Vibraciones Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso: El análisis de sistemas con amortiguamientos resulta muy complicado; sin embargo, existen modelos de amortiguamiento ideal que se adaptan bien a ciertos casos particulares. Uno de ellos es el que permite el tratamiento matemático más simple y se basa en la hipótesis de que la fuerza del amortiguador es proporcional a la velocidad. Se suele llamar amortiguamiento viscoso. El sistema mecánico se muestra en la figura:
Tenemos así:
(29) Solución de (29): En primer lugar, hacemos:
\
Analicemos los tres casos posibles:
2.1) Si
lo que ocurre es que c tiene valor elevado y hay un gran
amortiguamiento. En este caso l1 y l2 resultan ser reales y por lo tanto la solución general de (19) viene dada por: (31)
Si llamamos:
(32)
como es resulta Luego, los exponentes de las exponenciales son negativos, es decir que la solución y( t) viene dada por la suma de dos exponenciales decrecientes. Así,en este caso, el sistema no oscila. Al crecer t > 0 la masa tiende a la posición de equilibrio estático sin oscilar. Este movimiento se llama sobreamortiguado.
2.2) Si es:
la solución general de (29) resulta:
(33) En este caso, c se designa con cc y se denomina coeficiente de amortiguamiento crítico. Es un estado de transición entre el anterior y el que luego analizaremos. En el caso de amortiguamiento crítico, de (33) vemos que: como la exponencial nunca se anula y c1 + c2 t = 0 si y solo si t = z y c1 = - c2 z, el sistema no oscila y puede pasar por la posición de equilibrio estático (y = 0) sólo en un caso particular. Este es sin duda, un caso semejante al anterior.
2.3)
Ahora es:
y como La solución general de (29) es:
(ya se ha hecho en sistemas mecánicos de vibraciones libres sin amortiguamiento)
con: (34)
Ahora (34) nos demuestra que el movimiento del sistema es oscilatorio amortiguado. Como sen (bt + j) varía entre + 1 y - 1, resulta que la gráfica de y(t) se encuentra entre . La figura muestra un caso:
Vemos que b es la frecuencia circular natural reducida y como
, cuanto más pequeño es c, es mayor b y por lo tanto las oscilaciones, más rápidas. T es el pseudoperíodo =
Nótese que cuando amortiguamiento.
y resulta el movimiento de vibraciones libres sin
Este movimiento se llama subamortiguado. Para este caso, resulta de interés determinar la cantidad de amortiguamiento presente en el sistema para lo que se hace necesario medir la razón de decrecimiento de la oscilación: Para un tiempo dado, t1, será:
y un tiempo T, después, es:
Efectuando el cociente:
luego:
de donde:
Al logaritmo natural de la razón entre dos amplitudes sucesivas se lo denomina decrecimiento logarítmico d y permite conocer el amortiguamiento presente en un sistema si se tiene un registro gráfico de sus oscilaciones naturales.
VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO . 9.1. Fuerza aplicada a la masa. La ecuación diferencial del movimiento para un sistema de un sólo grado de libertad representado en la figura 3, con amortiguamiento viscoso, y fuerza de excitación aplicada a la masa F = F0sent , es mx "
+ cx ' + kx = F = F 0sent
El movimiento resultante se produce a la frecuencia de la fuerza. Cuando la constante de amortiguamiento c es mayor que cero, la fase entre la fuerza y el movimiento resultante es diferente de cero. Así, la respuesta puede escribirse
x =
R sen (t - ) = A1sent + B1cost
Vibraciones Forzadas de un Sistema con Amortiguamiento Viscoso: Sea:
(44) y(o) = yo
(45)
(46) a) Solución de la homogénea asociada:
Solución complementaria:
La solución de esta ecuación ya ha sido determinada y discutida en Vibraciones libres de un sistema con amortiguamiento; por ello pasamos a determinar una solución particular de la no-homogenea (44). Proponemos como solución a:
. Por consiguiente:
Reemplazando en:
(44)
Igualando los coeficientes de los senos y cosenos:
Resolvamos el sistema (47)-(48):
multiplicamos a la 47 por
y la dividimos por
y sumando m. a m.
(Se supone que
)
- Si c = 0, obtenemos la solución ya hallada en Vibraciones forzadas de un sistema sin amortiguamiento. En efecto resulta:
B=0 y La solución general de la ecuación homogenea asociada a (44) con c = 0, ya la determinamos y es:
Y así llegamos a la solución del problema (44), (45), (46) con c = 0 que lógicamente coincide con la expresión obtenida al estudiar vibraciones forzadas de un sistema no amortiguado. - Si c ¹ 0 Vamos ahora al caso general en el que existe un amortiguamiento viscoso c. La solución particular yp de (44) viene dada por:
(49) 2
Dividiendo numerador y denominador en (49) por m , se llega a:
que, como vimos anteriormente, puede llevarse a la forma:
(50) donde:
(51)
(52) el ángulo Æ representa la diferencia de fase entre la fuerza aplicada y la vibración resultante de estado permanente del sistema amortiguado y su representación gráfica en función de se observa en la próxima Figura.
El factor amplificador M es ahora:
(53)
y expresa la razón de la amplitud de la deflexión causada por la vibración forzada a la deflexión causada por la fuerza Fo (estática). En la gráfica siguiente puede verse que la amplificación de la amplitud aumenta cuando disminuye c/cc y que la amplitud máxima se produce en general para
(ver Figura)
Ejemplo de aplicación: Un motor eléctrico obligado a desplazarse verticalmente gira a 1470 RPM con un tornillo prisionero de masa m = 20 gr. situado a 10 cm del eje de rotación. La masa del conjunto motorestructura es M = 50 Kg; se encuentra montado sobre un elastómero deK = 152.000 N/m y c = 2500 Kg/seg. Se desea encontrar: a) Zona de trabajo en relación a
versus factor amplificador.
b) Máximo desplazamiento en el estado estable para un ciclo del movimiento c) Diferencia de fase entre la entrada
y la salida
d) Expresión analítica del movimiento estable. e) Frecuencia natural y pseudoperíodo del movimiento.
a)
b)
c)
d)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA RECINTO UNIVERSITARIO PEDRO ARAÚZ PALACIOS UNI ± RUPAP
FALCULTAD DE TECNOLOGIA DE LA CONSTRUCCIÓN FTC
DINAMICA
REALIZADO POR: STEVEN ALFREDO RAMIREZ ----------- 2009-29356
PROFESOR: MANUEL GONZALES
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