recommend Documents