Unidad 3 Vibración libre con amortiguamiento
k
e
m
x
´ + kx =0 … (1 ) m x´ + e x
La solución de la ecuación número (1) no puede obtenerse tan fácil como la ecuación para vibración simple sin amortiguamiento pero podemos hacer una consideración de la siguiente función:
x =e st En donde s es igual a una constante y t igual a tiempo. erivando esta función con respecto al tiempo! y sustituyendo su valor en la ecuación (1) tenemos lo siguiente:
´ + kx =0 …(1 ) m x´ + e x x =e
st
x´ = s e st x´ = s2 e st m s2 e st +es e st + k e st =0
( m s + es+ k ) e st =0 … ( 2 ) 2
"i la ecuación número # se satisface la consideración $ue se ha hecho de la st x e = función es una solución correcta y por lo tanto
m s2 + es + k =0
e ± √ e2− 4 mk − s= 2m
s 1,2=
−e
±
2m
√( )
e 2 k − … ( 3 ) 2m m
s t s t e y e En donde son las soluciones. La solución más general la obtenemos con la 1
2
siguiente expresión s1 t
s2 t
x =c 1 e + c 2 e … ( 4 )
En donde
C 1 y C 2
son constantes arbitrarias.
Al aclarar el significado físico de esta ecuación debemos distinguir dos casos depende de las expresiones de “S” en la ecuación 3 ya sean reales o compleas.
!uando
( ) e 2m
2
sea mayor "ue
k m
( )
2
e k > 2m m
La expresión dentro del radical es positi#a siendo por lo tanto reales los #alores de “s” más sin embargo ambos son negati#os puesto "ue la raí$ cuadrada es menor "ue el t%rmino
e 2m . Así la ecuación n&mero ' describe una solución "ue consiste en la suma de dos cur#as exponenciales decrecientes como se muestra en la figura. (o#imiento de un sistema con un s e e s t solo grado de libertad con amortiguamiento mayor "ue el 1
2
amortiguamiento crítico Amortiguamiento crítico
1
2
e c =2 mw n
¿2m
√
k m
( C C )
Se )a dibuado la línea punteada en la figura "ue nos muestra "ue el mo#imiento no es una #ibración sino más bien un lento regreso a la posición de e"uilibrio. Esto se deb e a "ue cuando
( )
e 2 k > m 2m
El amortiguamiento ! es sumamente grande. *ara #alores menores de ! "ue concurren a los casos prácticos la ecuación n&mero 3 de
S1
#alores compleos para
al amortiguamiento ! en el "ue ocurre esta transición se le
llama amortiguamiento crítico.
( )
( )
e 2 k e 2 k k − =0 =¿ = y =wn m m m 2m 2m
( )
ec 2 = wn 2m 2
(ec ) = 4 m
2
2
2
wn
2
e c =2 mw n
e c =2 m
√
k … (5 ) m
En el caso en "ue el amortiguamiento sea menor+ la ecuación n&mero 3 se p uede escribir como sigue,
−e
√ ( )
k e s 1,2= ±i − m 2m 2m
2
√ ( )
k e si q = − m 2m s 1,2=
−e
2
±i q de donde i =√ −1
2m
Aun"ue el radical resulta a)ora un n&mero real+ los dos #alores de S contienen a i y como consecuencia la ecuación ' contiene t%rminos de la forma,
ei
∝
t
!on la ayuda de la siguiente ecuación y la solución de la ecuación numero ' tenemos lo siguiente, i e =cos + i sin ∝
∝
∝
s1 t
s2 t
x 1=C 1 e + C 2 e
− − − ( ) ( ) x =C e + C e =C e e ±iq t 2m
1
e ±iq t 2m
2
e 2m
1
−e iqt
−e
x =e 2 m [ C 1 eiqt + C 2 e−iqt ] −e
¿ e 2m [ C 1 ( cos qt + i sin qt ) + C 2 ( cos qt −i sin qt ) ] −e
¿ e 2m [ ( C 1+ C 2 ) cos qt + ( C 1−C 2) isinqt ] !omo
C 1 y C 2
son constantes arbitrarias,
( C + C ) y ( iC − iC ) 1
2
1
2
( C + C )=C i y ( iC −i C ) =C i 1
2
1
2
-ambi%n serán arbitrarias.
−iqt
e + C 2 e 2 m e
−e t
x =e 2 m ( C 1 cos qt + C 2 sin qt ) … ( 7 )
q=
√ ( )
2
k e − m 2m
recuencia natural amortiguada
e c =2 mw n ∴ 2 m=
ec wn
ζ =
√ √ (√ ) ()
2
k e q= − m ec wn
q=
k − m
e ec
q =√ 1−ζ 2 ( w n )
2
e ec
actor de amortiguamiento
q =√ 1−ζ 2 wn
k m
k ( √ ( ) m)
k e − q= m ec
√[
2
( )] 2
k e 1− q= m ec
√√ ()
k e 1− q= m ec
q =w n
2
√ () e 1− ec
2
Esta es la solución para un amortiguamiento menor "ue el amortiguamiento crítico y consta de dos factores,
( C c )
/.0 1na exponencial decreciente. 2.0 1na onda senoidal.
El resultado combinado es una onda senoidal amortiguada descansando en el espacio entre la cur#a exponencial y su imagen refleada.
x n x n+ 1
1
π
7ibración libre de un sistema amortiguado menor "ue el
3 π 2 π
4 π
amortiguamiento critico
( C c)
−1
!uando más pe"uea sea la constante de amortiguamiento 4!4 más aplastada resultara la cur#a exponencial+ y por lo tanto más ciclos se re"uerirán para "ue se des#ane$can las #ibraciones. La relación de este des#anecimiento puede calcularse considerando dos máximos consecuti#os cuales"uiera de la cur#a, ya sea de 4A4 a 454+ 454 a 4!4+ etc. 6urante el inter#alo de tiempo entre los dos máximos es decir+ entre, 2 π seg =T q La amplitud de #ibración disminuye de,
e
e
−e t 2m
a e2 m
( q )=e −me t = e −mqπe
−e t + 2 π 2m
( q )
− e t + 2 π
2
2
2
Esta <ima expresión es igual a la primera multiplicada por u n factor constante. −πc
−δ
−δ ∗w nt
e mq < 1 =e =e
La relación entre dos máximos consecuti#os es constante las amplitudes decrecen en forma geom%trica. 7amos "ue si “
xn
” es la en%sima amplitud máxima de #ibración+ “
siguiente máxima y entonces tenemos, − πe
x n+1= x n e mq = e−δ =e−ζ ∗w t n
8 tambi%n loge
( ) xn
x n+1
=
πc =δ 6ecremento logarítmico mq
*ara pe"ueos amortiguamientos tenemos,
δ =
δ =
πe = mq
2 πe
ec
2 π
e ec
√ () 1−
=2 π ζ
x n− x n +1 = ζ xn
e ec
2
tambien
e → 0=¿ ec
si
x n +1 −ζ = e =( 1−ζ ) x n
9:a$ón de declinación;
x n+ 1
” será la
Ejemplo 1 Se proporciona los siguientes datos para un sistema vibratorio con amortiguamiento viscoso: =10 lb, k= 30 lib * plg, c=0.12 lb/plg/seg. Determine el decremento logartmico ! la ra"#n de cual$uiera de dos amplitudes consecutivas Datos %=10 lb
%=30 lb/pulg/seg &=0.12 lb/pulg/seg
ω n=
m=
√
k =34.3 rad / seg m
w lb = 0.025 2 g plg / seg
Amortiguamiento critico
Cc= 2 m ωn Cc= 2 ( 0.025 ) ( 34.3 )=1.76
lb plg / seg
Factor de amortiguamiento
ζ =
c 0.12 = = 0.068 Cc 1.76
Decremento logarítmico
' = 2( ζ ' = 2( ) 0.0+ ' = 0.-2 la razón de dos amplitudes consecutivas xn + 1 xn
= e
–
= !"#
%$ n sistema vibrante $ue consta de 2.2 kg de masa ! un resorte con rigide" de 1. /m es amortiguado viscosamente de modo $ue la ra"#n de dos amplitudes consecutivas es 1 0.+. ncuentre: a ωnamortiguada b δ decrementologaritmico c ζ actor de amortiguamiento d ω n=
coeiciente de amortiguacion
√ √
k 17.5 ! / m = =27.78 rad / seg m 2.267 kg
x 1 1 =¿ ln =0.0202 x n +1 0.98 δ =ln ¿ q =ω n √ 1−ζ 2=¿ q =27.78 rad / seg √ 1 −( 0.00032 )2=27.779
δ =2 π ζ ∴ ζ =
ζ =
rad seg
δ 0.0202 = =0.0032 2 π 2 π
C ∴ C = ζ ∗Cc Cc
Cc= 2 m ωn =2 ( 2.267 kg )( 27.78
Cc= 125.954
rad ) seg
! m / seg C =( 0.0032 ) ( 125.954 )=0.4030 &'m'seg
Ejemplo 4ara calibrar un amortiguador, la velocidad del piston 5ue medida cuando se le aplica una 5uer"a dada. Si un peso de 0. lb produce una velocidad constante de 1.20 plg/seg, determine el 5actor de amortiguaci#n cuando se tiene una masa de 0.0kg ! una rigide" de /cm &'.1*
6 = 1.# pulg+seg
1 kg ., lb ( 2.21 lb )' .##-g 0.0254 m
m' ./- g
1 pulg
' .0 m+s
' - 2+m
ζ ' 3
" 4' x´ 0.227 kg 4' 0.03048 m / s
7n'
#
k m
'
'-.,, g+m+s #
0.07 ! / m 0.907 kg
' #-.- rad+seg
4c' #m7n ' #(./-g) (#-.- rad+seg) 4c',./ g+m+seg
$% / S'% & 50.39 $% / & / S'% 7.55
ζ
'
' .10/
n sistema vibrante tiene las siguientes constantes m= 1.kg, k=0 /cm, & = 0.0 /cm/seg. Determine a b c d
8actor de amortiguaci#n 8recuencia natural de oscilaci#n Decremento logartmico 9a ra"#n de 2 amplitudes consecutivas cuales$uira
5'- 2+cm ' - 2+m 4'.- 2+cm+seg' -2+m+seg
ζ
7n'
'3
#
k m
' *.# rad+seg
$'3
''3 xn + 1 xn
4c'#m
'3
7n
4c'#(1-.,g) ( *.#rad+seg)
4c'##1.#g+seg a
C ζ ' C 2 ! / seg ζ ' m 221.2 kg / seg 70
' .1*
√ 1−( 0.36 ) ( 6.32 2
b
$'
c '' #6 ζ
xn + 1 xn
d
rad ) seg ' ,.// rad+seg
''#6 ( .1*)'1./,0
− −1.9854 ' e ' e ' .1- ɤ
Ejemplo
(uc)os dispositi#os están pro#istos de un aparato de amortiguación #iscosa y austable. En uno de tales dispositi#os la relación entre amplitudes sucesi#as es /< a /. Si se duplica la cantidad de amortiguación se pregunta cuál será entonces la relación de amplitudes sucesi#as.
x n +1 −δ =e x n
ln
( )=− x n+1 x n
δ
−ln (10 )=δ =2.302 δ =2 πζ ζ =
δ 2 π
ζ =0.3664 ( 2 δ =1.4656 δ =2 π ( 1.4656)
δ =4.6043
x n +1 −4.6043 =e x n x n +1 =100 x n
Ejemplo
6etermine para las #ibraciones libres de un sistema la constante de amortiguación #iscosa del mismo. Se conoce la siguiente información !onstante del resorte
= >?@m
(asa
/<>g
Amplitud de /er ciclo 'mm Amplitud de 2do ciclo '=mm Amplitud de 3er ciclo
3 mm
Amplitud de 'to ciclo
2Bmm
!CD
#
4c'#m
xn xn + 1
ζ
8 k! / m k # ' ,*-.* 2+m+seg m '#(1) 10 kg
' (* mm+ #-mm)'1. ln .1'.#'' ɤ
'
2 )
' .00
ζ
'
C Cc
'
4 ' ζ 4c
4 ' #0. 2+m+seg
1n oscilador armónico amortiguado tiene una masa m igual a /.2 g constante amortiguamiento !C /2 ?s@m y constante rigide$ >C<.F ?Gm. Encuentre, a; recuencia natural amortiguamiento b; El factor de amortiguamiento c; La ra$ón de amplitudes consecuti#as cuales"uiera
6atos mC/.2 g cC /2 ?@m C <.F ?Gm
wn=
√
k rad =20.41 m seg
Cc= 2 m
√
k =2 (1.2 kg ) m
√
k! m kg = 48.98 s 1.2 kg
0.5
C Cc
¿ ¿ ¿2 ¿
1−(
C 2 ) Cc
¿
12 1.54
¿ ¿ 1−¿ 0.5 ¿ 1.2 1−¿
q =ωn √ ¿ C 2m
¿ ¿ ¿2 ¿
12 2 ( 1.2)
¿ ¿ ¿2
k −¿ m q =√ ¿
ζ =
12 C = =0.244 9 Cc 48.98
δ =2 πζ =2 π ( 0.2449 )=1.538 7 x n +1 −1.5387 =e x n x n +1 x n
= 0.2146
Ejemplo
1na ma"uina tiene soportes con rigide$ CF.Fx/<' ?@my tiene una frecuencia natural amortiguada igual a 2FF rad@seg desde el decremento logarítmico medido y encontrando "ue el factor de amortiguamiento es <./=.Si la ma"uina fundamentada es moderada como sistema de #ibración libre para #ibración #ertical. Encuentre, a; (asa de la ma"uina b; (o#imiento resultante desde /mm de despla$amiento inicial y /3
q =255 rad / seg ζ =0.18 q =√ 1−ζ ( ω n ) 2
ω n=
q
√ 1− ζ
2
=
255 rad / seg
√ 1 −(0.18)
ω n=259.23 rad / seg
2
ω n=
√
k m
k k 5.5 x 104 ! / m ω n= ∴ m = 2 = =0.818 kg m ωn rad 2 ( 259.23 ) seg 2
xo =1 * 10 −3 m x´ =0.13 m / seg
m seg rad ( 0 )+ 1 x 10 −3cos 259.23 rad t x = sen 259.23 rad seg seg 259.23 seg 0.13
( = 1(1!)*m
(
)
(
)
