8-teorema-saccheri-legendre-4

TEOREMA SACCHERI LEGENDRE

Teorema Saccheri-Legendre. Saccheri-Legendre. Jumlah sudut-sudut pada setiap segitiga adalah lebih kurang daripada atau sama dengan 180º.

Sebelum membuktikan Teorema Saccheri Legendre, kita buktikan terlebih dahulu lema-lema berikut ini.

Lema 1. Jumlah setiap dua sudut pada sebuah segitiga adalah lebih kurang daripada 180º.  Bukti :

A

B C D Menurut Teorema Sudut Eksterior mACD>mABC dan mACD>mBAC. Berikutnya, perhatikan bahwa m  ACD + m  ACB = 180º

m  ACD = 180º - m  ACB

180º - m  ACB > m  ABC dan 180º - m  ACB > m  BAC

180º > m  ACB + m  ABC dan 180º > m  ACB + m  BAC

Dengan cara yang analog, dapat diperoleh m  BAC + m  ABC < 180º. Lema 1 telah terbukti.

Lema 2. Untuk setiap  ABC terdapat  A1B1C1 yang memiliki jumlah sudut yang sama dengan jumlah sudut  ABC tetapi m A1  ½ (m  A).  Bukti :

̅ dan titik E sedemikian sehingga A-D-E Tempatkan titik D di tengah-tengah  dan AD=DE. E

C o

x

x

D

o

A B Teorema SAS

1.  ADC   BDE, sehingga  ACD     CAD   2.  CDE   ABD, sehingga  DCE   dan  BAD  

Kemudian, perhatikan bahwa m BAE + m  + m AEB = (m BAC - m ) + (m ABC + m ) + (m BEC - m ) = (m BAC + m  + m ACB) + (m  BEC - m  - m CED) = (m BAC + m  + m ACB) + (m  BEC - m  - m CED) = (m BAC + m  + m ACB) + 0 = m BAC + m  + m ACB

Selanjutnya, m BAC = m  CAD + m  dan m BAC = m  BEA + m 

tidak mungkin m BEA > ()m dan m BAE > ()m

m BEA  ()m atau mBAE  ()m

 A1B1C1   ABE atau  A1B1C1 =  EAB Lema 2 telah terbukti.

Berikutnya,

kita

akan

membuktikan

Teorema

Saccheri-Legendre.

Kita

menggunakan bukti kontradiksi. C

A

B

Andaikan jumlah sudut pada segitiga adalah > 180º

m A + m B + m  = 180º + p, untuk suatu p > 0

Dengan menggunakan Lema 2, kita bisa memperoleh A1B1C1 yang jumlah sudutnya sama dengan jumlah sudut ABC dan mA1 ()mA. Dengan menggunakan Lema 2 juga, kita bisa memperoleh A2B2C2 yang jumlah sudutnya sama dengan jumlah sudut A1B1C1 dan mA2 ()mA1. Dengan cara yang serupa, akhirnya kita bisa memperoleh A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, …, AnBn o

Cn yang jumlah sudutnya masing-masing 180 +p dan mAn ()mAn-1

 () mAn-2   () A1 () A. Perhatikan bahwa {mAn}

adalah barisan turun, sehingga kita dapat memilih n  sedemikian sehingga mAn . Kemudian, perhatikan m An + m Bn + mCn = 180º + p

m An – p = 180º - mBn - mCn

180º - m Bn - mC  0

m Bn + mCn  180º

kontradiksi dengan Lema 1 Jadi jumlah sudut-sudut pada setiap segitiga haruslah lebih kurang daripada atau sama dengan 180º.