ANALISIS ESTRUCTURAL UNIDAD III
MÉTODOS ENERGÉTICOS
MÉTODO DE LA CARGA VIR VI RTU TUAL AL UNIT UNITAR ARIA IA
Analicemos una barra sujeta a un sistema de cargas en equilibrio, como la indicada en la figura siguiente, que en el caso general le produce un estado tridimensional de esfuerzos.
Barra sometida a un sistema de fuerzas arbitraria en equilibrio.
En una sección cualquiera de la barra se producen las fuerzas internas ya conocidas N, V y , V z , M y , M z y T (fuerza normal, fuerzas cortantes, momentos flexionantes y momento torsionante). Fy=Vy
My Mx=T Mz Fx=N Fz=Vz
A continuación nos proponemos calcular el desplazamiento lineal δ, en un punto cualquiera i para una dirección determinada, con la condición de que en este punto no actúe fuerza alguna.. Se aplica a la barra una carga virtual Pv de magnitud cualquiera, en el punto y en la dirección en que se desea calcular el desplazamiento
Pv
δi
Barra cargada con una carga virtual, P v , adicional al sistema de cargas original, aplicada en el punto donde se desea calcular el desplazamiento lineal.
En una sección transversal cualquiera de la barra, esta carga origina los elementos mecánicos que denotaremos como:
Nv V y v Vzv M y v Mzv y Tv Si el comportamiento de la barra se mantiene dentro del rango elástico, estos elementos mecánicos son directamente proporcionales a la carga virtual, esto se expresa así:
Nv M v y
nPv my Pv
Vv y M vz
vy Pv mz Pv
Vvz T
vz P v t P v
Donde n, v y , v z , m y , m z y t representan las magnitudes de los elementos mecánicos característicos para cualquier sección transversal y son variables a lo largo de la longitud de la barra, originados por la carga virtual P v .
Para mayor comodidad en los cálculos, la carga virtual Pv se hace unitaria: Pv = 1 Consecuentemente n, v y , v z , m y , m z y t representan ahora las magnitudes de los elementos mecánicos en cualquier punto de la barra causados por una carga unitaria. Con base en lo anterior, la Energía de Deformación Interna o el Trabajo de Deformación Total en la barra, considerando la deformación de la totalidad de los elementos mecánicos , se expresa como:
U total L o
L o
( M y
( N
nPv )2
2 EA my P v )2
2 EI x
ds
L
ds
o L o
k
(M z
vy P v )2
(V y
2GA
mz Pv )2 2 EI y
ds
L
ds
o L o
(T
k*
vz P v )2
(Vz
2GA
tPv )2
2GJ m
ds
ds
A continuación obtendremos el desplazamiento δi originado por el sistema de cargas externa real y la carga virtual Pv aplicada, para este fin haremos uso del primer Teorema de Castigliano . U i
L i
Pv L
o
( M y
o L o
L o
my P v )2
L
ds
ds
o
L
k
vy P v )2
(V y
2GA mz Pv )2
(M z
2 EI y
o
L
ds
o
L
ds
k
*
vz P v )2
(Vz
2GA tPv )2
(T
2GJ m
o
ds
ds
L (V y v y Pv )v y L nPv ) n (Vz vz Pv )vz ds k ds k* ds o o EA GA GA ( M y m y Pv ) m y L (M L (T mz Pv ) mz tPv )t z ds ds ds o o EI x EI y GJ m
( N
L
i
2 EA 2 EI x
o
i
nPv )2
( N
P i
( Nn n2 Pv ) ds EA L ( M y my my2 P v ) o
EI
L o
k
ds
(V y vy
v y2 Pv )
GA L o
( M z mz EI
ds
L o
mz2 Pv )
(Vz vz vz2 P v ) k ds GA
ds
*
L o
t 2 Pv ) ds GJ
(Tt
Por último, para obtener el valor del desplazamiento real en el punto de estudio, en la ecuación anterior se procederá a anular los términos que dan el valor del desplazamiento adicional con que contribuye la carga virtual unitaria. Resultando la expresión final.
i
L
N n
o
EA L M y my o
ds
EI y
L o
ds
k
V y vy GA L o
ds
M z mz EI z
L o
ds
k
*
Vz vz GA L o
ds
Tt GJ m
ds
ECUACIÓN GENERAL DEL MÉTODO DE LA CARGA VIRTUAL UNITARIA
OBSERVACIONES
N, V y , V z , M y , M z y T: son los valores de los elementos mecánicos del sistema real de cargas aplicado a la barra.
: representan los valores de los elementos mecánicos n, v y , v z , m y , m z y t ocasionados por la carga virtual unitaria aplicada en el punto y en la dirección en que se pretende calcular el desplazamiento.
Si se desea calcular desplazamientos lineales δ (traslaciones o corrimientos) se debe aplicar una fuerza virtual unitaria en el punto y en la dirección de interés de la estructura en análisis.
Si se desea calcular desplazamientos angulares (giros o rotaciones) se debe aplicar un par (o momento) virtual unitario en el punto y en la dirección de interés de la estructura en análisis.
En la solución de problemas específicos, inicialmente la dirección de los desplazamientos que se pretenden calcular se suponen (se indican arbitrariamente), los resultados finales nos señalaran la dirección real. La dirección de la fuerza virtual puede elegirse arbitrariamente, y el signo de la respuesta indica automáticamente la dirección correcta del desplazamiento. Un signo positivo significa que el desplazamiento tiene el
mismo sentido que la fuerza virtual; un signo negativo indica que el desplazamiento es de sentido opuesto al de la carga virtual.
i
Los sistemas de ejes coordenados pueden estar orientados en forma diferente, por lo tanto es más conveniente escribir la ecuación general del Método de la Carga virtual Unitaria sin referenciarla a sistema coordenado alguno, expresándose dicha ecuación en la forma siguiente.
L
N n
o
EA
ds
L o
k
Vv
ds GA
L o
Mm ds EI
L o
T t GJ m
ds
SIMPLIFICACIONES DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CARGA VIRTUAL UNITARIA 1. Cuando la configuración de la estructura analizada este compuesta por elementos donde predominen los efectos de la deformación por fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante, como pueden ser los marcos planos, la ecuación general del método de la carga virtual unitaria se reduce a:
L i
o
N n ds EA
L o
Vv k ds GA
L o
Mm ds EI
2. Si son de interés en la estructura únicamente los efectos de flexión, como en el caso de vigas y en marcos planos, la ecuación general del método de la carga virtual unitaria se reduce a:
L i
o
Mm ds EI
3. APLICACIÓN AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE ARMADURAS PLANAS Como sabemos, conforme a las hipótesis establecidas en el análisis estructural de las armaduras, sus barras que la componen están sometidas exclusivamente a fuerzas axiales o normales, y son elementos de longitudes finitas con secciones transversales constantes, por tanto la ecuación general del método de la carga virtual unitaria toma la estructura siguiente.
L i
o
N n EA
n
ds i 1
N i ni E i Ai
Li
