Enunciado 1
Resolver la ecuación diferencial : y' = p(x).y = 0 con la condición y(0) = 1 siendo :
Respuesta 1
Esta ecuación es del tipo lineal por ser de primer grado en y' e y. La ecuación tendrá una solución para cada uno de los intervalos indicados. Calculamos la primera de ellas con la condición y(0) = 1. y' + 2y = 0 ; dy + 2y.dx = 0 ; dy + 2.dx = 0 ; Ln y + 2x = Ln C Si tomamos antilogaritmos tenemos :
La ecuación resultante toma para x = 1 el valor e -2 con lo que la siguiente ecuación tenemos que resolverla en la forma : y' + y = 0 ; con la condición y(1) = e -2 Tenemos según eso : y' + y = 0 ; dy + y.dx = 0 ; dy + dx = 0 ; Ln y + x = Ln C ; y = C.e-x y considerando el valor y(1) = e -2
Enunciado 2
Resolver la ecuación diferencial :
Respuesta
La ecuación es homogénea ya que se puede poner en la forma :
Por lo tanto, podemos hacer el cambio v = y/x para poner :
y separando variables:
o deshaciendo el cambio de variables : arc tg(y/x) ± Ln x = C
Enunciado 3
Resolver la ecuación diferencial :
Respuesta
Esta ecuación es homogénea por ser el numerador y denominador funciones del mismo grado. Haciendo el cambio v = y/x , obtenemos :
y separando variables:
Aplicando el método de los coeficientes indeterminados para separar en fracciones simples el primer miembro, tenemos :
o lo que es igual :
Finalmente, deshaciendo el cambio y simplificando :
Enunciado 4
Resolver la ecuación diferencial :
Respuesta
Tenemos una ecuación homogénea en la que el cambio v = y/x nos permite escribir :
y separando variables:
O lo que es igual :
Enunciado 5
Resolver la siguiente ecuación : y' = (x + y) con la condición y(0) = 1.
Respuesta
La ecuación la podemos transformar haciendo el cambio de variable v = x + y , para obtener : v' = 1 + y' ; y' = v' ± 1 = x + y = v ; v' = v + 1 y separando variables para integrar :
pero teniendo en cuenta que y(0) = 1 :
y tomando antilogaritmos:
Enunciado 6
Resolver la siguiente ecuación diferencial :
Respuesta 6
En primer lugar vamos a comprobar si la ecuación es diferencial exacta :
Puesto que se cumple la condición requerida integramos como sigue :
Para conocer el valor de la función respecto de y e igualamos a Q:
derivamos la anterior expresión
Así pues, la solución general de la ecuación estudiada será :
Enunciado 7
Resolver la ecuación diferencial :
Respuesta 7
Lo primero que hacemos es comprobar si la ecuación es diferencial exacta :
Según eso, tenemos :
El valor de
se obtiene por :
Con lo que, finalmente, resulta :
Enunciado 8
Resolver la ecuación diferencial ordinaria: (2.y2 ± 4.x + 5)dx + (4 ± 2.y + 4.xy)dy = 0 Respuesta 8
En primer lugar comprobamos si la ecuación diferencial es exacta ;
Puesto que se verifica la condición necesaria y suficiente para que la anterior ecuación sea diferencial exacta, podemos hacer :
Derivando la última expresión respecto de la variable y e igualando a Q, tenemos :
De ese modo, la solución general de la ecuación es tudiada será :
Enunciado 9
Resolver la siguiente ecuación diferencial :
Respuesta 9
Si hacemos el cambio de variable v = xy tenemos dv = x.dy + y.dx y la ecuación se puede poner :
Resulta, por tanto, una ecuación en variables separadas que podemos integrar directamente :
y a partir de ahí :
Enunciado 10
Resolver la ecuación diferencial : x.dx + y.dy + (x2 + y2).x2.dx = 0 Respuesta 10
La ecuación puede ponerse en la forma :
o lo que es igual :
Con lo que la solución general será :
Enunciado 11
Encontrar la ecuación diferencial del haz de parábolas que pasando por el origen tengan como eje el OX RESPUESTA 11
Las parábolas que cumplan la condición requerida tendrán pr ecuación: x = a.y2 Diferenciando nos queda:
Y sustituyendo el valor de a dado por la ecuación del enunciado, resulta:
Enunciado 12
Encontrar la ecuación diferencial del haz de elipses con centro en el origen y ejes los de coordenadas.
RESPUESTA 12 La ecuación general de las elipses con centro en el origen y ejes los de coordenadas, es:
Por consiguiente, para encontrar su ecuación diferencial debemos derivar dos veces para eliminar las dos constantes. En la primera derivación tenemos:
Y por la segunda:
Pero por la primera deri vación tenemos:
Con lo que sustituyendo
Enunciado 13
Encontrar la ecuación diferencial de la familia de curvas tales que la normal en un punto cualquiera pase por el origen.
RESPUESTA 13 Consideremos una curva cualquiera y = y(x). La normal en el punto (xo, yo) de dicha curva tiene por ecuación:
Si esta recta tiene que pasar por el origen, se cumplirá y1 = 0 ; x1 = 0, y la ecuación que la define quedará en la forma:
Y generalizando para cualquier punto (x, y):
La ecuación resultante es fácil de integrar ya que se tiene:
Así que las curvas que cumplen la condición del problema son circunferencias con centro en el origen.
Enunciado 14
Resolver la ecuación diferencial: y¶ + 2xy = 4x RESPUESTA 14 Tenemos una ecuación diferencial lineal puesto que es de la forma: P0(x)·y¶ + P1(x)·y = R(x) Por teoría sabemos que la ecuación es diferencial exacta si cumple P¶ Como en este caso no ocurre así buscamos un factor integrante:
Y a partir de ahí tenemos:
0
= P1.
Enunciado 15
Resolver la ecuación diferencial:
RESPUESTA 15 Si hacemos el cambio de variable v = y ± x obtenemos v¶ = y¶ ± 1 con lo que la ecuación se puede poner:
Y separando variables para integrar:
Deshaciendo el cambio de variable nos queda:
Enunciado 16
Resolver la ecuación diferencial:
RESPUESTA 16
Podemos convertir la ecuación en homogénea mediante el cambio x = X + h e y = Y + k donde h y k se obtienen a partir del sistema: k+1=0;h+k±1=0 del que obtenemos como solución k = -1 ; h = 2 ; x = X + 2 ; y = Y ± 1 Tenemos entonces, después de hacer el cambio v = Y/X:
Y separando variables:
O lo que es igual:
Y deshaciendo el cambio:
Enunciado 17
Resolver la ecuación diferencial:
RESPUESTA 17
Para resolver esta ecuación hacemos el cambio v = x + y con lo cual v¶ = y¶ + 1, con lo que resulta:
Y separando variables para integrar:
De estas integrales, la segunda del primer miembro no es inmediata y se puede integrar por partes haciendo:
Y haciendo igual para esta segunda integral:
De donde resulta:
Y finalmente:
Enunciado 18
Resolver la ecuación diferencial:
RESPUESTA 18
La ecuación es de variables separadas ya que podemos poner:
Podemos transformar el resultado obtenido con ayuda de algunas fórmulas trigonométricas: Sin (a + b) = (sin a cos b) + (cos a sin b) ; sin (arc sin x) = x ; sin 2 x + cos2 x =1 A partir de ahí tenemos:
