TRABAJO ds,, el trabajo realizado Si una fuerza F se mueve a lo largo de su recta de acción una distancia ds es: dW= F.ds El trabajo total realizado por F, al desplazarse desde el punto inicial s1 al punto final s2 es: s2
W =
∫
F.ds
s1
TRABAJO TRABAJ O EXTERNO EXTERN O Y TRABAJO TRA BAJO INTERNO IN TERNO : Consideremos una carga aplicada gradualmente sobre una estructura. El punto de aplicación de la misma se desplaza una longitud
∆
(delta) cuando la carga crece de 0 a P.
El trabajo total realizado por la carga será:
W = W =
∆
∆
0
0
P
1 P .x.dx = . .x 2 ∆ 2 Δ
∫ F.dx = ∫
Δ
0
1 . P. ∆ 2
(Gráficamente, esta expresión representa el valor del área bajo la curva)
Análogamente, el trabajo realizado por un par M cuando sufre un desplazamiento angular dϕ es: dW = M. dϕ 1 W = .M. ϕ 2
Este trabajo exterior, siempre que las fuerzas se apliquen en forma estática, es decir lentamente y se cump cumpla la la Ley de Hooke Hooke,, se tran transf sform ormaa tota totalm lmen ente te en energ energía ía poten potenci cial al elás elásti tica ca de deformación.
We=Wi
ENERG ÍA INTERNA INTERN A DE DEFORMACIÓN DEFORMA CIÓN EN SÓLIDOS SÓLID OS ELÁSTICOS Se dice que un sólido es elástico si, para cualquier carga exterior P, la relación P-U (Fig. 1), se cumple mediante una única ley a través de los ciclos de carga y descarga. (U es la componente del desplazamiento del punto de aplicación de la carga P en la dirección de dicha carga).
Si la carga crece lentamente, lentamente, de modo de no producir aceleraciones, y el sólido es elástico, (por lo que el diagrama de carga es reversible), entonces todo el trabajo externo We, We, de la carga, queda almacenado en forma de energía interna de deformación, Wi. Wi. CALCULO DE LA ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION Wi Á
Wi causada por el esfuerzo axial N: Consideremos una barra de longitud infinitesimal dx, para lo cual resulta N=cte, entonces el trabajo vale: dWi =
1 .N.ε. dx 2
ε
por la Ley de Hooke
=
ΔL N = L A.E
L
Reemplazando
W i
=
1 2
∫
N .N A .E
.d x
=
1 2
.
N .N A .E
.L
0
Expresión válida solo en el caso lineal. Wi causada por el momento flector M Consideremos un tramo de viga de longitud infinitésimal dx, para el cual suponemos M=cte., entonces el trabajo infinitesimal vale: 1 .M.d φ 2 dφ = K.dx dWi =
K =
dφ dx
(K es la curvatura longitudinal o curvatura específica) Para sólidos linealmente elásticos, donde es válida la ley de Hooke, K vale: K =
M E.I
de donde el trabajo interior será:
L
W i
1
=
2
M .M
∫
.
E .I
.d x
0
Wi causada por el esfuerzo cortante Q Consideremos un tramo de viga de longitud infinitésimal dx, para el cual suponemos Q=cte., entonces el trabajo infinitesimal vale: 1 .Q.du 2 du = γ.dx Q γ = Ac.G dWi =
(γ es la distorsión específica)
Para sólidos linealmente elásticos, donde es válida la ley de Hooke, K vale: du =
Á
Q .dx Ac.G
L
De donde el trabajo interior será:
W i =
1 . 2
Q .Q
∫ Ac.G
.dx
0
Ac es la sección de cortadura, normalmente menor que la sección normal, y es corregida por el factor de corte κ (kappa). Ac=κ .∆ L
L
∫
1 N.N 1 Wi = . .L + . 2 A.E 2
∫
M.M 1 .dx + . E.I 2
0
Q.Q .dx +. . . . . Ac.G
0
Ejemplos prácticos de cálculo de deformaciones igualando trabajos a) Determinar el descenso
b del extremo libre de la viga de la figura:
3
Δb
We =
1 P.Δ b 2
1 Wi = 2
M2 dx E.I
∫ L
1 (P.x) 1 P2 Δ3 Wi = . dx = . 2 E.I 2 E.I 3
∫ 0
L
= 0
1 P 2 .L3 P.Δ b = 2 6 E.I
de donde :
Á
P 2 .L3 6 E.I
=
P. L
3 E.I
b) Determinar la flecha
de la viga simplemente apoyada de la figura, con una carga P aplicada
en la mitad de la luz: We = Wi 1 We = P.δ 2 1 Wi = 2
L
M2 1 dx + E.I 2
∫ 0
L
Q2 dx + . . . . . Ac.G
∫ 0
(La energía interna de deformación por corte se desprecia, ya que frente a la de flexión suele ser menor a 1%.) 1 P 2 1 Mx = Ra.x = P. x 2 Ra = Rb =
La energía interna en toda la viga es, por simetría, igual al doble de la energía que corresponde a la mitad de la misma. 1 1 P. δ = 2 2
L
M2 dx E.I
∫ 0
L 2 1 1 1 P. δ = 2. . ( P.x) 2 2 2 0
∫
2
L 2 dx 1 1 1 1 P2 x3 2 2 dx 2. . .P .x 2 . . . . = = E.I 2 4 E.I 2 4 E.I 3 0
∫
L 2
= 2. 0
1 1 P2 L . . .( )3 2 4 3 E.I 2
1 1 1 P2 L3 P. δ = 2. . . . 2 2 4 3 E.I 8 δ = 2.
1 1 P2 L3 2 . . . . 2 4 3 E.I 8 P
Finalmente:
δ
=
P.L
3
48 E.I
Para el caso de varias cargas concentradas o cargas uniformemente distribuidas, para el cálculo del trabajo externo, se adopta la ecuación de una elástica aproximada parábola simétrica respecto del centro, con un parámetro δ
Á
0
a determinar.
……………de
MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL (MÉTODO DE LA CARGA UNITARIA) Considérese el caso de la Figura 1(a), representa una estructura elástica deformada, sometida a la acción de dos cargas aplicadas gradualmente, cuyos puntos de aplicación se desplazan distancias ∆ 1 y ∆ 2 respectivamente. Queremos encontrar la deformación de un punto cualquiera de esta estructura, por ejemplo la componente vertical del desplazamiento del punto C. En la Figura 1(b), se representa la misma estructura sometida únicamente a la acción de una carga virtual unitaria aplicada en C y en la dirección del desplazamiento que nos interesa conocer. Llamamos con δ al desplazamiento producido por la carga unitaria en su punto de aplicación.
También se representa en ambas figuras, un elemento tipo deformado interior sometido a fuerzas internas s y u según el caso y sobre el que se indican las deformaciones dL y dL 1. Aplicando el principio We= Wi se tiene para el estado de cargas de la fig 1(a): 1 1 1 .P1.Δ1 + .P2.Δ 2 = 2 2 2
∑ S.dL
Para la fig 1(b): 1 1 .1(t).δ = 2 2
∑u.dL
1
Ahora imagínemos que primero producimos la deformación en la Figura 1(b), y a esta le aplicamos gradualmente las cargas reales de la Figura 1(a) 1 2
.1.δ +
1 2
.P1.Δ 1 +
1 2
Á
.P2 .Δ 2 + 1.Δ =
1 2
∑
u.dL 1 +
1 2
∑
s.dL +
∑
u.dL
Puesto que la energía de deformación y el trabajo realizado deben ser iguales según se apliquen las cargas a la vez o en forma separada, comparando la última ecuación con las anteriores resulta: 1(t). Δ =
u.dL ∑
(*)
Esta es la ecuación básica del Método de la Carga Unitaria.
Cuando se quiere obtener la rotación de la tangente en cualquier punto de la estructura, solamente es necesario reemplazar la fuerza virtual unitaria por un par virtual unitario y, realizando el mismo procedimiento anterior, se llega a que: 1(tm ).
φ
=
∑
u.dL
Donde u es la fuerza interna originada por el par unitario en un elemento tipo, y
ϕ
es el ángulo
de rotación buscado. Para el caso particular de una viga estáticamente determinada sometida a las cargas P 1 y P 2 , el eje longitudinal coincide con el eje x. Para encontrar el desplazamiento vertical ∆ en un punto arbitrario C, se coloca una fuerza unitaria vertical en C, como se indica en la figura, y se aplica la ecuación (*) 1(t). Δ =
u.dL ∑
Interpretemos los términos dL y u incluidos en la ecuación. dL es el cambio de longitud de cualquier fibra cuya longitud inicial es dx y cuya sección tiene un área dA, producido por las cargas reales P1 y P2.
dL = ε.dx =
M.y .dx E.I
ε=
σ M.y = E E.I
M: momento en la sección I: momento de inercia E: módulo de elasticidad y: distancia de la fibra al eje de la flexión
Á
En la figura (b) se observa que u es la fuerza interna en la misma fibra, resultante de la aplicación de una carga unitaria ficticia en el punto C, siendo igual a la tensión de flexión de la fibra multiplicada por dA, o sea:
U=
m.y.dA I
Si sustituimos dL y u en la ec. (*) resulta: 1(t). Δ =
∑(m.y.dA).(E.I M.y.dA) L
1(t). Δ =
∫ 0
L
M.m.dx 1 . . y 2 .dA E.I I
∫ 0
L
y teniendo en cuenta que :
∫ y .dA = I 2
se obtiene :
0
L
1(t). Δ =
M.m.dx E.I
∫ 0
Si se busca la rotación de la tangente en C, se coloca un par unitario en C y se aplica la fórmula básica, llegando a: L
1(t). φ =
M.m.dx E.I
∫ 0
El enunciado del principio dice: "Es condición necesaria y suficiente para que un sistema material cualquiera esté en equilibrio que el trabajo virtual de todas las fuerzas actuantes sea nulo para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales" Al tratarse de cuerpos deformables el trabajo virtual comprende el trabajo realizado por las fuerzas exteriores mas las interiores. Y como se ha demostrado, el trabajo se aplica sobre un sistema de fuerzas que debe estar en equilibrio y un conjunto de desplazamientos virtual, o sea compatible con las condiciones de vínculo de la estructura y con las condiciones de continuidad del sistema estructural. El P.T.V. (Principio de los Trabajos Virtuales), relaciona tres aspectos: 1. Sistema de fuerzas en equilibrio 2.
Desplazamientos virtuales compatibles
3. Suma de trabajo virtual igual a cero Si se cumplen dos de ellos se cumple el tercero.-
Á
CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS POR APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LOS T.V . Calcular el giro
B en el extremo B de la viga simplemente apoyada de la figura, sometida a una
ϕ
carga uniformemente distribuida igual a q.
El sistema auxiliar B, tiene por única carga externa el momento unitario en el extremo B de la viga. Este sistema está en equilibrio, ya que los momentos Mf y Q se han determinado de modo de satisfacer el equilibrio en todo punto. Como sistema de deformaciones o desplazamientos virtuales, se toma el sistema real. Estos desplazamientos son compatibles con los vínculos, por los que éstos no realizan trabajo.Si planteamos el P.T.V. tenemos: L
1(tm).
φB =
M M.( ).dx E.I
∫
L
+
0
Q
∫ Q.( Ac.G
).dx
+...
0
Como los valores del segundo miembro son conocidos, podemos calcular el giro. L
1(tm). ϕB =
∫
(q.
L x2 x dx .x - q. ). . 2 2 L E.I
0
1 1(tm). ϕB = E.I
L
∫
(q.
x2 x3 - q. ).dx 2 2.L
0
1 x3 L3 1(tm). ϕB = .(q. - q. ) E.I 6 8
L
=
q.L 3 24
0
ϕB =
q.L 3 24
Se destaca la conveniencia de trabajar con un estado auxiliar en el que intervenga una única carga, la cual realiza trabajo exterior, con la deformación incógnita del estado real. Á
Este método permite calcular una componenete del desplazamiento de un solo punto por vez. Para calcular una componente del desplazamiento de un punto se procede de la siguiente manera: 1.
Se determinan los diagramas de los esfuerzos internos en el estado real.
2.
Se plantea un estado auxiliar con una estructura igual a la dada, pero con una única carga unitaria colocada en el punto cuyo desplazamiento se busca y en la dirección de la
3.
componente deseada del mismo. Se determinan los esfuerzos internos para el estado auxiliar.
4.
Se calcula el desplazamiento por la expresión.
Ejemplo de aplicación a) Determinar el descenso δ A del extremo libre de la viga en voladizo de la figura, sometida a la acción de una carga uniformemente repartida q.
L
∫
1(t). δ A =
0
L
δA =
L
δA =
L
∫
Q. Q.
0
x2 dx (-q. ).(-x). + 2 E.I
∫ 0
δA =
dx M. M . + E.I
0 4
L
∫
(q.x).(1).
0 L
x3 q .dx + . x.dx 2 Ac.G
∫
q . E.I
dx Ac.G
∫ 0
2
q.L q.L + 8 E.I 2 Ac.G
Á
dx Ac.G
b) Verificar la flecha de la viga simplemente apoyada de la figura, sometida a una carga uniformemente distribuida q.
We = Wi L
1(t).f
=
∫
M.(
0
1(t).f
1(t).f
=
=
M ).ds E.I L 2
1 .2. E.I
∫
q 2.E.I
∫ (L.x
(q.
0 L
.
L x2 x .x - q. ). .dx 2 2 2 2
- x 3 ).dx
0
1(t).f
=
q 2.E.I
.(L.
x3 x4 ) 3 4
L 2
0
1(t).f
f =
=
q 2.E.I
.(
L4 L4 q ) = 24 64 16.E.I
.(
L4 L4 ) 3 8
5 q.L 4 . 384 E.I
Expresión ya deducida en el curso de Resistencia de Materiales.
Á
DESPLAZAMIENTOS POR VARIACIONES TÉRMICAS EN SISTEMAS ISOSTÁTICOS DE ALMA LLENA. Supongamos que el cambio de temperatura es pequeño, de manera que no cambian las propiedades del material, y que la variación de temperatura en altura de la viga es lineal. Podemos suponer que la sección plana CD se ha desplazado una distancia dl hasta la posición D'C' y luego ha rotado un ángulo dφ para llegar hasta la posición final C"D".
Deformación debida al aumento cte:
dδ = (
Δte − Δti ).αt.dx 2
Deformación producida por el giro relativo de la sección:
dφ = (
Δte − Δti ).αt.dx h
El trabajo interior será: Wi =
∫
N .d δ +
s
Wi =
M .d φ
s
Δte − Δti N .( ). αt.dx + 2
∫ s
Á
∫
∫
M .(
s
Δte − Δti ). αt.dx h
TEOREMA DE BETTI O DE RECIPROCIDAD DE LOS TRABAJOS Consideremos dos estructuras iguales. Sobre la primera actúa un sistema de cargas que llamaremos I compuesto por las cargas Pi, y sobre la segunda actúa un sistema de cargas que llamaremos II compuesto por las cargas Qi. Primero se aplica el P.T.V. tomando el sistema I como el de fuerzas en equilibrio y el sistema II como el de deformaciones congruentes.
Los sistemas se hallan en equilibrio por lo tanto se puede aplicar el P.T.V. Así, la ecuación resulta:
∑
PI .δ I = II
∫
MI .
M II.ds + E.I
∫
NI .
NII.ds + E.A
∫
Q I.
Q II.ds + ... E.Ac
(1)
Segundo aplico el P.T.V. tomando el sistema II como el de fuerzas en equilibrio y el I como el de deformaciones congruentes. Con lo cual la ecuación resulta:
∑
PII .δ II = I
∫
M II .
MI.ds + E.I
N ds NII . I. + E.A
∫
∫
Q II .
Q I.ds + ... E.Ac
(2)
Comparando (1) y (2), como los segundos miembros son iguales, los primeros también lo son, con lo que resulta la expresión del Teorema de Betti: P ∑
I
.δ I = II
P ∑
II
. δ II I
Enunciado: "Dado un cuerpo elástico y dos sistemas de fuerzas I y II , el trabajo virtual de las fuerzas del sistema I a través de los desplazamientos provocados por el sistema II, en los puntos de aplicación de las cargas del sistema I, es igual al trabajo virtual de las fuerzas del sistema II asociadas a los desplazamientos provocados por el sistema I en las mismas condiciones".
Á
LEY DE MAXWELL O DE RECIPROCIDAD DE LAS DEFORMACIONES Es un importantísimo caso particular del teorema de Betti. Consideramos: Sistema I: compuesto por una única fuerza Pa= 1t que actúa en un punto a según una dirección α
(alfa).
Sistema II: compuesto por una única fuerza Pb= 1t que actúa en un punto b según una dirección β
(beta).
δI II
: deformación del sistema II en el punto de aplicación de la fuerza del sistema I en la
dirección δII I
de α (alfa).-
: deformación del sistema I en el punto de aplicación de la fuerza del sistema II en la
dirección de β (beta).
Por el Teorema de Betti es:
PI . δ I = PII . δ II II
I
Enunciado: "El desplazamiento de un punto fuerza unitaria que actúa en un punto de un punto
b
b
a
y como: PI = PII = 1(t), resulta:
δ
I
= δII
II
I
medido en la dirección α (alfa), provocado por una
según una dirección β (beta), es igual al desplazamiento
según una dirección β (beta), provocado por una carga unitaria actuando en
a
según una dirección α (alfa)."
Si la viga es horizontal, y está sometida a cargas verticales, siendo los desplazamientos también verticales, el teorema se simplifica: "El descenso de un punto
a
provocado por una carga unitaria
que actúa en un punto b , es igual al descenso del punto b , provocado por una carga unitaria actuando en
a".
Á
APLICACI ÓN DEL P.T.V. AL CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN RETICULADOS En sistemas reticulados la ecuación general se reduce a: L
∑
Pi. δi =
∑∫
N.N E.A
.dx
0
Para valores constantes de esfuerzos en las barras resulta:
∑
Pi. δi =
∑
N .N E.A
L
i =n
∫
dx =
∑ i =1
0
Ni .Ni E.Ai
.Li
L
1(t) . δc =
∑∫ NE.A.N .dx 0
i =n
1(t) . δc =
∑NEi.A.Ni i .Li i =1
Si también existe variación de temperatura, la deformación de la barra será: ∆s =
N.L + αt . ∆t . L E.A
Para una única carga unitaria actuando como sistema de fuerzas virtual resulta: i =n
1(t) . δ
=
∑
Ni .
i =1
N.L E.A
Á
i =n
+
∑
Ni . αt . ∆t . Li
i =1
Ejemplo de aplicación : Calcular el desplazamiento
δ
k sabiendo que E=cte., A1=A y A2=3.A
Esfuerzos en el sistema real:
∑Fy = 0 P − N2 .sen 30º = 0 P = 2.P N2 = sen 30º
(compresió n)
∑Fx = 0 N2 .cos 30º - N1 = 0 N1 = 2.P. cos 30º = 3 P
Nº Barra
A
(tracción)
Longitud
A.E
(cm²)
(cm)
L
1
1
L
A.E L
2
3
L cos 30º
3A.E .cos30º L
Á
N
N
3.P
3
-2.P
-2
N. N .L E.A
3.P.L E.A
4 P.L . 3 E.A.cos 30º P.L 4,54. E.A
